Часть 1 813. Сырок стоит 6 рублей 30 копеек

Часть 1

813. Сырок стоит 6 рублей 30 копеек. Какое наибольшее число сырков можно купить на 50 рублей?

814. На рисунке 65 точками показана цена акций компании «Газпром» на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни января 2011 года.

По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена акции в долларах США. Для наглядности точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку наибольшую цену акций «Газпрома» на момент закрытия торгов за январь 2011 года (в долларах США за акцию).

Рис. 65.

Январь2011

815. Найдите корень уравнения 7х9 = 49.

816. В треугольнике ABC AC = BC = 16, sin Z.B = Найдите АВ. Io

817. От дома до дачи можно доехать на автобусе, на электричке или на маршрутном такси. В таблице показано время, которое нужно затратить на каждый участок пути. Какое наименьшее время потребуется на дорогу? Ответ дайте в часах.

	1	2	3
1. Автобус	От дома до автобусной станции — 35 мин.	Автобус в пути: 2 ч 24 мин	От остановки автобуса до дачи пешком — 25 мин.
2. Элек­тричка	От дома до станции железной дороги — 44 мин.	Электричка в пути: 1 ч 58 мин	От станции до дачи пешком — 30 мин.
3. Марш­рутное такси	От дома до остановки маршрутного такси — 35 мин.	Маршрутное такси в пути: 1 ч 46 мин.	От остановки маршрутного такси до дачи пешком — 76 мин.

818. Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координа­ты (2; 2), (10; 6), (10; 2) (см. рис. 66).

819. Найдите значение выражения

820. На рисунке 67 изображён график функции У = F(X),Определённой на интервале (-6; 8). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой У = 4 или совпадает с ней.

821. Диагональ куба равна √z48 (см. рис. 68). Найдите его объём.

Рис. 68.

В10. При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движу­щихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звуко­вого сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой ис­ходного сигнала /о = 250 Гц и определяется следующим выражением:

/ = (Гц), где с — скорость распространения сигнала в среде

Cf

(в м/с); И= 20 м/с и υ = 5 м/с — скорости приёмника и источника от­носительно среды соответственно. При какой максимальной скорости С (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике F Будет не менее 270 Гц?

BlL Найдите точку максимума функции У = 15×2- Х3.

В12. Два маляра могут выполнить работу по покраске стен помещения за 15 дней, а первый из них самостоятельно — за 20 дней. Сколько дней по­надобится второму маляру, чтобы выполнить эту работу самостоятельно?

Часть 2

λ>1п 12 Cos4Х — cos 2# — 3 п

CL Решите уравнение—————— > — = 0.

V sin х

С2. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCDСторона основания ABCDРавна 4, а угол BFDРавен 60°, где F — середина SC.Найдите высоту пирамиды.

СЗ. Решите неравенство

χ∕log5(τ2— 5x ÷ 7) ∙ (9x Iog9Х+ 9 — 9 Iog9Х — 9X) ≤ 0.

С4. Основание равнобедренного треугольника равно 18 см. Вписанная окружность касается его боковых сторон в точках MИ К, MK = 8 см. Найдите периметр треугольника.

С5. Найдите наибольшее целое отрицательное значение т, при котором уравнение sin2Х — 5M = 4 — 2m sin2Х не имеет корней.

С6. Найдите трёхзначное натуральное число, если сумма его цифр рав — 107

-на 12 и оно равно числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке.

Вариант № 13

Часть 1

BLB Пачке 500 листов бумаги формата А4. За неделю в офисе расходует­ся 800 листов. Какое наименьшее количество пачек бумаги нужно купить в офис на 3 недели?

В2. На рисунке 69 точками показана цена акций компании «Сургутнеф­тегаз» на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни янва­ря 2011 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена акции в долларах США. Для наглядности точки на рисунке соедине­ны линией. Определите по рисунку, какого числа цена акции «Сургутнеф-

/ I \ 2—Х

83. Найдите корень уравнения J = 36.

7

84. В треугольнике ABCУгол CРавен 90o, sin ZA = —, AB = 144.

Зо

Найдите ВС.

85. Семье из трёх человек необходимо добраться из Москвы в Ростов- на-Дону. Можно доехать поездом, а можно на своей машине. Билет на поезд на одного человека — 1120 рублей. Автомобиль расходует 9 литров бензина на 100 км, расстояние по шоссе между этими городами составля­ет 1200 км, а цена бензина равна 30 рублей за литр. Сколько рублей стоит наиболее дешёвая поездка на троих?

86. Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координа­ты (3; 1), (8; 4), (10; 4), (10; 1) (см. рис. 70).

87. Найдите значение выражения √4352- 3002.

88. На рисунке 71 изображён график производной функции /(τ), опреде­лённой на интервале (-8; 6). Найдите точку максимума функции /(τ) на отрезке [—5; 3].

89. В правильной четырёхугольной пирамиде (см. рис. 72) высота равна 5, боковое ребро равно 13. Найдите её объём.

Рис. 72.

BlO. Скорость автомобиля, разгоняющегося с места старта по прямо­линейному отрезку пути длиной IКм с постоянным ускорением AКм/ч2, вычисляется по формуле υ = ∖∕2La.Определите наименьшее ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав два километра, приобрести скорость не менее 120 км/ч. Ответ выразите в км/ч2.

BlL Найдите точку минимума функции У = 5 + 6X + х2.

В12. Первые 200 км автобус ехал со скоростью 80 км/ч, следую­щие 190 км — со скоростью 95 км/ч, а затем 150 км — со скоро­стью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автобуса на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Часть 2

CL Решите уравнение 2∞s x ^cosι÷v^—1 = о.

Cos2Х —Sin2Х

С2. В цилиндре отрезок ABЯвляется диаметром нижнего основания и ра­вен 10. Точка CЛежит на окружности верхнего основания цилиндра и од­новременно принадлежит осевому сечению цилиндра, перпендикулярному отрезку АВ. Найдите косинус угла между плоскостью ABCИ плоскостью основания цилиндра, если отрезок BCРавен 13.

СЗ. Решите неравенство

(1°gχ+2(1-2) + logχ-2(^ + 2)) ≥ log1,2-4(x2÷4x + 4).

С4. В трапеции ABCDС основаниями AB = 8 и DC = 5,5 диагонали AC И BDПересекаются в точке О под прямым углом. Найдите значение вы­ражения АО • ОС + ВО ∙ OD.

С5. Найдите все значения параметра а, при которых система Г 2 I 2 2

X^ —∣— ~~ Сь

<Уα2 _ ∣a. _|11∣имеет ровно одно решение.

С6. Какую наименьшую сумму цифр может иметь число вида 6n2— П+ 1 при натуральном числе п?

Вариант № 14

Часть 1

BLB Летнем лагере 150 детей и 19 воспитателей. В автобус помещается не более 35 пассажиров. Сколько автобусов требуется, чтобы перевезти всех из лагеря в город?

В2. На диаграмме 73 показана среднесуточная температура воздуха в го­роде Ростове-на-Дону с 15 по 27 ноября 2010 года. По горизонтали ука­зываются даты, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Onpe-
делите по диаграмме наибольшую среднесуточную температуру в Ростове-на-Дону в период с 21 по 27 ноября 2011 года включительно. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Рис. 73.

(

1 \ х 17/

84. В прямоугольнике расстояние от точки пересечения диагоналей до большей стороны меньше расстояния до меньшей на 4. Его периметр ра­вен 52. Найдите меньшую сторону прямоугольника.

85. В таблице приведены тарифы на услуги трёх фирм такси. Предпола­гается поездка длительностью 80 минут. Нужно выбрать фирму, в которой заказ будет стоить дешевле всего. Сколько рублей будет стоить этот заказ в выбранной фирме?

Фирма такси	Подача машины	Продолжительность и стоимость мини­мальной поездки*	Стоимость 1 минуты сверх продолжительно­сти минимальной поездки (в руб.)
А	Бесплатно	Нет	12
Б	Бесплатно	20 мин — 150 руб.	14
В	50 руб.	15 мин — 50 руб.	13

* Если поездка длится меньше указанного времени, она оплачивается по стоимости минимальной.

86. Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты (1; 4), (1; 6), (5; 4), (6; 6) (см. рис. 74).

Рис. 74.

87. Найдите значение выражения Iog2 1,6 + Iog2 16.

88. На рисунке 75 изображён график производной функции /(τ), опреде­лённой на интервале (-8; 6). В какой точке отрезка [—4; 3] функция F(X) Принимает наименьшее значение?

89. Основанием прямой треугольной призмы (см. рис. 76) служит прямо­угольный треугольник с катетами 9 и 12, высота призмы равна 10. Найдите площадь её поверхности.

Рис. 76.

810. Некоторая компания продаёт свою продукцию по ценер = 750 руб. за единицу. Переменные затраты на производство одной единицы продук­ции составляют И = 250 руб., постоянные расходы предприятия —
F = 800000 руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предпри­ятия (в руб.) вычисляется по формуле π(g) = Q(P — υ) — F.Опреде­лите наименьший месячный объём производства Q(единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет не мень­ше 400000 руб.

BlL Найдите точку максимума функции У = 6×2- х3.

В12. Из двух городов, расстояние между которыми 700 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Через сколько часов авто­мобили встретятся, если их скорости равны 95 км/ч и 105 км/ч?

Часть 2

Cl. Решите уравнение 4sin2τ-4sina:÷2√3-3=θ sinjХ — 3 cos2Х

С2. В цилиндре отрезок ABЯвляется диаметром нижнего основания. Точ­ка CЛежит на окружности верхнего основания цилиндра и одновремен­но принадлежит осевому сечению цилиндра, перпендикулярному отрез­ку АВ. Найдите радиус основания цилиндра, если косинус угла между плоскостью ABCИ плоскостью основания цилиндра равен 0,225, а от­резок BCРавен 41.

СЗ. Решите неравенство

(1°gχ+3(^-3)+21ogx-3(ι+3)) ≥ I log12.9(τ2+6τ+9). £ *

С4. В трапеций ABCDС основаниями ABИ DCДиагонали ACИ BDПе­ресекаются в точке О под прямым углом. Найдите длину CDiЕсли дли­на ABРавна 5, а значение выражения АО • ОС + ВО ∙ ODРавно 23.

С5. Найдите все значения параметра 5, при которых система

X^ H-4v2 =B

<. 2 — \химеетPobho OAhoрешение,

K‘ It I **y I

С6. Какую наименьшую сумму цифр может иметь число вида 8n2— 3n +1 при натуральном числе п?

Вариант № 15

Часть 1

BL Для приготовления вишнёвого варенья на 1 кг вишни нужно 1,5 кг са­хара. Сколько килограммовых упаковок сахара нужно купить, чтобы сва­рить варенье из 19 кг вишни?

82. На диаграмме (см. рис. 77) показана среднемесячная температура воздуха в Ростове-на-Дону за каждый месяц 2010 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме, сколько было месяцев, когда среднемесячная температура была ниже 10 градусов Цельсия.

83. Найдите корень уравнения Iog2 (2τ) = 3.

84. В равнобедренной трапеции косинус острого угла равен а основа­ния равны 5 и 9. Найдите боковую сторону трапеции.

85. Из пункта А в пункт DВедут три дороги (см. рис. 78, расстояние между пунктами указано в километрах). Через пункт В едет грузовик со средней скоростью 28 км/ч, через пункт CЕдет легковой автомобиль со скоростью 58 км/ч. Третья дорога — без промежуточных пунктов, и по ней движется автобус со средней скоростью 44 км/ч. Все три автомобиля одновременно выехали из пункта А. Какой автотранспорт добрался до D Раньше других? В ответе укажите, сколько минут он находился в дороге.

86. Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты (2; 3),(4; 7), (7; 7), (10; 3) (см. рис. 79).

87. Найдите значение выражения (2х4)2 : 2х8 при Х= 0,85.

88. На рисунке 80 изображён график производной функции /(τ), опре­делённой на интервале (-8; 11). Найдите количество точек максимума функции F(x)На отрезке [-7; 10].

Рис. 80.

89. В цилиндрический сосуд налили 5000 см3 воды (см. рис. 81). Уровень воды при этом достигает высоты 24 см. В жидкость полностью погрузи­ли деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 18 см. Чему равен объём детали? Ответ выразите в см3.

Рис. 81.

810. В розетку подключены электроприборы, общее сопротивление кото­рых составляет 120 Ом. Параллельно с ними в розетку планируется под­ключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное со­противление обогревателя (в Омах), если для нормального функциони­рования электросети общее сопротивление в ней должно быть не ме­нее 30 Ом, а общее сопротивление проводников при параллельном под-

Ri R2

Ключении вычисляется по формуле R = ————— —, где RiИ R2—Co∏po-∙

‘ Ri ÷ Rz

Тивления этих проводников.

12

811. Найдите наибольшее значение функции У = 2 cost—————— Х+ 3 на

7Г

Отрезке —7г;0 .

Lo

812. Из городов А и BiРасстояние между которыми 280 км, одновремен­но навстречу друг другу выехали два мотоциклиста и встретились через 4 часа на расстоянии 80 км от города В. Найдите скорость мотоциклиста, выехавшего из города А. Ответ дайте в км/ч.

Часть 2

CL Решите уравнение (√τ + 3 + 2)2 + (√τ + 3 + 2)2 — 7 = 3.

С2. В прямой треугольной призме ABCAiBiCiiВсе рёбра которой рав­ны 4, точки К и MЛежат на серединах боковых рёбер AAit BBiСоответ­ственно, а точка LЛежит на середине ребра AiCi.Найдите косинус угла между прямой BBiИ плоскостью KLM.

5ar• 15® — 15 ^ °‘

С4. В параллелограмме ABCDПлощадью 2\/3 высота HВ два раза мень­ше одной из его диагоналей, и угол между этой диагональю и стороной, к которой проведена ft, в 3 раза меньше угла между диагоналями паралле­лограмма. Найдите длину меньшей диагонали.

С5. Найдите все значения параметра а, при которых система

X^ + (и — д^2= д2

I 2 Q|_ ’ имеет более 4-х решений.

С6. Найдите все трёхзначные натуральные числа, квадрат которых окан­чивается этим же числом.