Задание В13 представляет собой текстовую задачу. Кроме стандартных для текстовых задач тем, таких как задачи на движение, работу, сплавы и смеси, в открытый банк заданий включены также задачи на среднюю скорость, «сложные проценты», арифметическую прогрессию.
На каждую из указанных выше тем в задачнике книги I данного пособия приведён целый ряд задач (см. стр. 94-102). Приступим к разбору решений некоторых из них.
1. Лодка прошла 10 км по течению реки, а затем 2 км против течения, затратив на весь путь 1,5 часа. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна Зкм/ч.
Решение.
Пусть VКм/ч-tсобственная скорость лодки. Тогда (v ÷ 3) км/ч—скорость лодки по течению, а (и — 3) км/ч — её скорость против течения, и по 10 2
Условию задачи получаем уравнение: + υ~⅛ — 1,5,
10⅞, ~ ¾t [17]¾^[18][19]) = 1,5, 12υ-24 = l,5(v2-9), l,5√2-12υ+10,5 = 0.
(у+ 3)(υ — 3) v,
Последнее уравнение имеет корни V = 1 и У= 7. Значение У= 1 не удовлетворяет смыслу задачи (имея собственную скорость 1 км/ч, лодка не смогла бы плыть против течения). Следовательно, V = 7.
Ответ:7
Аналогичные задачи в книге I данного пособия: стр.94, примеры 1-4.
3. По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда. Скорость пассажирского поезда равна 80 км/ч, и, догнав товарный поезд, он прошёл мимо него за 90 секунд. Найдите скорость товарного поезда (в км/ч), если его длина равна 600 метрам, а длина пассажирского поезда равна 275 метрам.
Решение.
Пусть скорость товарного поезда равна VКм/ч. Заметим, что поскольку поезда движутся в одном направлении, то время прохождения пассажирского поезда мимо товарного не изменится, если скорость каждого из них уменьшить на одну и ту же величину.
Если скорость каждого поезда уменьшить на VКм/ч, то скорость товарного поезда станет нулевой, т. е. он будет неподвижен, а скорость пассажирского поезда будет равна (80 — υ)Км/ч, и при этом он пройдёт мимо товарного поезда за 90 секунд. Так как длины поездов равны 275 метров и 600 метров, то это означает, что двигаясь со скоростью (80 — υ)Км/ч пассажирский поезд за 1,5 минуты проходит 875 метров. Отсюда получаем уравнение: (80 — υ) ∙ — 0,875 (1,5 минуты = ■— часа, 875 м = 0,875 км).
Из этого уравнения находим, что 80 — v = 35, V = 45.
Ответ:45
Аналогичная задача в книге 1 данного пособия: стр.95, пример 13.
4. Из города А в город В одновременно выехали два автомобиля. Скорость первого автомобиля — 60 км/ч, а скорость второго —90 км/ч. Спустя 30 минут из города А в город В выехал третий автомобиль, который догнал сначала первый автомобиль, а через час после этого догнал второй автомобиль. Найдите скорость третьего автомобиля.
Решение.
Пусть VКм/ч — скорость третьего автомобиля, a TЧасов—время, понадобившееся ему, чтобы догнать первый автомобиль. Тогда первый автомобиль до того момента, как его догнал третий, был в пути (T + 0,5) ч. Поэтому 60(t + 0,5) = Vt.Так как третий автомобиль догнал второй спустя ещё час, то до этого момента он был в пути (t +1) ч, а второй — {T + 1,5) ч. Отсюда имеем: 90(t + 1,5) = V(T + 1) =>VИ TУдовлетворяют системе:
F 60t + 30 = υt (1) [ 90t + 135 = Vt + V (2).
Выполняя в уравнении (2) подстановку υt = 60t + 30 и приводя подобные, получаем: 30f ÷ 105 = V (3). Из соотношения (3) и уравнения (1) следует, что 60t + 30 = (30t + 105)t, 30t2 + 45t — 30 = 0, 2T2 + 3T— 2 = 0. Полученное квадратное уравнение имеет корни T = — 2 и T = 0,5. Значение T = — 2 не удовлетворяет смыслу задачи, а при T = 0,5 имеем: v = 30 • 0,5 + 105 = 120.
Ответ:120
Аналогичная задача в книге I данного пособия: стр.96, пример 16.
5. Первые 100 км пути автомобиль ехал со скоростью 80 км/ч, следующие 150 км — со скоростью 75 км/ч, а затем 30 км — со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Решение.
Найдём время, затраченное автомобилем на каждый из участков пути:
Для первых 100 км время в пути равно = 1,25 часа;
δ0 150
Для следующих 150 км время в пути равно = 2 часа;
QΠ ‘ θ
Для последних 30 км время в пути равно = 0,75 часа.
Так как общее время в пути составило 1,25 + 2+0,75 == 4 часа, адлина всего пути равна 100+150+30 = 280 км, то средняя скорость автомобиля на протяжении всего пути равна = 70 км/ч.
Ответ:70
Аналогичные задачи в книге I данного пособия: стр.96, примеры 17-19.
6. Путешественник переплыл море на яхте, при этом средняя скорость его передвижения составила 25 км/ч. Обратно он летел по тому же маршруту на спортивном самолёте со скоростью 475 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Решение.
Пусть SКм — длина маршрута путешественника в одном направлении. Тогда время, которое он затратил плывя по этому маршруту на яхте, рав — с
Но ⅛⅛ ч, а время, затраченное им на обратный путь на самолёте, равно
Ч. Поэтому средняя скорость путешественника на протяжении всего пути равна 2S : (⅛ + ⅛) = 2S : = = 47,5 км/ч.
Ответ:47,5
Аналогичные задачи в книге I данного пособия: стр.97, примеры 21-23.
 |
Решение.
Пусть VЛитров объём бака и пусть Х литров — перекачивает за 1 час первый насос, У литров — перекачивает второй, ZЛитров — перекачивает третий. Так как 24 минуты составляют ~ часа, а 40 минут составляют -∣∙ и О
Часа, то из условия задачи имеем систему:
Lι=V L—Y = V О
L∙Z = V
Сложив почленно все три уравнения последней системы, получим равенство: x + y÷z=^∣- + -∣- + l)-V = 5∙V’ 4≠> — i-∙(jr + y + z) = Vr.∏3 этого равенства следует, что при совместной работе всех трёх насосов бак наполнится за ⅛ часа, т. е. за 12 минут.
5
Ответ:12
Аналогичная задача в книге I данного пособия: стр. 97, пример 24.
 |
Решение.
Пусть первый фильтр очищает за минуту Х литров воды, а второй — У литров воды. Тогда объём цистерны равен 30(х + У). Работая отдельно, первый фильтр очистит цистерну за время Т\ — +V) минут, а второй
30(rr + u) x
За время 7½ ~ ——— — минут. По условию 1\ — Т2 = 25, откуда имеем:
30(τ + y) ЗОСг + у) λf π
—к——Ill——— V—- Ill —25. Преобразовывая это уравнение, получаем:
— — -5 = 0. Введём новую неизвестную T = . Тогда для TИмеем XУ β x
Уравнение: Qt — — — 5 = 0, 6t2— 5£ — 6 = 0, из которого находим, что T = —-∣- или T = . Так как по смыслу задачи > 0, то = ∙∣∙, У= 1,5s. Подставляя У = 1,5s в выражение для 7⅛, получаем: T2 rz 30(s+l,5s) _ 5θ 1,5s
Ответ:50
Аналогичные задачи в книге I данного пособия: стр.97, примеры 26-30.
9. К июню кинотеатр города Дивноморска увеличил цену входного билета на 50% по сравнению с ценой билета в феврале. На сколько процентов должна снизиться цена билета в течении осени, чтобы к декабрю она была лишь на 20% выше, чем в феврале?
Решение.
Пусть S — цена билета в феврале. Тогда 1,5 s— цена билета в июне, а в декабре она должна быть равна 1,2 s. Следовательно, цену билета нужно будет снизить на 0,3 s, что составляет 20% от величины 1,5 s.
Ответ:20
Аналогичные задачи в книге I данного пособия: стр.99, примеры 41,42.
10. За несколько дней до соревнований спортсмен стал «сбрасывать» вес, уменьшая каждые сутки вес своего тела на одно и то же число процентов от предыдущего значения. Определите, на сколько процентов в сутки спортсмен уменьшал свой вес, если известно, что за последние двое суток до соревнований его вес уменьшился с 62,5 кг до 57,6 кг.
Решение.
Пусть Р -100%— проценты, на которые спортсмен уменьшал свой вес за сутки. Тогда за первые из двух суток до соревнований вес спортсмена уменьшился с 62,5 до 62,5 — Р • 62,5 = 62,5 • (1 — Р) кг, а ещё через сутки стал равен 62,5 — (1 — Р) — р • (62,5 * (1 — р)) = 62,5 • (1 — р)2 кг. По условию вес спортсмена стал равен 57,6 кг, следовательно имеем уравнение: 62,5 ∙(1 — p)2 = 57,6. Проведём вычисления: (1 — р)2= -∣⅞2- = =
Лд2 24 Ь2,о о2о
= -±≡5- <=> 1 — р = —≡- (так как часть меньше целого, то р < 1 и 1 — р > 0). 25
Отсюда находим, что р=0,04, т. е. искомое число процентов равно 4.
Ответ:4
Аналогичная задача в книге I данного пособия: стр. 100, пример 44.
 |
Решение.
Допустим, что второго сплава взяли 1 кг, а первого — MКг. В MКг первого сплава содержится 0,9m кг серебра, а в 1 кг второго сплава — 0,6 кг серебра. Поэтому после переплавки получится Тп+ 1 кг нового сплава, в котором процентное содержание серебра равно θ,^-^∙jθτ^• 100%, что по условию должно составлять 70%. Запишем и решим соответствующее уравнение: ⅛9″L÷0;6 = 0 7
M = 0,5. Таким образом, если взять 1 кг второго сплава, то для 70% содержания серебра в новом сплаве требуется взять 0,5 кг первого сплава, т. е. искомое отношение равно 0,5.
Ответ:0,5
Аналогичные задачи в книге I данного пособия: стр. 100, примеры 47,48.
12. В химической лаборатории в двух сосудах содержится раствор борной кислоты различной концентрации. В первом сосуде содержится 3 литра раствора, а во втором — 5 литров. Если растворы, находящиеся в этих сосудах, смешать, то получится 44% раствор кислоты. А если смешать равные объёмы этих растворов, то получится 40% раствор. Какова концентрация (в процентах) раствора в первом сосуде?
Решение.
Пусть концентрация раствора в первом сосуде равна Р • 100%, а во втором — T• 100%. Тогда в первом сосуде Зр литров кислоты, а во втором 5Z литров кислоты. После смешивания растворов из обоих сосудов получится 8 литров раствора, в котором 3p + 5TЛитров кислоты, т. е. раствор с концентрацией ^P + • 100%. По условию концентрация этого раствора
Равна 44%, и, значит, ^P t^• 100 = 44, Зр ÷ 5T = 3,52. Если же сме — O
Шать по 1 литру каждого из растворов, то получится 2 литра раствора, в котором p+1Литров кислоты, т. е. раствор с концентрацией + i• 100%.
П + + L
Из условия следует, что r«Г • 100 = 40, р + T = 0,8. Итак, имеем си — £
 |
Ответ:24
Аналогичные задачи в книге I данного пособия: стр. 100, примеры 49,50.
13. Влажность свежескошенной травы составила 70%. Сколько кг сена, влажность которого 20%, получится из 6 тонн этой травы?
Решение.
Так как влажность травы равна 70%, то содержание в ней «сухого вещества» (всё, кроме воды) равно 30%. Поэтому в 6 тоннах этой травы содержится 0,3 • 6 = 1,8 тонн «сухого вещества». Влажность сена должна составить 20%, т. е. 1800 кг «сухого вещества» должны составить 80% массы сена. Обозначив через Х массу сена в кг, получаем уравнение 0,8х = 1800, из которого находим, что Х = 2250.
Ответ:2250
 |
Аналогичные задачи в книге I данного пособия: стр. 101, примеры 51,52.
Решение.
Пусть добавили Х граммов соли. Первоначальный 2%-ый раствор содержал 0,02 • 100 = 2 г соли. После добавления 175 г воды и Х граммов соли масса раствора стала равна (275 + Х) г, а процентное содержание соли — o~Λax* 100%. Так как по условию полученный раствор содержит 2,5% соли, то имеем уравнение: 275^a.=I(Fij ■ Преобразуем и решим это уравнение: Λ + X = -⅛, 40(2 + Х)= 275 + Х, 39х = 195, Х= 5.
275 + X 40
Ответ:5
Аналогичные задачи в книге I данного пособия: стр. 102, примеры 7-10.
15. Стоимость туристической путёвки складывается из стоимости авиабилетов и стоимости проживания в отеле. В связи с тем, что авиабилеты подорожали на 30%, а проживание в отеле подорожало на 15%, стоимость путёвки увеличилась на 18%. Сколько процентов от стоимости путёвки составляла стоимость авиабилетов до подорожания?
Решение.
Пусть ι∙-стоимость авиабилетов, у-стоимость проживания в отеле до подорожания. Тогда после подорожания стоимость авиабилетов составит 1,3х, стоимость проживания в отеле — 1.15y. а стоимость путёвки — l,3.r + l,15y. По условию, стоимость путёвки увеличилась на 18%, т. е. стала равна l,18(z + У). Значит, имеет место следующее соотношение: l,3x ÷ 1,15г/ = l,18(x + У)=> 0,12x — 0,03t∕. 4x ≈ У. Отсюда получаем, что до подорожания стоимость путёвки была равна Х + у= 5т, а стоимость авиабилетов составляла • 100% = 20% от стоимости путёвки.
Ответ:20
Аналогичные задачи в книге 1 данного пособия: стр.101, примеры 3,4.
16. /Магазин выставил на продажу товар с некоторой наценкой по отношению к закупочной цене. После продажи 90% всего товара магазин снизил назначенную цену на 30% и распродал оставшийся товар. В результате прибыль магазина составила 35,8% от закупочной цены товара. Сколько процентов от закупочной цены составляла первоначальная наценка магазина?
Решение.
Пусть с — закупочная цена товара, S — иена на товар, назначенная магазином. Количество всего товара примем за единицу. Тогда после продажи 90% товара магазин выручил сумму в 0.9s. Так как оставшиеся 10% товара магазин продавал на 30% дешевле, т. е. по цене s — 0,3s = 0,7s, то сумма выручки за весь товар составила 0,9s + 0,1 ∙ (0,7s) = 0,97s. При
Быль, полученная магазином, равна 0,97s — с, что по условию составляет 35,8% от величины с, т. е. 0,358с. Следовательно, 0,97s — С= 0,358с, s = = 1,4с. Отсюда получаем, что первоначальная наценка мага-
Зина равна S — с= 0,4с, что составляет 40% от закупочной цены.
Ответ:40
Аналогичные задачи в книге I данного пособия: стр. 102, примеры 5,6.
Задание В14 представляет собой задачу на поиск точек экстремумов, наибольшего или наименьшего значения функции на заданном промежутке. В книге I данного пособия (см. стр. 103-105) приведены все различные типы таких задач, включённые в открытый банк заданий.
Отметим, что некоторые из таких заданий внешне выглядят «пугающими», за счёт громоздкого вида коэффициентов, входящих в задаваемую условием функцию. Однако, если использовать дополнительное соображение, что ответ задания части В должен быть конечной десятичной дробью, то для получения правильного ответа громоздкие коэффициенты окажутся не препятствием, а помощью. Как это происходит, посмотрим на следующем примере.
1. Найдите наименьшее значение функции
У= 4x — sinx + 2 + на отрезке [0; тг].
О о о
Решение.
Найдём нули производной заданной функции: Y, = 4- cosx = 0, COsx = ∙^-∙ <=>Х= ±-~- + 2πn, П∈ Z. Отрезку [0; π] принадлежит лишь одна из найденных точек — точка Х= ⅞. Наименьшее значение задан — о
Ной функции на отрезке [0; тг] достигается либо на концах отрезка, либо в точке х = . Вычисляя значения заданной функции поочерёдно в точках х = 0, х = тг, х = -∣-, получаем: Y(0) ≈ 2 +
J∕(π) = 4π + 2 + ^l-⅛; y(⅞) = ⅜ — ⅛L l+2 + — ⅛ = 2.
О О v0,0 о 2 о о
Так как числа у(0) и j∕(π) являются иррациональными (т. е. выражаются бесконечными непереодическими дробями), то эти числа не могут быть ответом к задаче. Значит, правильным ответом является число j∕(∙^∙) = 2.
Ответ:2
Примечание. Если б задача, подобная рассмотренной выше, относилась к экзаменационной части С, то для полного её решения потребовалось бы сравнивать между собой все три значения τ∕(0), j∕(τr), y(-^∙), выясняя, какое из них наименьшее (кстати, нечто подобное предложено в этом году в задании СЗ Демоверсии). Однако при решении заданий части В на эк-
Матем. Bcc Для ЕГЭ 2∩I2. Кн 2 Замене в целях экономии времени подход, применённый в рассмотренном выше «решении», не только оправдан, но является единственно верным.
Аналогичные задачи в книге I данного пособия: стр. 104, примеры 22-25.
В заключение рассмотрим ещё один тип заданий В14, в котором требуется найти точку экстремума «сложной» функции. Рациональный способ решения примеров такого типа состоит в том, чтобы не вычислять производную по правилу дифференцирования «сложной» функции, а использовать одно из свойств «внешней» функции, например, её монотонность.
2. Найдите точку минимума функции У = 2X ^7X+5.
Решение.
Так как функция У= 2 является монотонно возрастающей, то промежутки возрастания (убывания) функции У = 2X ~7x+5совпадают с промежутками возрастания (убывания) функции У = х2 — 7х+ 5. Поэтому точки минимумов и максимумов этих двух функций совпадают. Точкой минимума квадратичной функции У = X2— 7х+ 5 является Х = ⅜ = 3,5 (абсцисса вершины параболы).
Ответ:3,5
3. Найдите точку максимума функции У= √2 — 34x“5х+6.
Решение.
Функция У = χ∕2 — 3* является монотонно убывающей, поэтому её точка максимума совпадает с точкой минимума функции У ~ 4х2 — 5х + 6. Точкой минимума квадратичной функции У= 4z2- 5х + 6 является точка Х= ⅜ = 0,625.
О
Ответ:0,625
Примечание. Учитывая, что ответ в экзаменационной задаче части В может быть лишь единственным, а квадратичная функция всегда имеет лишь одну точку экстремума, то на экзамене Вы могли бы «особо не задумываться, какая из функций возрастает, какая убывает» — для получения ответа достаточно уметь найти точку экстремума квадратичной функции.
Аналогичные задачи в книге I данного пособия: стр. 105, примеры 5-12.
Глава II