Элементы теории вероятностей Материалы подготовили: Корянов А. Г. (г. Брянск); e-mail: Akoryanov@mail. ru Надежкина

Элементы теории вероятностей

Материалы подготовили:

Корянов А. Г. (г. Брянск); e-mail: Akoryanov@mail. ru
Надежкина Н. В. (г. Иркутск); e-mail: Nadezhkina@yahoo. com

СОДЕРЖАНИЕ

Введение	1
1. Элементы комбинаторики	3
1.1. Непосредственные подсчеты	3
1.2. Правило умножения	4
1.3. Правило сложения	5
1.4. Перестановки	5
1.5. Размещения	5
1.6. Сочетания	6
2.Элементы теории вероятностей	6
2.1. Случайные опыты и события	6
2.2. Элементарные события	7
2.3. Частота события	8
2.4. Формула классической вероят­ности	8
2.5. Комбинаторные методы реше­ния вероятностных задач	17
2.6. Геометрическая вероятность	18
2.7. Операции над событиями	19
2.8. Несовместные события. Форму­ла сложения вероятностей	20
2.9. Совместные события. Формула сложения вероятностей	22
2.10. Независимые события. Форму­ла умножения вероятностей	23
2.11. Зависимые события. Формула умножения вероятностей	27
2.12. Сложение и умножение веро­ятностей	27
2.13. Повторение испытаний. Фор­мула Бернулли	31
3. Дополнительные задачи	32
Решения задач-прототипов	36
Ответы и указания	48
Список и источники литературы	52

Элементы содержания, проверяе­мые заданиями В10 по кодификатору:

6.3. Элементы теории вероятностей.

Проверяемые требования (умения) в заданиях В10 по кодификатору:

5.4. Использование вероятностей и статистики при решении прикладных за­дач

Введение

Данное пособие является десятым в серии пособий для подготовки к части В ЕГЭ по математике и посвящено реше­нию задачи В10 — одной из новых задач части В. Пожалуй, наряду с геометриче­скими задачами, она является и одной из самых «нетривиальных» в плане воспри­ятия задач первой части.

Впервые задача В10 на использование элементов теории вероятностей появи­лась на ЕГЭ по математике в 2012 году. Появление задачи В10 в первой части ЕГЭ потребовало уже не формального, а действительного включения изучения элементов теории вероятностей и элемен­тов комбинаторики в стандартный курс математики старшей школы. Данная «ин­новация» (многие годы подобный курс входил лишь в программу углубленного изучения математики) вызвала некото­рую озабоченность (а иногда и растерян­ность) в учительских кругах — ведь мно­гие учителя в последний раз встречались с «задачами на вероятность» в лучшем случае на давних курсах повышения ква­лификации, а то и вообще в студенческие годы. Массу вопросов с самого начала вызывал и уровень сложности новых за­дач В10, а соответственно и необходи­мый уровень глубины изучения данной темы.

Основываясь не только на собствен­ном опыте, но и на мнении коллег, можно сказать, что проблема «что изучать» и «как изучать» старшеклассникам в осно­вах теории вероятностей во многих шко­лах все еще не решена окончательно. Именно в решении этих вопросов и при­звано помочь данное пособие. Авторы старались тщательно отобрать теоретиче­ский и практический материал и адапти­ровать его именно к преподаванию в старших классах как обычной массовой школы, так и инновационного учебного заведения, с целью придать заинтересо­ванным ученикам уверенность в решении задачи ЕГЭ В10 любого уровня сложно­сти. Что же касается менее заинтересо­ванных учащихся — здесь как никогда актуален принцип «лучше меньше, да лучше». Исходя из личного опыта авто­ров, даже очень слабые учащиеся, разго­вор о «размещениях, сочетаниях и пере­становках» с которыми вести практиче­ски бессмысленно, с большим удоволь­ствием (и некоторой гордостью) решают задачи на основе определения вероятно­сти, а также применяют разные «хитрые» приемы, быстро приводящие к ответу даже в весьма непростых на первый взгляд задачах. Такие задачи и приемы также приведены в данном пособии.

В качестве практического материала авторами были использованы задачи «от составителей» из «открытого банка зада­ний» [18], а также некоторые избранные задачи из диагностических и трениро­вочных работ МИОО, пособий издатель­ства МЦНМО и других учебных пособий (см. список литературы).

Структура пособия такова, что задачи из «открытого банка заданий», наряду с фиксированным номером из открытого банка заданий (он расположен в скобках непосредственно перед текстом задачи), имеют также собственную тройную ну­мерацию внутри пособия. Все типы задач из «открытого банка заданий» системати­зированы по содержанию. Каждый тип задачи представлен тремя задачами (пер­вая из этих трех задач и есть прототип данного типа задач), что позволяет уча­щемуся при необходимости неоднократ­но проверить себя, а учителю — исполь­зовать дополнительные задания в виде отдельных, уже готовых трех вариантов для домашних или проверочных работ. Таким образом, первое число (в скобках) в тройной нумерации каждой задачи означает номер раздела, второе число — номер типа задачи внутри этого раздела, третье число — номер задачи внутри типа (или номер варианта).

Задачи из «открытого банка заданий» помечены буквой «Б», тренировочные задачи — буквой «Т». Тренировочные за­дачи также систематизированы по со­держанию. Нумерация этих задач также тройная.

Для первых задач каждого типа пред­ставлены подробные решения, для всех задач есть ответы.

Мы постарались сделать так, чтобы пособие было полезно и для ученика практически любого уровня подготовки, и для учителя, и для репетитора. Ответы и решения задач-прототипов представле­ны отдельно для того, чтобы в конкрет­ном экземпляре пособия можно было легко оставить только нужную форму от­ветов или решений для проверки либо самопроверки. Например, в экземплярах пособий, предлагаемых для уверенных в своих силах учеников, можно вообще убрать и ответы, и решения. Для менее уверенных в своих силах учащихся мож­но оставить только решения задач — прототипов. Для учителя и репетитора необходимы как раз ответы ко всем зада­чам для упрощения процесса проверки и оценки домашних и самостоятельных ра­бот.

1. Элементы комбинаторики

Комбинаторика — это раздел элемен­тарной математики, связанный с изуче­нием количества комбинаций, подчинён­ных тем или иным условиям, которые можно составить из заданного конечного множества элементов (безразлично, ка­кой природы; это могут быть буквы, цифры, какие-либо предметы и т. п.).

1.1. Непосредственные подсчеты

Для решения комбинаторных задач существуют различные способы грамот­ного подсчета, исключающие возмож­ность потери какой-либо комбинации элементов.

Логический перебор

При логическом переборе выписывают все комбинации элементов, придержива­ясь некоторого правила.

Пример 1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают: а) два­жды; б) трижды. Определите все возмож­ные комбинации выпадения орла и реш­ки.

Решение. Выпадение орла обозначим буквой О, решки — буквой Р.

А) Записываем на первом месте букву О: ОО, ОР. Теперь на первом месте запи­сываем букву Р: РО, РР. В итоге получа­ем 4 комбинации выпадения орла и реш­ки: ОО, ОР, РО, РР.

Б) В каждой комбинации, полученной в предыдущей задаче, добавляем слева букву О: ООО, ООР, ОРО, ОРР. Анало­гично слева приписываем букву Р: РОО, РОР, РРО, РРР. В итоге получаем 8 ком­бинаций.

Для любителей информатики (и не только) можно предложить еще один весьма удобный подход к записи всех возможных комбинаций. Подход основан на использовании двоичной системы счисления. Будем обозначать выпадение орла цифрой 0, а выпадение решки циф­рой 1.

А) Записываем в порядке возрастания все числа в двоичной системе счисления, требующие для своего представления не более двух знаков:

002

012

102

112

В итоге получаем 4 комбинации выпа­дения орла (0) и решки (1): 00, 01, 10, 11.

Б) Записываем в порядке возрастания все числа в двоичной системе счисления, требующие для своего представления не более трех знаков:

В итоге получаем 8 комбинаций выпа­дения орла (0) и решки (1): 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111.

Таблица вариантов

Таблица вариантов удобна при под­счете числа комбинаций из двух элемен­тов.

Пример 2. Сколько четных двузнач­ных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 5, 8, 9?

Решение. Составим таблицу: слева от первого столбца таблицы поместим циф­ры десятков двузначных чисел, выше первой строки — цифры единиц.

0	2	8
1	10	12	18
2	20	22	28
5	50	52	58
8	80	82	88
9	90	92	98

Искомых чисел будет столько же, сколько клеток в таблице, то есть 5∙3=15.

Ответ: 15.

Иногда подсчет вариантов облегчают Графы. Так называют геометрические

Фигуры, состоящие из точек (их называ­ют Вершинами) и соединяющих их отрез­ков (называемых Ребрами графа). Для удобства иллюстрации условия задачи с помощью графа его вершины-точки мо­гут быть заменены кругами или прямо­угольниками, а ребра-отрезки — любыми линиями.

Полный граф

При решении задач с помощью полно­го графа проводят все возможные ребра.

Пример 3. Андрей, Борис, Виктор и Григорий играли в шахматы. Каждый сыграл с каждым по одной партии. Сколько партий было сыграно?

Решение. Рассмотрим полный граф с четырьмя вершинами, обозначенными по первым буквам имен каждого из 4 маль­чиков. Отрезки-ребра обозначают шах­матные партии, сыгранные каждой парой мальчиков. Из рисунка видно, что граф имеет 6 ребер, следовательно, и партий было сыграно 6.

Ответ: 6.

Граф-дерево

При решении некоторых задач удобно использовать граф, называемый Деревом (за внешнее сходство с деревом).

Пример 4. Антон, Борис и Василий купили 3 билета на футбольный матч на 1, 2 и 3-е места первого ряда. Сколькими способами они могут занять имеющиеся три места?

Решение. Изобразим перебор способов с помощью графа-дерева, помещая в вершины графа первые буквы имен дру­зей А, Б и В.

В итоге получаем 6 способов.

Ответ: 6.

***

Т(1.1)1.1. Андрей, Борис, Виктор и Григорий после возвращения из спортив­ного лагеря подарили на память друг другу свои фотографии. Причем каждый мальчик подарил каждому по одной фо­тографии. Сколько всего фотографий бы­ло подарено?

Т(1.1)1.2. Сколько различных трех­значных чисел можно записать с помо­щью цифр 0, 1, 2, если цифры в числе мо­гут повторяться?

Т(1.1)1.3. Сколько различных трех­значных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, используя в записи числа каж­дую из них не более одного раза?

1.2. Правило умножения

Перебрать и подсчитать всевозможные комбинации из данных элементов, ис­пользуя наглядные средства, несложно, когда их количество невелико. Однако при большом количестве элементов этот перебор затруднителен, и тогда исполь­зуют правила комбинаторики.

Правило умножения (правило «и») — одно из основных правил комбинаторики. Согласно ему, если элемент множества А Может быть выбран MСпособами, а эле­мент множества B— NСпособами, то упо­рядоченная пара (A, B) может быть со­ставлена M ∙ NСпособами. Правило обобщается на произвольную длину по­следовательности.

Пример 5. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, ес­ли: а) числа не повторяются; б) числа мо­гут повторяться.

Решение. а) Первую цифру выбираем 5 способами, вторую цифру — 4 способами, третью — 3 способами. Всего 5 • 4 • 3 = 60 трехзначных чисел.

Б) Всего 5 • 5 • 5 = 125 трехзначных чи­сел.

Ответ: а) 60; б) 125.

***

Т(1.2)1.1. В меню столовой указано 5 закусок, 3 первых блюда, 4 вторых и 3 десерта. Каким числом способов можно заказать обед из четырех блюд?

Т(1.2)1.2. Четыре мальчика и четыре девочки садятся на 8 расположенных подряд стульев, причём мальчики садятся на места с чётными номерами, а девочки — на места с нечётными номерами. Сколькими способами это можно сде­лать?

Т(1.2)1.3. В розыгрыше первенства по футболу принимают участие 18 команд. Сколькими способами могут быть рас­пределены золотая, серебряная и бронзо­вая медали, если любая команда может получить только одну медаль?

1.3. Правило сложения

Правило сложения (правило «или») — одно из основных правил комбинаторики, утверждающее, что, если элемент множе­ства AМожно выбрать MСпособами, эле­мент множества BМожно выбрать N Способами, и множества AИ BНе имеют общих элементов, то выбор одного из элементов множеств AИли BОсуществля­ется M + NСпособами.

Пример 6. На блюдце лежит 8 яблок и 6 груш. Сколькими способами можно взять плод с блюдца?

Решение. Всего способов 6+8 = 14 .

Ответ: 14.

***

Т(1.3)1.1. Из города А в город В ведет 5 дорог, из города А в город С ведет 4 до­роги; из В в D— 3 дороги; из С в D— 6 до­рог. В и С маршрутами не соединены. Сколько маршрутов можно провести между городами А и D?

Т(1.3)1.2. Алфавит состоит из пяти букв. Сколько можно составить слов, имеющих не более трех букв, из букв этого алфавита?

Т(1.3)1.3. Сколько существует делите­лей числа 42?

1.4. Перестановки

Перестановками называют комбина­ции, состоящие из одних и тех же N раз­личных элементов и отличающиеся толь­ко Порядком их расположения. Число всех возможных перестановок из N раз­личных элементов PN= N!, где

N! = 1∙2 • 3 •… • (N —1) • N; 1! = 1; 0! = 1.

Например, из трех элементов A, BИ C Можно образовать 3! = 1 • 2 • 3 = 6 переста­новок: Abc, Acb, Bac, Bca, Cab, Cba.

Пример 7. Сколькими способами можно обозначить вершины куба буква­ми A, B, C, D, E, F, G, K?

Решение. Число способов обозначить во­семь вершин куба данными различными буквами (которых также восемь) равно P8=8!=40320 .

***

Т(1.4)1.1. Сколькими способами можно разместить на полке 4 книги?

Т(1.4)1.2. Сколько всего шестизначных четных чисел можно составить из цифр 1, 3, 4, 5, 7 и 9, если в каждом из этих чисел ни одна цифра не повторяется?

Т(1.4)1.3. Сколькими способами можно расположить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы они не могли бить друг друга?

1.5. Размещения

Размещениями называют комбинации, составленные из N различных элементов по MЭлементов, которые отличаются ли­бо Составом элементов, либо их Поряд­ком. Число всех возможных размещений .M N!

AN = (—— Я. В частности, при M = N

Получаем AnN = N! = PN .

Например, из четырех элементов A, B, CИ DМожно образовать

= 12 размещений по два эле­мента: Ab, Ba, Ac, Ca, Ad, Da, Bc, Cb, Bd, Db, Cd, Dc.

Пример 8. Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2?

Решение. A2 =—- :— 6• 5 = 30.

6 (6-2)! 4!

***

Т(1.5)1.1. Сколько всего семизначных телефонных номеров, в каждом из кото­рых ни одна цифра не повторяется?

Т(1.5)1.2. Учащиеся 2 класса изучают 8 предметов. Сколькими способами мож­но составить расписание на один день, чтобы в нем было 4 различных предмета?

Т(1.5)1.3. На станции 7 запасных пу­тей. Сколькими способами можно рас­ставить на них 4 поезда?

1.6. Сочетания

возможных сочетаний Cm .

M!(N— M)!

Например, из пяти элементов A, B, C, DИ EМожно образовать C 3 = =1 = 10

5 3!(5-3)!

Сочетаний по три элемента: Abc, Abd, Abe, Acd, Ace, Ade, Bcd, Bce, Bde, Cde.

Пример 9. Сколькими способами чи­татель может выбрать две книжки из пяти имеющихся?

Решение. C2= = 10 .

5 2!∙ 3!

Числа размещений, перестановок и со­четаний связаны равенством AM = PM• CM.

***

Т(1.6)1.1. В розыгрыше первенства по футболу принимают участие 16 команд, при этом любые две команды играют между собой только один матч. Сколько всего календарных игр?

Т(1.6)1.2. В выпуклом семиугольнике проведены всевозможные диагонали, при этом никакие три из них не пересекаются в одной точке. Сколько точек пересече­ния указанных диагоналей?

Т(1.6)1.3. Для участия в первенстве университета по легкой атлетике необхо­димо составить команду из 5 человек. Сколькими способами это можно сде­лать, если имеется 7 бегунов?

2. Элементы теории вероятностей

Теория вероятностей (ТВ) — раздел математики, изучающий вероятности со­бытий. ТВ разрабатывает методы, с по­мощью которых можно вычислить веро­ятности одних событий, зная вероятности других. ТВ изучает также случайные ве­личины и их распределения.

2.1. Случайные опыты и события

То или иное событие может осуще­ствиться только при определенных усло­виях.

Определение. Случайное событие — событие, которое может наступить в ходе некоторого опыта, а может не наступить.

Например, при бросании игральной кости невозможно предсказать, какая из шести граней выпадет.

Определение. Те условия и действия, при которых может осуществиться слу­чайное событие, называют Случайным опытом (Экспериментом, Испытанием).

Например, в опыте «подбрасывание симметричной монеты» возможно слу­чайное событие «появление орла».

***

Т(2.1)1.1. Ученик написал изложение и не сделал ни одной ошибки. Что здесь является случайным опытом, а что — слу­чайным событием?

Т(2.1)1.2. При подбрасывании играль­ной кости выпало три очка. Что здесь яв­ляется случайным опытом, а что — слу­чайным событием?

Т(2.1)1.3. Ученик по дороге из школы встретил черную кошку. Что здесь явля­ется случайным опытом, а что — случай­ным событием?

Т(2.1)1.4. Лампочка в люстре перего­рит в течение года. Что здесь является случайным опытом, а что — случайным событием?

Т(2.1)1.5. Стрелок при стрельбе в ми­шень выбил больше 6 очков. Что здесь является случайным опытом, а что — слу­чайным событием?

2.2. Элементарные события

В каждом опыте можно выделить та­кие элементарные события, из которых состоят все остальные события.

Определение. События, которые нель­зя разбить на более простые, называют Элементарными событиями (исходами, случаями).

Например, событие «выпало четное число очков» при бросании игральной кости состоит из трех элементарных со­бытий: «выпало два очка», «выпало че­тыре очка», «выпало шесть очков».

Определение. Элементарные события, при которых наступает событие А, назы­вают Элементарными событиями, благо­приятствующими (благоприятными) со­бытию А.

Например, событию «сумма очков на обеих костях равна 7» при двойном бро­сании игральной кости благоприятствуют только шесть элементарных событий (1;6), (2;5), (3;4), (4;3), (5;2), (6;1).

Определение. Элементарные события, шансы наступления которых одинаковы, называют Равновозможными событиями.

Примером может служить опыт, со­стоящий в бросании правильной играль­ной кости. В этом опыте шесть элемен­тарных событий, и все они равновозмож­ны.

***

Т(2.2)1.1. Симметричную монету подбра­сывают один раз. Будем обозначать бук­вой О выпадение орла и буквой Р выпа­дение решки. Выпишите все элементар­ные события этого опыта.

Т(2.2)1.2. Симметричную монету подбра­сывают дважды. Будем обозначать бук­вой О выпадение орла и буквой Р выпа­дение решки. Выпишите все элементар­ные события этого опыта.

Т(2.2)1.3. Симметричную монету подбра­сывают трижды. Будем обозначать бук­вой О выпадение орла и буквой Р выпа­дение решки. Выпишите все элементар­ные события этого опыта.

Т(2.2)1.4. Сколько элементарных собы­тий при четырех бросаниях симметрич­ной монеты?

***

Т(2.2)2.1. Игральную кость подбрасыва­ют один раз. Сколько элементарных со­бытий в этом эксперименте?

Т(2.2)2.2. Игральную кость подбрасыва­ют дважды. Сколько элементарных собы­тий в этом эксперименте? Выпишите все элементарные события этого опыта.

Т(2.2)2.3. Игральную кость подбрасыва­ют трижды. Сколько элементарных собы­тий в этом эксперименте?

Т(2.2)2.4. Игральную кость подбрасыва­ют трижды. Найдите число элементарных событий, при которых в сумме выпало: а) 2 очка; б) 3 очка; в) 4 очка; г) более 16 очков; д) более 15 очков.

***

Т(2.2)3.1. Учитель нарисовал на доске квадрат ABCDИ предлагает учащемуся выбрать две вершины. Сколько элемен­тарных событий в этом опыте?

Т(2.2)3.2. Биатлонист на огневом рубеже делает по одному выстрелу в каждую из пяти мишеней. Сколько элементарных событий благоприятствует событию: а) «биатлонист попал ровно в три мише­ни»;

Б) «биатлонист попал ровно в одну ми­шень».

Т(2.2)3.3. В классе 5 учеников, среди ко­торых учится Петя. Учитель в течение урока по очереди вызывает к доске двух человек. Сколько элементарных событий благоприятствует событию «Петю вызва­ли к доске»?

***

Т(2.2)4.1. Равновозможны ли элементар­ные события «орел» и «решка» при бро­сании правильной монеты?

Т(2.2)4.2. Команда премьер-лиги, встре­чаясь на кубок России по футболу с ко­мандой первой лиги, может либо побе­дить, либо проиграть, либо встреча за­кончится вничью. Равновозможны ли эти элементарные события?

***

Б(2.2)1.1.(прототип 320184) Игральный кубик бросают дважды. Сколько элемен­тарных исходов опыта благоприятствуют событию «А — сумма очков равна 5»?

Б(2.2)1.2.(321043) Игральный кубик бро­сают дважды. Сколько элементарных ис­ходов опыта благоприятствуют событию «А — сумма очков равна 10»?

Б(2.2)1.3.(321049) Игральный кубик бро­сают дважды. Сколько элементарных ис­ходов опыта благоприятствуют событию «А — сумма очков равна 7»?

2.3. Частота события

Пусть при проведении NСлучайных опытов событие А наступило KРаз. Ча­стотой события А называют отношение K n

Сумма частот всех элементарных со­бытий случайного опыта равна единице.

Пример 10. Наблюдения показывают, что в среднем среди 1000 новорожденных детей 515 мальчиков. Найдите частоту рождения мальчика в такой серии наблю­дений.

Решение. Определим событие А — «рождение мальчика». Из условия задачи имеем N = 1000, K = 515. Тогда частота события А в данной серии наблюдений равна 515 = 0,515.

1000

Ответ: 0,515.

***

Т(2.3)1.1. Французский естествоиспыта­тель Бюффон (XVIII) бросил монету 4040 раз, и при этом герб выпал в 2048 случа­ях. Найдите частоту выпадения герба в данной серии испытаний. Результат округлите до десятитысячных.

Т(2.3)1.2. Английский математик Карл Пирсон (1857-1936) бросал монету 24000 раз, причем герб выпал 12012 раз. Найди­те частоту выпадения герба в данной се­рии испытаний.

Т(2.3)1.3. Для выяснения качества семян было отобрано и высеяно в лабораторных условиях 1000 штук. 980 семян дали нормальный всход. Найдите частоту нормального всхода семян.

Т(2.3)1.4. Найдите частоту появления буквы «а» в тексте стихотворения Н. А. Некрасова «Родина».

Т(2.3)1.5. Пользуясь таблицей простых чисел, найдите частоту появления про­стых чисел в отрезках натурального ряда: от 1 до 100, от 101 до 200, от 201 до 300 и т. д., от 901 до 1000.

***

Б(2.3)1.1.(прототип 320189) В некотором городе из 5000 появившихся на свет мла­денцев 2512 мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Резуль­тат округлите до тысячных.

Б(2.3)1.2.(321211) В некотором городе из 3000 появившихся на свет младенцев 1430 девочек. Найдите частоту рождения мальчиков в этом городе. Результат округлите до тысячных.

Б(2.3)1.3.(321271) В некотором городе из 4000 появившихся на свет младенцев 1940 девочек. Найдите частоту рождения мальчиков в этом городе. Результат округлите до тысячных.

2.4. Формула классической
вероятности

Вероятность — есть число, характери­зующее Возможность наступления собы­тия.

Определение. Вероятностью Р со­бытия А называют отношение числа M Исходов, благоприятных этому событию, M К общему числу NИсходов Р(A) = —.

Сумма вероятностей всех элементар­ных событий случайного эксперимента равна 1.

Пример 11. Из колоды в 36 карт одну за другой вытягивают две карты, не воз­вращая карту обратно. Какова вероят­ность того, что они одного цвета?

Решение. Обозначим через А событие «обе карты одного цвета». Подсчитаем общее количество исходов, используя правило умножения N = 36 • 35 (для пер­вой карты 36 вариантов, для второй — 35 вариантов). Количество благоприятству­ющих исходов M = 36 • 17 (для первой карты 36 вариантов, для второй — 17 ва­риантов). Искомая вероятность

17

Ответ: —

35

***

Б(2.4)1.1.(прототип 320195) Вероятность того, что новый DVD-проигрыватель в течение года поступит в гарантийный ре­монт, равна 0,045. В некотором городе из 1000 проданных DVD-проигрывателей в течение года в гарантийную мастерскую поступила 51 штука. На сколько отлича­ется частота события «гарантийный ре­монт» от его вероятности в этом городе?

Б(2.4)1.2.(321589) Вероятность того, что новый пылесос в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,093. В не­котором городе из 1000 проданных пыле­сосов в течение года в гарантийную ма­стерскую поступило 97 штук. На сколько отличается частота события «гарантий­ный ремонт» от его вероятности в этом городе?

Б(2.4)1.3.(321685) Вероятность того, что новый ноутбук в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,091. В не­котором городе из 1000 проданных ноут­буков в течение года в гарантийную ма­стерскую поступило 96 штук. На сколько отличается частота события «гарантий­ный ремонт» от его вероятности в этом городе?

***

Б(2.4)2.1. (прототип 285926) В сборнике билетов по биологии всего 55 билетов, в 11 из них встречается вопрос по ботани­ке. Найдите вероятность того, что в слу­чайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по ботани­ке.

Б(2.4)2.2. (286243) В сборнике билетов по химии всего 25 билетов, в 6 из них встречается вопрос по углеводородам. Найдите вероятность того, что в случай­но выбранном на экзамене билете школь­нику достанется вопрос по углеводоро­дам.

Б(2.4)2.3. (286287) В сборнике билетов по философии всего 30 билетов, в 6 из них встречается вопрос по скептицизму. Найдите вероятность того, что в случай­но выбранном на экзамене билете школь­нику достанется вопрос по скептицизму.

***

Б(2.4)3.1. (прототип 285927) В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по нера­венствам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене биле­те школьнику не достанется вопроса по неравенствам.

Б(2.4)3.2. (286313) В сборнике билетов по философии всего 45 билетов, в 18 из них встречается вопрос по Пифагору. Найдите вероятность того, что в случай­но выбранном на экзамене билете школь­нику не достанется вопроса по Пифагору.

Б(2.4)3.3. (286315) В сборнике билетов по истории всего 40 билетов, в 16 из них встречается вопрос по смутному времени. Найдите вероятность того, что в случай­но выбранном на экзамене билете школь­нику не достанется вопроса по смутному времени.

***

Б(2.4)4.1.(прототип 320208) В кармане у Миши было четыре конфеты — «Гриль­яж», «Белочка», «Коровка» и «Ласточка», а так же ключи от квартиры. Вынимая ключи, Миша случайно выронил из кар­мана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Грильяж».

Б(2.4)4.2.(322493) В кармане у Саши бы­ло четыре конфеты — «Коровка», «Миш­ка», «Ласточка» и «Василёк», а так же ключи от квартиры. Вынимая ключи, Саша случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Мишка».

Б(2.4)4.3.(322501) В кармане у Димы бы­ло четыре конфеты — «Коровка», «Крас­ная шапочка», «Василёк» и «Ласточка», а так же ключи от квартиры. Вынимая ключи, Дима случайно выронил из кар­мана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Красная шапочка».

***

Б(2.4)5.1.(прототип 320169) Вася, Петя, Коля и Лёша бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Петя.

Б(2.4)5.2.(320331) Маша, Тимур, Диана, Костя и Антон бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет не Ан­тон.

Б(2.4)5.3.(320343) Сева, Слава, Аня, Ан­дрей, Миша, Игорь, Надя и Карина бро­сили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет мальчик.

***

Б(2.4)6.1. (прототип 282855) В чемпио­нате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая. Порядок, в кото­ром выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, ока­жется из Китая.

Б(2.4)6.2. (283479) В чемпионате по гим­настике участвуют 50 спортсменок: 24 из США, 13 из Мексики, остальные — из Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортс­менка, выступающая первой, окажется из Канады.

Б(2.4)6.3. (283485) В чемпионате по гим­настике участвуют 80 спортсменок: 23 из Аргентины, 29 из Бразилии, остальные — из Парагвая. Порядок, в котором высту­пают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортс­менка, выступающая первой, окажется из Парагвая.

***

Б(2.4)7.1. (прототип 282858) В соревно­ваниях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 — из Норвегии. Порядок, в котором вы­ступают спортсмены, определяется жре­бием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает послед­ним, окажется из Швеции.

Б(2.4)7.2. (283727) В соревнованиях по толканию ядра участвуют 3 спортсмена из Македонии, 8 спортсменов из Сербии, 3 спортсмена из Хорватии и 6 — из Сло­вении. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортс­мен, который выступает последним, ока­жется из Сербии.

Б(2.4)7.3. (283735) В соревнованиях по толканию ядра участвуют 3 спортсмена из Чехии, 4 спортсмена из Словакии, 4 спортсмена из Австрии и 9 — из Швей­царии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортс­мен, который выступает последним, ока­жется из Австрии.

***

Б(2.4)8.1. (прототип 285924) На семинар приехали 3 ученых из Норвегии, 3 из России и 4 из Испании. Порядок докла­дов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России.

Б(2.4)8.2. (286123) На семинар приехали 4 ученых из Норвегии, 6 из России и 6 из Великобритании. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите ве­роятность того, что вторым окажется до­клад ученого из Норвегии.

Б(2.4)8.3. (286127) На семинар приехали 5 ученых из Австрии, 4 из Германии и 6 из Сербии. Порядок докладов определя­ется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что десятым окажется доклад уче­ного из Сербии.

***

Б(2.4)9.1. (прототип 285928) На чемпио­нате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них 8 прыгунов из России и 9 прыгунов из Парагвая. Поря­док выступлений определяется жеребьёв­кой. Найдите вероятность того, что ше­стым будет выступать прыгун из Параг­вая.

Б(2.4)9.2. (286383) На чемпионате по прыжкам в воду выступают 40 спортсме­нов, среди них 6 прыгунов из Голландии и 2 прыгуна из Аргентины. Порядок вы­ступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что четырна­дцатым будет выступать прыгун из Ар­гентины.

Б(2.4)9.3. (286387) На чемпионате по прыжкам в воду выступают 50 спортсме­нов, среди них 5 прыгунов из Италии и 2 прыгуна из Парагвая. Порядок выступле­ний определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что двадцать девятым будет выступать прыгун из Парагвая.

***

Б(2.4)10.1. (прототип 285925) Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на иг­ровые пары случайным образом с помо­щью жребия. Всего в чемпионате участ­вует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?

Б(2.4)10.2. (286211) Перед началом пер­вого тура чемпионата по теннису участ­ников разбивают на игровые пары слу­чайным образом с помощью жребия. Все­го в чемпионате участвует 46 тенниси­стов, среди которых 19 участников из России, в том числе Ярослав Исаков. Найдите вероятность того, что в первом туре Ярослав Исаков будет играть с ка­ким-либо теннисистом из России?

Б(2.4)10.3. (286217) Перед началом пер­вого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 16 бадмин­тонистов, среди которых 13 участников из России, в том числе Сергей Хвостиков. Найдите вероятность того, что в первом туре Сергей Хвостиков будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?

***

Б(2.4)11.1. (282856) В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в прода­жу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Б(2.4)11.2. (283581) В среднем из 500 са­довых насосов, поступивших в продажу, 4 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для кон­троля насос не подтекает.

Б(2.4)11.3. (283597) В среднем из 600 са­довых насосов, поступивших в продажу, 3 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для кон­троля насос не подтекает.

***

Б(2.4)12.1. (прототип 282857) Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 каче­ственных сумок приходится восемь су­мок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округ­лите до сотых.

Б(2.4)12.2. (283629) Фабрика выпускает сумки. В среднем на 50 качественных су­мок приходится пять сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется каче­ственной. Результат округлите до сотых.

Б(2.4)12.3. (283633) Фабрика выпускает сумки. В среднем на 120 качественных сумок приходится девять сумок со скры­тыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется каче­ственной. Результат округлите до сотых.

***

Б(2.4)13.1.(прототип 320186) На рок — фестивале выступают группы — по од­ной от каждой из заявленных стран. По­рядок выступления определяется жреби­ем. Какова вероятность того, что группа из Дании будет выступать после группы из Швеции и после группы из Норвегии? Результат округлите до сотых.

Б(2.4)13.2.(321071) На рок-фестивале вы­ступают группы — по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступле­ния определяется жребием. Какова веро­ятность того, что группа из Франции бу­дет выступать после группы из Швеции и после группы из России? Результат округлите до сотых.

Б(2.4)13.3.(321159) На рок-фестивале вы­ступают группы — по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступле­ния определяется жребием. Какова веро­ятность того, что группа из США будет выступать после группы из Франции и после группы из Англии? Результат округлите до сотых.

***

Б(2.4)14.1.(прототип 320178) На клавиа­туре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет чётной?

Б(2.4)14.2.(320843) На клавиатуре теле­фона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероят­ность того, что случайно нажатая цифра будет меньше 4?

Б(2.4)14.3.(320853) На клавиатуре теле­фона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероят­ность того, что случайно нажатая цифра будет чётной и больше 3?

***

Б(2.4)15.1.(прототип 320179) Какова ве­роятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на три?

Б(2.4)15.2.(320855) Какова вероятность того, что случайно выбранное натураль­ное число от 58 до 82 делится на 6?

Б(2.4)15.3.(320947) Какова вероятность того, что случайно выбранное натураль­ное число от 30 до 41 делится на 5?

***

Б(2.4)16.1.(прототип 320190) На борту самолёта 12 мест рядом с запасными вы­ходами и 18 мест за перегородками, раз­деляющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест.

Б(2.4)16.2.(321277) На борту самолёта 28 мест рядом с запасными выходами и 16 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир Л. высокого роста. Найдите вероятность то­го, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру Л. достанется удобное место, если всего в самолёте 400 мест.

Б(2.4)16.3.(321299) На борту самолёта 23 места рядом с запасными выходами и 28 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир A. высокого роста. Найдите вероятность то­го, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру A. достанется удобное место, если всего в самолёте 100 мест.

***

Б(2.4)17.1.(прототип 320191) На олим­пиаде в вузе участников рассаживают по трём аудиториям. В первых двух по 120 человек, оставшихся проводят в запас­ную аудиторию в другом корпусе. При подсчёте выяснилось, что всего было 250 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.

Б(2.4)17.2.(321307) На олимпиаде по ис­тории участников рассаживают по трём аудиториям. В первых двух по 140 чело­век, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе. При под­счёте выяснилось, что всего было 400 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.

Б(2.4)17.3.(321381) На олимпиаде по рус­скому языку участников рассаживают по трём аудиториям. В первых двух по 180 человек, оставшихся проводят в запас­ную аудиторию в другом корпусе. При подсчёте выяснилось, что всего было 450 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.

***

Б(2.4)18.1.(прототип 320193) В фирме такси в наличии 50 легковых автомоби­лей; 27 из них чёрные с жёлтыми надпи­сями на бортах, остальные — жёлтые с чёрными надписями. Найдите вероят­ность того, что на случайный вызов при­едет машина жёлтого цвета с чёрными надписями.

***

Б(2.4)19.1.(прототип 320194) В группе туристов 30 человек. Их вертолётом в не­сколько приёмов забрасывают в трудно­доступный район по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист П. полетит первым рей­сом вертолёта.

Б(2.4)19.2.(321501) В группе туристов 20 человек. Их вертолётом в несколько при­ёмов забрасывают в труднодоступный район по 5 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист Ф. полетит вторым рейсом верто­лёта.

Б(2.4)19.3.(321587) В группе туристов 32 человека. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 4 человека за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист У. полетит третьим рейсом верто­лёта.

***

Б(2.4)20.1.(прототип 320170) В чемпио­нате мира участвуют 16 команд. С помо­щью жребия их нужно разделить на че­тыре группы по четыре команды в каж­дой. В ящике вперемешку лежат карточ­ки с номерами групп:

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.

Капитаны команд тянут по одной карточ­ке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе?

Б(2.4)20.2.(320345) В чемпионате мира участвуют 20 команд. С помощью жре­бия их нужно разделить на пять групп по четыре команды в каждой. В ящике впе­ремешку лежат карточки с номерами групп:

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5.

Капитаны команд тянут по одной карточ­ке. Какова вероятность того, что команда Китая окажется в четвёртой группе?

Б(2.4)20.3. (320363) В чемпионате мира участвуют 10 команд. С помощью жре­бия их нужно разделить на пять групп по две команды в каждой. В ящике впере­мешку лежат карточки с номерами групп: 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5.

Капитаны команд тянут по одной карточ­ке. Какова вероятность того, что команда Канады окажется в пятой группе?

***

Б(2.4)21.1. (прототип 285922) Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов — первые три дня по 17 докладов, остальные рас­пределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов опреде­ляется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется за­планированным на последний день кон­ференции?

Б(2.4)21.2. (285929) Научная конферен­ция проводится в 3 дня. Всего запланиро­вано 40 докладов — в первый день 16 докладов, остальные распределены поровну между вторым и третьим днями. Порядок докладов определяется жеребь­ёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланирован­ным на последний день конференции?

Б(2.4)21.3. (285945) Научная конферен­ция проводится в 4 дня. Всего запланиро­вано 60 докладов — первые два дня по 18 докладов, остальные распределены поровну между третьим и четвертым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется заплани­рованным на последний день конферен­ции?

***

Б(2.4)22.1. (прототип 285923) Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. По­рядок выступлений определяется жеребь­ёвкой. Какова вероятность, что выступ­ление представителя России состоится в третий день конкурса?

Б(2.4)22.2. (286033) Конкурс исполните­лей проводится в 3 дня. Всего заявлено 50 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 34 выступления, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступле­ний определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представи­теля России состоится в третий день кон­курса?

Б(2.4)22.3. (286049) Конкурс исполните­лей проводится в 3 дня. Всего заявлено 40 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 10 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступле­ний определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представи­теля России состоится в третий день кон­курса?

***

Б(2.4)23.1.(прототип 320185) В случай­ном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что наступит исход ОР (в первый раз выпадает орёл, во второй — решка).

Б(2.4)23.2.(321057) В случайном экспе­рименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что наступит исход ООР (в первый и второй разы выпадает орёл, в третий — решка).

Б(2.4)23.3.(321059) В случайном экспе­рименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что наступит исход ООО (все три раза выпа­дает орёл).

***

Б(2.4)24.1.(прототип 282854) В случай­ном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

Б(2.4)24.2. (283467) В случайном экспе­рименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.

Б(2.4)24.3. (283477) В случайном экспе­рименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет все три раза.

***

Б(2.4)25.1.(прототип 282853) В случай­ном эксперименте бросают две играль­ные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

Б(2.4)25.2.(283451) В случайном экспе­рименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 6 очков. Результат округлите до сотых.

Б(2.4)25.3.(283445) В случайном экспе­рименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.

***

Б(2.4)26.1.(прототип 320200) На фабрике керамической посуды 10% произведён­ных тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% де­фектных тарелок. Остальные тарелки по­ступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покуп­ке тарелка не имеет дефектов. Результат округлите до сотых.

***

Б(2.4)27.1.(прототип 320192) В классе 26 человек, среди них два близнеца — Ан­дрей и Сергей. Класс случайным образом делят на две группы по 13 человек в каж­дой. Найдите вероятность того, что Ан­дрей и Сергей окажутся в одной группе.

Б(2.4)27.2.(321401) В классе 33 учащих­ся, среди них два друга — Андрей и Ми­хаил. Класс случайным образом разби­вают на 3 равные группы. Найдите веро­ятность того, что Андрей и Михаил ока­жутся в одной группе.

Б(2.4)27.3.(321495) В классе 16 учащих­ся, среди них два друга — Олег и Вадим. Класс случайным образом разбивают на 4 равные группы. Найдите вероятность то­го, что Олег и Вадим окажутся в одной группе.

***

Т(2.4)1.1. Родительский комитет закупил 40 пазлов для подарков детям на оконча­ние учебного года, из них 14 с видами природы и 26 с историческими досто­примечательностями. Подарки распреде­ляются случайным образом. Найдите ве­роятность того, что Пете достанется пазл с видом природы.

Т(2.4)1.2. Родительский комитет закупил 30 пазлов для подарков детям на оконча­ние учебного года, из них 12 с картинка­ми известных художников и 18 с изобра­жениями животных. Подарки распреде­ляются случайным образом. Найдите ве­роятность того, что Вове достанется пазл с животным.

Т(2.4)1.3. Родительский комитет закупил 30 пазлов для подарков детям на оконча­ние учебного года, из них 15 с персона­жами мультфильмов и 15 с видами при­роды. Подарки распределяются случай­ным образом. Найдите вероятность того, что Маше достанется пазл с персонажем мультфильмов.

***

Т(2.4)2.1. На тарелке 15 пирожков: 6 с яблоками, 4 с капустой и 5 с печенью. Варя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он ока­жется с яблоками.

Т(2.4)2.2. На тарелке 16 пирожков: 7 с рыбой, 5 с вареньем и 4 с вишней. Юля наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с виш­ней.

Т(2.4)2.3. На тарелке 15 пирожков: 4 с мясом, 9 с капустой и 2 с вишней. Катя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с ка­пустой.

***

Т(2.4)3.1. Маша включает телевизор. Те­левизор включается на случайном канале. В это время по девяти каналам из сорока пяти показывают новости. Найдите веро­ятность того, что Маша попадет на канал, где новости не идут.

Т(2.4)3.2. Люба включает телевизор. Те­левизор включается на случайном канале. В это время по четырем каналам из шест­надцати показывают музыкальные кли­пы. Найдите вероятность того, что Люба попадет на канал, где клипы не идут.

Т(2.4)3.3. Вика включает телевизор. Те­левизор включается на случайном канале. В это время по четырнадцати каналам из тридцати пяти показывают рекламу. Найдите вероятность того, что Вика по­падет на канал, где реклама не идет.

***

Т(2.4)4.1. Игорь с папой решили пока­таться на колесе обозрения. Всего на ко­лесе 40 кабинок, из них 21 — серые, 13 — зеленые, остальные — красные. Кабинки по очереди подходят к платформе для посадки. Найдите вероятность того, что Игорь прокатится в красной кабинке.

Т(2.4)4.2. Кирилл с папой решили пока­таться на колесе обозрения. Всего на ко­лесе 30 кабинок, из них 8 — фиолетовые, 4 — зеленые, остальные — оранжевые. Ка­бинки по очереди подходят к платформе для посадки. Найдите вероятность того, что Кирилл прокатится в оранжевой ка­бинке.

Т(2.4)4.3. Аня с папой решили покататься на колесе обозрения. Всего на колесе 22 кабинок, из них 5 — желтые, 6 — белые, остальные — красные. Кабинки по очере­ди подходят к платформе для посадки. Найдите вероятность того, что Аня про­катится в красной кабинке.

***

Т(2.4)5.1. В фирме такси в данный мо­мент свободно 20 машин: 3 белых, 11 си­них и 6 серых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет белое такси.

Т(2.4)5.2. В фирме такси в данный мо­мент свободно 35 машин: 11 красных, 17 фиолетовых и 7 зеленых. По вызову вы­ехала одна из машин, случайно оказав­шаяся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет зеле­ное такси.

Т(2.4)5.3. В фирме такси в данный мо­мент свободно 15 машин: 2 красных, 9 желтых и 4 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчице. Найдите веро­ятность того, что к ней приедет желтое такси.

***

Т(2.4)6.1. На экзамене 40 билетов, Коля не выучил 4 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный би­лет.

Т(2.4)6.2. На экзамене 45 билетов, Федя не выучил 9 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный би­лет.

Т(2.4)6.3. На экзамене 60 билетов, Ан­дрей не выучил 3 из них. Найдите веро­ятность того, что ему попадется выучен­ный билет.

***

Т(2.4)7.1. В каждой двадцать пятой банке кофе согласно условиям акции есть приз. Призы распределены по банкам случай­но. Коля покупает банку кофе в надежде выиграть приз. Найдите вероятность то­го, что Коля не найдет приз в своей бан­ке.

Т(2.4)7.2. В каждой пятой банке кофе со­гласно условиям акции есть приз. Призы распределены по банкам случайно. Галя покупает банку кофе в надежде выиграть приз. Найдите вероятность того, что Галя не найдет приз в своей банке.

Т(2.4)7.3. В каждой сороковой банке ко­фе согласно условиям акции есть приз. Призы распределены по банкам случай­но. Петя покупает банку кофе в надежде выиграть приз. Найдите вероятность то­го, что Петя не найдет приз в своей бан­ке.

***

Т(2.4)8.1. Перед началом матча по фут­болу судья бросает монету, чтобы опре­делить, какая из команд будет первая владеть мячом. Команда «Белые» по оче­реди играет с командами «Красные», «Синие» и «Зеленые». Найдите вероят­ность того, что ровно в одном матче пра­во владеть первой мячом получит коман­да «Белые».

Т(2.4)8.2. Перед началом матча по фут­болу судья бросает монету, чтобы опре­делить, какая из команд будет первая владеть мячом. Команда «Белые» по оче­реди играет с командами «Красные», «Синие» и «Зеленые». Найдите вероят­ность того, что ровно в двух матчах из трех право владеть первой мячом полу­чит команда «Белые».

Т(2.4)8.3. Перед началом футбольного матча судья бросает монету, чтобы опре­делить, какая из команд будет первая владеть мячом. Команда «Витязь» по очереди играет с командами «Атлант» и «Титан». Найдите вероятность того, что команда «Витязь» не выиграет право первой владеть мячом ни в одном матче.

Т(2.4)8.4. Перед началом волейбольного матча судья бросает монету, чтобы опре­делить, какая из команд будет первая владеть мячом. Команда «Байкал» по очереди играет с командами «Амур», «Енисей», «Вилюй» и «Иртыш». Найдите вероятность того, что ровно в двух мат­чах право первой владеть мячом получит команда «Байкал».

***

Т(2.4)9.1. Валя выбирает случайное трех­значное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 51.

Т(2.4)9.2. Найдите вероятность того, что в написании наудачу взятого двузначного числа встречается цифра 5.

Т(2.4)9.3. Андрей наугад называет нату­ральное число, не превышающее 200. Ка­кова вероятность того, оно делится на 3, но не делится на 2.

***

Т(2.4)10.1. Катя дважды бросает играль­ный кубик. В сумме у нее выпало 6 оч­ков. Найдите вероятность того, что при одном из бросков выпало 5 очков.

Т(2.4)10.2. Даша дважды бросает играль­ный кубик. В сумме у нее выпало 8 оч­ков. Найдите вероятность того, что при одном из бросков выпало 2 очка.

Т(2.4)10.3. Галя дважды бросила играль­ный кубик. Известно, что в сумме у нее выпало 9 очков. Найдите вероятность то­го, что при втором броске выпало 6 оч­ков.

Т(2.4)10.4. Найдите вероятность того, что при бросании двух кубиков на каждом выпадет менее 4 очков.

Т(2.4)10.5. При двукратном бросании иг­рального кубика в сумме выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что в первый раз выпало меньше 3 очков.

***

Т(2.4)11.1. Марина и Дина бросают кубик по одному разу. Выигрывает та девочка, у которой выпадет больше очков. Пер­вой кубик бросила Марина, у нее выпало 3 очка. Найдите вероятность того, что Дина выиграет.

T(2.4)11.2. Двое играют в кости — они по разу бросают игральный кубик. Выигры­вает тот, у кого больше очков. Если вы­падает поровну, то наступает ничья. Пер­вый бросил кубик, и у него выпало 4 оч­ка. Найдите вероятность того, что он вы­играет.

Т(2.4)11.3. Лена и Саша играют в кости. Они бросают кость по одному разу. Вы­игрывает тот, кто выбросил больше оч­ков. Если очков выпало поровну, то наступает ничья. Известно, что в сумме выпало 8 очков. Найдите вероятность то­го, что Лена проиграла.

***

Т(2.4)12.1. В кармане у Пети было 4 мо­неты по рублю и 2 монеты по 2 рубля. Петя, не глядя, переложил какие-то три монеты в другой карман. Найдите веро­ятность того, что обе двухрублевые мо­неты лежат водном кармане.

Т(2.4)12.2. В кармане у Пети было 2 мо­неты по 5 рублей и 4 монеты по 10 руб­лей. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите веро­ятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.

2.5. Комбинаторные методы
решения вероятностных задач

Умение находить число перестановок, размещений, сочетаний по формулам позволяет также решать задачи на вычис­ление вероятности.

Пример 12. В классе 7 мальчиков и 14 девочек. 1 сентября случайным образом определяют двух дежурных на 2 сентяб­ря, которые должны приготовить класс к занятиям. Найдите вероятность того, что будут дежурить два мальчика.

Решение. Обозначим через А событие «будут дежурить два мальчика». Общее число исходов (число сочетаний из 21 по

2) N = C221= = 210 . Число благопри­ятных исходов (число сочетаний из 7 по 2) M = C72 = ^ = 21. Согласно опреде­лению вероятности имеем 21

P (A) =—— = 0,1.

210

Ответ: 0,1.

***

Т(2.5)1.1. В кармане у Пети было 2 моне­ты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 мо­неты в другой карман. Найдите вероят­ность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.

Т(2.5)1.2. В кармане у Пети было 4 моне­ты по рублю и 2 монеты по 2 рубля. Петя, не глядя, переложил какие-то три монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что обе двухрублевые монеты лежат водном кармане.

Т(2.5)1.3. Маша загадала натуральное число, меньшее 1000 и делящееся на 39. Петя угадывает это число, называя на своё усмотрение 3 любых числа. Какова вероятность, что загаданное число будет среди чисел, названных Петей?

***

Б(2.5)1.1.(прототип 320181) В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село за продуктами. Ту­рист А. хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова вероят­ность того, что А. пойдёт в магазин?

Б(2.5)1.2. (321005) В группе туристов 6 человек. С помощью жребия они выби­рают трёх человек, которые должны идти в село за продуктами. Турист К. хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что К. пойдёт в магазин?

Б(2.5)1.3.(321009) В группе туристов 10 человек. С помощью жребия они выби­рают четырёх человек, которые должны идти в село за продуктами. Турист В. хо­тел бы сходить в магазин, но он подчиня­ется жребию. Какова вероятность того, что В. пойдёт в магазин?

***

Б(2.5)2.1.(прототип 320192) В классе 26 человек, среди них два близнеца — Ан­дрей и Сергей. Класс случайным образом делят на две группы по 13 человек в каж­дой. Найдите вероятность того, что Ан­дрей и Сергей окажутся в одной группе.

Б(2.5)2.2.(321401) В классе 33 учащихся, среди них два друга — Андрей и Михаил. Класс случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность то­го, что Андрей и Михаил окажутся в од­ной группе.

Б(2.5)2.3.(321495) В классе 16 учащихся, среди них два друга — Олег и Вадим. Класс случайным образом разбивают на 4 равные группы. Найдите вероятность то­го, что Олег и Вадим окажутся в одной группе.

2.6. Геометрическая вероятность

Если число исходов некоторого опыта бесконечно, то классическое определение вероятности не может служить характе­ристикой степени возможности наступ­ления того или иного события. В этом случае пользуются геометрическим под­ходом к определению вероятности. При этом вероятность события А есть отно­шение меры А (длины, площади, объема и т. д.) к мере UПространства элементар­ных событий.

Пример 13. В круг радиуса RНаудачу брошена точка. Найдите вероятность то­го, что эта точка окажется внутри данно­го вписанного правильного треугольника.

Решение. Искомая вероятность равна отношению площади треугольника к площади круга:

(R:nR2 = ‘У3 ≈0,4137.

Ответ: ≈ 0,4137.

***

Т(2.6)1.1. Точка брошена в круг радиуса R. Найдите вероятность того, что она по­падает внутрь данного вписанного квад­рата.

Т(2.6)1.2. После бури на участке между 40-м и 70-м километрами телефонной ли­нии произошел обрыв провода. Какова вероятность того, что разрыв произошел между 50-м и 55-м километрами линии?

Т(2.6)1.3. На окружности радиуса R Наудачу выбраны две точки. Какова ве­роятность того, что расстояние между ними меньше R.

***

Б(2.6)1.1. (прототип 320209) Механиче­ские часы с двенадцатичасовым цифер­блатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, до­стигнув отметки 10, но не дойдя до от­метки 1 час.

Б(2.6)1.2. (322523) Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в ка­кой-то момент сломались и перестали хо­дить. Найдите вероятность того, что ча­совая стрелка застыла, достигнув отметки 9, но не дойдя до отметки 3 часа.

Б(2.6)1.3. (322525) Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в ка­кой-то момент сломались и перестали хо­дить. Найдите вероятность того, что ча­совая стрелка застыла, достигнув отметки 5, но не дойдя до отметки 11 часов.

2.7. Операции над событиями

Действия над случайными событиями определяют по аналогии с действиями в теории множеств.

Определение. Суммой (объединени­ем) событий AИ BНазывают событие (обозначение A + BИли A u B), состоя­щее в появлении либо только события A, либо только события B, либо и события A И события BОдновременно.

Фразу «наступит или событие А или событие В или оба события А и В» обыч­но заменяют фразой «наступит хотя бы (по крайней мере) одно из данных собы­тий».

Пример 14. Если событие А — попада­ние в цель при первом выстреле, событие В — попадание в цель при втором выстре­ле, то событие С = A + BЕсть попадание в цель вообще (или только при первом выстреле, или только при втором выстре­ле, или при 1-м и при 2-м выстрелах).

Определение. Событием, Противопо­ложным событию А, называют событие (обозначение А ), которому благоприят­ствуют все элементарные события, не благоприятствующие событию А.

Выпадение герба и выпадение решки при одном бросании монеты, попадание и промах при одном выстреле — события противоположные.

Определение. Произведением (пересе­чением) двух событий AИ BНазывает­ся событие (обозначение ABИли A n B), состоящее в совместном выпол­нении события AИ события B.

Пример 15. Если событие А — попада­ние в цель при первом выстреле, событие В — попадание в цель при втором выстре­ле, то событие С = ABЕсть попадание при обоих выстрелах (и при первом вы­стреле и при втором выстрелах).

***

Т(2.7)1.1. Монету бросают дважды. Представьте в виде суммы или произве­дения двух событий событие:

А) хотя бы один раз выпала решка;

Б) оба раза выпала одна и та же сторо­на монеты.

Т(2.7)1.2. Опишите события, противо­положные следующим:

А) А — хотя бы одно из имеющихся че­тырех изделий бракованное;

Б) В — из четырех изделий не менее двух бракованных;

В) С — три дня подряд шел дождь;

Г) D— среди пяти учащихся нет ни од­ного мальчика;

Д) E— из трех облигаций хотя бы одна выигрывает;

Е) F— среди четырех карт все карты разной масти.

Т(2.7)1.3. Два ученика независимо друг от друга решают одну задачу. Пусть событие A1- первый ученик решит зада­чу; событие A2- второй ученик решит задачу. Запишите события, состоящие в том, что:

А) оба ученика решат задачу;

Б) хотя бы один из учеников решит за­дачу;

В) оба ученика не решат задачу;

Г) только первый ученик решит задачу;

Д) только один ученик решит задачу.

T(2.7)1.4. Пусть событие А — выигрыш по билету одной лотереи, событие В — Выигрыш по билету другой лотереи. Что означают события:

А) C = AB + AB;

Б) D = AB + AB + AB?

2.8. Несовместные события.

Формула сложения вероятностей

Рассмотрим теоремы, при помощи ко­торых по вероятностям одних случайных событий вычисляют вероятности других случайных событий.

Определение. События называют Несовместными, если они не могут про­исходить одновременно в одном и том же испытании.

Например, выигрыш, ничейный исход и проигрыш одного игрока в одной пар­тии в шахматы — три несовместных собы­тия.

Теорема. Вероятность суммы двух Несовместных событий А и В (появления хотя бы одного события) равна сумме ве­роятностей этих событий:

P (A + B) = P ( A ) + P ( B).

Теорема обобщается на любое число попарно несовместных событий.

Следствие. Сумма вероятНОстей про­тивоположных событий А и AРавна 1:

P (A) + P (A ) = 1.

Пример 16. Зачет по стрельбе курсант сдаст, если получит оценку не ниже 4. Какова вероятность сдачи зачета, если известно, что курсант получает за стрельбу оценку 5 с вероятностью 0,3 и оценку 4 с вероятностью 0,6?

Решение. Данный опыт состоит в том, что проведены стрельбы и по ним кур­сант получил оценку. В этом опыте обо­значим через А событие «по стрельбе курсант получил оценку 5» и через В со­бытие «по стрельбе курсант получил оценку 4». Эти события несовместны. Событие С «зачет сдан» является их сум­мой C= A+ B. Из условия задачи следу­ет, что вероятности P(A) = 0,3 и P(B) = 0,6 . По формуле сложения веро­ятностей несовместных событий имеем:

Р(C) = P (A + B) = P (A) + P (B) = =0,3+0,6=0,9.

Ответ: 0,9.

Пример 17. Наудачу берется трех­значное число. Какова вероятность того, что хотя бы две его цифры совпадают?

Решение. Данный опыт состоит в том, что наудачу берется натуральное число из чисел от 100 до 999 и смотрят, есть ли в нем одинаковые цифры. Очевидно, что исходы «взяли наудачу трехзначное чис­ло» равновероятны, число этих исходов N= 900 . Введем событие А «у выбранно­го числа совпадают хотя бы две цифры». Проще подсчитать вероятность противо­положного события A«у выбранного числа все цифры различны». Количество благоприятных событий равно M = 9 • 9 • 8 .

Тогда P (A) = 9 9 8 = 0,72 и

900

P (A) = 1 — 0,72 = 0,28.

Ответ: 0,28.

***

Б(2.8)1.1.(прототип 320171) На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных во­просов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Во­просов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероят­ность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Б(2.8)1.2.(320415) На экзамене по гео­метрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Внешние углы», равна 0,35. Вероят­ность того, что это вопрос на тему «Три­гонометрия», равна 0,25. Вопросов, кото­рые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Б(2.8)1.3.(320427) На экзамене по гео­метрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Тригонометрия», равна 0,1. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,3. Вопросов, кото­рые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

***

Б(2.8)2.1.(прототип 320176) Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Ве­роятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероят­ность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Б(2.8)2.2.(320641) Вероятность того, что новый тостер прослужит больше года, равна 0,94. Вероятность того, что он про­служит больше двух лет, равна 0,8. Найдите вероятность того, что он про­служит меньше двух лет, но больше года. Б(2.8)2.3.(320727) Вероятность того, что новый персональный компьютер прослу­жит больше года, равна 0,93. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,83. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но боль­ше года.

***

Б(2.8)3.1.(прототип 320198) Вероятность того, что на тесте по биологии учащийся О. верно решит больше 11 задач, равна 0,67. Вероятность того, что О. верно ре­шит больше 10 задач, равна 0,74. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно 11 задач.

Б(2.8)3.2.(321791) Вероятность того, что на тесте по истории учащийся Т. верно решит больше 8 задач, равна 0,76. Веро­ятность того, что Т. верно решит больше 7 задач, равна 0,88. Найдите вероятность того, что Т. верно решит ровно 8 задач.

Б(2.8)3.3.(321883) Вероятность того, что на тесте по физике учащийся Т. верно решит больше 9 задач, равна 0,66. Веро­ятность того, что Т. верно решит больше 8 задач, равна 0,75. Найдите вероятность того, что Т. верно решит ровно 9 задач.

***

Б(2.8)4.1.(прототип 320203) Из районно­го центра в деревню ежедневно ходит ав­тобус. Вероятность того, что в понедель­ник в автобусе окажется меньше 20 пас­сажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19.

Б(2.8)4.2.(322099) Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Веро­ятность того, что в понедельник в авто­бусе окажется меньше 21 пассажира, равна 0,93. Вероятность того, что окажет­ся меньше 12 пассажиров, равна 0,49. Найдите вероятность того, что число пас­сажиров будет от 12 до 20.

Б(2.8)4.3.(322199) Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Веро­ятность того, что в понедельник в авто­бусе окажется меньше 16 пассажиров, равна 0,96. Вероятность того, что окажет­ся меньше 10 пассажиров, равна 0,55. Найдите вероятность того, что число пас­сажиров будет от 10 до 15.

***

Б(2.8)5.1.(прототип 320196) При изго­товлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет от­личаться от заданного меньше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероят­ность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм.

Б(2.8)5.2.(321691) При изготовлении подшипников диаметром 68 мм вероят­ность того, что диаметр будет отличаться от заданного меньше чем на 0,01 мм, равна 0,968. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 67,99 мм или боль­ше чем 68,01 мм.

Б(2.8)5.3.(321789) При изготовлении подшипников диаметром 61 мм вероят­ность того, что диаметр будет отличаться от заданного меньше чем на 0,01 мм, равна 0,976. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 60,99 мм или боль­ше чем 61,01 мм.

2.9. Совместные события.

Формула сложения вероятностей

Рассмотрим формулу для вероятности суммы двух событий в общем случае (не обязательно несовместных).

Определение. События называют Совместными, если они могут происхо­дить одновременно. Например, при бро­сании двух монет выпадение решки на одной не исключает появления решки на другой монете.

Теорема. Вероятность суммы двух Совместных событий А и В (появления хотя бы одного события) равна сумме их вероятностей без вероятности их сов­местного появления, то есть

Р(A + B) = P(A) + P(B) — P(AB).

Частным случаем приведенной фор­мулы является формула сложения веро­ятностей для несовместных событий, так как их совместное наступление есть не­возможное событие и P(AB) = 0 .

Для случая трех совместных событий формула имеет вид:

Р(A + B + C) = P (A) + P (B) + P (C) —

—P(AB) —P(AC) —P(BC) +P(ABC).

Пример 18. Прибор, состоящий из двух блоков, выходит из строя, если вы­ходят из строя оба блока. Вероятность безотказной работы за определенный промежуток времени первого блока со­ставляет 0,9, второго — 0,8, обоих блоков — 0,75. Найти вероятность безотказной работы прибора в течение указанного промежутка.

Решение. Обозначим через А событие «первый блок работает безотказно в те­чение определенного промежутка време­ни», через В событие «второй блок рабо­тает безотказно в течение определенного промежутка времени», через АВ событие «оба блока работают безотказно в тече­ние определенного промежутка време­ни». Событие С «прибор работает безот­казно в течение определенного проме­жутка времени» является суммой собы­тий А и В: C= A+ B. Из условия задачи известны вероятности P(A) = 0,9,

P(B) = 0,9 и P(AB) = 0,75 . По формуле сложения вероятностей имеем:

Р(C) = P (A + B) =

=P(A)+P(B)-P(AB)=
=0,9+0,8-0,75=0,95.

Ответ: 0,95.

Рассмотрим обратную задачу.

Пример 19. Школьнику надо сдать за­чет по математике. В каждом билете — по два вопроса. Всего 25 билетов. Из них 5 билетов школьник вообще не учил. В каждом из оставшихся 20 билетов он хо­тя бы один вопрос выучил, причем в 18 билетах школьник выучил первый вопрос и в 15 билетах — второй вопрос. Школь­ник может получить удовлетворительную оценку, если вытащит такой билет, оба вопроса которого он знает. Какова веро­ятность того, что школьник сдаст зачет, если он первый тянет билет?

Решение. Обозначим через А событие «школьнику достанется билет, первый вопрос которого он знает», через В собы­тие «школьнику достанется билет, второй вопрос которого он знает», тогда событие A+ BОзначает, что «школьник знает хотя бы один вопрос из 20».

Надо определить P(AB) , где событие ABОзначает, что «школьник ответит на 2 вопроса билета». Событию ABБлаго­приятствуют 20 вопросов из 25, поэтому P (A + B) = 20.

25

Так как из условия задачи имеем вероят — 18 15

Ности P (A) = — и P (B) = —, то из формулы сложения вероятностей получа­ем:

Р(AB ) = P (A ) + P (B) — P (A + B) =

18 15 20 13

= +——— = = 0,52.

25 25 25 25

Ответ: 0,52.

***

Б(2.9)1.1.(прототип 320172) В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите ве­роятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Б(2.9)1.2.(320431) В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Ве­роятность того, что к концу дня в автома­те закончится кофе, равна 0,35. Вероят­ность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,2. Найдите вероят­ность того, что к концу дня кофе останет­ся в обоих автоматах.

Б(2.9)1.3.(320469) В торговом центре два одинаковых автомата продают жвачку. Вероятность того, что к концу дня в ав­томате закончится жвачка, равна 0,25. Вероятность того, что жвачка закончится в обоих автоматах, равна 0,2. Найдите вероятность того, что к концу дня жвачка останется в обоих автоматах.

2.10. Независимые события.

Формула умножения вероятностей

Часто возникает вопрос о том, как влияет на возможность осуществления некоторого события В наступление неко­торого другого события А.

Определение. Два случайных события называют Независимыми, если наступле­ние одного из них не изменяет вероят­ность наступления другого. В противном случае события называют Зависимыми.

Теорема. Вероятность произведения (совместного появления)двух Независи­мых событий равна произведению веро­ятностей этих событий:

P (AB) = P ( A )∙ P ( B ).

Теорема обобщается на любое число попарно независимых событий.

Следствие. Вероятность появления хотя бы одного события из NПопарно не­зависимых событий равна разности меж­ду 1 и произведением вероятностей со­бытий, противоположных данным, то есть

Р(A) = 1 — P (A) ∙ P (A2) ∙… ∙ P (^An).

Пример 20. Вероятность того, что по­требитель увидит рекламу определенного продукта по телевидению, равна 0,04. Вероятность того, что потребитель уви­дит рекламу того же продукта на реклам­ном стенде, равна 0,06. Чему равна веро­ятность того, что:

А) потребитель увидит обе рекламы;

Б) потребитель увидит хотя бы одну рекламу?

Решение. Обозначим через А событие «потребитель увидит рекламу продукта по телевидению», через В событие «по­требитель увидит рекламу продукта на рекламном стенде». События А и В неза­висимые.

А) Событие С «потребитель увидит обе рекламы» является произведением собы­тий C = A ∙ B . Из условия задачи извест­ны вероятности P(A) = 0,04 и

P(B) = 0,06 . По формуле умножения ве­роятностей независимых событий имеем:

Р(C) = P (AB) = P (A) ∙ P (B) =

=0,04∙0,06=0,0024.

Б) Определим событие D«потребитель увидит хотя бы одну рекламу». Тогда по­лучаем:

Р(D) = 1 — P (A) ∙ P (B) =

=1-(1-0,04)(1-0,06)=
=1-0,96∙0,94=0,0976.

Ответ: а) 0,0024; б) 0,0976.

***

Б(2.10)1.1.(прототип 319553) Если грос­смейстер А. играет белыми, то он выиг­рывает у гроссмейстера Б. с вероятно­стью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две пар­тии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Б(2.10)1.2.(319357) Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у грос­смейстера Б. с вероятностью 0,56. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите ве­роятность того, что А. выиграет оба раза. Б(2.10)1.3.(319555) Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у грос­смейстера Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,34. Гроссмейстеры А. и

Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите ве­роятность того, что А. выиграет оба раза.

***

Б(2.10)2.1.(прототип 320201) В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный мо­мент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).

Б(2.10)2.2.(321993) В магазине три про­давца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,7. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят незави­симо друг от друга).

Б(2.10)2.3.(321995) В магазине три про­давца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,6. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят незави­симо друг от друга).

***

Б(2.10)3.1.(прототип 320173) Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероят­ность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза по­пал в мишени, а последние два промах­нулся. Результат округлите до сотых.

Б(2.10)3.2.(320471) Биатлонист 9 раз стреляет по мишеням. Вероятность попа­дания в мишень при одном выстреле рав­на 0,85. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 4 раза попал в мише­ни, а последние пять промахнулся. Ре­зультат округлите до сотых.

Б(2.10)3.3.(320567) Биатлонист 6 раз стреляет по мишеням. Вероятность попа­дания в мишень при одном выстреле рав­на 0,5. Найдите вероятность того, что би­атлонист первые 2 раза попал в мишени, а последние четыре промахнулся. Резуль­тат округлите до сотых.

***

Б(2.10)4.1.(прототип 320210) Вероят­ность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выби­рает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправ­ными.

Б(2.10)4.2.(322527) Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,04. Поку­патель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе бата­рейки окажутся исправными.

Б(2.10)4.3.(322531) Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,02. Поку­патель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе бата­рейки окажутся исправными.

***

Б(2.10)5.1.(прототип 320205) Перед

Началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Статор» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую и последнюю игры.

Б(2.10)5.2.(322201) Перед началом во­лейбольного матча капитаны команд тя­нут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Стартер» по очереди играет с командами «Протор», «Ротор» и «Мо­тор». Найдите вероятность того, что «Стартер» будет начинать только вторую и последнюю игры.

Б(2.10)5.3.(322295) Перед началом во­лейбольного матча капитаны команд тя­нут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Мотор» по очереди играет с командами «Протор», «Ротор» и «Стар­тер». Найдите вероятность того, что «Мотор» будет начинать все игры.

***

Б(2.10)6.1.(прототип 320202) По отзы­вам покупателей Иван Иванович оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар до­ставят из магазина А, равна 0,8. Вероят­ность того, что этот товар доставят из ма­газина Б, равна 0,9. Иван Иванович зака­зал товар сразу в обоих магазинах. Счи­тая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите веро­ятность того, что ни один магазин не до­ставит товар.

Б(2.10)6.2.(321999) По отзывам покупа­телей Василий Васильевич оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар до­ставят из магазина А, равна 0,93. Вероят­ность того, что этот товар доставят из ма­газина Б, равна 0,94. Василий Васильевич заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите веро­ятность того, что ни один магазин не до­ставит товар.

Б(2.10)6.3.(322097) По отзывам покупа­телей Игорь Игоревич оценил надёж­ность двух интернет-магазинов. Вероят­ность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,82. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,87. Игорь Игоревич заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что ин­тернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.

***

Б(2.10)7.1. (прототип 320175) Помеще­ние освещается фонарём с двумя лампа­ми. Вероятность перегорания одной лам­пы в течение года равна 0,3. Найдите ве­роятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Б(2.10)7.2. (320583) Помещение освеща­ется фонарём с тремя лампами. Вероят­ность перегорания одной лампы в тече­ние года равна 0,21. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Б(2.10)7.3. (320633) Помещение освеща­ется фонарём с двумя лампами. Вероят­ность перегорания одной лампы в тече­ние года равна 0,17. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

***

Б(2.10)8.1. (прототип 320212) На рисун­ке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чи­сто случайный, определите, с какой веро­ятностью паук придёт к выходу D.

В14ХОД 1)

ВЫХОД C

Б(2.10)8.2. (322923) На рисунке изобра­жён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может. На каждом разветв­лении паук выбирает путь, по которому ещё не полз. Считая выбор дальнейшего пути случайным, определите, с какой ве­роятностью паук придёт к выходу D.

ВЫХОД C

Выхзд В

Б(2.10)8.3. (323017) На рисунке изобра­жён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может. На каждом разветв­лении паук выбирает путь, по которому ещё не полз. Считая выбор дальнейшего пути случайным, определите, с какой ве­роятностью паук придёт к выходу D.

Выход В

***

Б(2.10)9.1. (прототип 320187) При ар­тиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторя­ются до тех пор, пока цель не будет уни­чтожена. Вероятность уничтожения неко­торой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?

***

Т(2.10)1.1. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то си­стема делает повторный выстрел. Вы­стрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,6, а при каждом после­дующем — 0,8. Сколько выстрелов потре­буется для того, чтобы вероятность уни­чтожения цели была не менее 0,99?

Т(2.10)1.2. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то си­стема делает повторный выстрел. Вы­стрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при одном выстреле равна 0,8. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,99?

***

Т(2.10)2.1. Пенсионер гуляет по дорож­кам парка. На каждой развилке он науда­чу выбирает следующую дорожку, не возвращаясь обратно. Пенсионер начина­ет прогулку в точке А. Найдите вероят­ность того, что он придет в точку F.

Т(2.10)2.2. Павел Иванович совершает прогулку из точки А по дорожкам парка. На каждой развилке он наудачу выбирает следующую дорожку, не возвращаясь об­ратно. Схема дорожек показана на рисун­ке. Часть маршрутов приводит к поселку S, другие — в поле FИли болото М. Найдите вероятность того, что Павел Иванович забредет в болото.

Т(2.10)2.3. Бревно плывет по течению реки к устью. Река разделяется на рукава. При каждом разветвлении реки бревно с равными шансами может попасть в лю­бой из образующихся рукавов. Найдите вероятность того, что бревно попадет в точку S(см. рис.).

2.11. Зависимые события.

Формула умножения вероятностей

В теории вероятностей характеристи­кой связи событий служит так называе­мая условная вероятность.

Определение. Условной вероятно — стью(обозначение РА(B) или P(B| A)) называют вероятность события В, вычис­ленную в предположении, что событие А Уже наступило.

Теорема. Вероятность произведения (совместного появления) двух Зависимых Событий равна произведению вероятно­сти одного из них на условную вероят­ность второго, вычисленную при усло­вии, что первое событие произошло, то есть

P (AB) = P (A) РА (B) = P (B) PB (A).

Теорему умножения легко распро­странить на любое конечное число собы­тий. Например, для трех событий форму­ла имеет вид

P ( ABC ) = P (A ) PA (B ) PAb ( C ).

Пример 21. В урне 6 шаров — 2 белых и 4 черных. Без возвращения выбираем два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Решение. Пусть событие Б1состоит в том, что первый шар белый, а собы­- второй шар белый. Из условия 21 имеем вероятность P (B1) = = —

1 63

того, как мы вынули один шар и ния зависимых событий находим

P(Б1Б2) = P(Б1)Pb(Б2) = -• — = —.

1 2 1 Б1 2

Ответ: —.

15

Рассмотрим обратную задачу.

Пример 22. В рекламной фирме 21% работников получают высокую заработ­ную плату. Известно также, что 40% ра­ботников фирмы — женщины, а 6,4% ра­ботников — женщины, получающие высо­кую заработную плату. Можно ли утвер­ждать, что на фирме существует дискри­минация женщин в оплате труда?

Решение. Переформулируем задачу: какова вероятность того, что случайно выбранный работник будет женщиной, имеющей высокую заработную плату?

Определим событие А — «случайно выбранный работник — женщина», собы­тие В — «случайно выбранный работник имеет высокую заработную плату».

Имеем P (B) = P(AB) = 0,064 = 0,16.

A P(A) 0,40

Так как 0,16 меньше, чем 0,21, то можно заключить, что женщины, рабо­тающие в этой рекламной фирме, имеют меньше шансов получить высокую зара­ботную плату по сравнению с мужчина­ми.

***

Т(2.11)1.1. В классе 7 мальчиков и 14 де­вочек. 1 сентября случайным образом определяют двух дежурных на 2 сентяб­ря, которые должны приготовить класс к занятиям. Найдите вероятность того, что будут дежурить два мальчика.

Т(2.11)1.2. Слово «МАТЕМАТИКА» раз­делено на отдельные буквы, из них про­извольным образом отбираются и выкла­дываются по порядку четыре буквы. Ка­кова вероятность получения слова «МА­МА»?

Т(2.11)1.3. Пять учеников вытягивают на экзамене пять билетов, один из которых очень лёгкий. Какова вероятность для того, кто идёт третьим, вытащить легкий билет?

Т(2.11)1.4. Четыре брата определяют де­журного по квартире при помощи четы­рех спичек, одна из которых короче остальных. В равных ли условиях нахо­дятся братья?

2.12. Сложение и умножение
вероятностей

Рассмотрим задачи, в которых исполь­зуют обе теоремы: сложения вероятно­стей и умножения вероятностей.

Пример 23. С первого станка на сбор­ку поступает 40% , со второго — 30% и с третьего — 30% всех деталей. Вероятно­сти изготовления бракованной детали равны для каждого станка соответствен­но 0,01, 0,03 и 0,05. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь, посту­пившая на сборку, бракованная.

Решение. Обозначим через А1, А2 и А3 События, состоящие в том, что деталь из­готовлена соответственно на первом станке, втором станке и третьем станке. Пусть события В1, В2 и В3 означают, что деталь, изготовленная соответственно на первом станке, втором станке и третьем станке, бракованная. Из условия задачи следует, что вероятности P(A 1) = 0,4, P (A 2) = 0,3, P (A 3) = 0,3, PA1( B 1) = 0,01, PA (B2)=0,03, PA (B3) =0,05. Событие В

«наудачу взятая деталь, поступившая на сборку, бракованная» является суммой трех несовместных событий

B = A1B1 + A2B2+ A3B3. По формуле сло­жения вероятностей несовместных собы­тий, а затем по формуле умножения ве­роятностей зависимых событий имеем:

Р(B) = P (A1 B1) + P (A 2 B 2) + P (A3 B3) = =P(A1)PA1(B1)+P(A2)PA2(B2)+P(A3)PA3(B3)= = 0,4 • 0,01 + 0,3 • 0,03 + 0,3 • 0,05 = 0,028.

Ответ: 0,028.

Замечание. Рассуждения, проведенные в примере 23, можно использовать и в общей ситуации, которые реализованы через Формулу полной вероятности (см.[9], с.365).

***

Б(2.12)1.1.(прототип 320188) Чтобы

Пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в слу­чае ничьей — 1 очко, если проигрыва­ет — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каж­дой игре вероятности выигрыша и проиг­рыша одинаковы и равны 0,4.

Б(2.12)1.2.(321163) Чтобы пройти в сле­дующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 8 очков в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 5 очков, в случае ничьей — 3 очка, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг сорев­нований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,2.

Б(2.12)1.3.(321199) Чтобы пройти в сле­дующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 7 очков в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 6 очков, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг сорев­нований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,3.

***

Б(2.12)2.1.(прототип 320174) В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероят­ностью 0,05 независимо от другого авто­мата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Б(2.12)2.2.(320573) В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них мо­жет быть неисправен с вероятностью 0,12 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один авто­мат исправен.

Б(2.12)2.3.(320581) В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них мо­жет быть неисправен с вероятностью 0,09 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один авто­мат исправен.

***

Б(2.12)3.1.(прототип 320183) Перед

Началом футбольного матча судья броса­ет монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными ко­мандами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза.

Б(2.12)3.2.(321025) Перед началом фут­больного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Труд» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих иг­рах «Труд» проиграет жребий ровно два раза.

Б(2.12)3.3.(321039) Перед началом фут­больного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Биолог» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих иг­рах «Биолог» проиграет жребий ровно один раз.

***

Б(2.12)4.1.(прототип 320199) Чтобы по­ступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математи­ка, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и общество­знание.

Вероятность того, что абитуриент З. по­лучит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обще­ствознанию — 0,5.

Найдите вероятность того, что З. сможет поступить Хотя бы на одну из двух Упо­мянутых специальностей.

Б(2.12)4.2.(321893) Чтобы поступить в институт на специальность «Перевод­чик», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 79 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Таможенное дело», нуж­но набрать не менее 79 баллов по каждо­му из трёх предметов — математика, рус­ский язык и обществознание.

Вероятность того, что абитуриент Б. по­лучит не менее 79 баллов по математике, равна 0,9, по русскому языку — 0,7, по иностранному языку — 0,8 и по обще­ствознанию — 0,9.

Найдите вероятность того, что Б. сможет поступить На одну из двух Упомянутых специальностей.

Б(2.12)4.3.(321975) Чтобы поступить в институт на специальность «Междуна­родные отношения», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 63 баллов по каждому из трёх предметов — математи­ка, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 63 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и общество­знание.

Вероятность того, что абитуриент А. по­лучит не менее 63 баллов по математике, равна 0,5, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,6 и по обще­ствознанию — 0,9.

Найдите вероятность того, что А. сможет поступить На одну из двух Упомянутых специальностей.

***

Б(2.12)5.1.(прототип 319353) Две фабри­ки выпускают одинаковые стекла для ав­томобильных фар. Первая фабрика вы­пускает 45 % этих стекол, вторая — 55 %. Первая фабрика выпускает 3 % брако­ванных стекол, а вторая — 1 %. Найдите вероятность того, что случайно куплен­ное в магазине стекло окажется брако­ванным.

Б(2.12)5.2.(319357) Две фабрики выпус­кают одинаковые стекла для автомобиль­ных фар. Первая фабрика выпускает 25 % этих стекол, вторая — 75 %. Первая фаб­рика выпускает 4 % бракованных стекол, а вторая — 2 %. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стек­ло окажется бракованным.

Б(2.12)5.3.(319359) Две фабрики выпус­кают одинаковые стекла для автомобиль­ных фар. Первая фабрика выпускает 70 % этих стекол, вторая — 30 %. Первая фаб­рика выпускает 1 % бракованных стекол, а вторая — 3 %. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стек­ло окажется бракованным.

***

Б(2.12)6.1.(прототип 320180) Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероят­ностью 0,9, если стреляет из пристрелян­ного револьвера. Если Джон стреляет из не пристрелянного револьвера, то он по­падает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них толь­ко 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Б(2.12)6.2.(320957) Ковбой Джон попада­ет в муху на стене с вероятностью 0,8, если стреляет из пристрелянного револь­вера. Если Джон стреляет из не пристре­лянного револьвера, то он попадает в му­ху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 2 пристре­лянные. Ковбой Джон видит на стене му­ху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите ве­роятность того, что Джон промахнётся.

Б(2.12)6.3.(320997) Ковбой Джон попада­ет в муху на стене с вероятностью 0,7, если стреляет из пристрелянного револь­вера. Если Джон стреляет из не пристре­лянного револьвера, то он попадает в му­ху с вероятностью 0,1. На столе лежит 10 револьверов, из них только 5 пристре­лянные. Ковбой Джон видит на стене му­ху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите ве­роятность того, что Джон промахнётся.

***

Б(2.12)7.1.(прототип 320207) Всем паци­ентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепа­тит, то результат анализа называется По­ложительным. У больных гепатитом па­циентов анализ даёт положительный ре­зультат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с ве­роятностью 0,01. Известно, что 5% паци­ентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепати­том. Найдите вероятность того, что ре­зультат анализа у пациента, поступивше­го в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

***

Б(2.12)8.1.(прототип 320211) Автомати­ческая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему кон­троля. Вероятность того, что система за­бракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная из упаковки бата­рейка будет забракована.

Б(2.12)8.2.(322533) Автоматическая ли­ния изготавливает батарейки. Вероят­ность того, что готовая батарейка неис­правна, равна 0,01. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему кон­троля. Вероятность того, что система за­бракует неисправную батарейку, равна 0,95. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,04. Найдите вероятность того, что случайно выбранная из упаковки бата­рейка будет забракована.

Б(2.12)8.3.(322631) Автоматическая ли­ния изготавливает батарейки. Вероят­ность того, что готовая батарейка неис­правна, равна 0,04. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему кон­троля. Вероятность того, что система за­бракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,02. Найдите вероятность того, что случайно выбранная из упаковки бата­рейка будет забракована.

***

Б(2.12)9.1.(прототип 320177) Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяй­ства — яйца высшей категории, а из вто­рого хозяйства — 20% яиц высшей кате­гории. Всего высшую категорию получа­ет 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Б(2.12)9.2.(320741) Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяй­ствах. 60% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хо­зяйства — 70% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 65% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Б(2.12)9.3.(320839) Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяй­ствах. 85% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хо­зяйства — 10% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 55% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

***

Б(2.12)10.1.(прототип 320206) В Вол­шебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неиз­менной весь день. Известно, что с веро­ятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, пого­да в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшеб­ной стране будет отличная погода.

Б(2.12)10.2.(322301) В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и от­личная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,7 погода завтра будет такой же, как и сегодня. 6 сентября погода в Волшебной стране хо­рошая. Найдите вероятность того, что 9 сентября в Волшебной стране будет от­личная погода.

Б(2.12)10.3.(322389) В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и от­личная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,9 погода завтра будет такой же, как и сегодня. 14 июня погода в Волшебной стране хоро­шая. Найдите вероятность того, что 17 июня в Волшебной стране будет отлич­ная погода.

***

Т(2.12)1.1. Стрелок стреляет по мишени один раз. В случае промаха стрелок дела­ет второй выстрел по той же мишени. Ве­роятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена (либо первым, либо вторым выстрелом).

Т(2.12)1.2. Стрелок стреляет по мишени один раз. В случае промаха стрелок дела­ет второй выстрел по той же мишени. Ве­роятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,6. Найти вероятность того, что мишень будет поражена (одним из выстрелов).

***

Т(2.12)2.1. В некоторой местности утро в мае бывает либо ясным, либо облачным. Наблюдения показали:

Если майское утро ясное, то вероятность дождя в этот день 0,2.

Если майское утро облачное, то вероят­ность дождя в течение дня равна 0,6.

Вероятность того, что утро в мае будет облачным, равна 0,4.

Найдите вероятность того, что в случай­но взятый майский день дождя не будет.

Т(2.12)2.2. В некоторой местности утро в июле может быть либо ясным, либо пас­мурным. Наблюдения показали:

Если июльское утро ясное, то вероят­ность дождя в этот день 0,1.

Если июльское утро пасмурное, то веро­ятность дождя в течение дня равна 0,5.

Вероятность того, что утро в июле будет пасмурным, равна 0,2.

Найдите вероятность того, что в случай­но взятый июльский день дождя не будет. Т(2.12).2.3. В некоторой местности наблюдения показали:

1. Если июньское утро ясное, то вероят­ность дождя в этот день 0,1.

2. Если июньское утро пасмурное, то ве­роятность дождя в течение дня равна 0,4.

3. Вероятность того, что утро в июне бу­дет пасмурным, равна 0,3.

Найдите вероятность того, что в случай­но взятый июньский день дождя не бу­дет.

2.13. Повторение испытаний.
Формула Бернулли

В одном опыте нас интересует один вопрос, произойдет или не произойдет некоторое событие. В серии опытов (ис­пытаний) важен вопрос, Сколько раз про­изойдет или не произойдет данное собы­тие.

Например, игральный кубик бросили 10 раз подряд. Какова вероятность того, что «пятерка» выпадет ровно три раза?

Математик Я. Бернулли объединил та­кие примеры в единую вероятностную задачу (схему).

Рассматривают независимые повторе­ния одного и того же испытания с двумя возможными исходами, которые условно называют «успех» и «неудача». Какова вероятность PN(K) того, что при NТаких повторениях произойдет ровно K«успе­хов»?

Эту вероятность можно найти по фор­муле Бернулли

PN (k) = CkNPkqn —K,

Где вероятность появления события А в одном опыте равна P , а его непоявления равна Q = 1 — P.

Пример 24. В части А Единого госу­дарственного экзамена по математике в 2005 году было 10 заданий с выбором от­вета. К каждому из них предлагается 4 варианта ответа, из которых только один верный. Если ученик не знает предмет и

Отвечает наугад, то с вероятностью он выберет правильный ответ, а с вероятно­стью — ошибется. Для получения по­ложительной оценки за экзамен необхо­димо правильно ответить минимум на 6 заданий. Какова вероятность того, что нерадивый ученик сдаст экзамен?

Решение. Из условия задачи имеем

13

N = 10, K = 6, P = —, Q = —. Тогда полу­

Чаем по формуле Бернулли

_ .. (11V (3 Y

P10(6) = C160141 141 ≈0,016.

Ответ: 0,016.

***

Т(2.13)1.1. Какова вероятность того, что при 10 бросаниях игрального кубика «пя­терка» выпадет ровно три раза?

Т(2.13)1.2. Найдите вероятность того, что при 9 бросаниях симметричной монеты «орел» выпадет ровно четыре раза.

Т(2.13)1.3. За один выстрел стрелок по­ражает мишень с вероятностью 0,1. Найдите вероятность того, что при пяти выстрелах он хотя бы раз попадет в ми­шень.

3. Дополнительные задачи

1. В колоде 32 карты. Раздаются 3 кар­ты. Сколько может быть случаев появле­ния одного туза среди розданных карт?

2. Сколькими способами можно раз­бить на две команды группу из 7 мальчи­ков и 8 девочек так, чтобы в одной из ко­манд было ровно 4 мальчика и 3 девочки?

3. Сколько можно составить пятизнач­ных чисел из цифр 1, 2, 3, 4, 5, в которых цифры 4 и 5 стоят рядом (цифры не по­вторяются)?

4. Сколькими способами можно разме­стить пять пассажиров в три вагона?

5. Сколько можно составить пятизнач­ных чисел так, чтобы любые две сосед­ние цифры числа были различны?

6. Сколько существует делителей чис­ла 210?

7. Из двух математиков и десяти эко­номистов надо составить комиссию в со­ставе восьми человек. Сколькими спосо­бами может быть составлена комиссия, если в нее должен входить хотя бы один математик?

8. Билеты имеют номера от 000001 до 999999. Билет считается «счастливым», если первые три его цифры нечетны и различны, а вторые — четны, причем циф­ры 7 и 8 не стоят рядом. Сколько суще­ствует различных номеров «счастливых» билетов?

9. При стрельбе была получена частота попадания 0,6. Сколько было сделано вы­стрелов, если получено 12 промахов?

10. В случайном эксперименте сим­метричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.

11. В случайном эксперименте сим­метричную монету бросают пять раз. Найдите вероятность того, что орел вы­падет ровно 2 раза.

12. Игральную кость подбросили три раза. Найдите вероятность того, что при этом «четверка» выпадет по крайней ме­ре два раза.

13. Игральная кость бросается дважды. Определите вероятность того, что по крайней мере один раз появится 6 очков.

14. Вероятность того, что завтра цены на потребительские товары вырастут, равна 0,3; вероятность того, что завтра поднимется цена на серебро, равна 0,2, а вероятность одновременного роста цен на потребительские товары и серебро со­ставляет 0,06. Являются ли цены на по­требительские товары и серебро незави­симыми друг от друга? Поясните ответ.

15. В данной местности среднее число дождливых дней в августе равно 10. Найдите вероятность того, что в первые два дня августа не будет дождя.

16. В урне содержится 10 шаров, из которых 4 — белых, 6 — черных. Наудачу извлечены 4 шара. Найдите вероятность того, что хотя бы один из шаров — белый.

17. В первой урне 2 белых и 6 черных шаров, во второй — 4 белых и 2 черных. Из первой урны наудачу переложили 2 шара во вторую, после чего из второй ур­ны наудачу достали один шар. Какова вероятность того, что этот шар белый?

18. В урне 10 белых, 8 черных и 12 красных шаров. Наудачу вынимается 2 шара. Какова вероятность того, что выну­тые шары разного цвета (белого и черно­го)?

19. В урне 10 белых, 8 черных и 12 красных шаров. Наудачу вынимается 2 шара. Какова вероятность того, что выну­тые шары разного цвета, если известно, что не вынут красный шар?

20. Остап Бендер играет 8 шахматных партий против членов шахматного клуба. Остап играет плохо, поэтому вероятность выигрыша им каждой партии равна 0,01. Найдите вероятность того, что Остап вы­играет хотя бы одну партию.

21. Вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение гарантийно­го срока, равна 0,1. Найдите вероятность того, что из четырех телевизоров три те­левизора потребуют ремонта во время гарантийного срока.

22. Из гаража в случайном порядке по­следовательно выходят три автобуса маршрута А и четыре автобуса маршрута Б. Найдите вероятность того, что вторым на линию выйдет автобус маршрута Б, если первым вышел:

А) автобус маршрута А;

Б) автобус маршрута Б.

23. В розыгрыше первенства по бас­кетболу участвуют 18 команд, из которых случайным образом формируются две группы по 9 команд в каждой. Среди участников соревнований 5 команд экстра-класса. Найдите вероятность того, что в одну из групп попадут две команды экстра-класса, а в другую — три.

24. Предполагая, что для шахматиста А В каждой партии равновероятны три ис­хода: выигрыш, ничья и проигрыш, найдите вероятность того, что из четырех партий шахматист А:

А) не проиграет ни одной партии;

Б) проиграет хотя бы две партии.

25. Среди 20 одинаковых по внешнему виду тетрадей 16 в клетку. Наудачу взяли 4 тетради. Найдите вероятность того, что из них:

А) две тетради в клетку;

Б) хотя бы одна тетрадь в клетку.

26. Три стрелка стреляют в цель неза­висимо друг от друга. Первый стрелок попадает в цель с вероятностью 0,6, вто­рой — с вероятностью 0,7, а третий — с ве­роятностью 0,75. Найдите вероятность хотя бы одного попадания в цель, если каждый стрелок сделает по одному вы­стрелу.

27. Ребенок играет с буквами разрез­ной азбуки. У него по три буквы О и К, по две буквы Л и Б. Какова вероятность того, что при случайном расположении семи карточек в ряд получится слово «КОЛОБОК»?

28. При разрыве бронебойного снаряда 20% от общего числа составляют круп­ные осколки, 30% — средние и 50% — мел­кие. Крупный осколок пробивает броню танка с вероятностью 0,8, средний — с ве­роятностью 0,5, а мелкий осколок — с ве­роятностью 0,2. Найдите вероятность то­го, что в броне танка образовалась про­боина.

29. Из колоды карт (36 карт) наудачу вынимают 4 карты. Найдите вероятность того, что среди них окажется точно один туз.

30. Студент пришел на экзамен, зная лишь 24 из 32 вопросов программы. Эк­заменатор задал студенту 3 вопроса. Найдите вероятность того, что студент ответит на все вопросы.

31. В классе 12 юношей и 13 девушек. Их фамилии записаны в классном журна­ле по алфавиту. Какова вероятность того, что в пятой строчке этого журнала запи­сана фамилия девушки?

32. Два игрока по очереди выбирают вслепую фишку из имеющихся 2 белых и 3 черных. Побеждает тот, кто первым вы­тянет белую фишку. В каком отношении находятся шансы игроков на успех?

33. Найдите вероятность того, что дни рождения 12 человек придутся на разные месяцы года.

34. На школьном концерте 25 перво­классников посадили на первый ряд с 1 по 25 места. Найдите вероятность того, что три подруги Наташа, Маша и Валя будут сидеть через одного человека.

35. На окружности с центром О вы­брана точка А. Случайным образом бро­сают точку Х на эту окружность. Найдите вероятность того, что угол АОХ больше 120°.

36. Случайным образом выбирают од­но из решений неравенства 4 4 4 j 4 — X

√8 — 2X■Log2 ≥ 0. Найдите вероят-

X + 2

Ность того, что выбранное решение отри­цательное.

37. Случайным образом выбирают од­но из решений неравенства log2X+3X2<1. Найдите вероятность того, что выбранное решение положительное.

38. В лотерее 2000 билетов; из них на 4 билета падают выигрыши по 250 руб­лей, на 10 билетов — по 100 рублей, на 20 билетов — по 50 рублей, на 50 билетов — по 10 рублей. Остальные билеты без вы­игрыша. Какова вероятность выиграть не менее 50 рублей, если куплен один би­лет?

39.На сахарном заводе один из цехов производит рафинад. Контроль качества обнаружил, что один их каждых ста ку­сочков сахара разбит. Если Вы случай­ным образом извлекаете два кусочка са­хара, чему равна вероятность того, что по крайней мере один из них будет разбит?

40.При страховании жизни для расче­тов употребляются таблицы, которые да­ют среднее распределение по годам смертных случаев некоторой совокупно­сти лиц одинакового возраста:

Возраст	10	20	30	40
Число	1000	961	897	823

50	60	70	80	90
728	538	380	140	13

(из 1000 детей, достигших 10-летнего возраста, до 90 лет доживают 13).

Пусть в данный момент в некоторой семье мужу 30 лет, а жене — 20. Найдите вероятность того, что: а) оба будут живы через 50 лет; б) хотя бы один из них бу­дет жив через 50 лет.

41.Химику, специалисту по взрывча­тым веществам, довольно часто приходи­лось летать в командировки. Однажды он захватил с собой книгу «Теория вероят­ностей? — Это интересно!». Дочитав ее до страницы 18, он решил возвращаться до­мой поездом. В самом деле, на каждые 10000 рейсов приходится один такой, что кто-то везет с собою бомбу. Вероятность 0,0001 не показалась ему пренебрежимо малой.

По дороге обратно в поезде он дочитал ту же книгу до 30 страницы. Его позиция изменилась, он снова стал летать, объяс­нять это так: «Вероятность того, что в салон пронесут сразу две бомбы, равна 0,0001 ■ 0,0001 = 0,00000001. Это число уж совсем пренебрежимо мало. Поэтому я изготовил бомбу и вожу ее всегда с со­бой в портфеле». В чем ошибочность рассуждений химика?

42.За круглый стол случайным обра­зом садятся 12 человек, среди которых два приятеля — Вася и Игорь. Какова ве­роятность того, что Вася и Игорь окажут­ся рядом?

43. На 6-местную скамейку случайным образом садятся 6 человек, среди кото­рых два приятеля — Вася и Игорь. Какова вероятность того, что Вася и Игорь ока­жутся вместе?

44. Найдите значение параметра А, ес­ли известно, что вероятность указанного события равна 0,5: точка фигуры, огра­ниченной осью ординат, прямой У= 2 и графиком функции У =| X —1|, лежит пра­вее прямой X= A.

45. Найдите значение параметра А, ес­ли известно, что вероятность указанного события равна 0,5: точка фигуры, огра­ниченной графиком функции У= —-, осью абсцисс и прямыми X= 1 , X= 2 , лежит ниже прямой У = A.

Решение задач-прототипов

1.1. Непосредственные подсчеты

Т(1.1)1.1. Решение. Процесс обмена фо­тографиями показан с помощью стрелок на ребрах полного графа с вершинами А, Б, В и Г. Количество подаренных фото­графий равно количеству стрелок, то есть 12.

Ответ: 12.

1.2. Правило умножения

Т(1.2)1.1. Решение. Закуску выбираем 5 способами, первое блюдо — 3 способами, второе блюдо — 4 способами, десерт — 3 способами. Всего 5 • 3 • 4 • 3 = 180 способов заказать обед.

Ответ:180.

1.3. Правило сложения

Т(1.3)1.1. Решение. Из города А в город D Через город В ведет 5 • 3 = 15 дорог (по правилу умножения), из города А в город DЧерез город С ведет 4•6=24 дороги. Общее количество маршрутов между го­родами А и DПо правилу сложения равно 15 + 24 = 39 .

Ответ: 39.

1.4. Перестановки

Т(1.4)1.1. Решение. Число способов раз­местить на полке 4 книги равно числу пе­рестановок из четырех элементов: 4! = 24.

Ответ: 24.

1.5. Размещения

Т(1.5)1.1. Решение. Из десяти цифр мож­но образовать A170= 604800 семизнач­

Ных телефонных номеров, в каждом из которых ни одна цифра не повторяется? Ответ: 604800.

1.6. Сочетания

Т(1.6)1.1. Число календарных игр равно C126 = 120 .

Ответ: 120.

2. Элементы теории вероятностей

2.1. Случайные опыты и события

Т(2.1)1.1. Случайный опыт — ученик пи­шет изложение. Случайное событие — ученик не сделал ни одной ошибки в из­ложении.

2.2. Элементарные события

Б(2.2)1.1. Решение. Всего благоприят­ствующих элементарных исходов 4:

«А1 — сумма очков равна 1+4=5»;

«А2 — сумма очков равна 2+3=5»;

«А3 — сумма очков равна 3+2=5»;

«А4 — сумма очков равна 4+1=5».

Ответ: 4.

2.3. Частота события

Б(2.3)1.1. Решение. Из 5000 появившихся на свет младенцев 5000 — 2512 = 2488 де­вочек. Частота рождения девочек равна 2488 = 0,4976 ≈ 0,498.

5000

Ответ: 0,498.

2.4. Формула классической
вероятности

Б(2.4)1.1. Решение. Частота события «га­

Рантийный ремонт» равна ^θθθ = 0,051.

Разность между частотой события и его вероятностью составляет

0,051-0,045=0,006.

Ответ: 0,006.

Б(2.4)2.1. Решение. Общее число случаев (всего билетов) N= 55 . Число благопри­ятных случаев (количество билетов, в ко­торых встречается вопрос по ботанике) M= 11 . Согласно определению вероятно­

Сти P = — = — = 0,2. 55 5

Ответ: 0,2.

Б(2.4)3.1. Решение. Общее число случаев (всего билетов) N= 25 . Число благопри­ятных случаев (количество билетов, в ко­торых не встречается вопрос по неравен­ствам) M= 25 -10 = 15 . Согласно опреде­лению вероятности P = ^ = J = 0,6.

Ответ: 0,6.

Б(2.4)4.1. Решение. Обозначим через А Событие «потерялась конфета «Гриль­яж»». Тогда количество благоприятству­ющих исходов M= 1 , а общее число рав­новозможных исходов N= 4 («Грильяж», «Белочка», «Коровка» и «Ласточка»). Ве­роятность Р(A) = 0 = 0,25 .

Ответ: 0,25.

Б(2.4)5.1. Решение. Обозначим через А Событие «начинает игру Петя». Тогда количество благоприятствующих исхо­дов M= 1 , а общее число равновозмож­ных исходов N= 4 (начинает игру Петя, начинает игру Вася, начинает игру Коля, начинает игру Лёша). Вероятность Р(A) = 4 = 0,25.

Ответ: 0,25.

Б(2.4)6.1. Решение. Общее число случаев (первой может выступать любая из два­дцати спортсменок) N= 20 . Число благо­приятных случаев (спортсменок из Ки­тая) M= 5 . Согласно определению веро­

Ятности P = — = — = 0,25.

20 4

Ответ: 0,25.

Б(2.4)7.1. Решение. Общее число случаев (последним может выступать любой из двадцати пяти спортсменов) N= 25 . Чис­ло благоприятных случаев (спортсменов из Швеции) M= 9 . Согласно определе­

Нию вероятности P = ~ = 0,36.

Ответ:0,36.

Б(2.4)8.1. Решение. Общее число случаев (число всех докладов) N = 10. Число бла­гоприятных случаев (число докладов ученых из России) M= 3 . Согласно опре­делению вероятности P = ^0 = 0,3 •

Ответ: 0,3.

Б(2.4)9.1. Решение. Общее число случаев (число всех спортсменов) N= 25 . Число благоприятных случаев (число прыгунов из Парагвая) M= 9 . Согласно определе­

Нию вероятности P = ~ = 0,36.

Ответ: 0,36.

Б(2.4)10.1. Решение. Общее число случа­ев (число участников, исключая самого Руслана Орлова) N = 26 -1 = 25 • Число благоприятных случаев (число участни­ков из России, исключая самого Руслана Орлова) M= 10-1 = 9 • Согласно опреде­

Лению вероятности P = ~ = 0,36.

Ответ: 0,36.

Б(2.4)11.1. Решение. Общее число случа­ев (число садовых насосов) N= 1000 . Число благоприятных случаев (число ис­правных насосов) M= 1000-5 = 995 . Со­гласно определению вероятности 995

P= —— = 0,995.

Ответ: 0,995.

Б(2.4)12.1. Решение. Общее число случа­ев (число сумок) N = 100 + 8 = 108. Число благоприятных случаев (число каче­ственных сумок) M= 100 . Согласно определению вероятности

P = 100 = 0,925925925… = 0, (925).

Округление до сотых дает ответ 0,93.

Ответ: 0,93.

Б(2.4)13.1. Решение. Обозначим через А Событие «группа из Дании будет высту­пать после группы из Швеции и после группы из Норвегии». Тогда количество благоприятствующих исходов M= 2
(ШНД, НШД), а общее число равновоз­можных исходов N = 6 (ШНД, НШД, ШДН, НДШ, ДНШ, ДШН). Вероятность 2

Р(A) = — = 0,33.

Ответ: 0,33.

Б(2.4)14.1. Решение. Обозначим через А Событие «случайно нажатая цифра будет чётной». Тогда количество благоприят­ствующих исходов M= 5 (0, 2, 4, 6, 8), а общее число равновозможных исходов N= 10 (всего 10 цифр). Вероятность Р( A) = А = 0,5.

10

Ответ: 0,5.

Б(2.4)15.1. Решение. Обозначим через А Событие «случайно выбранное натураль­ное число от 10 до 19 делится на три». Тогда количество благоприятствующих исходов M= 3 (12, 15, 18), а общее число равновозможных исходов N= 10 (10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19). Вероятность Р( A) = А = 0,5.

10

Ответ: 0,3.

Б(2.4)16.1. Решение. Обозначим через А Событие «пассажиру В. достанется удоб­ное место». Тогда количество благопри­ятствующих исходов M = 12 +18 = 30, а общее число равновозможных исходов 30

N = 300 . Вероятность Р(A) = 0,1.

Ответ: 0,1.

Б(2.4)17.1. Решение. Обозначим через А Событие «случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории». Тогда количество благоприятствующих исходов M = 250-120•2 = 10(10 человек писали в запасной аудитории), а общее число равновозможных исходов N= 250 (250 участников). Вероятность равна Р(A) = — = А = 0,04.

250 25

Ответ: 0,04.

Б(2.4)18.1. Решение. Обозначим через А Событие «на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета с чёрными надпи­сями». Тогда количество благоприят­ствующих исходов M= 50 — 27 = 23 (жёл­тые машины с чёрными надписями), а общее число равновозможных исходов N = 50 (50 автомобилей). Вероятность

23

Р(A) = — = 0,46.

Ответ: 0,46.

Б(2.4)19.1. Решение. Обозначим через А Событие «турист П. полетит первым рей­сом вертолёта». Тогда количество благо­приятствующих исходов M = 1 (один пер­вый рейс), а общее число равновозмож­ных исходов N = 30:6 = 5(5 рейсов). Ве­

Роятность Р(A) = j = 0,2 .

Ответ: 0,2.

Б(2.4)20.1. Решение. Обозначим через А Событие «команда России во второй группе». Тогда количество благоприят­ствующих исходов M= 4 (четыре кар­точки с номером 2), а общее число равно­возможных исходов N= 16 (16 карточек).

41

Вероятность Р(A) = — = — = 0,25 .

Ответ: 0,25.

Б(2.4)21.1. Решение. Общее число случа­ев (число всех докладов) N= 75 . Число благоприятных случаев (число докладов в последний день конференции) M = 75 73 = 12. Согласно определе­нию вероятности P = A = А = 0,16.

Ответ: 0,16.

Б(2.4)22.1. Решение. Общее число случа­ев (число всех выступлений) N= 80 . Число благоприятных случаев (число вы­ступлений в M =80-8 = 18.

4

80 = 0’225∙

Ответ:0,225.

Б(2.4)23.1. Решение. Обозначим через А Событие «наступит исход ОР». Тогда ко­личество благоприятствующих исходов M = 1, а общее число равновозможных исходов N = 4 (ОО, ОР, РО, РР). Вероят­ность Р(A) А — = 0,25 .

Ответ: 0,25.

Б(2.4)24.1. Решение. Общее число случа­ев (ОО, ОР, РО, РР) N — 4.Число благо­приятных случаев (орел выпадет ровно один раз — ОР или РО) M —2 . Согласно определению вероятности

P —4 —2—0∙5∙

Ответ:0,5.

Б(2.4)25.1. Решение. Общее число случа­ев (количество всех возможных комби­наций из двух целых чисел, каждое их которых принимает значение от 1 до 6 включительно) N —6 • 6 — 36. Число бла­гоприятных случаев (количество комби­наций из двух целых чисел, принимаю­щих значение от 1 до 6 включительно и дающих в сумме 8, т. е. следующих ком­бинаций: (2,6);(6,2);(3,5);(5,3);(4,4))

M— 5. Согласно определению вероятно­

Сти P — — —0,13888… — 0,13(8). Округ — 36

Ление до сотых дает ответ 0,14.

Ответ: 0,14.

Б(2.4)26.1. Решение. Пусть произведено XТарелок. Тогда 0,1XТарелок с браком, а 0,9XТарелок без брака. Так как при проверке качества выявляется 80% де­фектных тарелок, то из бракованных та­релок (1 — 0,8) • 0,1 X —0,02XТарелок пой­дут на продажу. Всего на продажу посту­пят 0,9X + 0,02X —0,92X.

Обозначим через А событие «при по­купке тарелка не имеет дефектов». Тогда количество благоприятствующих исхо­дов M — 0,9X(количество тарелок без дефекта, поступивших в продажу), а об­щее число равновозможных исходов N — 0,92X(всего тарелок, поступивших в продажу). Вероятность

Замечание. При решении данной зада­чи можно работать с числами, не вводя неизвестную (например, пусть произве­дено 100 тарелок и т. д.).

Ответ: 0,98 .

Б(2.4)27.1. Решение. В каждой группе 13 человек. Будем считать, что Андрей уже занял место в одной группе. Обозначим через А событие «Сергей оказался в той же группе». Для Сергея останется N — 25 свободных мест, из них в данной группе M — 12 мест. Вычисляем вероятность 12

Р(A) — — — 0,48.

Ответ: 0,48.

Т(2.4)7.1. Решение. Согласно условию задачи, в среднем только в одной из 25 банок кофе есть приз. Тогда общее число случаев (количество банок кофе) N— 25 . Число благоприятных случаев (количе­ство банок, в которых нет приза) M— 25 — 1 — 24 . Согласно определению

Вероятности P 0,96

Ответ: 0,96.

Т(2.4)8.1. Решение. Обозначим ситуа­цию, когда в матче первая владеет мячом команда «Белые» за «1», обратную ситу­ацию за «0». Всего будет сыграно 3 мат­ча. Общее число случаев (комбинации 000,001,010,011,100,101,110,111) N—8. Число благоприятных случаев (комбина­ции 001,010,100) M— 3 . Согласно опре­

Делению вероятности P— — — 0,375.

8

Ответ:0,375.

Т(2.4)9.1. Валя выбирает случайное трех­значное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 51.

Решение. Общее число случаев (количе­ство всех трехзначных чисел) N — 999 -100 +1 — 900 . Первое трехзнач­ное число, которое делится на 51, равно 102 — 51 • 2. Последнее трехзначное число, которое делится на 51, равно 969 — 51∙19. Тогда число благоприятных случаев M — 19-2+1 — 18. Согласно определению

Вероятности P— — 0,02.

900

Ответ: 0,02.

Т(2.4)10.1. Решение. Общее число случа­ев N— 5 ((1,5);(5,1);(2,4);(4,2);(3,3)). Чис­ло благоприятных случаев (комбинации (1,5) и (5,1)) M— 2 . Согласно определе­

Нию вероятности P— j — 0,4

Ответ:0,4.

Т(2.4)10.4. Решение. Общее число случа­ев N — 6 • 6 — 36 . Число благоприятных
случаев M = 3 • 3 = 9. Согласно определе­

Нию вероятности P = — = 0.25

36

Ответ:0.25.

Т(2.4)10.5. Решение. Общее число случа­ев (комбинации (1.5); (5.1); (4.2); (2.4); (3.3)) N = 5 . Число благоприятных случа­ев (комбинации (1,5);(2,4)) M = 2. Со­гласно определению вероятности

P = 2 = ‘4

Ответ: 0.4.

Т(2.4)11.1. Решение. Общее число случа­ев ((3.1);(3.2);(3.3);(3.4);(3.5); (3.6)) N=6. Число благоприятных случаев (комбина­ции (3.4); (3.5); (3.6)) M = 3 . Согласно

Определению вероятности P = — = 0.5

6

Ответ:0,5.

Т(2.4)12.1. Решение. Пусть в двух карма­нах у Пети лежат по 3 монеты. Предпо­ложим, что в одном из карманов лежит одна двухрублевая монета. Найдем веро­ятность попадания второй двухрублевой монеты в этот же («нужный») карман. Общее число случаев (число «вакантных мест» для монеты) N = 5 (два в «нужном» кармане и три в другом кармане). Число благоприятных случаев (число «вакант­ных мест» в «нужном» кармане) M = 2 . Согласно определению вероятности P. 5.0.4

Ответ:0,4.

2.5. Комбинаторные методы
решения вероятностных задач

Т(2.5)1.1. Решение. Вероятность того. что в другом кармане оказалась одна пяти­рублевая монета. равна

P (5,10,10) + P (10,5,10) + P (10,10,5) =

243 423 432 1 1 1 3

= — • —- 1—- — —- 1 — • — = + + = —

654 654 654 5 5 5 5

Ответ: 0,6.

Б(2.5)1.1. Решение. Обозначим через А Событие «турист А. пойдёт в магазин». Тогда количество благоприятствующих

Исходов M = C4 = = 4 (турист А мо­жет быть в паре с одним из остальных туристов), а общее число равновозмож­ных исходов N = C52= ^5!j^ = 10 (количе­ство групп из 2 человек). Вероятность 4

Р(A) = 10 = 0,4.

Ответ: 0,4.

Б(2.5)2.1. Решение. Обозначим через А Событие «Андрей и Сергей окажутся в одной группе». Событию А благоприят­ствует столько исходов, сколькими спо­собами 2 человека могут образовывать группу (13 человек) с остальными 11 од­ноклассниками. Первая и вторая группы 11 24!

Могут быть образованы C24= спо­собами. Тогда количество благоприят — 11 2 • 24!

Ствующих исходов M = 2• C24= ,а

Общее число равновозможных исходов 13 26!

N = C26= i3!i3(количество групп по 13 человек). Вероятность

Р(A) = ≡±!,≡ = 12 = 0
11!13! 26! 25

Ответ: 0,48.

2.6. Геометрическая вероятность

Т(2.6)1.1. Решение. Площадь круга равна πR2, а площадь вписанного квадрата — (Rλ∕2)2 = 2R2. Искомая вероятность рав-

2 R R На —- πR2

Б(2.6)1.1. Решение. Обозначим через А Событие «часовая стрелка застыла, до­стигнув отметки 10, но не дойдя до от­метки 1 час». Исходами являются поло­жения часовой стрелки над кругом с ци­ферблатом. Сектор, в который часовая стрелка попадает, имеет центральный угол в 90°. Полный угол равен 360°. Ве — 90 1

Роятность Р(A) = = — = 0,25 .

Ответ: 0,25.

2.7. Операции над событиями

Т(2.7)1.1. Решение. Обозначим через Р Событие «выпадает решка», через О со­бытие «выпадает орел». Тогда событие «хотя бы один раз выпала решка» можно записать следующим образом: PP + PO + OP. Событие «оба раза выпала одна и та же сторона монеты» можно за­писать следующим образом: PP+ OO.

2.8. Несовместные события.

Формула сложения вероятностей

Б(2.8)1.1. Решение. Обозначим через А Событие «достался вопрос на тему «Впи­санная окружность», через В событие «достался вопрос на тему «Параллело­грамм». События А и В несовместны, так как по условию в списке нет вопросов, относящихся к этим темам одновремен­но. Событие С «достался вопрос по од­ной из этих двух тем» является их сум­мой C = A + B. Из условия задачи следу­ет, что вероятности P (A) = 0,2 и P(B) = 0,15 . По формуле сложения веро­ятностей несовместных событий имеем:

Р(C) = P (A) + P (B) = 0,2 + 0,15 = 0,35.

Ответ: 0,35.

Б(2.8)2.1. Решение. Обозначим через А Событие «чайник прослужит меньше двух лет, но больше года», через В событие «чайник прослужит не меньше двух лет». События А и В несовместны. Событие С «чайник прослужит больше года» являет­ся их суммой C= A+ B. Из условия зада­чи следует, что вероятности P(B) = 0,89 и P(C) = 0,97 . По формуле сложения ве­роятностей несовместных событий имеем

Р(C) = P (A) + P (B)
или 0,97=P(A)+0,89.

Отсюда Р(A) = 0,97 — 0,89 = 0,08.

Ответ: 0,08.

Б(2.8)3.1. Решение. Обозначим через А Событие «учащийся О. верно решит ров­но 11 задач», через В событие «учащийся О. верно решит больше 11 задач». Собы­тия А и В несовместны. Событие С «учащийся О. верно решит больше 10 за­дач» является их суммой C= A+ B. Из условия задачи следует, что вероятности P(B) = 0,67 и P(C) = 0,74 . По формуле сложения вероятностей несовместных событий имеем

Р(C) = P (A) + P (B)
или 0,74=P(A)+0,67.

Отсюда Р(A) = 0,74 — 0,67 = 0,07.

Ответ: 0,07.

Б(2.8)4.1. Решение. Обозначим через А Событие «число пассажиров меньше 15», через В событие «число пассажиров от 15 до 19». События А и В несовместны. Со­бытие С «число пассажиров меньше 20» является их суммой C= A+ B. Из усло­вия задачи следует, что вероятности P(A) = 0,56 и P(C) = 0,94 . По формуле сложения вероятностей несовместных событий имеем

Р(C) = P (A) + P (B)
или 0,94 = 0,56 + P(B) .

Отсюда Р(B) = 0,94 — 0,56 = 0,38.

Ответ: 0,38.

Б(2.8)5.1. Решение. Обозначим через А Событие «диаметр подшипника будет от­личаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм», через В событие «подшипник будет иметь диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм». Из усло­вия задачи следует, что вероятность P(A) = 0, 965 . События А и В являются противоположными, поэтому имеем

Р(B) = 1 — P (A)
или Р(B) = 1 — 0,965 = 0,035.

Ответ: 0,035.

2.9. Совместные события.

Формула сложения вероятностей

***

Б(2.9)1.1. Решение. Первый способ. Обо­значим через А событие «кофе закон­чится в первом автомате», через В собы­тие «кофе закончится во втором автома­те». Событие С «кофе закончится хотя бы в одном автомате» является их суммой C= A+ B. Из условия задачи известны вероятности P(A) = P(B) = 0,3 и

P(A ∙ B) = 0,12. По формуле сложения вероятностей имеем:

Р (C) = P (A) + P (B) — P (A ∙ B) =

= 0,3 + 0,3 — 0,12 = 0,48.

Значит, вероятность противоположного события C«кофе останется в обоих ав­томатах» равна 1 — 0,48 = 0,52 .

Второй способ. Вероятность того, что кофе останется в первом автомате, равна P(A) = 1 — 0,3 = 0,7 . Вероятность того, что кофе останется во втором автомате, равна P(B) = 1 — 0,3 = 0,7 . Вероятность того, что кофе останется в первом или втором автомате равна

P (C) = 1 — 0,12 = 0,88. Поскольку

Р(C) = P (A+B) = P (A) + P (B) — P (A ∙ B), то имеем: 0,88 = 0,7 + 0,7 — Х, откуда ис­комая вероятность Х = 0,52.

Ответ: 0,52.

2.10. Независимые события.

Формула умножения вероятностей

Б(2.10)1.1. Решение. Обозначим через А Событие «гроссмейстер А., играя белы­ми, выиграет у гроссмейстера Б.», через В Событие «гроссмейстер А., играя черны­ми, выиграет у гроссмейстера Б.». Собы­тия А и В независимые. Событие С «грос­смейстер А. выиграет у гроссмейстера Б. оба раза» является их произведением C= A ∙ B. Из условия задачи известны вероятности P(A) = 0,52 и P(B) = 0,3 . По формуле умножения вероятностей не­зависимых событий имеем:

Р (С) = P (A) ∙ P (B) = 0,52 ∙ 0,3 = 0,156.

Ответ: 0,156.

Б(2.10)2.1. Решение. Обозначим через А Событие «первый продавец занят с кли­ентом», через В событие «второй прода­вец занят с клиентом», через С событие «третий продавец занят с клиентом». Со­бытия А, В и С независимые. Событие D «все три продавца заняты одновременно» является их произведением D = ABC . Из условия задачи известны вероятности P(A)=0,3, P(B) =0,3 и P(C)=0,3. По формуле умножения вероятностей неза­висимых событий имеем:

Р(D ) = P ( A ) ∙ P (B ) ∙ P (C) = =0,3∙0,3∙0,3=0,027.

Ответ: 0,027.

Б(2.10)3.1. Решение. Результат каждого следующего выстрела не зависит от предыдущего. Обозначим через А собы­тие «биатлонист попадает в мишень при одном выстреле», тогда противополож­ное событие AОзначает «биатлонист не попадает в мишень при одном выстреле». Из условия задачи известна вероятность P (A) = 0,8, тогда P (A) = 1 — 0,8 = 0,2. Со­бытие С «биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два про­махнулся» является произведением неза­висимых событий C= AAABB. По фор­муле умножения вероятностей независи­мых событий имеем:

Р(C) = 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 =

= 0,02048 ≈ 0,02.

Ответ: 0,02.

Б(2.10)4.1. Решение. Обозначим через А Событие «выбранная батарейка исправ­на», тогда противоположное событие A Означает «выбранная батарейка брако­ванная». Из условия задачи известна ве­роятность P (A) = 0,06, тогда

P(A) = 1 — 0,06 = 0,94 . Событие С «обе батарейки окажутся исправными» явля­ется произведением независимых собы­тий C= A ∙ A. По формуле умножения вероятностей независимых событий име­ем:

Р(C) = 0,94 ∙ 0,94 = 0,8836.

Ответ: 0,8836.

Б(2.10)5.1. Решение. Обозначим через А Событие «команда «Статор» начинает игру перВОй», тогда противоположное событие AОзначает «команда «Статор» не начинает игру первой». Из условия задачи следует, что вероятность P (A) = 0,5, тогда P (A) = 1 — 0,5 = 0,5. Со­бытие С «команда «Статор» будет начи­нать только первую и последнюю игры» является произведением независимых событий C = A ∙ A ∙ A. По формуле умно­жения вероятностей независимых собы­тий имеем:

Р (C) = 0,5 ∙ 0,5 ∙ 0,5 = 0,125.

Ответ: 0,125.

Б(2.10)6.1. Решение. Обозначим через А Событие «нужный товар доставят из ма­газиНА А», тогда противоположное собы­тие AОзначает «нужный товар не доста­вят из магазина А»; через В событие «нужный товар доставят из магазина Б», тогда противоположное событие BОзна­чает «нужный товар не доставят из мага­зина Б». Из условия задачи известны ве­роятности P(A) = 0,8 и P(B) = 0,9 , то­гда

P (A)) = 1 — 0,8 = 0,2, P (B) = 1 — 0,9 = 0,1.

Событие С «ни один магазин не доставит товар» является произведением незави­симых событий C = A ∙ B . По формуле умножения вероятностей независимых событий имеем:

Р(C) = 0,2 ∙ 0,1 = 0,02.

Ответ: 0,02.

Б(2.10)7.1. Решение. Обозначим через А Событие «лампа перегорит». Из условия задачи известна вероятность P(A) = 0,3 . Событие В «обе лампы перегорят» явля­ется произведением независимых собы­тий B = A ∙ A . По формуле умножения вероятностей независимых событий име­ем:

Р(B) = 0,3 ∙ 0,3 = 0,09.

События В и С «хотя бы одна лампа не перегорит» являются противоположны­ми, поэтому имеем

Р(C) = 1 — P (B)

Или Р(C) = 1 — 0,09 = 0,91.

Ответ: 0,91.

Б(2.10)8.1. Решение. Обозначим через А Событие «выбор одного направления движения из двух в точке разветвления». Маршрут от точки «Вход» до выхода D Содержит четыре разветвления, в каждом из которых паук может выбрать одно направление из двух с вероятностью 0,5. Каждое из выбранных направлений не зависит от других направлений. Событие С «паук придёт к выходу D» является произведением независимых событий C= AAAA. По формуле умножения веро­ятностей независимых событий имеем:

Р(C) = P (A) ∙ P (A) ∙ P (A) ∙ P (A) = =0,5∙0,5∙0,5∙0,5=0,0625.

Ответ: 0,0625.

Б(2.10)9.1. Решение. Решим противопо­ложную задачу: сколько выстрелов необ­ходимо сделать, чтобы цель уцелела с вероятностью меньше, чем 1 — 0,98 = 0,02? Будем умножать вероят­ности промаха при каждом выстреле до тех пор, пока эта вероятность не станет достаточно маленькой. Обозначим через А событие «система попала в цель при первом выстреле», тогда противополож­ное событие AОзначает «система не по­пала в цель при первом выстреле»; через BNСобытие «система попала в цель при N-ом выстреле после первого выстрела», тогда противоположное событие BN Означает «система не попала в цель при N-ом выстреле после первого выстрела». Из условия задачи известны вероятности P(A) = 0,4 и P(BN) =0,6, тогда

P(A)=1-0,4=0,6, P(BN)=1-0,6=0,4. Событие С «цель не поражена» является произведением независимых событий C = A ∙B2 ∙ BЗ∙… ∙BN-1. По формуле умно­жения вероятностей независимых собы­тий имеем Р(C) = 0,6 ∙ (0,4)N-1. Решим не­равенство 0,6 ∙ (0,4)N-1<0,02, перебирая значения N. Получаем (0,4)N-1<, отку­да при N-1 = 4 неравенство выполняется. Значит, N= 5 .

Ответ: 5.

Т(2.10)2.1. Решение. Для того, чтобы пенсионер пришел в точку F, должны произойти два события: на первой раз­вилке он должен направиться из точки А В точку В (с вероятностью P1 =^) , на второй развилке — из точки В в точку F(с 1

Вероятностью P2= —). Тогда, согласно

Теореме умножения вероятностей, маршрут А —B-FПенсионер выберет с ве — 11 1

Роятностью P= —. — = — = 0,125.

Ответ:0,125.

2.11. Зависимые события.

Формула умножения вероятностей

Т(2.11)1.1. Решение. Вероятность вы­брать первого мальчика-дежурного 71

(N = 21, M = 7) P1= —- = —. Вероятность

Выбрать второго мальчика-дежурного 63

(N = 20, m = 6) P2 = — = —. Вероятность

Того, что будут дежурить два мальчика,

Равна P = P1• P2 = — • — = 0,1.

1 2310

Ответ: 0,1.

2.12. Сложение и умножение
вероятностей

Б(2.12)1.1. Решение. Обозначим через В И Н события, состоящие в том, что ко­манда соответственно выиграла, сыграла вничью. Команде удастся выйти в следу­ющий круг при двух выигрышах, либо выигрыша и ничьи, либо ничьи и выиг­рыша. Из условия задачи следует, что ве­роятности

P (B) = 0,4, P (H) = 1 — 0,4 — 0,4 = 0,2.

Событие К «команда вышла в следую­щий круг соревнований» является сум­мой трех несовместных событий K = BB + BH + HB. По формуле сложе­ния вероятностей несовместных событий, а затем по формуле умножения вероятно­стей независимых событий имеем:

Р(K) = P (BB) + P (BH) + P (HB) =

=P(B)P(B) +P(B)P(H) +P(H)P(B) =

= 0,4 • 0,4 + 0,4 • 0,2 + 0,2 • 0,4 = 0,32.

Ответ: 0,32.

Б(2.12)2.1. Решение. Первый способ. Обозначим через А событие «автомат неисправен», тогда противоположное со­бытие AОзначает «автомат исправен». Из условия задачи следует, что вероят­ность P(A) = 0,05 , тогда

P (A) = 1 — 0,05 = 0,95.

Введем событие F«оба автомата неис­правны», которое является произведени­ем двух независимых событий F= A• A,

Событие Е «хотя бы один автомат испра­вен» является противоположным собы­тию F. Тогда получаем

P (F) = P (A) • P (A) = 0,05 • 0,05 = 0,0025 и P(E)=1-P(F)=1-0,0025=0,9975.

Второй способ. Событие Е «хотя бы один автомат исправен» является суммой двух совместных независимых событий Е = A+ A. Тогда

P(E)=P(A+A)= =P(A)+P(A)-P(AA)= = P (A) + P (A) — P (A) • P (A) =

= 0,95 + 0,95 — 0,95 • 0,95 = 0,9975.

Третий способ. Событие В «первый ав­томат исправен, второй автомат неиспра­вен» является произведением независи­мых событий B= A• A. Событие С «пер­вый автомат неисправен, второй автомат исправен» является произведением неза­висимых событий C= A• A. Событие D «оба автомата исправны» является про­изведением независимых событий D= A• A. Событие Е «хотя бы один ав­томат исправен» является суммой трех несовместных событий E= B+ C+ D. По формуле сложения вероятностей несов­местных событий, а затем формуле умножения вероятностей независимых событий имеем:

Р(E) = P (B) + P (C) + P (D) =

= P (A) • P ( A ) + P (A) • P (A) + P (A) • P (A) =

= 0,95 • 0,05 + 0,05 • 0,95 + 0,95 • 0,95 = 0,9975.

Ответ: 0,9975.

Б(2.12)3.1. Решение. Обозначим через А Событие «команда «Физик» выиграет жребий», тогда противоположное собы­тие AОзначает, что «команда «Физик» проиграет жребий». Из условия задачи следует, что вероятность P(A) = 0,5 , то­гда P(A) = 1 — 0,5 = 0,5. Событие В «ко­манда «Физик» выиграет жребий только в первый и второй раз» является произ­ведением независимых событий B= A• A• A. Событие С «команда «Фи­зик» выиграет жребий только в первый и третий раз» является произведением не­зависимых событий C= A• A• A. Собы­тие D«команда «Физик» выиграет жре­бий только во второй и третий раз» явля­ется произведением независимых собы­тий D = A ■ A ■ A.Событие Е «команда «Физик» выиграет жребий ровно два ра­за» является суммой трех несовместных событий E = B + C + D. По формуле сло­жения вероятностей несовместных собы­тий, а затем формуле умножения вероят­ностей независимых событий имеем:

Р(E) = P (B) + P (C) + P (D) =

= P (A) P (A) P (A) + P (A) P (A) P (A) +

+P (A) P (A) P (A) =

=0,53+0,53+0,53=0,375.

Ответ: 0,375.

Б(2.12)4.1. Решение. Обозначим через М, Р, И и О события, состоящие в том, что абитуриент получит не менее 70 баллов соответственно по математике, русскому языку, иностранному языку и общество­знанию. Из условия задачи следует, что вероятности P(М) = 0,6, P(Р) = 0,8, P(И) = 0,7, P(О) = 0,5. Событие П «по­ступил хотя бы на одну из двух специ­альностей» является суммой трех несов­местных событий П = ЛК+ ЛК+ ЛК, где события Л и К означают, что абиту­риент поступил соответственно на специ­альность «Лингвистика» и специальность «Коммерция». Найдем вероятности со­бытий, используя формулу умножения вероятностей независимых событий:

P(ЛК) = P(МРИО) =

= P(М) ■ P(Р) ■ Р (И) ■ Р (О) =

= 0,6 ■ 0,8 ■ 0,7 ■ 0,5 = 0,168.

P(ЛК) = P(МрИо ) =

= P(М) ■ P(Р) ■ Р (И) ■ Р (О) =

= 0,6 ■ 0,8 ■ 0,3 ■ 0,5 = 0,072.

P(ЛК) = P(МРИО) =

= P(М) ■ P(Р) ■ Р (И) ■ Р (О) =

= 0,6 ■ 0,8 ■ 0,7 ■ 0,5 = 0,168.

По формуле сложения вероятностей несовместных событий имеем:

Р(∏) = P(ЛК) + P(Лк) + P(ЛК) =

=0,168+0,072+0,168=0,408.

Ответ: 0,408.

Б(2.12)5.1. Решение. Обозначим через А1И А2События, состоящие в том, что стекло выпущено соответственно первой фабрикой и второй фабрикой. Пусть со­бытие В означает, что стекло бракован­ное. Из условия задачи следует, что веро­ятности P(A1) = 0,45, P(A2) = 0,55, PA (B)=0,03, PA (B) =0,01. Событие В Является суммой двух несовместных со­бытий B= A1B+ A2B. По формуле сложе­ния вероятностей несовместных событий, а затем формуле умножения вероятно­стей зависимых событий имеем:

Р(B) = P (A1B) + P (A2 B) = =P(A1)PA1(B)+P(A2)PA2(B)= = 0,45 ■ 0,03 + 0,55 ■ 0,01 = 0,019.

Ответ: 0,019.

Б(2.12)6.1. Решение. Обозначим через А1И А2События, состоящие в том, что ков­бой выбрал соответственно пристрелян­ный и не пристрелянный револьвер. Пусть событие В означает, что ковбой промахнулся. Из условия задачи следует, что вероятности P(A1) = 0,4 ,

P(A 2) = 0,6, PA 1(B) = 1 -0,9 = 0,1,

Pa (B) = 1 — 0,2 = 0,8. Событие В является суммой двух несовместных событий B= A1B+ A2B. По формуле сложения вероятностей несовместных событий, а затем по формуле умножения вероятно­стей зависимых событий имеем:

Р(B ) = P (A1B ) + P (A B) = =P(A1)PA1(B)+P(A2)PA2(B)= = 0,4 ■ 0,1 + 0,6 ■ 0,8 = 0,52.

Ответ: 0,52.

Б(2.12)7.1. Решение. Обозначим через А И В события, состоящие в том, что паци­ент соответственно болен и не болен ге­патитом. Пусть событие С означает, что результат анализа у пациента положи­тельный. Из условия задачи следует, что вероятности P(A) = 0,05,

P(В) = 1-0,05 = 0,95, PA(С) = 0,9,

Pb(С) = 0,01. Событие D«результат ана­лиза будет положительным у пациента, поступившего в клинику» является сум­мой двух несовместных событий D = AC + BC.По формуле сложения ве­роятностей несовместных событий, а за­тем по формуле умножения вероятностей зависимых событий имеем:

Р (D) = P (AC) + P (BC) =

=P(A)PA(C) +P(B)PB(C) =

= 0,05 • 0,9 + 0,95 • 0,01 = 0,0545.

Ответ: 0,0545.

Б(2.12)8.1. Решение. Обозначим через И И Н события, состоящие в том, что бата­рейка соответственно исправная и не ис­правная. Пусть событие В означает, что выбранная из упаковки батарейка будет забракована. Из условия задачи следует, что вероятности P(И) = 1 — 0,02 = 0,98, P(H) = 0,02, РИ(B) = 0,01, PH(B) = 0,99. Событие В является суммой двух несов­местных событий B = + HB. По фор­

Муле сложения вероятностей несовмест­ных событий, а затем по формуле умно­жения вероятностей зависимых событий имеем:

Р(B) = P(W) + P (HB) =

= P(И ) РИ(B ) + P (H ) PH (B) =

= 0,98 • 0,01 + 0,02 • 0,99 = 0,0296.

Ответ: 0,0296.

Б(2.12)9.1. Решение. Обозначим через А1 И А2 события, состоящие в том, что яйцо поступило соответственно из первого хо­зяйства и второго хозяйства. Пусть собы­тие В означает, что яйцо высшей катего­рии. Из условия задачи следует, что ве­роятности P(A1) = P, P(A2) = 1- P, PA (B) = 0,4, PA (B) = 0,2 . Событие В яв­ляется суммой двух несовместных собы­тий B= A1B+ A2B. По формуле сложе­ния вероятностей несовместных событий, а затем по формуле умножения вероятно­стей зависимых событий имеем:

Р(B) = P ( AI B) + P (A2 B) = =P(A1)PA1(B)+P(A2)PA2(B)= = P• 0,4 + (1 — P) • 0,2 = 0,35.

Решая последнее уравнение, получим P=0,75.

Ответ: 0,75.

Б(2.12)10.1. Решение. Обозначим через О и Х события, состоящие в том, что по­года соответственно отличная и хорошая. Отличная погода 6 июля возможна при следующих событиях 4, 5 и 6 июля: ХХО, ХОО, ОХО, ООО. Из условия задачи сле­дует, что вероятности

PX(Х) = PO(О) = 0,8,

PX(О) = PO(Х) = 1 — 0,8 = 0,2.

Найдем вероятности событий ХХО, ХОО, ОХО, ООО, используя формулу умноже­ния вероятностей зависимых событий. Так как 3 июля погода была хорошая, то получаем:

P(ХХО) = PX(Х) • PX(Х) • PX(О) =

= 0,8 • 0,8 • 0,2 = 0,128.

P(ХОО) = PX(Х) • PX(О) • PO(О) = = 0,8 • 0,2 • 0,8 = 0,128.

P(ОХО) = PX(О) • РО (Х) • PX(О) = = 0,2 • 0,2 • 0,2 = 0,008.

P(ООО) = PX(О) • PO(О) • PO(О) = = 0,2 • 0,8 • 0,8 = 0,128.

Событие П «6 июля в Волшебной стране будет отличная погода» является суммой четырех несовместных событий П = ХХО+ХОО+ОХО+ООО. По фор­муле сложения вероятностей несовмест­ных событий имеем:

Р(∏) = P(ХХО) + P(ХОО) +

+P(ОХО) + Р (ООО) = =0,128+0,128+0,008+0,128=0,392.

Ответ: 0,392.

***

Т(2.12)1.1. Решение. У стрелка есть две возможности: поразить мишень при пер­вом выстреле, либо поразить мишень при втором выстреле (при неудачном первом выстреле). Вероятность поражения ми­шени при первом выстреле P1= 0,7 . Ве­роятность того, что первым выстрелом мишень не будет поражена P21= 1 — 0,7 = 0,3 . Вероятность пораже­ния мишени при втором выстреле P22= 0,7 . Согласно теореме умножения вероятностей, вероятность того, что пер­вый выстрел будет неудачным, но ми­шень будет поражена при втором вы­стреле P2= P21• P22= 0,3 • 0,7 = 0,21. Со-

Гласно теореме сложения вероятностей, вероятность того, что мишень будет по­ражена P = P1 + P2= 0,7 + 0,21 = 0,91.

Ответ: 0,91.

Т(2.12)2.1. Решение. Майское утро может быть либо ясным (с вероятностью P11= 0,6), либо облачным (с вероятно­стью P21= 0,4). Согласно теореме умно­жения вероятностей, вероятность P1того, что майское утро будет ясным и дождя не будет, равна произведению вероятностей P11= 0,6 (утро будет ясным) и P2= 1 — 0,2 = 0,8 (дождя не будет при яс­ном утре): P1= P11• P12= 0,6 • 0,8 = 0,48. Вероятность P2того, что майское утро будет облачным и дождя не будет, равна произведению вероятностей P21= 0,4 (утро будет облачным) и P22= 1 — 0,6 = 0,4 (дождя не будет при облачном утре):

P2= P21• P22= 0,4 • 0,4 = 0,16.

Согласно теореме сложения вероятно­стей, вероятность того, что в случайно взятый майский день дождя не будет P=P1+P2=0,48+0,16=0,64.

Ответ: 0,64.

2.13. Повторение испытаний.
Формула Бернулли

Т(2.13)1.1. Решение. Из условия зада­

Чи имеем N = 10, K = 3, P = —, Q = — . То — 66

Гда получаем по формуле Бернулли [3 7

1 I (5 I

— I — I — I ≈0,155.

6 J<6 J

Ответ: 0,155.

Ответы

1.1. Непосредственные подсчеты

Т(1.1)1.1. 12. Т(1.1)1.2. 18. Т(1.1)1.3. 24.

1.2. Правило умножения

Т(1.2)1.1. 5∙3∙4∙3 = 180.

Т(1.2)1.2. (4 ∙ 3 ∙ 2 ∙1) ∙ (4 ∙ 3 ∙ 2 ∙1) = 576.

Т(1.2)1.3. 18∙17∙16=4896.

1.3. Правило сложения

Т(1.3)1.1. 5∙3 + 4∙6 = 39.

Т(1.3)1.2. 5+52+53=155.

Т(1.3)1.3. 8.

1.4. Перестановки

Т(1.4)1.1. 4!=24. Т(1.4)1.2.5!=120.

Т(1.4)1.3. 8!=40320.

1.5. Размещения

Т(1.5)1.1. A170= 604800 .

Т(1.5)1.2. A84=1680 . Т(1.5)1.3. A47=840.

1.6. Сочетания

Т(1.6)1.1. C126=120. Т(1.6)1.2. C74=35 .

Т(1.6)1.3. C75=21.

2. Элементы теории вероятностей

2.2. Элементарные события

***

Т(2.2)1.4. 16.

***

Т(2.2)2.1. 6. Т(2.2)2.2. 36. Т(2.2)2.3. 216.

Т(2.2)2.4. А) 0; б) 1; в) 3; г) 4; д) 10.

***

Т(2.2)3.1. 6. Т(2.2)3.2. А) 10; б) 5.

Т(2.2)3.3. 8.

***

Б(2.2)1.1. 4. Б(2.2)1.2. 3. Б(2.2)1.3. 6.

2.3. Частота события

***

Т(2.3)1.1. 0,5069. Т(2.3)1.2. 0,5005.

Т(2.3)1.3. 0,98.

***

Б(2.3)1.1. 0,498. Б(2.3)1.2. 0,523.

Б(2.3)1.3. 0,515.

2.4. Формула классической
вероятности

***

Б(2.4)1.1. 0,006. Б(2.4)1.2. 0,004.

Б(2.4)1.3. 0,005.

***

Б(2.4)2.1. 0,2. Б(2.4)2.2. 0,24.

Б(2.4)2.3. 0,2.

***

Б(2.4)3.1. 0,6. Б(2.4)3.2. 0,6. Б(2.4)3.3. 0,6.

***

Б(2.4)4.1. 0,25. Б(2.4)4.2. 0,25.

Б(2.4)4.3. 0,25.

***

Б(2.4)5.1. 0,25. Б(2.4)5.2. 0,8.

Б(2.4)5.3. 0,625.

***

Б(2.4)6.1. 0,25. Б(2.4)6.2. 0,26.

Б(2.4)6.3. 0,35.

***

Б(2.4)7.1. 0,36. Б(2.4)7.2. 0,4.

Б(2.4)7.3. 0,2.

***

Б(2.4)8.1. 0,3. Б(2.4)8.2. 0,25.

Б(2.4)8.3. 0,4.

***

Б(2.4)9.1. 0,36. Б(2.4)9.2. 0,05.

Б(2.4)9.3. 0,04.

***

Б(2.4)10.1. 0,36. Б(2.4)10.2. 0,4.

Б(2.4)10.3. 0,8.

***

Б(2.4)11.1. 0,995. Б(2.4)11.2. 0,992.

Б(2.4)11.3. 0,995.

***

Б(2.4)12.1. 0,93. Б(2.4)12.2. 0,91.

Б(2.4)12.3. 0,93.

***

Б(2.4)13.1. 0,33. Б(2.4)13.2. 0,33.

Б(2.4)13.3. 0,33.

***

Б(2.4)14.1. 0,5. Б(2.4)14.2. 0,4.

Б(2.4)14.3. 0,3.

***

Б(2.4)15.1. 0,3. Б(2.4)15.2. 0,16.

Б(2.4)15.3. 0,25.

***

Б(2.4)16.1. 0,1. Б(2.4)16.2. 0,11.

Б(2.4)16.3. 0,51.

***

Б(2.4)17.1. 0,04. Б(2.4)17.2. 0,3.

Б(2.4)17.3. 0,2.

***

Б(2.4)18.1. 0,46.

***

Б(2.4)19.1. 0,2. Б(2.4)19.2. 0,25.

Б(2.4)19.3. 0,125.

***

Б(2.4)20.1.0,25.Б(2.4)20.2.0,2.

Б(2.4)20.3. 0,2.

***

Б(2.4)21.1. 0,16. Б(2.4)21.2. 0,3.

Б(2.4)21.3. 0,2.

***

Б(2.4)22.1. 0,225. Б(2.4)22.2. 0,16.

Б(2.4)22.3. 0,375.

***

Б(2.4)23.1. 0,25. Б(2.4)23.2. 0,125.

Б(2.4)23.3. 0,125.

***

Б(2.4)24.1. 0,5. Б(2.4)24.2. 0,375.

Б(2.4)24.3. 0,125.

***

Б(2.4)25.1. 0,14. Б(2.4)25.2. 0,14.

Б(2.4)25.3. 0,07.

***

Б(2.4)26.1. 0,98.

***

Б(2.4)27.1. 0,48. Б(2.4)27.2. 0,3125.

Б(2.4)27.3. 0,2.

***

Т(2.4)1.1. 0,35. Т(2.4)1.2. 0,6.

Т(2.4)1.3. 0,5.

***

Т(2.4)2.1. 0,4. Т(2.4)2.2. 0,25.

Т(2.4)2.3. 0,6.

***

Т(2.4)3.1. 0,8. Т(2.4)3.2. 0,75.

Т(2.4)3.3. 0,6.

***

Т(2.4)4.1. 0,15. Т(2.4)4.2. 0,6.

Т(2.4)4.3. 0,5.

***

Т(2.4)5.1. 0,15. Т(2.4)5.2. 0,2.

Т(2.4)5.3. 0,6.

***

Т(2.4)6.1. 0,9. Т(2.4)6.2. 0,8.

Т(2.4)6.3. 0,95.

***

Т(2.4)7.1. 0,96. Т(2.4)7.2. 0,8.

Т(2.4)7.3. 0,975.

***

Т(2.4)8.1. 0,375. Т(2.4)8.2. 0,375.

Т(2.4)8.3. 0,25. Т(2.4)8.4. 0,375.

***

Т(2.4)9.1. 0,02. Т(2.4)9.2. 0,2.

Т(2.4)9.3. 0,165.

***

Т(2.4)10.1. 0,4. Т(2.4)10.2. 0,4.

Т(2.4)10.3. 0,25. Т(2.4)10.4. 0,25.

Т(2.4)10.5. 0,4.

***

Т(2.4)11.1. 0,5. Т(2.4)11.2. 0,5.

Т(2.4)11.3. 0,4.

***

Т(2.4)12.1. 0,4. Т(2.4)12.2. 0,6.

2.5. Комбинаторные методы
решения вероятностных задач

Т(2.5)1.1. 0,6. Т(2.5)1.2. 0,4.

3

25 .

***

Б(2.5)1.1. 0,4. Б(2.5)1.2. 0,5. Б(2.5)1.3. 0,4.

***

Б(2.5)2.1. 0,48. Б(2.5)2.2. 0,3125.

Б(2.5)2.3. 0,2.

2.6. Геометрическая вероятность

***

T(2.6)1.1. — ≈ 0,637. T(2.6)1.2. 1.

T(2.6)1.3. 1.

***

Б(2.6)1.1. 0,25. Б(2.6)1.2. 0,5.

Б(2.6)1.3. 0,5.

2.7. Операции над событиями

T(2.7)1.1. А) PP + PO + OP; б) PP + OO.

T(2.7)1.3. А) A1A2; Б) A1A2 + A1 AT2 + AT1A2;

В) AT1AT2; г) AAT2;д) A AT2 + ATAL2.

Т(2.7)1.4. А) С: «выигрыш по одному би­лету»; б) D: «выигрыш хотя бы по одно­му билету».

2.8. Несовместные события.

Формула сложения вероятностей

***

Б(2.8)1.1. 0,35. Б(2.8)1.2. 0,6.

Б(2.8)1.3. 0,4.

***

Б(2.8)2.1.0,08.Б(2.8)2.2.0,14.

Б(2.8)2.3.0,1.

***

Б(2.8)3.1. 0,07. Б(2.8)3.2. 0,12.

Б(2.8)3.3. 0,09.

***

Б(2.8)4.1. 0,38. Б(2.8)4.2. 0,44.

Б(2.8)4.3. 0,41.

***

Б(2.8)5.1. 0,035. Б(2.8)5.2. 0,032.

Б(2.8)5.3. 0,024.

2.9. Совместные события.

Формула сложения вероятностей

***

Б(2.9)1.1. 0,52. Б(2.9)1.2. 0,5.

Б(2.9)1.3. 0,7.

2.10. Независимые события.

Формула умножения вероятностей

***

Б(2.10)1.1. 0,156. Б(2.10)1.2. 0,168.

Б(2.10)1.3. 0,17.

***

Б(2.10)2.1. 0,027. Б(2.10)2.2. 0,343.

Б(2.10)2.3. 0,216.

***

Б(2.10)3.1. 0,02. Б(2.10)3.2. 0,00.

Б(2.10)3.3. 0,02.

***

Б(2.10)4.1. 0,8836. Б(2.10)4.2. 0,9216.

Б(2.10)4.3. 0,9604.

***

Б(2.10)5.1. 0,125. Б(2.10)5.2. 0,125.

Б(2.10)5.3. 0,125.

***

Б(2.10)6.1. 0,02. Б(2.10)6.2. 0,0042.

Б(2.10)6.3. 0,0234.

***

Б(2.10)7.1. 0,91. Б(2.10)7.2. 0,9559.

Б(2.10)7.3. 0,9711.

***

Б(2.10)8.1. 0,0625. Б(2.10)8.2. 0,25.

Б(2.10)8.3. 0,5.

***

Б(2.10)9.1. 5.

***

Т(2.10)1.1. 4. Т(2.10)1.2. 4.

***

T(2.10)2.1. 0,125. T(2.10)2.2. ^.

T(2.10)2.3. ^.

2.11. Зависимые события.
Формула умножения вероятностей

***

T(2.11)1.1. 0,1. T(2.11)1.2. .

T(2.11)1.3. 1. T(2.11)1.4. Да.

2.12. Сложение и умножение
вероятностей

***

Б(2.12)1.1. 0,32. Б(2.12)1.2. 0,28.

Б(2.12)1.3. 0,33.

***

Б(2.12)2.1. 0,9975. Б(2.12)2.2. 0,9856.

Б(2.12)2.3. 0,9919.

***

Б(2.12)3.1. 0,375. Б(2.12)3.2. 0,375.

Б(2.12)3.3. 0,375.

***

Б(2.12)4.1. 0,408. Б(2.12)4.2. 0,1638.

Б(2.12)4.3. 0,168.

***

Б(2.12)5.1. 0,019. Б(2.12)5.2. 0,025.

Б(2.12)5.3. 0,016.

***

Б(2.12)6.1. 0,52. Б(2.12)6.2. 0,68.

Б(2.12)6.3. 0,6.

***

Б(2.12)7.1. 0,0545.

***

Б(2.12)8.1. 0,0296. Б(2.12)8.2. 0,0491.

Б(2.12)8.3. 0,0588.

***

Б(2.12)9.1. 0,75. Б(2.12)9.2. 0,5.

Б(2.12)9.3. 0,6.

***

Б(2.12)10.1. 0,392. Б(2.12)10.2. 0,468.

Б(2.12)10.3. 0,244.

***

Т(2.12)1.1. 0,91. Т(2.12)1.2. 0,84.

***

Т(2.12)2.1. 0,64. Т(2.12)2.2. 0,82.

Т(2.12).2.3. 0,81.

2.13. Повторение испытаний.
Формула Бернулли

10 8 8 10 80

19. ——— 1——— —— ≈ 0,5229 или

18 17 18 17 153

—. 20. 0,077. 21. 0,0036.

153

23

36

C2C7+C3C6

23 C5C13+C5C13

C3C0	13
30. Я 0,408.31.	. 32. 3:2.
C3 , 32	25
12!	21 • 3!∙ 22
33. ≈ 0,00005372	. 34.————
1212	25!

27.

Или

0,0091. 35. 1. 36. (-2;1] о{3};

,. ≈ 0,3368. C36

21

С3 25

11 1

43. ∙ ∙ 2 ∙ 5 = или

65 3

4!∙2∙5 1

—— = ≈ 0,3333.

6! 3

Васю можно посадить на край или между

2 1 4 2 10 1

Краями: ∙ + ∙ = = .

6 5 6 5 30 3

44. A = 3 -√3,5 .45. A = 1.

4

Список и источники литературы

1. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/ А. Г. Мордкович и др./ под ред. А. Г. Мордко — вича. — 3-е изд., стер. — М.: Мнемозина, 2009. — 264 с.: ил.

2. Высоцкий И. Р., Ященко И. В. ЕГЭ 2013. Математика. Задача В10. Теория вероятностей. Рабочая тетрадь / Под ред. А. Л. Семенова и И. В. Ященко. — 2-е изд., доп — М.: МЦНМО, 2013. — 48 с.

3. ЕГЭ 2013. Математика. 30 вариан­тов типовых тестовых заданий и 800 за­даний части 2(С) / И. Р. Высоцкий, П. И. Захаров, B. C. Панферов, С. Е. Посицель — ский, А. В. Семенов, А. Л. Семенов, М. А. Семенова, И. Н. Сергеев, В. А. Смирнов, С. А. Шестаков, Д. Э. Шноль, И. В. Ящен­ко; под ред. А. Л. Семенова, И. В. Ящен­ко.- М.: Издательство «Экзамен», 2013, 215, [1] с. (Серия «ЕГЭ. Типовые тесто­вые задания») ISBN 978-5-377-05523-5

4. ЕГЭ 2013. Математика. Типовые те­стовые задания / И. Р. Высоцкий, П. И. За­харов, B. C. Панферов, С. Е. Посицель- ский, А. В. Семенов, А. Л. Семенов, М. А. Семенова, И. Н. Сергеев, В. А. Смирнов, С. А. Шестаков, Д. Э. Шноль, И. В. Ящен­ко; под ред. А. Л. Семенова, И. В. Ященко — М.: Издательство «Экзамен», 2013, 55, [1] с. (Серия «ЕГЭ. Типовые тестовые задания») ISBN 978-5-377-05524-2

5. ЕГЭ 2013. Математика. Типовые те­стовые задания / И. Р. Высоцкий, П. И. За­харов, B. C. Панферов, С. Е. Посицель- ский, А. В. Семенов, А. Л. Семенов, М. А. Семенова, И. Н. Сергеев, В. А. Смирнов, С. А. Шестаков, Д. Э. Шноль, И. В. Ящен­ко; под ред. А. Л. Семенова, И. В. Ященко — М.: Издательство «Экзамен», 2013, 55, [1] с. (Серия «ЕГЭ. Типовые тестовые задания») ISBN 978-5-377-05529-7

6. ЕГЭ 2013: Математика: самое пол­ное издание типовых вариантов заданий /авт.-сост. И. В. Ященко, И. Р. Высоцкий; под ред. А. Л. Семенова, И. В. Ященко — Москва: АСТ: Астрель, 2013. — 111, [1] с. — (Федеральный институт педагогических измерений).

7. ЕГЭ 2013. Математика: типовые эк­заменационные варианты: 30 вариантов /под ред. А. Л. Семенова, И. В. Ященко — М.: Издательство «Национальное образо­вание», 2012. — 192 с. — (ЕГЭ-2013. ФИПИ — школе).

8. Лютикас В. С. Школьнику о теории вероятностей. Учеб. пособие по факуль­тативному курсу для учащихся 8-10 кл. М., «Просвещение», 1976.

9. Математика. Алгебра. Начала мате­матического анализа. Профильный уро­вень: учебник для 11 класса / М. И. Ша­бунин, А. А. Прокофьев. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний. 2008. — 384 с.

10. Математика. 10-11 классы: элек­тивный курс «В мире закономерных слу­чайностей» /авт.-сост. В. Н. Студенецкая и др. — Волгоград: Учитель, 2007. — 126 с.

11. Математика. Подготовка к ЕГЭ — 2012. Элементы теории вероятностей и статистики: учебно-методическое посо­бие / Под редакцией Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. — Ростов-на-Дону: Легион — М, 2011. — 32 с.

12. Мордкович А. Г., Семенов П. В. Со­бытия. Вероятности. Статистическая об­работка данных: Доп. Параграфы к курсу алгебры 7-9 кл. общеобразоват. учрежде­ний. — 3-е изд. — М.: Мнемозина, 2005. — 112 с.

13. Ниворожкина Л. И., Морозова З. А. Математическая статистика с элементами теории вероятностей в задачах с решени­ями: Учебное пособие. — Москва: ИКЦ «МарТ»; Ростов-н/Д: Издательский центр «МарТ», 2005. — 608 с. (Серия «Учебный курс»)

14. Скворцов В. В. Теория вероятно­стей? — Это интересно! — М.: Мир, 1992. — 118 с.

15. Теория вероятностей и математи­ческая статистика. Ивашев-Мусатов О. С. — М.: Наука. Главная редакция физико­математической литературы, 1979. — 256 с.

16. Теория вероятностей и статистика /Ю. Н. Тюрин, А. А. Макаров, И. Р. Высоц­кий, И. В. Ященко. — М.: МЦНМО: АО «Московские учебники», 2004. — 256 с.: ил.

17. Ткачева М. В. Элементы статистики и вероятность: учеб. пособие для 7-9 кл. общеобразов. учреждений / М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова. — 2-е изд. — М.: Просве­щение, 2005. — 112 с.

18. Www. mathege. ru— Математика ЕГЭ 2013 (открытый банк заданий).

19. Www. alexlarin. net— сайт по оказа­нию информационной поддержки сту­дентам и абитуриентам при подготовке к ЕГЭ, поступлению в ВУЗы и изучении различных разделов высшей математики.

20. Http://eek. diary. ru/— сайт по оказа­нию помощи абитуриентам, студентам, учителям по математике.

21. Http://reshuege. ru— Образователь­ный портал для подготовки к экзаменам «Решу ЕГЭ. Математика».