Задачи на производную егэ
Задача ЕГЭ 2022 — производная функции.
Этот раздел содержит задачи ЕГЭ по математике на темы, связанные с исследованием функций и их производных.
Задачи на определение характеристик производной по графику функции.
Задачи на определение характеристик функции по графику её производной.
Задачи на геометрический смысл производной.
Задачи на физический смысл производной.
В демонстрационных вариантах ЕГЭ 2022 года они могут встретиться под номером 14 для базового уровня и под номером 6 для профильного уровня.
Посмотрите внимательно на эти три графика функций.
Заметили ли вы, что эти функции в некотором смысле «родственники»?
Например, на тех участках, где график зеленой функции расположен выше нуля, красная функция возрастает. На тех участках, где график зеленой функции ниже нуля, красная функция убывает.
Аналогичные замечания можно сделать относительно красного и синего графиков.
Также можно заметить, что нули зеленой функции (точки X = −1 и X = 3) совпадают с точками экстремумов красного графика: при X = −1 на красном графике мы видим локальный максимум, при Х = 3 на красном графике локальный минимум.
Нетрудно заметить, что локальные максимумы и минимумы синего графика достигаются в тех же точках, где красный график проходит через значение Y = 0.
Можно сделать еще несколько выводов об особенностях поведения этих графиков, потому что они действительно связаны между собой. Посмотрите на формулы функций, расположенные под каждым из графиков, и путем вычислений убедитесь, что каждая предыдущая является производной для последующей и, соответственно, каждая следующая является одной из превообразных предыдущей функции.
Вспомним, что мы знаем о производной:
Производная функции Y = F(X) в точке Х выражает скорость изменения функции в точке X.
Физический смысл производной заключается в том, что производная выражает скорость протекания процесса, описываемого зависимостью y = f(x).
Геометрический смысл производной заключается в том, что её значение в рассматриваемой точке равняется угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику дифференцируемой функции в этой точке.
А теперь пусть красного графика на рисунке нет. Допустим, что и формулы функций нам неизвестны.
Могу ли я спросить вас о чем то, связанном с поведением функции Φ2(X), если известно, что она является производной функции Φ3(X) и первообразной функции Φ1(X)?
Могу. И на многие вопросы можно дать точный ответ, ведь мы знаем, что производная является характеристикой скорости изменения функции, поэтому можем судить о некоторых особенностях поведения одной из этих функций, глядя на график другой.
Прежде, чем отвечать на следующие вопросы, прокрутите страницу вверх так, чтобы скрылся верхний рисунок, содержащий красный график. Когда ответы будут даны, верните его обратно, чтобы проверить результат. И только после этого смотрите моё решение.
Внимание: Для усиления обучающего эффекта Ответы и решения загружаются отдельно для каждой задачи последовательным нажатием кнопок на желтом фоне. (Когда задач много, кнопки могут появиться с задержкой. Если кнопок не видно совсем, проверьте, разрешен ли в вашем браузере JavaScript.)
1) Пользуясь графиком производной Φ’2(X) (в нашем случае это зеленый график), определите какое из 2-ух значений функции больше Φ2(−3) или Φ2(−2)?
По графику производной видно, что на участке [−3;−2] её значения строго положительны, значит функция на этом участке только возрастает, поэтому значение функции в левом конце X = −3 меньше, чем её значение в правом конце X = −2.
Подобных вопросов по отсутствующему графику можно задать много, что обуславливает большое разноообразие задач с кратким ответом, построенных по такой же схеме. Попробуйте решить некоторые из них.
Задачи на определение характеристик производной по графику функции.
Рисунок 1.
Рисунок 2.
На рисунке 1 изображен график функции Y = F(X), определенной на интервале (−10,5;19). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
Производная функции положительна на тех участках, где функция возрастает. По рисунку видно, что это промежутки (−10,5;−7,6), (−1;8,2) и (15,7;19). Перечислим целые точки внутри этих интервалов: «−10″,»−9», «−8″,»0», «1»,»2″, «3»,»4″, «5»,»6″, «7»,»8″, «16»,»17″, «18». Всего 15 точек.
Замечания.
1. Когда в задачах о графиках функций требуют назвать «точки», как правило, имеют в виду только значения аргумента X, которые являются абсциссами соответствующих точек, расположенных на графике. Ординаты этих точек — значения функции, они являются зависимыми и могут быть легко вычислены при необходимости.
2. При перечислении точек мы не учитывали края интервалов, так как функция в этих точках не возрастает и не убывает, а «разворачивается». Производная в таких точках не положительна и не отрицательна, она равна нулю, поэтому они называются стационарными точками. Кроме того, мы не рассматриваем здесь границы области определения, потому что в условии сказано, что это интервал.
На рисунке 1 изображен график функции Y = F(X), определенной на интервале (−10,5;19). Определите количество целых точек, в которых производная функции F ‘(X) отрицательна.
Производная функции отрицательна на тех участках, где функция убывает. По рисунку видно, что это промежутки (−7,6;−1) и (8,2;15,7). Целые точки внутри этих интервалов: «−7″,»−6», «−5″,»−4», «−3″,»−2», «9»,»10″, «11»,»12″, «13»,»14″, «15». Всего 13 точек.
См. замечания к предыдущей задаче.
Для решения следующих задач нужно вспомнить еще одно определение.
Точки максимума и минимума функции объединяются общим названием — Точки экстремума.
В этих точках производная функции либо равна нулю, либо не существует (необходимое условие экстремума).
Однако необходимое условие — это признак, но не гарантия существования экстремума функции. Достаточным условием экстремума является смена знака производной: если производная в точке меняет знак с «+» на «−», то это точка максимума функции; если производная в точке меняет знак с «−» на «+» , то это точка минимума функции; если в точке производная функции равна нулю, либо не существует, но знак производной при переходе через эту точку не меняется на противоположный, то указанная точка не является точкой экстремума функции. Это может быть точка перегиба, точка разрыва или точка излома графика функции.
На рисунке 1 изображен график функции Y = F(X), определенной на интервале (−10,5;19). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой Y = 6 или совпадает с ней.
Вспомним, что уравнение прямой имеет вид Y = Kx + B, где k — коэффициент наклона этой прямой к оси Ox. В нашем случае k = 0, т. е. прямая Y = 6 не наклонена, а параллельна оси Ox. Значит искомые касательные также должны быть параллельны оси Ox и также должны иметь коэффициент наклона 0. Таким свойством касательные обладают в точках экстремумов функций. Поэтому для ответа на вопрос нужно просто посчитать все точки экстремумов на графике. Здесь их 4 — две точки максимума и две точки минимума.
На рисунке 2 изображен график функции Y = F(X), определенной на интервале (−11;23). Найдите сумму точек экстремума функции на отрезке [2;10].
На указанном отрезке мы видим 2 точки экстремума. Максимум функции достигается в точке X1 = 4, минимум в точке X2 = 8.
X1 + X2 = 4 + 8 = 12.
На рисунке 1 изображен график функции Y = F(X), определенной на интервале (−10,5;19). Найдите количество точек, в которых производная функции F ‘(X) равна 0.
Производная функции равна нулю в точках экстремума, которых на графике видно 4:
2 точки максимума и 2 точки минимума.
Задачи на определение характеристик функции по графику её производной.
Рисунок 1.
Рисунок 2.
На рисунке 2 изображен график F ‘(X) — производной функции F(X), определенной на интервале (−11;23). В какой точке отрезка [−6;2] функция F(X) принимает наибольшее значение.
На указанном отрезке производная нигде не была положительной, следовательно функция не возрастала. Она убывала или проходила через стационарные точки. Таким образом, наибольшего значения функция достигала на левой границе отрезка: X = −6.
Замечание: По графику производной видно, что на отрезке [−6;2] она равна нулю трижды: в точках X = −6, X = −2, X = 2. Но в точке X = −2 она не меняла знака, значит в этой точке не могло быть экстремума функции. Скорее всего там была точка перегиба графика исходной функции.
На рисунке 2 изображен график F ‘(X) — производной функции F(X), определенной на интервале (−11;23). В какой точке отрезка [3;5] функция принимает наименьшее значение.
На отрезке [3;5] производная строго положительна, следовательно функция на этом участке только возрастала. Таким образом, наименьшего значения функция достигала на левой границе отрезка: X = 3.
На рисунке 2 изображен график F ‘(X) — производной функции F(X), определенной на интервале (−11;23). Найдите количество точек максимума функции F(X), принадлежащих отрезку [−5;10].
Согласно необходимому условию экстремума максимум функции может быть в точках, где её производная равна нулю. На заданном отрезке это точки: X = −2, X = 2, X = 6, X = 10. Но согласно достаточному условию он точно будет только в тех из них, где знак производной меняется с «+» на «−». На графике производной мы видим, что из перечисленных точек такой является только точка X = 6.
На рисунке 2 изображен график F ‘(X) — производной функции F(X), определенной на интервале (−11;23). Найдите количество точек экстремума функции F(X), принадлежащих отрезку [0;20].
Экстремумы функции могут быть в тех точках, где её производная равна 0. На заданном отрезке графика производной мы видим 5 таких точек: X = 2, X = 6, X = 10, X = 14, X = 18. Но в точке X = 14 производная не поменяла знак, следовательно её надо исключить из рассмотрения. Таким образом, остаются 4 точки.
На рисунке 1 изображен график F ‘(X) — производной функции F(X), определенной на интервале (−10,5;19). Найдите промежутки возрастания функции F(X). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Промежутки возрастания функции совпадают с промежутками положительности производной. На графике мы видим их три — (−9;−7), (4;12), (18;19). Самый длинный из них второй. Его длина L = 12 − 4 = 8.
На рисунке 2 изображен график F ‘(X) — производной функции F(X), определенной на интервале (−11;23). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции F(X) параллельна прямой Y = −2X − 11 или совпадает с ней.
Угловой коэффициент (он же тангенс угла наклона) заданной прямой k = −2. Нас интересуют параллельные или совпадающие касательные, т. е. прямые с таким же наклоном. Исходя из геометрического смысла производной — угловой коэффициент касательной в рассматриваемой точке графика функции, пересчитываем точки, в которых производная равна −2. На рисунке 2 таких точек 9. Их удобно считать по пересечениям графика и линии координатной сетки, проходящей через значение −2 на оси Oy.
Как видите, по одному и тому же графику можно задать самые разнообразные вопросы о поведении функции и её производной. Также один тот же вопрос можно отнести к графикам разных функций. Будьте внимательны при решении этой задачи на экзамене, и она покажется Вам очень легкой. Другие виды задач этого задания — на геометрический смысл первообразной — будут рассмотрены в другом разделе.
Перейдите по стрелке, чтобы найти ссылки на другие задачи ЕГЭ по математике.
© mathematichka
Нашли опечатку или ошибку? Пожалуйста, сообщите о ней.
E-mail: mathematichka@yandex. ru
Для проживающих в Сергиевом Посаде возможны очные занятия.
Как видите, по одному и тому же графику можно задать самые разнообразные вопросы о поведении функции и её производной. Также один тот же вопрос можно отнести к графикам разных функций. Будьте внимательны при решении этой задачи на экзамене, и она покажется Вам очень легкой. Другие виды задач этого задания — на геометрический смысл первообразной — будут рассмотрены в другом разделе.
Задача ЕГЭ 2022 — производная функции.
Этот раздел содержит задачи ЕГЭ по математике на темы, связанные с исследованием функций и их производных.
Задачи на определение характеристик производной по графику функции.
Задачи на определение характеристик функции по графику её производной.
Задачи на геометрический смысл производной.
Задачи на физический смысл производной.
В демонстрационных вариантах ЕГЭ 2022 года они могут встретиться под номером 14 для базового уровня и под номером 6 для профильного уровня.
Посмотрите внимательно на эти три графика функций.
Заметили ли вы, что эти функции в некотором смысле «родственники»?
Например, на тех участках, где график зеленой функции расположен выше нуля, красная функция возрастает. На тех участках, где график зеленой функции ниже нуля, красная функция убывает.
Аналогичные замечания можно сделать относительно красного и синего графиков.
Также можно заметить, что нули зеленой функции (точки X = −1 и X = 3) совпадают с точками экстремумов красного графика: при X = −1 на красном графике мы видим локальный максимум, при Х = 3 на красном графике локальный минимум.
Нетрудно заметить, что локальные максимумы и минимумы синего графика достигаются в тех же точках, где красный график проходит через значение Y = 0.
Можно сделать еще несколько выводов об особенностях поведения этих графиков, потому что они действительно связаны между собой. Посмотрите на формулы функций, расположенные под каждым из графиков, и путем вычислений убедитесь, что каждая предыдущая является производной для последующей и, соответственно, каждая следующая является одной из превообразных предыдущей функции.
Вспомним, что мы знаем о производной:
Производная функции Y = F(X) в точке Х выражает скорость изменения функции в точке X.
Физический смысл производной заключается в том, что производная выражает скорость протекания процесса, описываемого зависимостью y = f(x).
Геометрический смысл производной заключается в том, что её значение в рассматриваемой точке равняется угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику дифференцируемой функции в этой точке.
А теперь пусть красного графика на рисунке нет. Допустим, что и формулы функций нам неизвестны.
Могу ли я спросить вас о чем то, связанном с поведением функции Φ2(X), если известно, что она является производной функции Φ3(X) и первообразной функции Φ1(X)?
Могу. И на многие вопросы можно дать точный ответ, ведь мы знаем, что производная является характеристикой скорости изменения функции, поэтому можем судить о некоторых особенностях поведения одной из этих функций, глядя на график другой.
Прежде, чем отвечать на следующие вопросы, прокрутите страницу вверх так, чтобы скрылся верхний рисунок, содержащий красный график. Когда ответы будут даны, верните его обратно, чтобы проверить результат. И только после этого смотрите моё решение.
Внимание: Для усиления обучающего эффекта Ответы и решения загружаются отдельно для каждой задачи последовательным нажатием кнопок на желтом фоне. (Когда задач много, кнопки могут появиться с задержкой. Если кнопок не видно совсем, проверьте, разрешен ли в вашем браузере JavaScript.)
1) Пользуясь графиком производной Φ’2(X) (в нашем случае это зеленый график), определите какое из 2-ух значений функции больше Φ2(−3) или Φ2(−2)?
По графику производной видно, что на участке [−3;−2] её значения строго положительны, значит функция на этом участке только возрастает, поэтому значение функции в левом конце X = −3 меньше, чем её значение в правом конце X = −2.
Подобных вопросов по отсутствующему графику можно задать много, что обуславливает большое разноообразие задач с кратким ответом, построенных по такой же схеме. Попробуйте решить некоторые из них.
Физический смысл производной заключается в том, что производная выражает скорость протекания процесса, описываемого зависимостью y = f(x).
Задачи на определение характеристик производной по графику функции.
Перейдите по стрелке, чтобы найти ссылки на другие задачи ЕГЭ по математике.
19.04.2018 18:06:54
2018-04-19 18:06:54
Любые данныеЛюбые данныеЛюбые данныеЛюбые данные Любые данные Любые данные