Угловая скорость и линейная скорость
Линейная и угловая скорость
Называется Мгновенной скоростью или просто скоростью.
В выражении (1) $\Delta \overline$ — перемещение материальной точки за отрезок времени равный $\Delta t$. Скорость характеризует быстроту перемещения тела. Мгновенная скорость — это скорость в данный момент времени.
Предельный переход в выражении (1) имеет геометрический смысл. Вектор $\Delta \overline$ направлен вдоль хорды, соединяющей две точки траектории, сближение этих точек ведет к тому, что этот вектор принимает положение касательной к траектории движения в данной точке. Получается, что вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории движения. При прямолинейном движении вектор скорости направлен по прямой.
Скорость прохождения пути определена аналогично:
Если траектория движения материальной точки — плавная кривая, то чем короче дуга, тем ближе она по длине к длине хорды. В предельном переходе при$\ \Delta t\to 0$ можно считать, что $\Delta s\to \Delta r$. Следовательно,
Если представить радиус — вектор, определяющий положение материальной точки $\overline$ в декартовой системе координат как:
\[\overline=x\left(t\right)\overline+y\left(t\right)\overline+z\left(t\right)\overline\left(4\right),\]
Где $\overline$; $\overline$; $\overline$ — единичные орты соответствующих осей координат, постоянные во времени, то подставив правую часть выражения (4) в определение линейной скорости (1), получим:
Из формулы (5) следует, что проекции скорости на оси координат X, Y, Z равны:
При этом модуль скорости найдем в соответствии с выражением:
Единицей скорости является скорость такого движения, при котором перемещение точки в единицу времени равно единице длины:
В Международной системе единиц (СИ) единицей измерения линейной скорости (в том числе и средней скорости) является метр в секунду:
Угловая скорость
Определение
Угловой скоростью называют векторную величину, равную первой производной от угла поворота по времени:
Вектор угловой скорости направлен по оси вращения по правилу правого винта, то есть как вектор $d\overline.$
Связь между линейной и угловой скоростями задана выражением:
В векторном виде формулу (8) записывают как:
$\overline$ — вектор, соединяющий ось вращения и движущуюся точку. Модуль скорости в выражении (9) найдем как:
Где $\alpha $ — угол между вектором угловой скорости и $\overline.$
При равномерном движении по окружности угловая скорость ($\omega =const$), частота и период связаны как:
\[\omega =\frac=2\pi \nu \left(11\right).\]
Единица измерения угловой скорости — это радиан, деленный на секунду:
Примеры задач на линейную и угловую скорость
Задание: Цилиндр вращается вокруг неподвижной оси так, что угол поворота изменяется в зависимости от времени как: $\varphi =At^2,\ где\ A=const.$ Какой будет угловая скорость цилиндра в момент времени $t’?$ Нарисуйте график зависимости угловой скорости движения цилиндра от времени ($\omega (t)$).
Решение: Основой для решения задачи будет определение величины угловой скорости:
Найдем производную от функции $\varphi (t)=At^2$, которая задана в условии задачи:
\[\omega =\frac\left(At^2\right)=2At\ \left(1.2\right).\]
При $t=t’$ угловая скорость цилиндра равна:
Функция $\omega (t)$, как мы видим из уравнения (1.2) является линейной, следовательно, графиком угловой скорости в осях ($\omega, t$) ,будет прямая, выходящая из начала координат рис.1. Угол наклона прямой характеризует коэффициент $2A$.
Задание: Материальная точка движется в плоскости XOY. Ее движение описывают уравнения:
$(A, B-постоянные,\ больше\ нуля)$. Запишите закон изменения скорости движения точки ($\overline(t)$). Каков модуль скорости движения точки?
Решение: Закон движения точки задан в координатной форме. В векторном виде его запишем как:
\[\overline\left(t\right)=x\overline+y\overline=At\overline+At\left(1+Bt\right)\overline\left(2.1\right),\]
$\overline$ и $\overline$ — орты осей X и Y, соответственно.
Скорость движения найдем в соответствии с ее определением:
\[\overline=\frac>=A\overline+\left(A+2ABt\right)\overline\left(2.2\right).\]
Величину скорости найдем, зная из уравнения (2.2), что:
Модуль скорости равен:
Ответ: $\overline=A\overline+\left(A+2ABt\right)\overline.$ $v=A\sqrt^2>$
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Остались вопросы?
Здесь вы найдете ответы.
Задание: Цилиндр вращается вокруг неподвижной оси так, что угол поворота изменяется в зависимости от времени как: $\varphi =At^2,\ где\ A=const.$ Какой будет угловая скорость цилиндра в момент времени $t’?$ Нарисуйте график зависимости угловой скорости движения цилиндра от времени ($\omega (t)$).
Линейная и угловая скорость
Называется Мгновенной скоростью или просто скоростью.
В выражении (1) $\Delta \overline$ — перемещение материальной точки за отрезок времени равный $\Delta t$. Скорость характеризует быстроту перемещения тела. Мгновенная скорость — это скорость в данный момент времени.
Предельный переход в выражении (1) имеет геометрический смысл. Вектор $\Delta \overline$ направлен вдоль хорды, соединяющей две точки траектории, сближение этих точек ведет к тому, что этот вектор принимает положение касательной к траектории движения в данной точке. Получается, что вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории движения. При прямолинейном движении вектор скорости направлен по прямой.
Скорость прохождения пути определена аналогично:
Если траектория движения материальной точки — плавная кривая, то чем короче дуга, тем ближе она по длине к длине хорды. В предельном переходе при$\ \Delta t\to 0$ можно считать, что $\Delta s\to \Delta r$. Следовательно,
Если представить радиус — вектор, определяющий положение материальной точки $\overline$ в декартовой системе координат как:
\[\overline=x\left(t\right)\overline+y\left(t\right)\overline+z\left(t\right)\overline\left(4\right),\]
Где $\overline$; $\overline$; $\overline$ — единичные орты соответствующих осей координат, постоянные во времени, то подставив правую часть выражения (4) в определение линейной скорости (1), получим:
Из формулы (5) следует, что проекции скорости на оси координат X, Y, Z равны:
При этом модуль скорости найдем в соответствии с выражением:
Единицей скорости является скорость такого движения, при котором перемещение точки в единицу времени равно единице длины:
В Международной системе единиц (СИ) единицей измерения линейной скорости (в том числе и средней скорости) является метр в секунду:
\[\overline=x\left(t\right)\overline+y\left(t\right)\overline+z\left(t\right)\overline\left(4\right),\]
Примеры задач на линейную и угловую скорость
Функция omega t, как мы видим из уравнения 1.
06.02.2018 12:08:07
2018-02-06 12:08:07
Любые данныеЛюбые данные Любые данные Любые данные
Любые данные
Любые данные
Движение по окружности. Центростремительное и тангенциальное ускорения
Движение по окружности нас окружает постоянно – это может быть мотоциклист на мототреке, вращение грузика на веревке, движение по выгнутому круглому мосту, любой поворот на дороге тоже можно рассматривать, как движение по части окружности и т. д.
Давайте представим, что мы смотрим сверху на мототрек (см. рис.1.). Пусть точка \(А\) это мотоциклист, который движется с постоянной линейной скоростью \(\vec\), и за какое-то время \(t\) он переместится по дуге окружности \(^\) в точку \(^\). Его пройденный путь будет равен длине дуги окружности \(^\).
Определение Линейная скорость – это путь, который проходит мотоциклист за единицу времени (например, за секунду):
Понятно, что чем больший путь (большую длину дуги) успевает пройти тело за одно и тоже время, тем быстрее оно движется, тем больше его линейная скорость. Линейная скорость — это обычная скорость, к которой мы все привыкли. Обратите внимание, что вектор линейной скорости всегда направлен по касательной к траектории, в нашем случае – по касательной к окружности. Чуть позже нам это пригодится.
Рис.1. Линейная скорость при вращательном движении. Угловая скорость.
И так, при движении по окружности можно двумя способами измерять скорость – при помощи линейной скорости (какое расстояние проходит тело за единицу времени) и при помощи угловой скорости (на какой угол поворачивается тело за единицу времени). Эти скорости, очевидно, должны быть связаны между собой.
Но прежде чем, вывести это соотношение, представьте, что отрезок \(AO\) вращается по окружности (см. Рис.1.) и за время \(t\) переходит в отрезок \(^O\) — точка \(A\) переходит в точку \(^\), а точка \(B\) – в точку \(^\).
При этом точка \(A\) проходит за время \(t\) расстояние равное длине дуги окружности \(^\), а точка \(B\) за тоже самое время (ведь обе точки лежат все время на одной прямой) расстояние \(^\).
А на какой угол успевают повернуться точки \(A\) и \(B\) за одно и тоже время \(t\)?
Из рисунка 1 видно, что они обе поворачиваются на один и тот же угол \(\Delta\varphi\). А так как угловая скорость по определению, это отношение угла ко времени, то угловые скорости точек \(A\) и \(B\) одинаковые.
И так, что мы имеем – оказывается, что при удалении линейная скорость растет, а угловая скорость при этом не меняется. Тогда логичной выглядит следующая формула, связывающая угловую и линейную скорости:
Где \(V\) – линейная скорость,
\(\omega\) – угловая скорость,
\(R\) – радиус вращения.
Период и частота вращения
Важными характеристиками любого вращательного движения являются частота и период:
Определение Период – время, за которое тело совершает полный оборот.
В нашем примере с мотоциклистом, период – это время, за которое мотоциклист проезжает один полный круг.
Из курса геометрии вспоминаем, что длину дуги окружности можно посчитать как \(2*\pi*R\), где \(R\) – радиус окружности. Тогда в случае равномерного движения период можно посчитать по формуле, как расстояние деленое на скорость: $$T=\frac;$$ Подставив сюда формулу \((1)\) для линейной скорости через угловую: $$T=\frac<\omega>;$$ Где \(V\) –линейная скорость вращения.
В системе СИ период измеряется в \([^]\).
Определение Частота – количество оборотов за единицу времени.
В случае с мотоциклистом, частота – это сколько кругов он успевает проехать, например, за один час. Обычно частоту измеряют в оборотах в секунду.
Период и частота вращения связаны между собой выражением: $$T=\frac;$$ Отсюда можно получить формулы для частоты, подставив период: $$\nu=\frac=\frac<\omega>;$$
Скорость точки, находящейся на краю вращающегося диска равна \(V_A=15(м/с)\), а точки, расположенной на 0,2 (м) ближе к центру вращения равна \(V_B=10(м/с)\). Найти частоту вращения и радиус диска.
Рис.2. Задача на движение по окружности
Решение: Точка \(А\) находится дальше от центра на \(20 (см)\), а значит ее скорость больше, чем у точки \(В\). По условию так и есть. Так как обе точки находятся на одном радиусе, то угловые скорости у них одинаковые. Распишем угловые скорости для точек \(А\) и \(В\) и приравняем: $$\omega_A=\frac;$$ $$\omega_B=\frac;$$ $$\omega_A=\omega_B;$$ $$\frac=\frac;$$ Из условия \(A0=BO+0.2\): $$\frac=\frac;$$ $$\frac=\frac;$$ $$15*BO=(BO+0,2)*10;$$ $$5*BO=2;$$ $$BO=0,4.$$ Мы нашли радиус окружности по которой вращается точка \(В\), тогда радиус точки \(А\) будет на \(0,2(м)\) больше — \(0,6(м)\).
Для того, чтобы найти частоту, воспользуемся формулой: $$\nu=\frac=\frac=3,98(об/сек);$$ Ответ: \(R=0,6(м)\) и \(\nu=3,98(об/сек).\)
Центростремительное (нормальное) ускорение
Рис.3. Центростремительное ускорение
Вернемся к нашему примеру с мотоциклистом, двигающимся по мототреку в форму окружности. (См. Рис.3.) Для начала, представим, что линейная скорость у мотоциклиста постоянна, то есть он двигается равномерно, а значит его ускорение должно быть равно нулю. Это действительно так, но при движении по окружности (или любой другой криволинейной траектории) даже с постоянной скоростью возникает новый вид ускорения – центростремительное, еще его называют «нормальное», ускорение. Оно появляется по причине изменения направления вектором скорости.
На самом деле, для решения задач понимать природу центростремительного ускорения совсем необязательно. Достаточно просто помнить, что при любом криволинейном движении появляется такое ускорение. Его можно вычислить по формуле: $$a_n=\frac;$$ где \(V\) –линейная скорость;
\(R\) – радиус окружности.
Подставим сюда линейную скорость через угловую — \(V=\omega*R\). И получим еще одну формулу для центростремительного ускорения: $$a_n=\omega^2*R;$$ Важно! Центростремительное ускорение всегда перпендикулярно скорости и направлено к центру окружности.
Тангенциальное ускорение
Теперь представим, что мотоциклист едет по круглому мототреку не с постоянной скоростью, а равноускорено/равнозамедлено. В этом случае говорят, говорят, что мотоциклист движется с тангенциальным ускорением.
Тангенциальное ускорение – это обычное ускорение, к которому мы привыкли в курсе кинематики. Оно показывает на сколько успевает измениться скорость за единицу времени, например, за секунду.
Тангенциальное ускорение всегда направлено по касательной к траектории. Если тело ускоряется, то оно сонаправлено с линейной скоростью, а если замедляется, то направлено в противоположную сторону. (см. Рис.3, показано синей стрелкой \(\vec>\))
При равноускоренном\равнозамедленном движении тангенциальное ускорение можно посчитать по формуле: $$a_=\frac;$$ где \(V_к\) – конечная скорость;
\(V_н\) – начальная скорость;
\(t\) – время, за которое скорость изменилась с \(V_н\) до \(V_к\).
При любом неравномерном движение по криволинейной траектории (окружности), у тела обязательно есть два вида ускорений – нормальное, направленное к центру, перпендикулярно скорости, и тангенциальное, направленное по касательной к траектории. Нормальное ускорение отвечает за изменение направления вектора линейной скорости, а тангенциальное за изменение величины линейной скорости.
Если тело движется с постоянной скоростью, то тангенциальное ускорение равно \(0\).
Если тело движется по прямой, то нормальное ускорение равно \(0\).
Векторно сложим эти два ускорения по правилу параллелограмма, и получим вектор общего ускорения, которым обладает тело при движении по окружности. (см. Рис.3., фиолетовая стрелка \(\vec\)).
Колесо радиуса R вращается с постоянной скоростью. Во сколько раз отличаются центростремительные ускорения двух точек расположенный на расстояниях \(R/2\) и \(R/3\) от центра колеса
Решение: Так как любая точка колеса вращается с одинаковой угловой скоростью \(\omega\), то воспользуемся формулой для центростремительного ускорения через угловую скорость: $$a_n=\omega^2*r;$$ Пусть точка А вращается по окружности радиусом \(R/2\), а точка В — \(R/3\). $$a_=\omega^2*\frac;$$ $$a_=\omega^2*\frac;$$ $$\frac
© 2023 Образовательный центр SIGMA
ОГРНИП 317595800073335
ИНН 5905049322613
Все материалы данного сайта являются объектами авторского права. Запрещается копирование, распространение или любое иное использование информации и объектов без предварительного согласия правообладателя.
Определение Частота – количество оборотов за единицу времени.
Период и частота вращения
Важными характеристиками любого вращательного движения являются частота и период:
Определение Период – время, за которое тело совершает полный оборот.
В нашем примере с мотоциклистом, период – это время, за которое мотоциклист проезжает один полный круг.
Из курса геометрии вспоминаем, что длину дуги окружности можно посчитать как \(2*\pi*R\), где \(R\) – радиус окружности. Тогда в случае равномерного движения период можно посчитать по формуле, как расстояние деленое на скорость: $T=\frac;$ Подставив сюда формулу \((1)\) для линейной скорости через угловую: $T=\frac<\omega>;$ Где \(V\) –линейная скорость вращения.
В системе СИ период измеряется в \([^]\).
Определение Частота – количество оборотов за единицу времени.
В случае с мотоциклистом, частота – это сколько кругов он успевает проехать, например, за один час. Обычно частоту измеряют в оборотах в секунду.
Период и частота вращения связаны между собой выражением: $T=\frac;$ Отсюда можно получить формулы для частоты, подставив период: $\nu=\frac=\frac<\omega>;$
Скорость точки, находящейся на краю вращающегося диска равна \(V_A=15(м/с)\), а точки, расположенной на 0,2 (м) ближе к центру вращения равна \(V_B=10(м/с)\). Найти частоту вращения и радиус диска.
Рис.2. Задача на движение по окружности
Решение: Точка \(А\) находится дальше от центра на \(20 (см)\), а значит ее скорость больше, чем у точки \(В\). По условию так и есть. Так как обе точки находятся на одном радиусе, то угловые скорости у них одинаковые. Распишем угловые скорости для точек \(А\) и \(В\) и приравняем: $\omega_A=\frac;$ $\omega_B=\frac;$ $\omega_A=\omega_B;$ $\frac=\frac;$ Из условия \(A0=BO+0.2\): $\frac=\frac;$ $\frac=\frac;$ $15*BO=(BO+0,2)*10;$ $5*BO=2;$ $BO=0,4.$ Мы нашли радиус окружности по которой вращается точка \(В\), тогда радиус точки \(А\) будет на \(0,2(м)\) больше — \(0,6(м)\).
Для того, чтобы найти частоту, воспользуемся формулой: $\nu=\frac=\frac=3,98(об/сек);$ Ответ: \(R=0,6(м)\) и \(\nu=3,98(об/сек).\)
\[\omega =\frac\left(At^2\right)=2At\ \left(1.2\right).\]
Период и частота вращения
Если траектория движения материальной точки — плавная кривая, то чем короче дуга, тем ближе она по длине к длине хорды.
01.05.2017 1:10:54
2017-05-01 01:10:54
Любые данныеЛюбые данныеЛюбые данные Любые данные Любые данные
Любые данные
Любые данные
Источники:
Https://www. webmath. ru/poleznoe/fizika_77_linejnaja_i_uglovaja_skorost. php