Задания этого раздела направлены на проверку

Задания этого раздела направлены на проверку умений:

— выполнять разложение многочленов на множители с использованием нескольких способов;

— выполнять многошаговые преобразования рациональных выражений, применяя широкий набор изученных алгоритмов;

— выполнять преобразования выражений, содержащих степени с целыми показателями, квадратные корни;

— применять преобразования для решения различных математических задач (например, на нахождение наибольшего и наименьшего значений).

Задания

Повышенный уровень

1. Разложите на множители:

A) C2a-a-c2 + 1; б) X2y + 1 -x2-y.

2. Сократите дробь:

λ4α2-9α + 2 fa 1 — 6с + 2/ — Бсу

A’ l-4α + x-4αx, ‘ 6c2-7c+l

3. Упростите выражение:

∖3fl2. ( За + х _ За-х \

X2- 9α2∖3αx-x2 Зах + х2/’

6× ( Х+ 5y_ X-Sy∖25z∕2- X2

∖ X2- 5×2/ X2 + 5×2/ / Sy2

4. Разложите на множители:

A) X4- 6×2- 27; б) x4 + х2 — 20.

5. Упростите выражение:

A> (∆2-2⅛-3 ^^ ⅛2 + 26+ 1 )’ ((5Z>+ 5)2′)

6^3fl-6^(τ±H-7≡)∙

7. Найдите значение выражения:

A) ]∕(4-2√5,)2 +]∕(5-2√5,)2

Б) ]∕(2√7,-5)2 +]∕(2√7,-6)2

При каких значениях переменной не имеет смысла выражение: а) 1 1; б) 1 + ?

1——- 2 1—— -—

1 lγ * + ~÷

Высокий уровень

9. Докажите тождество:

А) (x + l)(x+2)(x +3)(x +4) + 1 = (x2 + 5x + 5)2;

Б) (х — 3)(x — l)x(x + 2) + 9 = (х2 — х — З)2

10. А) Докажите, что если сумма чисел А и BРавна 1, то A3 + B3 = 1 — Sab.

6) Докажите, что если разность чисел А и BРавна 1, то A3- B3 = 1 + Sab.

11. Найдите наименьшее значение выражения и определите, при каких значениях Х и У оно достигается:

A) X2 + у2+ 4х — 6г/; б) Х2+ у2 — 6х+ 8г/.

12. А) Докажите, что ни при каких значениях А и BЗначение выражения 5«2+ 3⅛2 + 20« — 12B + 34 не равно нулю.

Б) Докажите, что ни при каких значениях А и BЗначение выражения 3«2+ 4Z>2- 18« + 8Ь+ 32 не равно нулю.

Уравнения, системы уравнений

Задания этого раздела направлены на проверку следующих умений:

— решать целые и дробные уравнения с одной переменной, применяя при этом алгебраические преобразования, а также такие приемы, как разложение на множители, замена переменной;

— решать системы линейных уравнений, и системы, содержащие нелинейные уравнения, способами подстановки и сложения, применять также некоторые специальные приемы;

— проводить исследование уравнений и систем, содержащих буквенные коэффициенты, используя, в частности, графические представления;

— решать текстовые задачи, в том числе работать с моделью, в которой число переменных больше числа уравнений.

Задания

Повышенный уровень

1. Найдите корни уравнения:

A) 2×4- 17×2 -9 = 0; б) 3×4- Ilx2- 4 = 0.

2. Решите уравнение:

Ч Х 5 _ 3×2 + 6x. Xk 3 Х _ 2×2- 9х

A) 3x+2 + 3x-2 ^ 4-9х2’ 2x+3 + 2x-3^ 9-4х2’

Решите систему уравнений:

‘ 2(х -у)- 3(х + У) = 2х — 6г/, a)ηx+i∕ Х—у _ 2х

.2 5 — 5 ’

‘ 4(х + у) — 5(х — у) =13г/ — 2х, б)<

подпись: 6. решите уравнение:
а) х-2√? — 15 = 0;
7. решите систему уравнений
3(х + у) -∖- ху —-14,
а) 1
х + у - ху= 6;

8. Решите систему уравнений:

Решите задачу (9—10):

9. А) На пост капитана команды претендовало три кандидата: Николаев, Окунев, Петров. Во время выборов за Петрова было отдано в 3 раза больше голосов, чем за Николаева, а за Окунева — в 2 раза меньше, чем за Николаева и Петрова вместе. Сколько процентов голосов было отдано за победителя?

Б) На звание лучшего игрока чемпионата претендовалЬ три кандидата: Рыбкин, Соколов, Тимофеев. По результатам опроса Тимофеев получил в 9 раз меньше голосов, чем Рыбкин, а Соколов — в 2 раза меньше, чем Рыбкин и Тимофеев вместе. Сколько процентов голосов было отдано за победителя?

10. А) Лесхоз планировал заготовить за несколько дней 216 новогодних елей. Первые три дня лесхоз выполнял установленную ежедневную норму, а потом стал заготавливать на 2 ели в день больше. Поэтому уже за 1 день до срока было заготовлено 232 ели. Сколько елей ежедневно заготавливал лесхоз в первые три дня работы?

6) На 600 р. студент планировал обедать определенное число дней. В каждый из первых трех дней он тратил запланированную на день сумму, а затем увеличил ежедневные траты на 20 р. В результате за 2 дня до срока он истратил уже 580 р. Сколько денег студент планировал тратить на обед ежедневно?

Высокий уровень

11. Решите уравнение:

А) (x2-3x — 1)2 + 2x(x-3) = 1;

Б) (2×2-x+I)2 + 2x(2x-1) = 1.

£_± +JL =1
3 4 12 1,

^- + —+ — = 1
5 + 10 3

Х + у + z.

подпись: + £ = 1
4 18 9
у £_ =1
30 45 18

Х + у + z.

13. А) Найдите все отрицательные значения τn1При которых система

X2 + Y2 = TTl21 Не имеет решений.

Х + У= 1

6) Найдите все положительные значения τn1При которых система

X—Y = 2, Не имеет решении.

X2 + Y2 = Т2

14. А) Докажите, что уравнение (х2 — 2х + 3) (х2 — 6х + 10) = 2 не имеет корней.

Б) Докажите, что уравнение (х2 — 6х — И)2+ (χ2 + 2х + 2)2= 5

Не имеет корней.

Решите задачу (15—16):

15. А) Из пункта А в пункт B1Расположенный выше по течению реки, вышла моторная лодка, собственная скорость которой в 5 раз больше скорости течения. Одновременно навстречу ей из пункта В отправился плот. Встретив плот, лодка сразу повернула назад и пошла вниз по течению реки. Какую часть пути от до А пройдет плот к моменту возвращения лодки в пункт Л.

Б) Из пункта А в пункт BfРасположенный ниже по течению реки, отправился плот. Одновременно навстречу ему из пункта В вышла лодка, собственная скорость которой в 2 раза больше скорости течения. Встретив плот, лодка сразу повернула назад и пошла вниз по течению. Какую часть пути от Л до В останется пройти плоту к моменту возвращения лодки в пункт В?

16. А) При смешивании первого раствора соли, концентрация которого 40%, и второго раствора этой же соли, концентрация которого 48%, получился раствор с концентрацией 42%. В каком отношении были взяты первый и второй растворы?

Б) Имеется два сплава с разным содержанием золота. В первом сплаве содержится 35%, а во втором — 60% золота. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 40% золота?

Неравенства

Задачи этого раздела направлены на проверку умений:

— решать линейные неравенства с одной переменной и их системы, требующие для приведения их к простейшему виду алгебраических преобразований; выбирать решения, удовлетворяющие дополнительным условиям;

— решать квадратные неравенства и системы, включающие квадратные неравенства;

— решать задачи, связанные с решением неравенств и систем, содержащих буквенные коэффициенты;

Применять аппарат неравенств для решения математических задач.

Задания

Повышенный уровень

1. А) Найдите наименьшее целое значение AfПри котором разность х о 12 — 2A 1 — 5а

Дробей —— и —g— положительна.

6) Найдите наибольшее целое значение AfПри котором сумма дро — х о 15 -За ба-8

Беи —2— и —з— отрицательна.

2. Решите неравенство:

A) (VH+VIΣ- l’)(4x — 13) < 0;

B) ( √351+√371-2^(10+ 3x) < 0.