Признаки равенства треугольников
Определение. Два треугольника называются равными, если их можно наложить друг на друга так, чтобы они совпали.
1) (Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними).
Если в AABCИ AAιBiC↑ /ВАС = ∕B↑A∖C↑, AB = Λ1Bi, AC = A↑C↑, То AABC = AAiB1Ci.
2) (Второй признак равенства треугольников — по стороне и прилежащим к ней углам).
Если в AABCИ AA↑BιC∖ BC= B∖C1, /ACB = ∕A∖C∖B1, /АВС = =/А ,Bi Chто AABC = AAtBl Ch
3) (Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам). Если в AABCИ AAiBιCι AB = AiBh AC= AiCh BC = BiChТо AABC = AAιB]Ch
Признаки подобия треугольников
4) (Первый признак подобия треугольников — по двум углам). Два треугольника являются подобными, если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника.
5) (Второй признак подобия треугольников — по двум сторонам и углу между ними). Два треугольника являются подобными, если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы между этими сторонами равны.
6) (Третий признак подобия треугольников — по трем сторонам). Два треугольника являются подобными, если все стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника. Сумма внутренних углов треугольника равна 180 градусов.
Неравенство треугольника: Во всяком треугольнике каждая его сторона меньше суммы двух других его сторон.
Теорема Пифагора: В Прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Теорема косинусов: Квадрат любой стороны треугольника равен разности между суммой квадратов двух других сторон и удвоенным произведением этих сторон на косинус угла между ними.
Теорема синусов: Отношения сторон треугольника к синусам противолежащих углов равны между собой.
Площадь треугольника равна половине произведения одной из его сторон на проведенную к этой стороне высоту:
£
S = 2 Ah.
Площадь любого треугольника равна половине произведения любых двух его сторон на синус угла между ними.
Формула Герона для площади треугольника:
S^y∣P(p-a)(p-b)(p-c)
, а+Ь+с
Где А, Ь, с — длины сторон треугольника, а Р = ———— —— — полупери
Метр треугольника.
Определение. Параллелограмм — 4-угольник, в котором противоположные стороны попарно параллельны.
Теорема 1 (свойство сторон и углов параллелограмма).
Пусть ABCD — параллелограмм. Тогда AB = CD, BC = AD, ZA = ZC, ZB = ZDnZA + ZB = 180°.
Теорема 2 (признаки параллелограмма).
Если в выпуклом 4-угольнике ABCD‘.Или 1) AB = CDИ BC = AD, Или 2) AB = CDИ AB ∣∣ CD,То ABCD — параллелограмм.
Теорема 3 (свойство диагоналей).
Пусть ABCD — параллелограмм, AC n BD = О.
Тогда АО = ОС и ВО = OD.
Теорема 4. (признак параллелограмма).
Пусть ABCD— 4-угольник, AC, BD — его диагонали, AC n BD = О, AO= ОС, ВО = OD.Тогда ABCD — параллелограмм.
Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, опущенную на эту сторону.
Определение. Трапеция — это 4-угольник, в котором две противоположные стороны параллельны (основания трапеции), а две другие — нет (боковые стороны трапеции).
Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.
Определение. Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.
Теорема. Пусть PQ — средняя линия трапеции ABCD.
Тогда PQ∖∖ AD, PQ || ВС,
PQ = ^(AD+ ВС).
Площадь трапеции равна произведению ее средней линии на высоту.
Определение. Многоугольник называется выпуклым, если этот многоугольник целиком находится в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону.
Сумма всех внутренних углов выпуклого и-угольника равна 180° (и-2).
Выпуклый многоугольник называется правильным, если все его стороны и углы равны.
Касательная к окружности и ее свойства. Центральный и вписанный углы. Длина окружности. Площадь круга
Определение. Окружность — множество всех точек, равноудаленных от данной точки (центра окружности). Радиус окружности — отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром. Секущая — прямая, проходящая через 2 точки окружности. Хорда — отрезок, соединяющий 2 точки окружности. Диаметр — хорда, проходящая через центр. Касательная — прямая, лежащая в одной плоскости с окружностью и имеющая с ней только одну общую точку (точку касания).
Теорема 1. (свойство касательной). Пусть прямая А касается окружности с центром О в точке А. Тогда OA 1 А.
А В
Теорема 2. Пусть А лежит вне окружности, ABИ AC — касательные.
В
Тогда AB = ACИ ZBAO = ZOAC.
Теорема 3. (обратная к теореме 1). Пусть OA — радиус окружности, A ± OA, A еа. Тогда А — касательная.
Определение. Центральный угол — угол, образованный двумя радиусами окружности. Вписанный угол — угол, образованный двумя хордами, проведенными из одной точки окружности.
Теорема 1. Пусть ZABC — вписанный в окружность с центром О.
Тогда ZABC = — AC.
2
Теорема 2. Пусть AEИ DC — хорды, пересекающиеся внутри круга.
Тогда ZABC = — (AC + DE).
2
Теорема 3. Пусть AEИ CD — отрезки секущих, пересекающихся вне круга в точке В.
Тогда ZABC = ∣ (AC — DE).
Теорема 4. Пусть ABИ CD — хорды окружности, AB n CD = Е. Тогда AE BE = CE DE.
Теорема 5. Пусть точка MВне круга, MA — касательная, MC — Секущая. Тогда MA1 = MB ■ MC(квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть).
Длина окружности: I = 2πR,Где I — длина окружности, a R — ее Радиус. Круг с центром в точке О радиуса R — это множество таких точек X, что OX ≤ R.Площадь круга: 5 = π/?2, где 5 — площадь круга, A R — его радиус.
Определение. Вектором называется Направленный отрезок, То есть отрезок, для которого указано, какой из его концов является началом, а какой концом.
Два вектора называются Коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
Два вектора ABИ CDНазывают Одинаково направленными, если две полупрямые ABИ CDНаправлены одинаково.
Два вектора ABИ CDНазывают Противоположно направленными, если две полупрямые ABИ CDНаправлены противоположно.
Абсолютной величиной (модулем) вектора называют длину отрезка, который изображает вектор. Обозначается ∣α∣.
Нулевым вектором называется такой вектор, начало которого совпадает с его концом.
Два вектора Равны, если они совмещаются параллельным переносом.
Равные векторы одинаково направлены и равны по модулю, и обратно: если два вектора одинаково направлены и равны по модулю, то они равны.
Пусть точка A↑(X↑∙,Y↑) — начало вектора А, а точка A2(X2′,У2) — его конец. Тогда Координатами вектора а называются числа A∣ = Х2 — Xi иа2 = У2-Уь
Суммой двух векторов A(Ai‘,A2) и B(B,ι,B2)Называется вектор С (Ax + By,A2+ B2). ’
Произведением вектора (Al,A2) на число а называется вектор (αα∣,αα2).
Скалярным произведением векторов (Al,A2)И (Bi,B2)Называется число A[Bl+A2B2.
Теорема. Скалярное произведение векторов равно произведению их модулей на косинус угла между этими векторами.
4.5. Прямая и плоскость в пространстве
Угол между прямой и плоскостью
Пусть a — плоскость, А — пересекающая эту плоскость прямая. Проекцией прямой а на плоскость а называется прямая А’, которая является множеством оснований перпендикуляров, опущенных из всех точек прямой А на плоскость a.
Углом между прямой а и плоскостью а называется угол между прямыми А и А’.
Угол между плоскостями. Двугранный угол
Пусть две плоскости пересекаются. Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями и общей ограничивающей их прямой.
Эти полуплоскости называются Гранями двугранного угла, а ограничивающая эти плоскости прямая —Ребром данного Двугранного угла.
Проведем плоскость, перпендикулярную ребру; она пересечет данные плоскости по двум полупрямым.
Образованный этими полупрямыми угол называется Линейным углом двугранного угла.
Определение. Углом между пересекающимися плоскостями Называется линейный угол двугранного угла, Образованного этими плоскостями.
Угол между скрещивающимися прямыми
Определение. Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между прямыми, которые параллельны исходным и пересекаются.
Расстояние между скрещивающимися прямыми
Определение. Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называют отрезок, концы которого лежат на этих прямых и который перпендикулярен каждой из них.
Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми называется длина общего перпендикуляра этих двух прямых.
Определение. Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, опущенного от данной точки на данную прямую.
Призма
Определение. Призмой называется многогранник, состоящий из двух равных выпуклых плоских многоугольников AiA2… AnИ B∖B2… В„, Лежащих в параллельных плоскостях, и отрезков A}Bι; A2B2; …; AnBn. Многоугольники называются Основаниями призмы, а отрезки, которые соединяют соответствующие вершины этих многоугольников— Боковыми ребрами.
Свойство 1. Боковые ребра призмы параллельны и равны.
Определение. Высотой призмы называется расстояние между основаниями.
Определение. Боковыми гранями призмы А1Л2… AnИ B↑B2… Bn Называются четырехугольники A∖BiB2A2, A2B2Byi3, …, An—IBn—ιBnAn. Площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей всех ее боковых граней.
Теорема 1. Объем призмы равен произведению площади основания на высоту:
V=S—H.
Теорема 2. Площадь поверхности призмы равна сумме двух площадей основания и площади боковой поверхности.
Определение. Прямой призмой называется призма, основания которой перпендикулярны боковым ребрам. Теорема 3. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту ∏=∕,och :Н. Определение. Пирамида — многогранник, состоящий из плоского выпуклого многоугольника, называемого Основанием пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания, называемой Вершиной пирамиды, и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с вершинами основания. Отрезки, которые соединяют вершину пирамиды с вершинами основания, называются Боковыми ребрами. Определение. Опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания перпендикуляр называется Высотой пирамиды. Площадью боковой поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней. Л] A2 Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней и площади основания. Правильная пирамида — пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой. Правильная треугольная пирамида называется Тетраэдром. Теорема. Плоскость, пересекающая пирамиду и параллельная основанию, отсекает подобную пирамиду. Определение. Часть пирамиды без ее отсеченной части называется Усеченной пирамидой. Теорема. Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту V = —SH. 3 Теорема. Объем усеченной пирамиды равен V = ^H(S, + YJSvS2 +S2) Где H — высота усеченной пирамиды, S↑,Sz — площади ее оснований. Определение. Выпуклый многогранник называется Правильным, если все его грани — правильные многоугольники с одинаковым числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одинаковое число ребер. 1. Выпуклый многогранник со сторонами— правильными треугольниками и такой, что в каждой его вершине сходится по три ребра, называется Правильным тетраэдром. 2. Выпуклый многогранник со сторонами — правильными треугольниками и такой, что в каждой его вершине сходится по четыре ребра, называется Октаэдром. 3. Выпуклый MHoroqjaHHHK со сторонами— правильными треугольниками и такой, что в каждой его вершине сходится по пять ребер, называется Икосаэдром. 4. Выпуклый многогранник со сторонами — квадратами и такой, что в каждой его вершине сходится по три ребра, называется Кубом. 5. Выпуклый многогранник со сторонами— правильными пятиугольниками и такой, что в каждой его вершине сходится по пять ребер, называется Додекаэдром. Других правильных многогранников не существует. Прямой круговой цилиндр Определение. Цилиндр — это тело, состоящее из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов. Данные круги называются Основаниями цилиндра, а отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов, — Образующими цилиндра. Определение. Если образующие цилиндра перпендикулярны плоскостям оснований, то цилиндр называется Прямым. Свойство 1. Образующие любого цилиндра параллельны и равны. Свойство 2. Сечение цилиндра плоскостью, параллельной плоскости основания и пересекающей боковую поверхность, является окружностью, равной окружности основания. Теорема 1. Объем цилиндра равен πR2■ H , где H — высота цилиндра. Теорема 2. Площадь поверхности прямого кругового цилиндра равна 2πR2 + 2πR ■ I, где I — длина образующей. Определение. Конус — это тело, состоящее из круга — Основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга — Вершины конуса, всех отрезков, соединяющих точки основания с вершиной, и такое, что прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания конуса, перпендикулярна плоскости основания. Высота конуса ■— перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания. Осью прямого кругового конуса называется прямая, содержащая его высоту. Проведем сечение конуса плоскостью, параллельной основанию. Нижняя часть конуса называется Усеченным конусом. Теорема. Объем конуса равен одной третьей произведения площади основания на высоту. 1 2 2 Объем усеченного конуса равен V = — H(πR + πRr + πr ), H — высота усеченного конуса, AR, г — радиусы оснований. Определение. Тело, состоящее из всех точек пространства, находящихся на расстоянии не большем заданного от некоторой данной точки, называется Шаром. Эта точка —ιЦентр шара, а заданное расстояние —Радиус. Определение. Г раница шара называется Сферой.
Определение. Отрезок, который соединяет две точки сферы и проходит через центр шара, называется Диаметром. Свойство 1. Любое сечение шара плоскостью есть круг. Центром этого круга является основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость. Теорема. Любая диаметральная плоскость шара является его плоскостью симметрии. Центр шара является его центром симметрии. Определение. Плоскость, проходящая через точку RСферы и перпендикулярно радиусу, проведенному в эту точку, называется Касательной плоскостью. Точка RНазывается Точкой касания. Теорема. Касательная плоскость пересекается с шаром в единственной точке — в точке касания. Теорема. Линией пересечения двух сфер является окружность. Теорема. Объем шара равен -TtZ?3. 3 Определение. Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью.
OιΛ = H— высота шарового сегмента. Свойство. Объем шарового сегмента равен π∕72^Λ—J, где H— высота шарового сегмента. Определение. Шаровым сектором называется тело, которое получается из шарового сегмента и конуса, основанием которого является сечение плоскостью данного шара. Свойство. Объем шарового сектора равен —TiR2H . Теорема. Площадь сферы радиуса RВычисляется по следующей формуле: S = 4 πΛ2.
Определение. Плоскость, которая проходит через центр шара, называется Диаметральной плоскостью. Сечение ею шара — Большим кругом, а сечение сферы — Большой окружностью.
