Треугольник

Треугольник.

В данном разделе буквами а, /3,7 обозначаются углы при вершинах А, В, CТреугольника, буквами а, 6, с — стороны треугольника, лежащие против этих вершин, Г, R—Радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника, S—Площадь треугольника. Для любого треугольника име­ют место следующие формулы и факты.

1) Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точ­кой пересечения в отношении 2 : 1, считая от вершины.

2) Центр описанной окружности треугольника является точкой пере­сечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

3) Центр вписанной окружности треугольника является точкой пере­сечения биссектрис углов треугольника.

4) Высоты треугольника пересекаются в одной точке.

5) Пусть сторона А делится биссектрисой угла А на отрезки Аь, ас, Прилежащие к сторонам δ, С соответственно (см. рис. 8). Справедливо

6) Теорема синусов: &= — A — = — = 2R.

Sm α smp sin 7

7) Теорема косинусов: c2 = α2+62- 2αδcos7.

8) Длина медианы треугольника к стороне А равна: τna = y∖∕2δ2 ÷ 2c2— А2.

9) Длина биссектрисы треугольника к стороне А равна:

IO1— ^fb *C — CLff * CLq •

10) Площадь треугольника может быть вычислена по любой из сле­дующих формул:

А) S = ⅛Aha,Где Ha—Высота к стороне а;

£

Б) S = iαδsin7; £

В) S = рг, где Р = α + + c— полупериметр AABC;

£

С__ Abc.

’ b~ 4Л ’

Д) S = χ∕p∙(p — α)∙(p- δ)∙(p — с) (формула Терона).

Прямоугольный треугольник.

В данном разделе буквами а, Ь обозначены катеты прямоугольного треугольника, С— гипотенуза, Л— высота к гипотенузе. Для любого пря­моугольного треугольника имеют место следующие формулы и факты.

1) Теорема Пифагора: c2 = α2 + B2.

2) Л = ½÷⅛- (следует из равенств H∙C = 2S = A∙B). с

3) Центр описанной окружности прямоугольного треугольника совпа­

Дает с серединой гипотенузы, R= ~ — радиус описанной окружности.

4) Г = ~ c— радиус вписанной окружности.

Za

5) Пусть cα, се, — отрезки, на которые гипотенуза делится основанием высоты (см. рис. 9). Имеют место следующие соотношения:

A2 = ca• с, B2= съ— с. H2 = ca-сь.

Рис. 9.

Правильный треугольник.

Пусть A — сторона правильного треугольника. Отметим следующие легко вычисляемые соотношения, которые полезно помнить наизусть, чтобы не проводить эти вычисления каждый раз:

⅛=α√3 5=оЬ/3 д=а^3 Г = Л

2 4 3 2

Четырёхугольники.

1) Площадь любого выпуклого четырёхугольника может быть вычис­лена по формуле 1

S = — у ∙Dι ∙D>2 ∙sin а,

Zf

Где di, ⅛aДиагонали четырёхугольника, а — угол между ними.

2) Площадь трапеции с основаниями α, BИ высотой HВычисляется по формуле S = 1 (а + B)H.

Z

3) Площадь параллелограмма может быть вычислена по одной из сле­дующих формул:

А) S = α∙Λα, где а — сторона параллелограмма, Λα- высота к этой стороне;

Б) S = aδsina, где а, Ь— стороны параллелограмма, а — угол между этими сторонами.

Окружность.

Длина окружности радиуса Г равна I = 2πr, площадь круга радиуса Г Равна S = πr2.

Вписанный и центральный углы.

По определению, центральным углом AOB,Соответствующим дуге ALB,Называется угол между лучами OAИ ОБ, содержащий точку L(см. рис. 10). n

Рис. 10.

Обратим внимание на тот факт, что этот угол может быть больше 180°, как, например, центральный угол AOBНа рисунке 10, соответствующий дуге ANB.

Градусная мера дуга и соответствующего ей центрального уг­ла по определению равны друг другу.

Ь)

Если точки А, В, С, LПринадлежат окружности, причём точка LРас­положена внутри угла ACB(см. рис. 11 а), то угол ACBНазывается впи­санным углом, опирающимся на дугу ⅛LB.

А)

Рис. 11.

Справедлива следующая теорема.

Теорема. Если центральный угол AOBСоответствует дуге ALB,А впи­санный угол ACBОпирается на эту же дугу, то ZACB = — Z АО В (см. рис. 116).

Примечание. Обычно эту теорму формулируют иначе: Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры той дуги, на ко­торую он опирается. Но на практике, при решении задач, эта теорема обычно используется в первой из приведённых нами формулировок.

Касательная к окружности.

Относительно касания прямой и окружности для решения задач необ­ходимо знать следующие факты:

1) радиус окружности, проведённый в точку касания, перпендикуля­рен касательной (см. рис. 12а);

2) отрезки касательных ALИ AM,Проведённых к окружности, равны: AL = AM(см. рис.12b);

3) квадрат отрезка касательной равен произведению длины секущей на её внешнюю часть: AL2 = AB ∙ AC(см. рис.12с).

Рис. 12.

Отметим также две теоремы (о вписанном и описанном четырёхуголь­нике), которые достаточно часто используются при решении задач.

Теорема 1. Для того, чтобы вокруг четырёхугольника ABCDМожно бы­ло описать окружность, необходимо и достаточно выполнение любого из условий:

1) ZA + ZC = ZB + Z—D = 180° (суммы противоположных углов четы­рёхугольника равны 180°);

2) ZABD = ZACD(углы В и С, опирающиеся на отрезок АР, равны). Примечание. Фраза «необходимо и достаточно выполнение любого из условий» в формулировке теоремы означает, что любое из двух условий, перечисленных в теореме, может быть принято за признак, по которому мы делаем вывод о том, что вокруг четырёхугольника ABCDМожно опи­сать окружность. При этом другое условие можно использовать как след­ствие того, что точки А, В, С, DПринадлежат одной окружности.

Теорема 2. Если в четырёхугольник ABCDМожно вписать окружность, то суммы длин его противоположных сторон равны:

AB+ CD = BC + AD.

Подобие.

Приведём следующее «интуитивное» определение подобия фигур.

Определение. Фигура F2Называется подобной фигуре Fχ, если она мо­жет быть получена «растяжением или сжатием» в несколько раз фигуры Fi. При этом число fc, показывающее, во сколько раз нужно растянуть (если К> 1) или сжать (если К< 1) фигуру Fi, чтобы получить фигуру Fa, называется коэффициентом подобия.

Примечание. Чтобы сделать данное определение абсолютно строгим, до­статочно пояснить, что под «растяжением или сжатием» фигуры следу­ет понимать геометрическое преобразование, называемое гомотетией, при котором каждой точке А плоскости сопоставляется точка ArТакая, что OAf: OA = fc, где О — фиксированная точка (центр гомотетии), К— фик­сированное число (коэффициент гомотетии).

Приведём примеры подобных фигур:

1) любые два круга подобны;

2) любые два равносторонних треугольника подобны;

3) два прямоугольника подобны в том и только в том случае, когда их стороны пропорциональны;

Перечисление можно продолжить и далее (приведите самостоятельно ещё несколько примеров).

Остановимся подробнее на подобии треугольников. Справедлива сле­дующая теорема.

Теорема. Для подобия двух треугольников необходимо и достаточно вы­полнение любого из условий:

1) два угла одного треугольника равны двум углам другого;

2) две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы треугольников, заключённые между этими сторонами, равны;

3) все три стороны одного треугольника пропорциональны трём сто­ронам другого.

В заключение данного раздела приведём важное свойство подобных фигур: Если фигура Fz подобна фигуре Fi с коэффициентом подо­бия к, то отношение площадей Sz и Si этих фигур равно квадра — ту коэффициента подобия: -¾2- = Fc2.

Примечание. Данное в начале раздела определение подобия переносится без изменений на случай пространственных фигур (при этом под «растя­жением» понимается преобразование гомотетии в пространстве), а сфор­мулированное выше свойство плоских фигур переформулируемся так: Если пространственная фигура Fz подобна фигуре Fi с коэффици­ентом подобия к, то отношение объёмов Vz и ½ этих фигур равно кубу коэффициента подобия: = K3.

Vi

Указанное свойство подобных фигур (как в плоском, так и в простран­ственном случае) удобно применять для сокращения вычислений. Если плоская (пространственная) фигура FzПодобна фигуре FiС коэффици­ентом подобия fc, и мы знаем площадь (объём) фигуры F↑,То площадь (объём) фигуры FzПроще всего найти по формуле:

S2 = K2—Sι (V2 = Fc3∙V1).