Часть 1 81. Магазин покупает чайники по оптовой цене 420 рублей за штуку, а продаёт…

Часть 1

81. Магазин покупает чайники по оптовой цене 420 рублей за штуку, а продаёт с наценкой 25%. Какое наибольшее число таких чайников можно купить в этом магазине за 3400 рублей?

82. На рисунке 130 точками показано суточное количество осадков, вы­падавших с 16 по 28 марта. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков в миллиметрах, выпавшее в соот­ветствующий день. Для наглядности точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку количество дней рассматриваемого периода, когда выпадало 4 и более миллиметров осадков.

83. Площадь круга равна —. Найдите длину окружности, ограничиваю — 7Г

Щей данный круг.

Рис. 130.

84. Из пункта А в пункт DВедут три дороги (см. рис. 131, расстояние между пунктами указано в километрах). Через пункт В едет грузовик со средней скоростью 28 км/ч, через пункт CЕдет легковой автомобиль со скоростью 58 км/ч. Третья дорога — без промежуточных пунктов, и по ней движется автобус со средней скоростью 44 км/ч. Все три машины одновременно выехали одновременно из пункта А. Какой автотранспорт добрался до DРаньше других? В ответе укажите, сколько минут он нахо­дился в дороге.

85. Решите уравнение 28 2X = 2χ2. Если оно имеет несколько корней, то в ответе укажите меньший из них.

86. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 16. Косинус острого угла трапеции равен 0,8. Найдите высоту трапеции.

87. Найдите значение выражения ^5Iog2Syog5’1

88. На рисунке 132 изображён график функции У = /(

89. В кубе ABCDAγBγCιDιТочка M — середина ребра AAi,Точка F — Середина ребра AiB1,Точка N — середина ребра AiDi.Найдите угол NFM.Ответ дайте в градусах.

В10. Две фабрики выпускают одинаковые лампочки. Первая фабрика вы­пускает 60% этих лампочек, вторая — 40%. Среди продукции первой фаб­рики 3% лампочек дефектные, среди продукции второй фабрики — 2%. Найдите вероятность того, что случайно купленная в магазине лампочка окажется дефектной.

Bl 1. Во сколько раз уменьшится объём конуса (см. рис. 133), если диа­метр его основания уменьшить в 2,5 раза, а высоту оставить прежней?

Рис. 133.

812. Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой /0= 490 Гц. Чуть позже издал гудок подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка / больше первого: она зависит от скорости тепловоза по закону F(V) = —(Гц), где с — скорость звука в воздухе

С

(в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 10 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог разли­чить сигналы, ас = 340 м/с. Ответ выразите в м/с.

813. Поезд, двигаясь со скоростью 70 км/ч, проезжает мимо платформы за 45 секунд. Определите длину платформы (в метрах), если длина поезда 600 м.

1 3

814. Найдите точку минимума функции Y= ~χi -2х + 2.

О

Часть 2

C1. А) Решите уравнение cos a:(tg Х — cos Х) = — sin2Х.

Б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

С2. В основании прямой призмы лежит треугольник со сторонами 5, 12, 13. Некоторая плоскость отсекает от боковых рёбер этой призмы, прохо­дящих через вершины большего и среднего углов основания, отрезки, рав­ные 10 каждый (считая от плоскости основания), а от ребра, проходящего через вершину меньшего угла основания, — отрезок 15 соответствен­но. Найдите объём и площадь полной поверхности фигуры, ограниченной плоскостью основания призмы, плоскостями боковых граней и плоско­стью сечения.

2х , За: >

<4а:2+ За: + 8 4а:2 — 6а: + 8

(γ-≈ -р 2 ∙ 3≈)lo≡5 ≈+ι°gχ 5-2 ≤ J

проведена диагональ. В каждый из образовавшихся треугольников впи­окружностей с проведённой диагональю.

С5. При каких значениях а уравнение 2 Iog3(5 — A —А:) = logv∕3(5- а:2 — 4а:) имеет единственное решение?

С6. Имеется шестьдесят двухлитровых сосудов, содержащих 1 см3, 2 см3, 3 см3,…, 60 см3 воды. Из сосуда А разрешается перелить в сосуд В столь­ко воды, сколько имеется в В (при условии, что в А не меньше воды, чем в В). Можно ли после нескольких переливаний:

А) добиться того, чтобы в сосудах вновь оказалось 1 см3, 2 см3, 3 см3, …, 60 см3 воды, но при этом ни в одном из них не было бы первоначального её количества?

Б) добиться того, чтобы в каких-то девяти сосудах оказалось по 5 см3 воды, а в остальных — 10 см3,11 см3,12 см3,…, 60 см3 воды?

В) перелить всю воду в один сосуд?

Вариант №23

Часть 1

81. Магазин, делая наценку 50%, продаёт канцелярские наборы по цене 90 рублей за штуку. Какое наибольшее число таких наборов может заку­пить хозяин этого магазина на 4300 рублей?

82. На рисунке 134 точками показана цена акций компании «Сургутнеф­тегаз» на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни января 2011 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена акции в рублях. Для наглядности точки на рисунке соединены лини­ей. Определите по рисунку, сколько дней рассматриваемого периода цена акции «Сургутнефтегаза» на момент закрытия торгов была выше 34 руб­лей за акцию.

Январь2011 Г.

83. Точки 0(0; 0), А(2;5), В(8; 7), 0(6; 2) являются вершинами четырёх­угольника (см. рис. 135). Найдите ординату точки пересечения его диаго­налей Р.

В4. Клиент хочет арендовать автомобиль на сутки для поездки протяжён­ностью 700 км. В таблице приведены характеристики трёх автомобилей и стоимость их аренды. Помимо аренды, клиент обязан оплатить стоимость топлива для автомобиля на всю поездку. Какую сумму в рублях заплатит клиент за аренду и топливо, если выберет самый дешёвый вариант?

Автомобиль	Топливо	Расход топлива (л на 100 Км)	Арендная плата (руб. за 1 Сутки)
1	Дизельное	8	2800
2	Бензин	11	2500
3	Газ	15	2600

Цена дизельного топлива — 20 рублей за литр, бензина — 25 рублей за литр, газа — 17 рублей за литр.

85. Найдите корень уравнения Iog25 (5 + Х) = log5(2ar). Если уравнение имеет более одного корня, то укажите меньший из них.

86. Основания равнобедренной трапеции равны 8√7 и12χ∕7, а боковая сторона равна 8. Найдите синус острого угла трапеции.

87. Найдите значение выражения √(δ — З)2+ √(δ — 13)2 при B∈ (3; 13).

88. На рисунке 136 изображён график некоторой функции У = F(X).Функция

F(X) = X3 + 15х2+ 81х — — одна из

5

Первообразных функции /(ф). Найдите площадь закрашенной фигуры.

89. Конус описан около правильной четырёхугольной пирамиды со сто­роной основания 6 и высотой Найдите его объём.

BlO. Пете нужно забить в стенку гвоздь. Если гвоздь стальной, то он согнётся с вероятностью 0,2, а если гвоздь железный, то он согнётся с ве­роятностью 0,6. На столе лежат 14 стальных и 6 железных гвоздей. Петя берёт первый попавшийся гвоздь со стола и пытается забить его в стенку. Найдите вероятность того, что этот гвоздь согнётся.

811. Объём куба равен 20. Найдите объём треугольной призмы, отсека­емой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выхо­дящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины (см. рис. 137).

812. После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время TПадения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле H = 5t2, где H — расстояние в метрах, T — Время падения в секундах. До начала дождя время падения камешков со­ставляло 1,2 с. На сколько метров должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,4 с?

813. Ксюша решила прочесть книгу объёмом 672 страницы. Ежедневно она читает на одно и то же количество страниц больше по сравнению с предыдущим днём. Известно, что в первый день она прочла 12 страниц. Определите, сколько страниц она прочла в последний день, если всего на чтение этой книги девочка потратила 16 дней.

814. Найдите наименьшее значение функции У = √15 — 8х — х2.

Часть 2

C1. Решите уравнение x4— IOx3 + 35х2 — 50х + 25 = 0.

С2. В правильной треугольной призме с площадью основания So = 3 проведено сечение через сторону нижнего основания и противоположную вершину верхнего основания. Площадь этого сечения Sc = 5. Найдите угол, который сечение образует с плоскостью основания.

СЗ. Решите неравенство 30arcsin2Х+ 23τrarccosx — 8,5π2 ≥ 0.

С4. Определите, какое наименьшее значение может принимать площадь треугольника, одна из сторон которого а = 3, а радиус вписанной окруж­ности г = 1.

С5. Определите, при каких значениях параметра А число А лежит между корнями уравнения A2X2 + (35α — 10α2)x — 50а + 24 = 0.

С6. Дана сумма П слагаемых: S1n = д ∙ ⅜ + ⅜ ∙ д +… + — *…… f,, n ∈N.

2 4 4 о 2п 2п+ 2

Найдите:

А) сумму четырёх слагаемых S4;

Б) все натуральные значения п, при которых Sn‘≥ Г) все натуральные значения П, при которых Sn

Вариант № 24

Часть 1

81. Железнодорожный билет для взрослого стоит 1580 рублей. Стои­мость билета для школьника составляет 50% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 17 школьников и 3 взрослых. Сколько руб­лей стоят билеты на всю группу?

82. На диаграмме 138 показана среднесуточная температура воздуха в городе Ростове-на-Дону с 15 по 27 ноября 2010 года. По горизонта­ли указываются даты, по вертикали — температура в градусах Цель­сия. Определите по диаграмме наибольшую среднесуточную температуру в Ростове-на-Дону в период с 21 по 27 ноября 2010 года включительно. Ответ дайте в градусах Цельсия.

83.

Найдите абсциссу центра окружности, описанной около треугольника, вершины ко­торого имеют координаты А(1;5), В(5;5), C(5; —1) (см. рис. 139).

84. Клиент хочет арендовать автомобиль на двое суток для поездки протяжённостью 1500 км. В таблице приведены характеристи­ки трёх автомобилей и стоимость их арен­ды. Помимо аренды, клиент обязан опла­тить стоимость топлива для автомобиля на всю поездку. Какую сумму в рублях заплатит клиент за аренду и топливо, если выберет са­мый дешёвый вариант?

Автомобиль	Топливо	Расход топлива (л на IOO Км)	Арендная плата (руб. за 1 Сутки)
А	Дизельное	8	3500
Б	Бензин	11	3300
В	Газ	14	3000

Цена дизельного топлива — 20 рублей за литр, бензина — 22 рубля за литр, газа — 15 рублей за литр.

85. Найдите корень уравнения Iog2 (6 — Х)= Iog4Х. Если уравнение име­ет более одного корня, то укажите меньший из них.

86. Три стороны описанного около окружности четырёхугольника отно­сятся (в последовательном порядке) как 9:4:5. Найдите большую сто­рону этого четырёхугольника, если известно, что его периметр равен 98.

87. Найдите 8х — 27у+ 68, если —⅛-⅞∕ ÷ 8— 5

За; — 8у+ 14

88. На рисунке 140 изображён график некоторой функции У — F(X). Функция F(X) = —х3+ 18а;2 — 81а; + 214 — одна из первообразных функ­ции F(X).Найдите площадь закрашенной фигуры.

89. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с ка­тетами 7 и 4χ∕2. Боковые рёбра равны Найдите объём цилиндра, опи­санного около этой призмы.

810. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, шахматисту нужно набрать хотя бы 1,5 очка по итогам двух игр. Если шахматист выигрыва­ет, он получает 1 очко, в случае ничьей — 0,5 очка, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что шахматисту удастся выйти в сле­дующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятность вы­игрыша и проигрыша одинакова и равна 0,3.

811. Диаметр основания конуса равен 12, а угол при вершине осевого се­чения 90° (см. рис. 141). Вычислите объём конуса, делённый на тг.

812. В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по _T_

Закону M(Γ) = Mo ∙2 Т, где То (мг) — начальная масса изотопа, T(мин) — время, прошедшее от начального момента, T(мин) — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа То = 150 мг. Период его полураспада T = 3 мин. Через сколько минут масса изотопа будет равна 18,75 мг?

813. Весной катер идёт по течению в 1,8 раза быстрее, чем против те­чения. Летом течение становится на 0,5 км/ч медленнее, поэтому летом

Катер идёт по течению в раз быстрее, чем против течения. Определите О

Собственную скорость катера (в км/ч).

814. Найдите точку минимума функции У =(ж — 3)2(ж + 4) — 2.

Часть 2

Cl. Решите уравнение Xi— Юж3+ 35ж2 — 50ж + 24 — 0.

С2. В правильной треугольной призме с площадью основания So = 3 через сторону нижнего основания и противоположную вершину верхнего основания проведено сечение, площадь которого Sc = 5. Найдите рас­стояние от вершины основания, через которую не проходит сечение, до плоскости сечения.

СЗ. Решите неравенство 18arccos2Х+ 27πarcsinιr — 6,5tγ2 ≤ 0.

С4. Найдите стороны треугольника с наименьшей площадью, у которого одна из сторон равна 6, а радиус вписанной окружности равен 2.

С5. Определите значения параметра А, при которых число А лежит между корнями уравнения A2X2 + (7α — 6а2)ж + ба — 8 = 0.

С6. Дана сумма П слагаемых Sn = ∣ ∙ ~ + ∣ ∙ ⅛ +… + ∙ ⅛ п ∈ N.

3669 Зп Зп + 3

Найдите:

А) сумму четырёх слагаемых Sr

Б) все такие натуральные значения П, при которых Sn ≥

В) Все такие натуральные значения П, при которых Sn ≤ Г) все такие натуральные значения П, при которых