1. Найдите значение выражения д + при <2 = 8,4; b = - l,2; С
С —-4,5.
Решение. Нужно подставить значения переменных в вы — 8,4 + (-1,2) ражение: — 7——-.
-4,5
8,4+(-1,2) _ 8,4-1,2 _ 7J> 72 _ 9-8 = 8 _ lfi
-4,5 -4,5 -4,5 45 9-5 5
Ответ: —1,6.
Другие решения.1. Поставив значения переменных в выражение, выполнить действия над числами (деление можно выполнить «уголком»).
8,4 +<~1>2) — (8,4-1,2) : (-4,5) = 7,2 : (-4,5) = -1,6. —4,5
2. Умножим числитель и знаменатель на 10:
А-Ъ _10д + IOd
С ~ IOc ’
Подставим значения переменных.
84+(-12) _ 72 72 =9∙8 = 8= -45 -45 45 9 5 5 Предостережение. Не потеряйте знак выражения. Совет. Определите знак числителя, определите знак дроби. Все действия нужно выполнить максимально подробно на черновике. 2. Длина шага человека А см. По какой формуле можно вычислить расстояние S(в метрах), которое пройдет человек, сделав П шагов? L)s = 77⅛ 2)s = 100αn 3)s = an 4)s = -⅛- -LwLJ J-ww/4
Решение. Чтобы найти расстояние в см, нужно длину шага умножить на число шагов: А • п. Чтобы расстояние выразить в метрах, нужно А ■ п разделить на 100, так как Ответ: 3. Другие решения.1. Преобразуем выражения и сравним с исходным. 1) A(2 — A) = A(-A + 2) = -а(а — 2) — не совпадает с исходным; 2) —A(2 + а) = — а(а+ 2) — не совпадает с исходным; 3) —A(2-A) = —A(-A + 2) =а(а — 2) — совпадает с исходным; 4) -а(а — 2) — не совпадает с исходным. 2. Возьмем какое-нибудь значение переменной, например A= 1. При α = 1 исходное выражение равно: 1-(1-2) = -1. 1) 1 — (2 — 1) = 1 — не совпадает с исходным; 2) -1(2 + 1) = -3 — не совпадает с исходным; 3) -1-(2-1)—1 — совпадает с исходным; 4) -1 — (1 — 2) = 1 — не совпадает с исходным. Если выбранное значение не позволит определить верный ответ, нужно взять другое значение. Предостережение. Возможна ошибка в знаках. Совет. На черновике постарайтесь привести два различных варианта решения. Например, преобразовав выражения и определив, что исходное и третье выражения тождественно равны, подставьте в эти выражения конкретные значения переменной и убедитесь, что эти выражения принимают равные значения. T, x, 1 (Ь а\ 5. Упростите выражение τ——- — — — .
B — а \ а Ь/
Возможно неполное решение — без сокращения дроби задание считается невыполненным. Совет. На черновике постарайтесь записать подробно все преобразования (помните, что при преобразовании дробных выражений всегда нужно проверять на возможность сокращения дроби) и обязательно подставьте несколько значений переменных. Например, допустив ошибку в применении формулы раз — j B — а Ности квадратов, получите ответ: — Ab При А —1, Ь — 2 исходное выражение 1. / ⅛ _ оЛ Равно 1 /2_1\ 1 /2 __ 1\ = 2_ 1 =.1 2 —Iyl 2) 2yl2 2′ Тт чип B — а 2-11 При α = l, о = 2 полученное выражение равно 2~ 2′ Значения выражения не равны — это свидетельствует о допущенной ошибке, следовательно, нужно перерешать. 6. Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу У39. Какая это точка? MNPQ -I • • 1 • • H 6 7 8 1)точка Q 2) точка M 3)точка N 4)точка P Решение.6 = √36, 7 = √z49, 8 = ∖∕64.
√36 <У 39 < √49, следовательно, числу У39 соответствует одна из точек M или N. Точка M ближе к числу /36, точка N ближе к /49. Отметим середину отрезка: 6,5 = /42,25. /36 < /39 < √42,25sследовательно, числу /39 соответствует точка М. Ответ: 2. Другое решение./36 < /39 < /49, следовательно, числу /39 соответствует одна из точек M или N. 62 = 36; 6,12 = 37,21; 6,22 = 38,44; 6,32 = 39,69. Следовательно, 6,2 < /39 <6,3, т. е. числу /39 соответствует точка M (ближайшая к 6). Предостережение. Не торопитесь с выбором ответа, не сделав каких-либо расчетов. Совет. Определите, между какими последовательными целыми числами находится число /39. Если этого недостаточно, то нужно извлечь корень с точностью до десятых. 7. Туристическая фирма организует трехдневные автобусные экскурсии. Стоимость экскурсии для одного человека составляет 2500 р., группам предоставляются скидки: группе от 3 до 10 человек — 5%, группе более 10 человек — 10% . Сколько заплатит за экскурсию группа из 6 человек? 1) 15000 р. 2) 2375 р, 3) 750 р. 4) 14250 р. Решение. Полная стоимость путевок для группы из 6 человек будет составлять 2500-6 = 15000 рублей. Для группы из 6 человек действует скидка в 5% , т. е. группа должна заплатить 95% от полной стоимости: 15000-0,95 = = 14250 рублей. Ответ: 4. Другое решение. Для группы из 6 человек действует скидка 5%, т. е. стоимость экскурсии для каждого человека из этой группы меньше на 5%. Вычислим скидку для одного человека: 2500-0,05 = 125 р., тогда стоимость экскурсии для одного человека: 2500 — 125 = 2375 р. Стоимость экскурсии для всей группы: 6 • 2375 = 14250 р. Предостережение. Доводите решение до конца — найдя стоимость экскурсии для одного человека, нужно найти стоимость экскурсии всей группы; найдя скидку для группы, не забудьте найти стоимость всей экскурсии. Совет. Представьте себе, что это вы должны заплатить за экскурсию группы. Как обычно происходит: каждый сдает по 2500 рублей (сколько получилось?), а потом каждому возвращается скидка (сколько всего нужно вернуть?). Сколько осталось? Постарайтесь разными способами рассчитать стоимость экскурсии для всей группы. 8. Численность населения Индонезии составляет 2,4 ■ IO8 человек, а Грузии — 4,7 ■ IO6человек. Во сколько раз численность населения Индонезии больше численности населения Грузии? 1) примерно в 1,9 раза 3) примерно в 51 раз 2) примерно в 510 раз 4) примерно в 5,1 раза Решение. Чтобы найти, во сколько раз численность населения Индонезии больше численности населения Грузии, нужно 2,4 ■ IO8разделить на 4,7 ■ IO6. 2,4-IO8_ 2,4 ∙102-IO6=240 = t-1 ∩^ 4,7-106^ 4,7-Ю6 4,7 Ответ под номером 3 «ближе» к полученному числу. Ответ: 3. Другое решение. Нужно постараться записать (прочитать) числа с одинаковой степенью 10. 2,4-IO8 = 2,4-IO2-IO6 = 240-IO6 = 240 млн. 4,7-IO6 = 4,7 млн.
Теперь делим 240 на 4,7, получаем 51,0…, выбираем третий ответ. Предостережение. Внимательно прочитайте условие. Можно перепутать какое число на какое делить; можно допустить ошибки при работе со степенями; можно допустить ошибку при делении десятичных дробей. Совет. Определите большее число. Большее число разделите на меньшее.
Предостережение.Hc пытайтесь угадывать, потому что число может быть дробным. Совет. Решайте так, как вы привыкли. Обязательно про верьте корни подстановкой в уравнение. Корень из дискриминанта всегда извлечется. Ответ можно Записывать в любом виде: как записано в ответе или х= х- ■5 Формулу дискриминанта и формулу корней нужно знать. 10. Решите систему уравнений ‘ 2X 3p=1l, Решение. Можно решать систему уравнений любым способом: сложением, подстановкой.
Ответ: х — I; У —-3. Другое решение.
Предостережение. При решении системы уравнений обра щайте внимание на правильность вычислений. Совет. Решайте любым способом, обязательно проверьте найденные решения.
11. Прочитайте задачу: «Расстояние между двумя причалами по реке 14 км. На путь от одного причала до другого против течения моторная лодка затратила на 1 ч больше, чем на обратный путь по течению. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч». Обозначьте буквой Х собственную скорость лодки (в км/ч) и составьте уравнение по условию задачи. 1) 14(x-2)-l = 14(x + 2) 3)-⅛⅛—i⅛ = l 2)-⅛—⅛⅛ = l 4) 14(x +2) — 14(x-2) = 1 JC JC I Решение. х (км/ч) — собственная скорость лодки, тогда Х+ 2 (км/ч) — скорость по течению, Х — 2 (км/ч) — скорость против течения. (ч) — время движения лодки против течения.
B — A∖α B J
5х 4 У —2.
Расстояние между причалами 14 км, следовательно, (ч) — время движения лодки по течению;
Время движения лодки против течения больше, чем по течению, на 1 час, поэтому составим уравнение:
Ответ: 2.
Другое решение. Проанализируем записанные уравнения, учитывая, что 14 — это 14 км, 1 — это 1 час, х + 2 (в км/ч) — скорость лодки по течению, х — 2 (в км/ч) — скорость лодки против течения.
1) 14 км умножаем на х — 2 км/ч, получаем 14(х — 2) км2/ч. Из км2/ч нельзя вычесть 1 ч.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
няли время движения по течению (время движения против течения больше времени движения по течению) и получили 1 час — соответствует условию.
 |
щелили на скорость по течению и полу
Время движения против течения и получили 1 час — не соответствует условию (время движения по течению больше времени движения против течения).
4) Рассуждения такие же, как в первом пункте.
Предостережение. Чтобы не ошибиться: установите большее и от большего отнимите меньшее.
Совет. Постарайтесь внимательно прочитать условие и самостоятельно составить уравнение с учетом обозначенной величины. Проанализируйте каждое уравнение с позиции величин (если путь умножить на скорость, то время получить нельзя). Попробуйте решить каждое уравнение и понять, реальна ли ситуация.
12. Какое из следующих неравенств не следует из неравенства А — с <Ъ?
L)c + b-a
2)a-b-c
Решение, A—C<BtЧто означает А — B — с< 0.
Приведем каждое неравенство к этому виду.
1) c + b — α
2) А — Ъ — с< 0 — соответствует условию.
3) С >а — Ь, перенесем все переменные в левую часть и умножим на (-1), получим A—B—C<0 — соответствует условию.
4) А<Ъ + с — перенесем в одну часть, получим A—B~C<O — Соответствует условию.
Ответ: 1.
Другое решение. Попробуем подобрать несколько троек значений A, Ъ и С (сильно различающиеся и различающиеся незначительно).
Рассмотрим тройку: а = 5, B = ½IС = 2, удовлетворяющую исходному неравенству.
5) Подставим значения в неравенство c + b — α 6) подставим значения в неравенство A— B — с< 0: 5-4-2<< 0, -1 < 0 — верное числовое неравенство (соответствует условию); 7) подставим значения в неравенство С>A—B^. 2>5-4, 2 > 1 — верное числовое неравенство (соответствует условию); 8) Подставим значения в неравенство A <B + с: 5<4 + 2, 5 < 6 — верное числовое неравенство. Предостережение. Непривычно сложная формулировка — есть частица «не». Возможна ошибка при переносе переменной из одной части в другую (изменение знака). Возможна ошибка при умножении неравенства на (-1) — не изменили знак неравенства. Совет. Не забывайте проверить неравенства для конкретных значений переменных. 13. Для каждого неравенства укажите множество его решений. A) X2 + 9 < 0 1)0 Б) X2- 9 < 0 2) (-оо; -3) и (3; +∞) B) x2-9>0 3) (-3; 3) Решение. Решим неравенства. A) X2 ÷ 9 < 0 — решений нет, следовательно х ∈0 — ответ под номером 1. Б) X2— 9 < 0, (х - 3) (х + 3) < 0, х ∈ (-3; 3) — ответ под номером 3. + , — , ÷ -3 3 х В) X2 9>0,(x 3)(x4∙3) >0,x∈(-■», -3)и(3;4-оо)—ответ под номером 2. Ответ; A-I1Б-З. В-2. Другое решение. Особенность ответов заключается в том, что множества не Hsteκ>τ общих точек, поэтому можно решать «от ответа». 1 1 ► -3 3 х Нужно ваять значение из промежутков и проверить правильность неравенств. 2) Возьмем значение переменной из второго множества: -4. Проверяем неравенства: При Х--4 проверяем неравенство A: (-4)2 + 9<0, 25<0 — неверное числовое неравенство. При х—-4 проверяем неравенство Б: (-4)2-9<0, 7<0 — неверное числовое неравенство. При х = -4 проверяем неравенство В: (-4)2- 9 >О, 7 > 0 — верно, т. е. второе множество — ответ для неравенства В. 3) Возьмем значение из третьего множества: 0. При х = 0 проверяем неравенство A: 02 + 0<0, 9 < 0 — неверное числовое неравенство. При х = 0 проверяем неравенство Б: O2- 9 < 0, -9 < 0 — верно, т. е. третье множество — ответ для неравенства Б. Осталось для неравенства А — первый ответ. Предостережение. Работы очень много, лучше не спешите!
Следите за знаками, правильностью выполняемых: действий. Совет. Обязательно проверьте решения неравенств контрольными точками. 14. Члены последовательности можно изображать точками на координатной плоскости. Для этого по горизонтальной оси откладывают номер члена, а по вертикальной — соответствующий член последовательности.
На рисунке изображены точками первые семь членов арифметической прогрессии (αn). Найдите AχИ D. Решение. Найдем две точки координатной плоскости с целочисленными координатами и запишем их с учетом обозначений: ∏ι = -5, <2з = —4. Учитывая формулу n-го члена арифметической прогрессии: An = ∏ι + D(N— 1), запишем полученное равенство = а\ + + 2d, откуда найдем D = 0,5. Ответ: a1 = -5; d = 0,5. Другое решение. Известно, что формула An— Dn + Ь, где D И Ь — числа, задает арифметическую прогрессию. Найдем DИ Ъ, учитывая, что все точки лежат на одной прямой. Прямая An = Dn + BПроходит через точки (1; -5), (3; -4).
A∏ = 0,5N— 5,5, откуда A↑ = — 5, D = 0,5. Для определения коэффициента DМожно воспользоваться тем, что D — угловой коэффициент прямой (D = tg ⅛p, где / — Угол наклона прямой к оси абсцисс). По рисунку Ig д- ** Получим Ап — ~N τb.Учитывая, что прямая проходит через (1; 5). находим B = -5.5. Предостережение. Следите внимательно за действиями. Вычисление углового коэффициента с помощью графика твит в себе опасности: потеря знака «минус» (в случае убывающей функции) и ошибочное нахождение B (Ь можно спутать с α∣)∙ Совет В этих задачах нужно использовать формулу п-го члена арифметической прогрессии, желательно выписать несколько членов, используя координатную плоскость с отмеченными точками. Для решения нужно брать только те точки, координаты которых — целые числа. 15 Какая из прямых нс пересекает график функции L)x = 2 2)v = 3x 3)p≈-4x 4)<∕ = -6 Решение, Решать будем «от ответа». 2 1) Найдем общие точки прямой х = 2 и гиперболы У — — — } , 2 1 Для этого подставим значение Х в формулу: Y = ~-∙, у = -1 — Есть общая точка (2; —1) — не удовлетворяет условию. 2 2) Найдем общие точки прямой У — Зх и гиперболы У — —, х Для этого составим уравнение: 3χ =Зх[16]= -2 — нет корней, следовательно, прямая не пересекает график функции — удовлетворяет условию. 3) Найдем общие точки прямой У — -4х и гиперболы 2 λ 2 2 1 У — — —, Для этого составим уравнение: -4x = ~-; χ^ = —— Два корня, следовательно, прямая пересекает график функции в двух точках — не удовлетворяет условию. 2 4) Найдем общие точки прямой У — — 6И гиперболы У = —, Ответ: 2. О Другое решение. Графиком функции У — — * является ги пербола, ветви которой расположены но второй и четвертой четвертях. Схематично нарисовав гиперболу и асе прямые, можно увидеть, какая прямая не имеет общих точек с гиперболой. Jl редостережение Можно ответить не на вопрос задания. Совет. Можно использовать любой способ решения. Гра фический способ обязательно нужно проверить, составив уравнение. 16. На рисунке изображен график функции y-∕(x), заданной на промежутке [ 1; 4,5]. Из приведенных ниже утверждений выберите верное.
1) Наименьшее значение функции У — F(X)Равно —1,5 2) Функция Y = Fix)Убывает на промежутке [1; 4,5] 3) F(x)<О при -0,5 <Х< 4,5 4)/(-1)-0 Решение.1) Наименьшее значение функции (читаем график) равно (-1,5) —верное утверждение. 4) Функция Y = F(Pc}Убывает (читаем график) на промежутке [-1; 1], следовательно, второе утверждение неверное. 5) /(х) <0 (читаем график) на промежутке (-0,5; 3), следовательно, третье утверждение неверное. 6) /(-1) = 2,5, следовательно, четвертое утверждение неверное. Ответ: 1. Предостережение. Отвечайте на поставленный вопрос. Совет. Постарайтесь дать полный ответ в каждом пункте с использованием графика, и только после этого выбрать то утверждение, которое отвечает на вопрос задания.
Peiuehwb заданий первой части
Следовательно, прямая пересекает график функции н точке не удовлетворяет условию.
