Вариант 4 Из формулы L = —, в которой все величины…

Вариант 4

Из формулы L = —, в которой все величины положительны, выразите Q2

Т.

7

Ответ: Т = Q L.

Вычислите координаты точек пересечения параболы У= X2— 8 и прямой У= 7х + 10.

Ответ: (-2; -4), (9; 73).

19 (3x)4∙x^^15

Найдите значение выражения———— ——— — при х = 3.

Х 1∙3∙4x’

Упростим выражение:

(3x) ∙ X 344 _J5 l3 _7 81 4-15+13-7 81 _5

—— ——— —=——— х-х —X —X =—X =—X.

Х 13 ∙ 4×7 4 4 4

О 81 -5 З41

Тогда при х = 3 получаем: — • 3 = ——— = —.

1

Ответ: —.

12

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Преобразования и подстановка выполнены верно, получен верный ответ.	2
Преобразования выполнены верно, при выполнении подстановки допущена описка или ошибка вычислительного характера. C учетом этого выполнение задания доведено до ответа.	1
Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям	0
Максимальный балл	2

Середины сторон параллелограмма являются вершинами прямоугольника. Докажите, что данный параллелограмм — ромб.

Пусть ABCD — данный параллелограмм, точки К, L, М, N — середины сторон АВ, ВС, CDИ DAСоответственно. KL — средняя линия треугольника АВС, Поэтому отрезок KLПараллелен диагонали АС. Аналогично, LM — средняя линия треугольника BCD,Поэтому отрезок LMПараллелен диагонали BD.По условию KLMNПрямоугольник, следовательно, прямые KLИ LM Перпендикулярны. Но тогда перпендикулярны параллельные им диагонали ACИ BD.Значит, ABCD — ромб.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Доказательство верное	3
Доказательство в целом верное, но содержит неточности	2
Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям	0
Максимальный балл	3

21 Моторная лодка прошла 48 км по течению реки и вернулась обратно, потратив на весь путь 7 часов. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Найдите скорость лодки в неподвижной воде.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Правильно составлено уравнение, получен верный ответ	3
Правильно составлено уравнение, но при его решении допущена вычислительная ошибка, с её учётом решение доведено до ответа	2
Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям	0
Максимальный балл	3

___ ∣X∣- 2

22 Постройте график функции У = ———————— —

—— Xz— 2 х

Значениях К прямая У = кх не будет иметь с построенным графиком ни одной общей точки.

Lx∣-2 ∣x∣— 2 1 . . n

Преобразуем выражение: = = ∏P∏ W * 2.

Неопределенаприх = — 2илих = 2.

Построим график. Для этого построим ветвь гиперболы при Х> 0 без точки

( ħ

2; — и затем построим вторую часть графика симметрично первой

Относительно оси ординат.

На рисунке видно, что прямая У = кх не имеет с построенным графиком общих точек, если прямая горизонтальна, либо если она проходит через одну из точек ( η ( η ι λ 1 1 , 1

12; — I или I —2; — I. Этим трем случаям соответствуют к = 0, к = —ик = — —.

1 1

Ответ: 0, —,——

4 4

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
График построен правильно, верно указаны все значения K,При которых прямая У=KxНе имеет с графиком ни одной общей точки	4
График построен правильно, указаны не все верные значения K	3
Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям	0
Максимальный балл	4

I 23 Высота треугольника разбивает его основание на два отрезка с длинами 8 и 9. Найдите длину этой высоты, если известно, что другая высота треугольника делит ее пополам.

Пусть высота BHТреугольника ABCРазбивает основание ACНа отрезки АН= 8 и CH = 9, высота AKПересекает высоту BHВ точке М, причем BM = MH = х.

Треугольники AHM, BKMИ BHCПодобны, поскольку они прямоугольные и первые два имеют равные углы (углы АМН и BMKРавны как вертикальные), а вторые два имеют общий угол. Получаем пропорцию

MH CH х 9 2

=—- , то есть — = —, откуда х = 36. АН BH 8 2х

Следовательно, BM = 6, и BH =12.

Ответ: 12.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Решение задачи верное, все его шаги обоснованы, получен верный ответ	4
Решение задачи в целом верное, получен верный ответ, но решение обосновано недостаточно; или: решение задачи в целом верное, но допущена одна вычислительная ошибка, из-за которой получен неверный ответ	3
Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям	0
Максимальный балл	4

22Найдите целое число А, для которого из двух следующих утверждений верно только одно: 1) Q >— 17; 2) fl >—18.

Если верно утверждение 1, то верно и утверждение 2, а это противоречит тому, что из этих двух утверждений верно только одно. Следовательно, верно только утверждение 2. Тогда — 18А = — 17.

Ответ: -17.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Решение содержит верную логическую цепочку, получен верный ответ	4
Логическая цепочка верна, но на последнем шаге неверно найдено число, удовлетворяющее двойному неравенству. Или: отсутствует обоснование единственности решения.	3
Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям	0
Максимальный балл	4

23 НайДиТе отношение двух сторон треугольника, если его медиана, выходящая из их общей вершины, образует с этими сторонами углы в 30° и 90°.

Пусть в треугольнике ABCОтрезок BMСлужит медианой, при этом ABM = 90o, ^-CBM = 30°. Возьмем на продолжении отрезка BMТочку D Так, что BM = MD.Тогда треугольники ABMИ CDMРавны по двум сторонам и углу между ними. Значит, BDC = 90°. Поэтому треугольник BDC AB CD 1

— прямоугольный с углом CBD,Равным 30°. Следовательно, —— = —— = —.

BC BC 2

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Решение задачи верное, все его шаги обоснованы, получен верный ответ	4
Решение задачи в целом верное, получен верный ответ, но решение обосновано недостаточно	3
Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям	0
Максимальный балл	4

Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом

Вариант 3
(Зх3)2 • (2у)3
(6x3y)2

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Преобразования выполнены верно, получен верный ответ	2
Преобразования доведены до конца, но допущена ошибка или описка вычислительного характера, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1
Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям	О
Максимальный балл	2

∣-⅛ 6 —6 3 —2 г\ = 2х -у — 2у.

Ответ: 2у.

20 Два равносторонних треугольника имеют общую вершину. Докажите, что отмеченные на рисунке отрезки ABИ CDРавны.

Рассмотрим треугольники AOBИ COD.

В них АО = СО, ВО = ODИ

ZAOB = ZAOC + ZCOB = 60o + ZCOB = ZBOD + ZCOB = ZCOD. Следовательно, эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому AB = CDКак соответствующие стороны равных треугольников.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Доказательство верное	3
Доказательство в целом верное, равенство треугольников недостаточно обосновано (например, не показаны соответствующие равные стороны)	2
Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям	О
Максимальный балл	3

21 Чтобы накачать в бак 117 л воды, требуется на 5 минут больше времени, чем на то, чтобы выкачать из него 96 л воды. За одну минуту можно выкачать на 3 л воды больше, чем накачать. Сколько литров воды накачивается в бак за минуту?

Пусть за минуту в бак накачивается х литров воды. Тогда за минуту выкачивается х + 3 л воды.

По условию задачи составим уравнение:

117 96

= 5,
х х + 3

Откуда

21x + 351 = 5x(x + 3),

Х(х + 3) ≠ 0.

Получаем квадратное уравнение

5×2-6x-351 = 0, имеющее корни: х = 9 их = — 7,8.

Отбрасывая отрицательный корень, находим, что за минуту в бак накачивается 9 л воды.

Ответ: 9.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Получен верный и обоснованный ответ	3
Верно составлено уравнение или система уравнений, но при решении допущена ошибка вычислительного характера.	2
Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям	0
Максимальный балл	3

22Найдите целое число А, для которого из двух следующих утверждений верно только одно: 1) А< 34; 2) А< 35.

Если верно первое утверждение, то верно и второе. Это противоречит тому, что верно только одно из двух данных утверждений. Следовательно, верно второе утверждение, а первое неверно. Получаем, что 34 <А< 35.

Этому неравенству удовлетворяет единственное целое число: А= 34.

Ответ: 34.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Решение содержит верную логическую цепочку, получен верный ответ	4
Логическая цепочка верна, но на последнем шаге неверно найдено число, удовлетворяющее двойному неравенству. Или: отсутствует обоснование единственности решения.	3
Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям	0
Максимальный балл	4

23 В трапеции проведен отрезок, параллельный основаниям и делящий ее на две трапеции одинаковой площади. Найдите длину этого отрезка, если основание трапеции равны 24vf2cM и 7Vf2 см.

Пусть AD — B, BC = а. Проведем отрезок KL,Делящий трапецию на две равновеликие трапеции и обозначим его длину х. Проведем из C высоту CHИ отрезок СЕ, параллельный стороне АВ. Точки пересечения этих отрезков с отрезком KLНазовем MnNСоответственно.

Из условия следует, что 2(α + х) ∙ CM = (A + b) ∙ CH.

Из подобия треугольников NCL A ECDСледует:

Х — а х — а

, откуда CM = B-а о-а

Следовательно, 2(α + х)—————— CH = (а+ b) ∙ CH.

N k b~a 2(x2-α2)

Разделим обе части равенства на CH: ———————— = а + B

B — а

Откуда

Подставляя А= 7Vr2 и Ь = 24/2, получаем: χ_ J2•49 + 2♦ 576_ = 25

I 2

Ответ: 25.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Решение задачи верное, все его шаги обоснованы, получен верный ответ	4
Решение задачи в целом верное, получен верный ответ, но решение обосновано недостаточно Или: решение задачи в целом верное, но допущена одна вычислительная ошибка, из-за которой получен неверный ответ	3
Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям	0
Максимальный балл	4

Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом

Вариант 7

19 IСократите дробь —L.

(10k3m)2

(2k3)2 ∙ (5m)3 4k6∙125m3 500k6^6m3^2

—————— -— =———— z——— =————————- = 5m.

(10k3m) 100k6m2 100

Ответ: 5т.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Преобразования выполнены верно, получен верный ответ	2
Преобразования доведены до конца, но допущена ошибка или описка вычислительного характера, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1
Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям	0
Максимальный балл	2

20Два равных прямоугольника имеют общую вершину О (см. рис.). Докажите, что площади треугольников AOKИ COMРавны.

Две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого: АО = OMИ OK = ОС. Рассмотрим углы между ними:

ZAOK = 360o- ZAOC — +MOK — +MOC = 180o — +MOC.

Поэтому

1.1.

Saok —~∙AO ‘OK ∙ sinzAOK — —MO• ОС ∙ Sin+MOC — Smqq.

2 2

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Доказательство верное	3
Доказательство в целом верное, но содержит неточности	2
Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям	0
Максимальный балл	3

21 Чтобы накачать в бак 45 л воды, требуется на 3 минуты больше времени, чем на то, чтобы выкачать из него 42 л воды. За одну минуту можно выкачать на 2 л воды больше, чем накачать. Сколько литров воды накачивается в бак за минуту?

Пусть за минуту в бак накачивается Х л воды. Тогда за минуту из бака выкачивается (х + 2) л воды. Составим уравнение:

45 42

— = 3, х х + 2

Откуда

X2 + 2х = х + 30, x(x + 2) ≠ 0.

Решим уравнение: х2+ х — 30 = 0. Корни: —6 и 5. Отбрасывая отрицательный корень, находим, что за минуту в бак накачивается 5 л воды. Ответ: 5.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Получен верный и обоснованный ответ	3
Верно составлено уравнение или система уравнений, но при решении допущена ошибка вычислительного характера.	2
Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям	0
Максимальный балл	3

22Найдите целое число А, для которого из двух следующих утверждений верно только одно: 1) А >— 5; 2) А >— 6.

Если верно утверждение 1, то тем самым верно и утверждение 2. Это противоречит условию. Значит, утверждение 1 неверно, а утверждение 2 верно. Тогда — 6 <A ≤ — 5. Единственное целое число, удовлетворяющее этому двойному неравенству —5.

Ответ: -5.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Решение содержит верную логическую цепочку, получен верный ответ	4
Логическая цепочка верна, но на последнем шаге неверно найдено число, удовлетворяющее двойному неравенству. Или: отсутствует обоснование единственности решения.	3
Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям	0
Максимальный балл	4

23 В равнобокой (равнобедренной) трапеции ABCDС основаниями ADИ ВС, описанной около некоторой окружности, проведена высота BH.Из точки HОпущен перпендикуляр НЕ на прямую АВ. В каком отношении точка EДелит отрезок АВ, если известно, что ВС: AD = 3:5?

Пусть BC = 3x, AD =5х. Суммы противоположных сторон у описанного около окружности четырехугольника равны, поэтому AB + CD =8х и, значит, AB =4х.

1
АН = — (AD — ВС)= х.

£

Применим соотношение в прямоугольном треугольнике:

AH2 = AE • АВ.

AH2

Тогда AE =———-

AB

AB Следовательно, = 16 и тогда BE: AE = 15:1. AE

Ответ: 15:1.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Решение задачи верное, все его шаги обоснованы, получен верный ответ	4
Решение задачи в целом верное, получен верный ответ, но решение обосновано недостаточно Или: решение задачи в целом верное, но допущена одна вычислительная ошибка, из-за которой получен неверный ответ	3
Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям	0
Максимальный балл	4

Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом

Вариант 8

19 Прямая У = кх пересекает прямую у = Х+ 3 в точке с координатами (1;4). Найдите координаты точки пересечения прямой У = кх и прямой У = Jx + 12.

Сначала найдем К. Подставив координаты общей точки в уравнение прямой У = кх, получим: 4 = К • 1, откуда К= 4.

Чтобы найти общую точку прямой У= 4х и У = Jx + 12, составим уравнение:

4x = Jx + 12, откуда х = — 4.

Тогда у = — 16.

Ответ: (-4;-16).

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Все щаги выполнены верно, получен верный ответ.	2
Все шаги выполнены, но допущена ошибка или описка вычислительного характера, которая привела к неверному ответу.	1
Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям.	0
Максимальный балл	2

20 Медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена. Докажите, что данный треугольник прямоугольный.

Пусть в треугольнике ABC проведена медиана BM,Которая равна половине стороны АС. Значит, треугольники ABM и CBMРавнобедренные. Пусть ZBAM = zABM = A, ^BCM = /-CBM = β.

Тогда 2A + 2β = 180°, откуда ZABC = ZABM + ZCBM = А + β = 90°.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Доказательство верное	3
Доказательство в целом верное, но содержит неточности	2
Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям	0
Максимальный балл	3

21Решите уравнение (×2— 25) 2 + (X2 + Зх — lθ)2 = 0.

Квадрат любого числа неотрицателен. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю, только если они оба равны нулю. Получаем систему уравнений:

X2 -25 = 0,

X2+ Зх-10 = 0.

Из первого уравнения х = — 5 или х = 5.

Из второго уравнения х = — 5 или х = 2.

Системе удовлетворяет единственное значение X= — 5.

Ответ: -5.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Задание выполнено верно, получен верный ответ.	3
Задание выполнено верно, получен верный ответ, но не объясняется, почему оба выражения равны нулю. Или: при верном ходе решения допущена вычислительная ошибка, возможно, приведшая к неверному ответу.	2
Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям	0
Максимальный балл	3

22 Кролик утверждает, что вчера Винни-Пух съел не менее 9 баночек мёда, Пятачок — что не менее 8 баночек, ослик Иа — что не менее 7. Сколько баночек мёда съел вчера Винни-Пух, если из трех этих утверждений истинно только одно, и он, как известно, весь мед всегда доедает до конца?

Если прав Кролик, то правы и Пятачок, и Иа, а этого не может быть, т. к. истинно только одно утверждение. Аналогично: если прав Пятачок, то Иа тоже прав, получили два истинных утверждения, а должно быть только одно. Значит, во-первых, Пятачок неправ, и Пух съел менее 8 баночек.

Во-вторых, прав может быть только Иа, потому что один из них должен быть прав. Следовательно, Пух съел не менее 7 баночек. Единственное целое число, которое не меньше 7, но меньше 8 — это число 7.

Ответ: 7.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Представлено верное решение и дан верный ответ.	4
Ответ верный, но недостаточно обоснован. Например, не определено, что Иа прав, но это используется при определении ответа.	3
Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям.	0
Максимальный балл	4

23 В прямоугольном треугольнике ABCКатет ACРавен 8, катет BC Равен 15. Найдите радиус окружности, которая проходит через концы гипотенузы треугольника и касается прямой ВС.

По условию окружность проходит через точку В и это единственная общая точка окружности и прямой ВС. Следовательно, радиус OBОкружности перпендикулярен прямой ВС. Поэтому прямые ACИ OBПараллельны.

Центр О окружности равноудален от точек А и В, следовательно, он лежит на серединном перпендикуляре к АВ. Обозначим середину ABБуквой М.

ZMBO = /.ВАС — это накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей АВ.

Следовательно, прямоугольные треугольники ACBИ BMOПодобны.

По теореме Пифагора найдем, что AB =17. Коэффициент подобия равен

BM _ AB _ 17
~AC ~2AC~16’

5 289

Тогда OB = —AB =————- .

8 16

289 Ответ: OB = .

16

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Решение верное, все его шаги обоснованы, получен верный ответ	4
Решение задачи в целом верное, получен верный ответ, но решение обосновано недостаточно; или решение задачи в целом верное, но допущена одна вычислительная ошибка, из-за которой, возможно, получен неверный ответ	3
Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям	0
Максимальный балл	4

Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом

Вариант 9

19 Прямая у = Кх пересекает прямую У= 6 — Х в точке с абсциссой 3. В точкескакойабсциссойпрямаяУ=кхПересекаетпрямуюУ=2х+7?

Сначала найдем к. Составим уравнение относительно Х и подставим в него х = 3:

Кх= 6 — х, OTiQrfla Зк = 3 и, значит, к = 1.

Чтобы найти общую точку прямой у = хиу = 2х + 7, составим уравнение: х = 2х + 7, оттуда х = — 7.

Ответ: -7.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Все шаги выполнены верно, получен верный ответ.	2
Все шаги выполнены, но допущена ошибка или описка вычислительного характера, которая привела к неверному ответу.	1
Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям.	0
Максимальный балл	2

20 Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, делит данный треугольник на два равнобедренных треугольника.

Пусть в прямоугольном треугольнике ABCС прямым углом В проведена медиана BM.

Проведем описанную окружность. Вписанный прямой угол ABCОпирается на дугу АС, которая равна 180°, а поэтому центр окружности лежит на середине гипотенузы, то есть совпадает с точкой М. Следовательно, AM = BM = СМ, Откуда следует, что треугольники ABMИ CBMРавнобедренные.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Доказательство верное	3
Доказательство в целом верное, но содержит неточности	2
Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям	0
Максимальный балл	3

Решите уравнение (х2

Квадрат любого числа неотрицателен. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю, только если они оба равны нулю. Получаем:

X2— 16 = 0,

Х2 + х — 12 = 0.

Из первого уравнения: х = — 4 или х = 4.

Из второго уравнения: х = — 4 или х = 3.

Системе удовлетворяет единственное значение х = — 4.

Ответ: -4.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Задание выполнено верно, получен верный ответ.	3
Задание выполнено верно, получен верный ответ, но не объясняется, почему оба выражения равны нулю. Или: при верном ходе решения допущена вычислительная ошибка, возможно, приведшая к неверному ответу.	2
Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям	0
Максимальный балл	3

22 Кролик утверждает, что вчера Винни-Пух съел не более 9 баночек мёда, Пятачок — что не более 8 баночек, ослик Иа — что не более 7. Сколько баночек мёда съел вчера Винни-Пух, если из трех этих утверждений истинно только одно, и он, как известно, весь мед всегда доедает до конца?

Если прав Иа, то правы и Пятачок, и Кролик, а этого не может быть, т. к. истинно только одно утверждение. Аналогично: если прав Пятачок, то Кролик тоже прав, но истинно только одно из утверждений. Значит, во-первых, Пятачок неправ, и Пух съел более 8 баночек.

Во-вторых, прав может быть только Кролик. Он прав, потому что по условию задачи кто-то один прав. Следовательно, Пух съел не более 9 баночек. Единственное целое число, которое не больше 9, но больше 8 — это число 9.

Ответ: 9.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Представлено верное решение и дан верный ответ.	4
Ответ верный, но недостаточно обоснован. Например, не определено, что Кролик прав, но это используется при определении ответа.	3
Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям.	0
Максимальный балл	4

23 В прямоугольном треугольнике ABCКатет ACРавен 5, катет BC Равен 12. Найдите радиус окружности, которая проходит через концы гипотенузы треугольника и касается прямой ВС.

По условию окружность проходит через точку В и это единственная общая точка окружности и прямой ВС. Следовательно, радиус OBОкружности перпендикулярен прямой ВС. Поэтому прямые ACИ OBПараллельны.

Центр О окружности равноудален от точек А и В, следовательно, он лежит на серединном перпендикуляре к АВ. Обозначим середину ABБуквой М.

^-MBO = ZBAC — это накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей АВ.

Следовательно, прямоугольные треугольники ACBИ BMOПодобны.

Коэффициент подобия равен

BM _ AB 13

AC ~ 2АС ~10*

13 , 169 _

Тогда OB = —— AB = —— = 16,9.

10 10

Ответ: OB = 16, 9.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Решение задачи верное, все его шаги обоснованы, получен верный ответ	4
Решение задачи в целом верное, получен верный ответ, но решение обосновано недостаточно. Или: решение задачи в целом верное, но допущена одна вычислительная ошибка, из-за которой получен неверный ответ	3
Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям	0
Максимальный балл	4

Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом

Вариант 10

Прямая У = кх пересекает прямую У = х+ 1 в точке с ординатой 3. В точкескакойабсциссойпрямаяУ=кхПересекаетпрямуюУ=2х+7?

Сначала найдем К. Выразим Х из уравнений прямых и составим уравнение относительно У: — = у — 1.

К 3

Подставив У= 3, получаем: — k 3

Чтобы найти общую точку прямой У = — х и у = 2х + 7, составим уравнение:

3 2

— х = 2х + 7, откуда х = — 14.

Ответ: -14.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Все шаги выполнены верно, получен верный ответ.	2
Все шаги выполнены, но допущена ошибка или описка вычислительного характера, которая привела к неверному ответу.	1
Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям.	0
Максимальный балл	2

20 Медиана треугольника разбила его на два равных треугольника. Докажите, что данный треугольник равнобедренный.

Пусть в треугольнике ABCПроведена медиана BM.Из условия следует, что треугольник ABMРавен треугольнику ВМС. Угол ВМС не может быть равен ни углу ABM,Ни углу ВАМ, т. к. он являясь внешним углом треугольника ABM, Равен их сумме. Следовательно, он равен углу BMA. .

Поскольку углы AMBИ ВМС смежные и равные, то они — прямые. Следовательно, BM — высота треугольника АВС. Если в треугольнике медиана совпадает с высотой, то такой треугольник — равнобедренный.

В

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Доказательство верное	3
Доказательство в целом верное, но содержит неточности, например, не обосновано равенство углов ВМС и AMB.	2
Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям	0
Максимальный балл	3

Решите уравнение (×2— 49)2 + (×2 + 5х — 14)2= 0.

Квадрат любого числа неотрицателен. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю, только если оба они равны нулю. Получаем:

X2- 49 = 0,

X2 + 5х — 14 = 0.

Из первого уравнения: х = — 7 или х = 7.

Из второго уравнения: х = — 7 или х = 2.

Системе удовлетворяет единственное значение х = — 7.

Ответ: -7.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Задание выполнено верно, получен верный ответ.	3
Задание выполнено верно, получен верный ответ, но не объясняется, почему оба выражения равны нулю. Или: при верном ходе решения допущена вычислительная ошибка, возможно, приведшая к неверному ответу.	2
Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям	0
Максимальный балл	3

22 Паша сказал, что написанное на доске неравенство имеет более 5 решений, являющихся целыми числами, Саша — что более 6, а Витя — что более 7. Учитель ответил, что прав только один из них. Сколько целочисленных решений имеет это неравенство?

Если прав Витя, то правы и Саша, и Паша, что не отвечает условию, что прав только один из ребят.

Если прав Саша, то Паша тоже прав. Но истинно только одно из утверждений. Значит, Саша неправ. Из этого следует, во-первых, что неравенство имеет не более 6 целых решений, а во-вторых, что прав Паша. Он прав, потому что по условию задачи кто-то один прав. Следовательно, неравенство имеет не более 6, но более 5 решений. Единственное целое число, которое больше 5, но не больше 6 — это число 6.

Ответ: 6.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Представлено верное решение и дан верный ответ.	4
Ответ верный, но недостаточно обоснован. Например, не определено, что Паша прав, но это используется при определении ответа.	3
Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям.	0
Максимальный балл	4

23 В прямоугольном треугольнике ABCКатет ACРавен 12, катет BC Равен 5. Найдите радиус окружности, которая проходит через концы гипотенузы треугольника и касается прямой ВС.

По условию окружность проходит через точку В и это единственная общая точка окружности и прямой ВС. Следовательно, радиус OBОкружности перпендикулярен прямой ВС. Поэтому прямые ACИ OBПараллельны.

Центр О окружности равноудален от точек А и В, следовательно, он лежит на серединном перпендикуляре к АВ. Обозначим середину ABБуквой М.

/MBO = /.ВАС — это накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей АВ.

Следовательно, прямоугольные треугольники ACBИ BMOПодобны.

V Л AB 13

Коэффициент подобия равен ———— =———- =____

AC 2АС24

13 169

Тогда OB = — AB =————— .

24 24

Лч z,π 169

Ответ: OB =———— .

24

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Решение задачи верное, все его шаги обоснованы, получен верный ответ	4
Решение задачи в целом верное, получен верный ответ, но решение обосновано недостаточно; или: решение задачи в целом верное, но допущена одна вычислительная ошибка, из-за которой получен неверный ответ	3
Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям	0
Максимальный балл	4

Содержание

Введение…………………………………………………………………………………………………….. 3

Инструкция по выполнению работ………………………………………………………….. 4

Диагностические работы

Вариант 1…………………………………………………………………………………………….. 5

Вариант 2…………………………………………………………………………………………… 11

Вариант 3…………………………………………………………………………………………… 17

Вариант 4…………………………………………………………………………………………… 23

Вариант 5…………………………………………………………………………………………… 29

Вариант 6…………………………………………………………………………………………… 36

Вариант 7…………………………………………………………………………………………… 42

Вариант 8…………………………………………………………………………………………… 48

Вариант 9…………………………………………………………………………………………… 53

Вариант 10…………………………………………………………………………………………. 58

Ответы к заданиям 1 части………………………………………………………………………. 63

Критерии оценивания заданий с развернутым ответом……………………….. 71

I 19 IРешите уравнение x3 = 6xI 2 + 7х.

20 IСередина MОснования ADТрапеции ABCDРавноудалена от концов другого основания. Докажите, что трапеция ABCD Равнобедренная.

21I Постройте график функции

1,5х + 2,еслих < 0, 2-х, еслиО ≤ х < 1, х, еслих ≥ 1

И определите, при каких значениях С прямая У=с имеет с графиком ровно две общие точки.

22 IПристани А и В расположены на реке, скорость течения которой на этом участке равна 4 км/ч. Лодка проходит от А до В и обратно без остановок со средней скоростью 6 км/ч. Найдите собственную скорость лодки.

I 23 IДлина катета ACПрямоугольного треугольника ABCРавна 3 см. Окружность с диаметром ACПересекает гипотенузу ABВ точке М. Найдите площадь треугольника АВС, если известно, что АМ-.МВ = 9:16.

I 4 IНаселение Республики Ирландия составляет 4, 5 ∙ IO6человек, а его территория равна 7 ∙ IO4KMI 2. Сколько жителей приходится в среднем на 1км2? Результат округлите до целого.

Ответ:

[3] Значение какого из данных выражений принадлежит промежутку

[4; 5]?

1> P√3? 2) 5√6 3) 5√3 4) 2√5

[ 3 J √75 √15

[7] энциклопедии написано: «Масса Луны равна 7,35∙ IO13 млн. т».

Выразите массу Луны в килограммах.

[7] 6 I Короткое плечо шлагбаума имеет длину 1 м, а длинное плечо — 3 м. На какую высоту (в метрах) опустится конец короткого плеча, когда конец длинного

Плеча поднимается на 1,8 м?

[9] 8 ; Точки А, В, C и D лежат на одной окружности так, что хорды AB и CD Взаимно перпендикулярны, a /-BDC = 25°. Найдите величину угла

ACD.

[11] Найдите значение выражения 2/5 ∙ 37? ∙ Vf35.

Ответ: