Уравнение или система уравнений.
Задача с параметром, требующая уверенного владения материалом и применения нескольких свойств и теорем.
Комментарий Это задание, как и следующее за ним, является одним из самых сложных заданий Единого государственного экзамена по математике. Оно рассчитано прежде всего на тех, кто собирается продолжать образование в вузах с повышенными требованиями к математической подготовке абитуриентов (это не обязательно вузы, готовящие математиков, физиков, программистов, — к ним относится, например, и ряд экономических вузов). Если вы претендуете на высокий балл, то нужно постараться решить эту задачу или хотя бы продвинуться в её решении как можно дальше. Для успешного решения задачи важно свободно оперировать с изученными определениями, свойствами, теоремами, применять их в различных ситуациях, анализировать условие и находить возможные пути решения. Особое внимание следует уделить задачам с параметром, решение которых основывается на таких свойствах функций, как ограниченность, монотонность, четность и нечетность, а также требует умения строить графики основных элементарных функций.
Пример задания Найдите все значения параметра А, для каждого из которых при любом значении пара
Метра BУравнение
X2- 4∣x∣ — 7|Ь — α∣ + 3∣ft — 3| — 2i> + 5α- 15 = 0
Имеет ровно два корня.
РЕШЕНИЕ. Обозначим
-7∣5-α∣ + 3∣∂-3∣-25 + 5α- 15
Через С и рассмотрим график четной функции У = X2—4∣x∣ + c, состоящий из двух частей парабол У= х2 — 4х + С (при х ≥ 0) и У = X2 + 4х + С (при х < 0) с вершинами в точках (2; с - 4) и (—2; с — 4) соответственно. При С< 0 график пересекает ось абсцисс в двух точках; при С= 0 — в трех точках, при 0 <с < 4 — в четырех точках; при с = 4 — в двух точках; при с > 4 график не имеет с осью абсцисс ни одной общей точки.
Данное уравнение имеет ровно два корня, если график пересекает ось абсцисс в двух точках, т. е. если С = 4 или с < 0. Рассмотрим эти два случая.
1. Пусть С= 4, т. е.
-7∣6- α∣+3∣6- 3|- 26 +5α- 15 = 4, откуда
71B — а\ — 3∣6 — 3∣ + 2b— 5α + 19 = 0.
Последнее равенство должно выполняться при любом значении Ъ, в частности при 6 = 3. В этом случае получаем 7∣3 — а| + б — 5а + 19 = 0, или 7∣α — 3| = 5а — 25. В силу неотрицательности модуля корни последнего уравнения должны удовлетворять неравенству 5α-25≥0, т. е. неравенству a ≥ 5. Но тогда 7a — 21 = 5a — 25 и А= -2, либо 7a — 21 = 25 — 5a и 23
А = —. Ни одно из найденных значений А не удовлетворяет б
Неравенству a≥ 5. Следовательно, в этом случае решений нет. 2. Пусть с < 0, т. е.
-7∣6-a∣ + 3∣6-3∣-26 + 5a-15 < 0.
Обозначим
G(B) = —7|& — α∣ + 3|&~3∖-2B + 5A— 15.
График непрерывной функции У = G(B)Представляет собой ломаную, состоящую из отрезков прямых и лучей. При Ь> а Каждое звено ломаной является частью прямой вида Y = Kb + L, YRe K <0(поскольку вне зависимости от «раскрытия» второго модуля коэффициент при BБудет отрицательным). Следовательно, при Ь> а функция У = G(B)Убывает. Совершенно аналогично можно показать, что при B <а функция Y = G{B) Возрастает. Поэтому в точке Ъ = а эта функция достигает своего наибольшего значения, и неравенство
-7∣fc-α∣ + 3∣fe-3∣-2fe + 5α-15 < 0
Будет выполняться при любом значении BВ том и только том случае, если шах G{B) < 0, т. е. если G(A) < 0. Но g(a) = 3∣a — 3∣ + 3a — 15. Остается решить неравенство
3∣a — 3| + За — 15 < 0.
Преобразуем неравенство к виду \а —31 < 5 — а и перейдем к системе
|
{
|
А — 3 < 5 — а,
А — 3 >а — 5.
Второе неравенство системы выполняется при любом значении а; из первого неравенства получаем А< 4.
ОТВЕТ, A ∈ (-∞; 4).
Задание С6
|
Тип задания по кодификатору требований |
Уметь строить и исследовать простейшие математические модели. |
|
Характеристика задания |
Задача, связанная со свойствами делимости целых чисел, логическим перебором. |
|
Комментарий |
Задание олимпиадного типа, рассчитанное на сильных учащихся. Для того чтобы продви- |
Нуться в его решении, не требуется никаких специальных
Знаний, выходящих за рамки стандарта математического образования, однако необходимо проявить определенный уровень математической культуры, логического мышления, который формируется при решении задач профильного уровня на протяжении всего обучения в школе.
Пример задания На доске написано более 27, но менее 45 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно —5, среднее арифметическое всех положительных из них равно 9, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно —18.
А) Сколько чисел написано на доске?
Б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
В) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
РЕШЕНИЕ. Пусть KИз написанных чисел положительны, I — отрицательны и Т — нули. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому 9⅛ — 18/ + 0∙M —5(K + L + M).
А) Каждое слагаемое в левой части полученного равенства делится на 9, поэтому и K + I + т делится на 9. По условию 27 <K + I + т< 45, поэтому K + I + т = 36. Значит, на доске написано 36 чисел.
Б) Приведем равенство 9⅛ — 18/ + 0 ∙ in = —5(K + L + M)К виду 13/ = 14fe + 5m. Так как m ≥ О, то 13/ ≥ 14&, откуда / >K.Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.
В) Поскольку K + / + т —36, a 9⅛ — 18/ = —5(⅛ + I + т), получим, что 9fe — 18/ = —180 и K — 21— 20. Так как K + I ≤ 36, то 3/ — 20 ≤ 36 и, значит, 3/ ≤ 56, откуда / ≤ 18 (так как / — натуральное число). Но K-2L— 20, поэтому K ≤ 16. Приведем пример, когда положительных чисел ровно 16. Пусть на доске 16 раз написано число 9, 18 раз написано число —18 и два
N m 9∙16-18∙18 κ я
Раза написан 0. Тогда———— ————- -5 и указанный набор
Зо
Удовлетворяет всем условиям задачи.
ОТВЕТ, а) 36; б) отрицательных; в) 16.
2 Подготовка к ЕГЭ по математике