Теоретические сведения Действия со степенями с натуральными показателями…

Теоретические сведения

Действия со степенями с натуральными показателями

Напомним, что определение степени с натуральным показателем включает следующие случаи:

• если л > 1, то Ап — это произведение П множителей, каждый из ко­торых равен А\

• если П= 1, то An = а.

Правила, которыми пользуются при выполнении действий со степе­нями с натуральными показателями, можно разбить на две группы.

Например: Х ■X2 ∙ x3 = x6; (х2)4= x8; xi0 : x5 = x5; ⅛ .

Xi X

Обратите внимание: при умножении степеней и при возведении сте­пени в степень важно не путать, когда показатели складывают, а когда перемножают. Например: x2∙x3=x3 + 2=x5, но (x3)2=x3’2=x6.

Действия со степенями с одинаковыми показателями:

• При умножении степеней с одинаковыми пока­зателями их основания перемножают, а показа­тель степени оставляют прежним;

• при делении степеней с одинаковыми показате­лями их основания делят, а показатель степени оставляют прежним 5

Например: x3∙ / = (xy)3; = •

Равенствами, выражающими правила действий со степенями, мож­но пользоваться, читая их «справа налево»: Am+N=Am‘An; Am~N = Am∙.An (т >Л); Amn = {Am)N∖(а ∙ B)N = Att ∙ Bn∖(а : B)N = Att: Bn.

Воспользуемся, например, правилом Am +” = Am ∙ ап, чтобы вычис­лить устно значение степени 28: 28 = 25 ∙ 23= 32 • 8 = 256.

Правило Amn = (Am)NПолезно тем, что позволяет представлять степени в виде квадратов и кубов, что важно при разложении на множители; на­пример: α6 = (а3)2= (а2)3.

Действия с одночленами

Определение. Выражение, составленное из чисел и букв с помощью только действия умножения, называется одночленом. Одночлен может содержать и степень с натуральным показателем, так как степень — это краткая запись произведения. Одно число или одна буква тоже считаются одночленами.

Выражение 2,5A1B • (—3)B1C ∙ IOc2— это одночлен. Его можно записать в более простом виде, воспользовавшись переместительным и сочета­тельным свойствами умножения, а также правилом умножения степеней с одинаковыми основаниями:

2,5A2b — (-3)b2c ∙ IOc2 = — 75a2b3c3.

В получившемся произведении только один числовой множитель, и он записан на первом месте. Каждая переменная в соответствующей сте­пени содержится в произведении тоже только один раз. Такой одночлен называют Одночленом стандартного вида, А его числовой множитель называют Коэффициентом.

Одночлены можно перемножать и возводить в степень. В результате снова получается одночлен; его принято записывать в стандартном виде.

Пример 1. Представим выражение (—Yz)2 ^ (—2Yz)3,0,5z в виде одно­члена стандартного вида.

Решение: (-Yz)2 ∙ (-2yz)3∙ 0,5z = y⅛2∙ (-8y3z3) ■ 0,5г =

= -8 • 0,5 ∙ y2 + 3Z2 + 3 + 1 = -4y⅛6. (Объясните каждый шаг в цепочке преоб­разований.)

Одночлены стандартного вида, имеющие одну и ту же буквенную часть, называют Подобными. Например, одночлены A2Bj —A2B, ^A2B — Подобны, а одночлены 3A2B и 3Ab2Подобными не являются.

Подобные одночлены можно складывать и вычитать, в результате опять получится одночлен. Чтобы найти сумму (разность) подобных одночленов, нужно сложить (вычесть) их коэффициенты и припи­сать общую буквенную часть.

Пример 2. Упростим выражение 3,5Ab — Lab + Ab.

Данное выражение составлено из подобных одночленов с по­мощью действий сложения и вычитания. Выполним указанные дей­ствия над коэффициентами одночленов: 3,5 —2+1=2,5. Значит, 3,5oZ>— Lab + Ab = 2,Sab.

Действия с многочленами

Определение. Выражение, составленное из одночленов с по­мощью только действий сложения и вычитания, называется мно­гочленом. Коротко говорят так: Многочлен — это алгебраическая сум­ма одночленов.

Если все члены многочлена являются одночленами стандартного вида и среди них нет подобных, то такой многочлен называют Многочле­ном стандартного вида.

Чтобы сложить два многочлена (или чтобы из одного многочлена вычесть другой) нужно записать их сумму (разность), раскрыть скобки и если есть подобные слагаемые, то привести их. Результатом сложения и вычитания многочленов опять является многочлен.

Пример 3. Преобразуем в многочлен алгебраическую сумму P — Q + R,Где P = 2X1—X— 1, Q = X1-2X, R=X— 1.

Решение: Подставим в выражение P — Q + RСоответствующие многочлены и выполним указанные действия:

P—Q + R = (2X2—х — 1)-(x2-2x) + (x- 1) =
= 2X2-х — 1— x2+2x+x — 1 = х2+ 2х — 2.

Если перед алгебраическим выражением поставить знак «—», то по­лучится выражение, ему противоположное. Например, выражение, про­тивоположное А — Ь, есть —{а — Ь). Так как — (а — Ь) = —а+ 6 = Z>— fl, то понятно, что противоположное выражение получается из исходного за­меной знаков у всех членов на противоположные.

Чтобы доказать, что два многочлена противоположны, достаточно убедиться, что их сумма равна 0.

Пример 4. Докажем, что многочлены Ix— 3y + 5г и Зу — 2X — 5Z Противоположны.

Найдём их сумму;

(2х — Зу + 5г) + (Зу — 2х — 5г) = 2х — Зу + 5г + Зу — 2х — 5г = 0.

Действие умножения одночлена на многочлен выполнятся на основе распределительного свойства: Чтобы умножить одночлен на много­член, надо умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Схематически это правило для случая умножения одночлена на трёх­член можно представить так:

X (A +B + O=X∙A +X∙B+X’С.

Обратите внимание: если многочлен не содержал подобных членов, то при умножении его на любой одночлен подобные члены не появятся.

Пример5. Преобразуем в многочлен произведение -2A1(5A3-За+4).

В соответствии с сформулированным правилом получим:

—2a2 ∙ (5fl3— За+ 4) = —2а2 ■ 5fl3— 2а2 ■ (—За) — 2A2•4 = — IOfl5 + 6fl3- 8fl2.

При умножении многочленов пользуются следующим правилом: Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и получен­ные произведения сложить. После применения правила получившийся многочлен следует привести к стандартному виду. Схематически это пра­вило для случая умножения двучлена на двучлен можно представить так:

(А + В) ■ (X + Y) =A X + А ■ Y + В X + В ∙ Y

Один совет, позволяющий предупредить появление ошибок при ум­ножении многочленов: чтобы убедиться, что никакой член произведения не пропущен, можно до приведения подобных слагаемых сосчитать чис­ло получившихся одночленов. Например, при умножении двучлена на двучлен их должно быть 2 ■ 2 = 4, а при умножении двучлена на трёхчлен их должно получиться 2-3 = 6. Вообще, если в одном многочлене Т чле­нов, а в другом П членов, то произведение должно содержать Тп членов.

Пример 6. Преобразуем в многочлен произведение (а —2Z>) (а3 — 2A2B — 3Ab2).

Сначала каждый член многочлена A3— 2A1B — 3Ab2Умножим на а, а затем на — 2Ь (всего должно получиться 6 слагаемых):

{a — 2Ь) (а3 — 2a1b — 3ab2) =

= a4— 2a3b — 3a2b2— 2a3b + 4fl262 + 6ab3-а4 — 4a3b + a2b2 + 6ab3.

Формулы сокращённого умножения

При умножении многочленов встречаются некоторые особые случаи, знание которых позволяет выполнять преобразования короче. Ниже при­ведены правила выполнения этих действий, представленные в буквенном виде и в словесной формулировке.

1) Формула квадрата суммы:(α + b)2 = a2 + Zab + b2.

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удво­енное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

2) Формула квадрата разности: (а — B)2 = a2— Zab + b2.

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

3) Формула разности квадратов: {а — Ь) (а+ Л) = a2— b2.

Произведение разности двух чисел на их сумму равно разности ква­дратов этих чисел.

Пример 7. Преобразуем в многочлен выражение (Зх +y) tv — Зх).

Решение: Данное выражение — это произведение разно­сти выражений У и Зх и их суммы, поэтому воспользуемся формулой (а — B)(A + B) = A2- B2.Получим:

(Зх + у) Cy — Зх) = (у — Зх) (у + Зх) — Y2—(3x)2=y2-9×2.

Конечно, приведённые рассуждения выполняются «в уме». Однако важно помнить, что порядок записи выражений в результате должен быть таким же, как и в множителе вида А — Ь.

Пример 8. Докажем, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел делится на 5.

Решение: Обозначим первое натуральное число через л, запишем сумму квадратов пяти последовательных натуральных чисел и воспользу­емся формулой квадрата суммы:

Л2+(л + 1)2 + (л + 2)2+(л +3)2 + (n +4)2≈

= 5п2+ (2л + 4л + 6л + 8л) + (I + 4 + 9 + 16) = 5л2+ 20л + 30.

Каждое слагаемое в сумме 5л2+ 20л + 30 делится на 5, значит, и сама сумма делится на 5.

Заметим, что если первое число обозначить через (л + 2), то решение будет проще:

(п —2)2 + (n — 1)2 + √+(λ + 1)2 + (∕J +2)2 = 5n2+ 10.

Укажем ещё две формулы сокращённого умножения, которые хотя и не относятся к числу обязательных для запоминания, но могут оказаться полезными.

Формулы куба суммы и куба разности.

(а + B)3 = α3 + 3A2B + 3Ab2 + B3— куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго плюс куб второго числа;

(α — B)3 = A3— 3A2B + 3Ab2—B3— куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго числа.

Понятие тождества. Применение тождественных преобразова­ний к решению задач

Если одно выражение может быть получено из другого с помо­щью алгебраических преобразований, то такие выражения называ­ют тождественно равными (или просто Равными). Равенство, в левой и правой части которого записаны тождественно равные выражения, на­зывают Тождеством.

Например, равенство 2с(х — Зу — 5г) = 2Cx — 6Cy —L(kχ — это тожде­ство, так как второе выражение получено из первого на основе правила умножения одночлена на многочлен. Тождеством также является равен­ство (а — B)2 = (B — а)2, так как в правой его части выражение под знаком квадрата заменено на противоположное. (Как известно, квадраты про­тивоположных чисел равны.) А вот такое равенство, как (с — 1) (с — 3) = = (1 — с) (с — 3), тождеством не является. Если бы мы хотели заменить выражение (с — 1) (с — 3) равным ему произведением, то следовало бы воспользоваться, правилом: А — B = -(—а) ■ B(или Ab=-A∙ (-∂), или Ab = (-A) (~B))И записать: (с — 1) (с — 3) = -(1 — С) (с — 3).

Записывая цепочку преобразований, мы последовательно заменяем одно выражением другим, равным ему выражением. Всякое преобразо­вание выполняется в соответствии с заранее поставленной целью. Вы часто получали такое задание: «упростите выражение». Если речь идёт о целом выражении, то это означает, что данное выражение нужно пред­ставить в виде многочлена стандартного вида.

Пример 9. Упростим выражение (4 + А)2 — α(8 + 2а).

Решение: (4+ α)2~ α(8 + 2α) = (16 + 8α + A2)— (8α + 2а2) = = 16 + 8α + A2— 8α — 2α2 = 16 — а2.

Некоторые типичные ошибки, которые встречаются при выполне­нии такого преобразования:

1) при преобразовании выражения α(8 + 2а) умножают на А только первое слагаемое, а второе забывают, и пишут: 8α + 2α;

2) при возведении в квадрат двучлена 4 + А пишут: 16 + α2(т. е. за­бывают об удвоенном произведении) или 16 + 4a + a2(т. е. не умножают произведение членов двучлена на 2);

3) при раскрытии скобок в выражении —(8a + 2a2) у второго слагае­мого оставляют знак «+», т. е. пишут: —(8a + 2a2) =— 8a + 2a2.

Часто в алгебре ставится задача: «докажите тождество». Это требо­вание можно сформулировать в развёрнутом виде: «докажите, что ра­венство является тождеством» или «докажите, что левые и правые части равенства — тождественно равные выражения». Вспомнив сформули­рованные выше определения, вы поймёте: в таком случае требуется по­казать, что одну часть равенства можно получить из другой с помощью алгебраических преобразований.

Пример 10. Докажем тождество

(х — у)1+ (х + у)2 — 2(х — у) (х + у) = 4у2.

Естественно левую часть преобразовать в правую. Это можно сделать «в лоб», раскрыв скобки. Но есть более красивое решение. Выражение в левой части можно преобразовать по формуле a2— 2Ab ÷ Z>2 = (a — Z?)2; здесь А = х — у и B = х + у. Имеем:

(х — У)2+ (х + У)2 — 2(х — У) (х + у) =
= ((х — У) — (х + У))2= (х — У — х — У)2= (-2у)2 = 4/.

Пример 11. Докажем, что трёхчлен Х2 — 4х + 5 не может принимать отрицательные значения.

Решение: Выделим в трёхчлене квадрат двучлена: х2 — 4х + 5 = = (x2— 2x • 2 + 4) + 1 = (х — 2)2+ 1. Так как при любом значении х вы­полняется неравенство (х — 2)2 ≥ 0, то сумма (х — 2)2+ 1 при любом х положительна.

Пример 12. Сумма двух чисел равна 10, а их произведение равно 4. Требуется найти сумму квадратов этих чисел.

Задача кажется простой: можно обозначить числа буквами х И у, ре­шить систему двух уравнений х + У= 10 и Ху= 4, а дальше вычислить сумму квадратов найдённых чисел. Однако такое решение будет очень трудоёмким. (Дело в том, что числа х и У — иррациональные.)

Другой путь — это тождественные преобразования. Чтобы найти зна­чение выражения x2+ у2, преобразуем его, воспользовавшись формулой квадрата суммы:

X2 + Y2 = (X +у)2 — 2Xy = IO2- 2 • 4 = 100 — 8 = 92.

Разложение многочленов на множители

Разложить многочлен на множители — это значит представить его в виде произведения двух или более многочленов (среди которых могут быть и одночлены). В курсе алгебры рассматривались несколько приёмов выполнения этого преобразования.

Вынесение общего множителя за скобки. Выполняется на осно­ве распределительного свойства, которое применяется справа налево. Схематически этот способ разложения на множители для случая трёхчле­на можно представить так:

XA + X∙ В+X∙ C = X (А + В + С).

Пример 13. Разложим на множители двучлен 15α∂2— 12

∖Sab2— X2a2b=3ab(5b-4a).

После вынесения общего множителя за скобки полезно для само­проверки устно выполнить обратное действие. Обратите внимание: в скобках остался многочлен, члены которого уже не имеют общих бук­венных множителей, а их коэффициенты — взаимно простые числа. Такой ответ, как 3A(Sb2— 4Ab),Считался бы неверным. Заметим, что за скобки можно было бы вынести и множитель — ЗаЬ; тогда получили бы: 15αZ>2- XZa2 B = -3Ab(4A— 5Z>)∙

Общий множитель, который выносится за скобки, необязательно должен быть одночленом. Он может быть и двучленом, и трёхчленом.

Пример 14. a2(a — b)- 2ab(a — b) + b2(a — b) = (a — b) (а2 — 2ab + b2) = = (а — Ь) (а — Ь)2 = (а — Ь)3.

Способ группировки. Члены многочлена группируют с таким рас­чётом, чтобы в этих группах можно было выделить общий множитель. А потом этот общий множитель выносят за скобки.

Пример 15. ах — bx — ay + by = (ах — bx) — (ay — by) = = x(a — b)~y(a — b) = (a-b) (х — у).

Распространённая ошибка: применяя способ группировки, останав­ливаются на предпоследнем шаге, т. е. на выражении Х (а — Ь) —у (а — Ь). Надо понимать, что цель разложения на множители — это представление выражения в виде произведения, в то время как на предпоследнем шаге получилась разность.

Пример 16. Разложим на множители многочлен Ia2 + Sab + 2Ь2.

Чтобы применить группировку, разобьём слагаемое SabНа два од­ночлена: Sab = Ab + 4Ab.Тогда Ia2 + Sab + Ib2 = (2A2 + Ab) + (4Ab + 2Ь2) = = A(2A + B) + 2B(2A + B) = (2A +B)(A+ 2Ь).

Применение формул сокращённого умножения. Формулы A1 ± Lab + B2 = (A ± B)2, A2- B2-(а — Ь) (а+ 6), записанные справа на­лево, дают нам правила разложения многочленов на множители.

Пример 17. A4- B4 = (а2)2 — (Л2)2= (а2 — B2) (а2+ B2) = = (а — B) (A + B) (а2+ B2).

Кроме формул квадрата суммы (разности) и разности квадратов, ча­сто применяются формулы суммы и разности кубов:

A3 + 63 = (α + B) (а2 — Ab + Λ2), α3— B3 = (а — B) (a2 ÷ ab + b2).

Первая из них словами читается так: сумма кубов двух чисел рав­на произведению суммы этих чисел и неполного квадрата их разности. (Неполным квадратом разности называют выражение A2—Ab+B2.) Прочитайте самостоятельно словами формулу разности кубов.

Пример 18. Разложим на множители выражение 21Ab—863.

Данное выражение можно представить в виде разности кубов и далее воспользоваться соответствующей формулой:

Tlab— 863 = (Зя2)3 — (2Z>)3 = (3α2- 2b) (9a4 + ba2b + 462).

Часто для разложения многочлена на множители приходится по­следовательно применять несколько приёмов. Никаких общих правил, помогающих установить, какие способы и в каком порядке следует при­менять, не существует. Однако некоторых рекомендаций всё же следует придерживаться:

1) если можно вынести за скобки общий множитель, сделайте это;

2) посмотрите, нельзя ли воспользоваться какой-либо формулой:

— если имеется двучлен, то проверьте, нельзя ли применить формулу разности квадратов или же формулу разности (суммы) кубов;

— если имеется трёхчлен, то проверьте, нельзя ли свернуть его в ква­драт двучлена;

3) если не удаётся применить формулы сокращённого умножения, то попытайтесь воспользоваться способом группировки;

4) когда вы закончили разложение на множители, полезно проверить с помощью умножения, получен ли вами верный результат.

Пример 19. Разложим на множители многочлен 3A2B —126. Начнём с вынесения за скобки общего множителя ЗЬ:

3A2B—126 = 36(я2-4).

Далее применим формулу разности квадратов:

3B(A2— 4) = 3B(A— 2) (я +2). Таким образом,

3A2B— 126 = 3B(A— 2) (я + 2).

Пример 20. Разложим на множители многочлен 25 — A2 + 2Ab — B2.

Естественно сгруппировать последние три слагаемых:

25 — a2 + 2ab — b2 = 25- (а2 — 2ab + b2) = 25 — (а — Ь)2.

Теперь можно воспользоваться формулой разности квадратов:

25 — (а — B)2 = 52-(A —Z>)2 = (5 — (а — B)) (5 + (а — B)) == = (5 — А + Ь)(5 + А — Ь).

Итак, 25 — A2 + 2Ab — B2 = (5 — А + Ь)(5 + А — Ь).

Разложение на множители квадратного трёхчлена. Разложить на множители можно только тот квадратный трёхчлен, который име­ет корни: если xjи X2— корни квадратного трёхчлена αx2 + Ьх+ с, то αx2 + Ьх + с= α(x — x1) (х — х2).

Квадратный трёхчлен, не имеющий корней, на линейные множители разложить нельзя.

Пример 21. Разложим на множители квадратный трёхчлен —4×2 + Ilx + 3.

Найдём корни трёхчлена; для этого решим уравнение —4×2 + Ilx + 3 = 0; 4х2—Их—3 = 0; x1=-x2=3. ∏0Ф°РмУле αx2 + Ьх + с = A(X —X1) (х — х2) получим;

—4×2 + Ilx + 3 = —4(x + I) (х — 3) = —(4x + 1) (х — 3) = (4x + 1) (3-х).

Пример 22. Разложим на множители трёхчлен x4— 5×2 + 4.

Введём замену X2=Y1Тогда x4- 5×2 + 4 =Y2— 5у + 4.

По формуле разложения на множители квадратного трёхчлена полу­чим:^2 — 5у + 4 = (у — 1) (у — 4).

Вернувшись к переменной х, будем иметь:

X4- 5х2+4 = (х2 — 1) (х2 — 4) = (х — 1) (х + 1) (х — 2) (х + 2).

Тренировочные задания

ЗАДАНИЯ БАЗОВОГО УРОВНЯ

1) Какие из данных равенств являются тождественными?

2) α3• А3= а9

3) 16a2c4 = (4ас2)2

4) (a2b4)3 = (a3b6)2

2. В каком случае преобразование выполнено неверно?

8: (2z>2)3 = 8z>3
» align=»right» width=»120″ height=»37″ class=»»/>L)α» -‘An+L = A2N

2) А ■(2α)2■ (За)3= 108а6

3. Укажите выражение, не равное произведению 23∙33∙43∙83∙93.

1) 218∙39 3) (4∙8)3 (3∙9)3

2)69∙29 4) 129

4. Какому из выражений равно произведение 4 ■ 2rt?

1)4″~2 2)2n + 2 3) 22n 4)8″

5. Представьте выражение в виде одночлена стандартного вида:

A) (-2x)5(Зу)2 (-£)4; б) (-α⅛)3 ∙ (-2ac)2• 0,5с

6. Какой многочлен надо прибавить к многочлену -3a + 4Z>-c, чтобы их сумма была равна нулю?

1) За — 4Ь — с 3) За + 4Ь — с

2) —За — 4Ь — с 4) За — 4Ь + с

7. В каком случае преобразование выполнено верно?

1) 2(a — B) = 2a — B 3) (a + 2)2 = A2 + 4a ÷ 4

2) (а — B)2 = a2- B2 4) (2 + А) (а — 2) = 4- А2

8. В каком случае преобразование выполнено неверно?

1) Ху — Зу= (х — 3)у 3) Y2— X2 = (х + у) (у — х)

2) 9 — 6x + X2 = (3 — х)2 4) X2 + У2= (х + У)2

9. В выражении 6×2— 9ху вынесли за скобки общий множитель —Зх. Какой двучлен остался в скобках?

L)-2x-3y 2)3y-2x 3)2x-3y 4)3y+2x

10. Укажите произведение, тождественно равное многочлену 6A — Sab.

L)-2a(3-4b) 3) -2a(4b— 3)

2) -2a(3 + 4b) 4) -2a(-3 — 4Ь)

11. Укажите выражение, тождественно равное произведению

(x-4)(l -2х).

12. Какое из выражений нельзя преобразовать в произведение (4 — >,)2(2 — у)?

1) — О — 4)2O-2)

2) — (4 — y)2(y — 2)

3) (у-4)2(2 -у)

4) (у — 4)2(y — 2)

13. Упростите выражение:

А) (c+ 5)2-c(10-3c);

Б) (a-3)2-3a(а —2);

В) 2с (с —3) — (с+ 4)2;

Г) За (а — 3) — (а — 2)2;

Д) (т+ З)2 — (т — 2) (т+ 2);

E)O-4)(y + 4)-O-3)2;

Ж) (а — 3) (а — 7) — 2а (За —5);

З) 2а (За — 1) -(а-2) (а+ 3).

14. Разложите на множители:

А) 25×2- 9y2;

Б) 16 — Z>4;

В) А — Ab + 3 — ЗЬ;

Г) (a-2)2-5a (а-2).

15. Разложите на множители многочлен 2×3— 8х.

16. Разложите на множители квадратный трёхчлен 2×2 + 4х — 6.

L)2(x + l)(x-3) 3)2(x-l)(x +3)

2)2(x — l)(x-3) 4)2(x + 1) (х +3)

17. Какое выражение надо подставить вместо многоточия в равенство 4×2— Ilx -3 = 4 (х—3) •(…)?

18. Какой из следующих квадратных трёхчленов нельзя разложить на множители?

ЗАДАНИЯ ПОВЫШЕННОГО УРОВНЯ

Разложите на множители (№ 19—21):

19. a) X2y — ху — X2 + х;

6)x2y-y-x2 + 1.

20. a) A2b — Ab2— ас + ab + Ьс — с;

Б) 9×4- 13×2 ÷ 4;

В) X2y2-5x2y + 4×2— У2+ 5у — 4.

21. a) 4c2-20ac + 25a2 + 5a-2c;

Б) A2-4b2 +4/)-1;

В) 2×2-20xy + 50y2-2.

22. Докажите тождество: (я-1) (а +1) {A2 +1) (α4 +1) = α8 -1.

Решения и ответы

1. 2, 3 и 6. 2. 4. 3. 3. 4. 2. 5. А) -γ√∖δ) -2α563c3.6. 4. 7. 3. 8. 4. 9. 2. 10.3. 11.2.12.4. 13. А) 4с2+25 ; б)-2α2+9; в) c2-14c-16 ; г) 2α2-5α-4; д) 6т+ 13; е) Бу — 25; ж) 21-5α2; з) 5α2-За + 6. 14. A) (5x-3>’)(5x+3y); б) (2 — Z>)(2 + Z>)(4 + Zr); в) (1-Z>)(α + 3); г)-2(a — 2)(2a + 1). 15. 2x(x-2)(x + 2). 16. 3. 17. Х+-. 18. 2. 19. A) (x-l)x(y-l). Решение.

4

X2y-xy-x2+x = xy(x-l)-x(x-l) = (x-l)x(y-l); б) (x-l)(x + l)(y-l).

20. A) (<7-Z> + l)(aZ>-c). Указание. Сгруппируйте слагаемые так: первое, второе и четвёртое (эти слагаемые не содержат с), третье, пя­тое и шестое (содержат с); б) (3x-2)(3x + 2)(x-l)(x + l). Указание. Начните с замены х2= У; в)(x-l)(x + l)(y-4)(y-l). Решение. X2Y2- 5X2Y + 4×2- Y2 + 5y — 4 = Y2(X2— 1) — 5y (X2— 1) + 4 (x2-1) = = (x2-l)(y2-5y+ 4); первый множитель разложите по формуле разности квадратов, второй — по формуле Ax2 + Bx + с = A(X— xj) (х — х2). 21. А) (2с—5A)(2C-5A— 1). Указание. Сгруппируйте первые три слагаемых; б) {а—1 +2∕j)(λ+ 1 ~2B). Указание. Сгруппируйте три последних слагае­мых; B)2(x-5y-l)(x-5y+1). 22. Решение, (а—L)(fl + 1)(д2+ l)(a4 + 1) = = (a2— l)(a2 + l)(a4 + l) = (a4- l)(a4 + 1) = a8- 1.