ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ ЗАДАЧИ C РЕШЕНИЯМИ БАЗОВЫЕ ЗАДАЧИ ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ…

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

ЗАДАЧИ C РЕШЕНИЯМИ

БАЗОВЫЕ ЗАДАЧИ

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

В школьном курсе рассматриваются построения, выполненные циркулем и линейкой. Задача на построение решается в 4 этапа: анализ, построение, доказательство, исследование.

К основным действиям, которые можно осуществлять с помо­щью циркуля и линейки, относятся следующие:

1) Построение прямой, проходящей через две имеющиеся точки.

2) Построение окружности с центром в построенной точке и ра­диусом, равным отрезку с концами в построенных точках.

3) Построение пересечения двух построенных фигур.

4) Выбор любого конечного числа произвольных точек, принад­лежащих одной из построенных фигур.

Основные методы решения задач на построение

1) Метод геометрических мест точек.

2) Метод геометрических преобразований.

3) Алгебраический метод.

Основные геометрические места точек

1) Множество всех точек плоскости, удалённых на заданное рас­стояние от данной точки, — окружность с центром в данной точке и радиусом, равным заданному расстоянию.

2) Множество всех точек плоскости, равноудалённых на заданное расстояние от данной прямой, — пара прямых, параллельных данной прямой, точки которых отстоят от данной прямой на заданное расстояние.

3) Множество всех точек плоскости, равноудалённых от двух данных параллельных прямых, — прямая, параллельная дан­ным прямым и делящая пополам всякий отрезок с концами на этих прямых.

4) Множество всех точек плоскости, равноудалённых от концов данного отрезка, — прямая, перпендикулярная к данному

Основные теоретические сведения

Отрезку, проходящая через его середину (серединный перпен­дикуляр к данному отрезку).

5) Множество всех точек плоскости, равноудалённых от сторон угла — биссектриса угла.

6) Множество всех точек плоскости, равноудалённых от пары данных пересекающихся прямых, — пара взаимно перпенди­кулярных прямых, являющихся биссектрисами углов, образо­ванных при пересечении данных прямых.

7) Множество всех точек плоскости, из которых данный отрезок виден под прямым углом, — окружность, построенная на дан­ном отрезке как на диаметре.

8) Множество всех точек плоскости, из которых данный отрезок виден под данным углом, — есть две дуги окружностей равных радиусов, опирающихся на данный отрезок (концы отрезка не рассматриваются).

ЗАДАЧИ C РЕШЕНИЯМИ

9) .1 Постройте серединный перпендикуляр к данному отрезку.

Решение. Анализ. Пусть задача решена и серединный пер­пендикуляр KLК данному отрезку CDПостроен (рис. 11.1).

Рис. 11.1

Отметим, что каждая точка серединного перпендикуляра KL Равноудалена от концов отрезка CD, То есть представляет собой пересечение двух окружностей с центрами в точках CaDСоответственно.

Построение.

1) Окружность δ радиуса CDС центром в точке С.

2) Окружность γ радиуса CDС центром в точке D.

3) Точки KaLПересечения окружностей δ и γ: δrv∕ = {KL}.

4) Прямая KL — искомый серединный перпендикуляр.

Доказательство. Прямая KL — искомый серединный пер­пендикуляр, так как четырёхугольник CKDL — ромб (по построениям 1, 2, 3), а диагонали ромба взаимно перпенди­кулярны и точкой пересечения делятся пополам.

Исследование. Задача всегда имеет единственное решение.

11.2 Постройте треугольник наименьшего периметра по данной стороне А и высоте Ha,Проведённой к стороне А.

Решение. Анализ. Пусть задача решена. Точка А принад­лежит множеству точек, расположенных на расстоянии ħA От прямой ВС, то есть лежит на прямой I, параллельной BC И отстоящей от неё на расстояние Ha(рис. 11.2).

Рис. 11.2

Значение суммы BC+AC+ABДолжно быть наименьшим, так как по условию задачи периметр искомого треугольника должен быть наименьшим. Поскольку длина отрезка BCПо условию задана и равна А, то наименьшее значение должна принимать сумма длин двух оставшихся сторон: AC +АВ. Это возможно тогда и только тогда, когда три точки В, А и C Принадлежат одной прямой. Рассмотрим осевую симметрию относительно оси I. Образом точки CПри симметрии является точка С, такая, что CC Ll и расстояния от точек C и C’до прямой IРавны. Рассмотрим прямую BC’: прямая BC’пере­секает прямую IВ точке А. Так как точки В, A, CЛежат на одной прямой, то значение суммы BA +AC — наименьшее. Следовательно, положение искомой точки А определено как пересечение прямых BCИ I.

Построение.

1) Любая прямая K,Принадлежащая плоскости построения (рис. 11.3).

2) Любая точка В на прямой K.

3) Окружность ω(B, А) с центром в точке В, радиуса А.

4) Точка C = ω(B, A)nk.

5) Прямая I, удалённая от прямой KНа расстояние ħA.

6) Точка С, симметричная точке CОтносительно прямой I.

7) Прямая ВС.

8) Точка A = BCn I.

9) Треугольник ABC — искомый.

Доказательство. Построенный треугольник ABC — иско­мый, так как:

1) BC = а по пунктам 3, 4 раздела «Построение».

2) Длина высоты треугольника, проведённой к стороне ВС, Равна ħAПо пунктам 5, 8 раздела «Построение».

3) Построенный треугольник является треугольником наи­меньшего периметра, так как по пункту 6 раздела «Построе­ние» BC +AC +AB = BC +AC‘+АВ.

Исследование.

Задача всегда имеет решение. C точностью до движений плоскости решение — единственное.

БАЗОВЫЕ ЗАДАЧИ

11.3 Постройте на данном луче отрезок, равный данному.

11.4 Постройте прямую, проходящую через данную точку и пер­пендикулярную данной.

11.5 Постройте прямую, параллельную данной прямой и прохо­дящую через данную точку.

11.6 Постройте от данного луча в данную полуплоскость угол, равный данному углу.

11.7 Постройте биссектрису данного угла.

11.8 Постройте середину данного отрезка.

11.9 Постройте треугольник по двум данным его сторонам и углу между ними.

11.10 Постройте треугольник по стороне и двум, прилежащим к ней углам.

11.11 Постройте треугольник по трём данным его сторонам.

11.12 Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и ка­тету.

11.13 Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и ост­рому углу.

11.14 Постройте касательную к данной окружности, проходящую через данную точку.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

11.15 Постройте правильный треугольник по данному радиусу описанной около него окружности.

11.16 Постройте правильный треугольник по данному радиусу вписанной в него окружности.

11.17 Постройте ромб по его данным диагоналям.

11.18 Постройте прямоугольный треугольник по данной гипотенузе и данной медиане, проведённой к одному из катетов.

11.19 Постройте трапецию по данным её основаниям и диагоналям.

11.20 Постройте квадрат, равновеликий данному прямоугольнику.

ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Глава 1

1.48	1.	1.49	1.	1.50	2.	1.51	3. 1.52	2.
1.53	4.	1.54	2.	1.55	5.	1.56	1. 1.57	4.
1.58	3.	1.59	2.	1.60	5.	1.61	1. 1.62	3.
1.63	2.	1.64	3.	1.65	4.	1.66	2. 1.67	4.
1.68 1.69	А) 16 км; б) 4 И = -. 1.70 I	Ч.; S =	В) 2 раза; г) F P	1 1 2 Чм3	Ч.; д)	К 1 / 5— км/ч.

Глава 2

2.36 Ab(a-b). 2.37 567. 2.41 -3. 2.42 0. 2.46 1. 2.47 2. 2.51 1. 2.52 2. 2.56 2. 2.57 3. Глава 3 3.36 1. 3.37 2. 3.41 1. 3.42 5. 3.46 7. 3.47 0. 3.51 3. 3.52 2. 3.56 2. 3.57 5.	2.38 -3. 2.39 4. 2.40 2 . 2.43 -3. 2.44 1. 2.45 7 . 2.48 3; 4. 2.49 -4; -3. 2.50 -1. 2.53 1. 2.54 3. 2.55 4. 2.58 3. 2.59 2. 2.60 11. 3.38 1 3.39 2. 3.40 1. 3.43 4 3.44 2. 3.45 4. 3.48 2,5. 3.49 3. 3.50 1. 3.53 3. 3.54 1. 3.55 1. 3.58 2.
3.59	А	Б	В	3.60	А	Б	В
2	1	3	2	3	1
3.61 3.65	1. 3.62 1. A∈(l; +∞). 3.66	3.63 ; 4 24; 12	3.64 1. 2 3.67 20; 12.

Глава 4

4.22 А04	XI	I Il I ∏-l I » • СП 1 Il I Iha OOlO	XIOO	199 103 ‘ 1	4.23 x1 = 5; X7 А ОС 1	23; X2OO 602. A rid Q
4.24	Х1	2’ 5 32	’ Х8 —	256’	4.25 1.	4.20 О.
4.27	1.	4.28	4.	4.29	1; An=n. 4.30	2; αn = n + l.
4.31	2;	5; 8. 4.32	Il 9’	4.33	6, 18, 54; 26, 26,	26. 4.34 6 дней.

Глава 5

5.20	303600.	5.21	61880.	5.22	109620.	5.23	3024.
5.24	39.	5.25	2058.	5.26	26.	5.27	48. 5.28 385
			1		109		8 1
5.29	50.	5.30		5.31		5.32	5.33 -.
		Ci	35		357′		35 2
5.34	90; 650;	642 ⅛		5.35	1.	5.36	3.

Глава 6

48

6.9 18°; 162°. 6.10 15. 6.11 — у. 6.12 10.

6-13 Указание: воспользуйтесь свойством средних линий треугольников, на которые исходный четырёхугольник разбивается диагоналями.

Глава 7

7.8 2. 7.10 32°. 7.11 3 7.12 10,625.

Глава 8

8.9 |; 8.10 |. 8.11 2. 8.12 12. 8.13

О о о о 1∣□

Глава 9

9.11 8π(2+√3). 9.12 ¾2-√3). 9.13 20. 9.14 ⅛ 9.15 18√3.

4□ XO

9.16 π. 9.17 42. 9.18 9.19 8.

9.20 Указание: воспользуйтесь свойствами площадей подобных тре­угольников и треугольников с общими основаниями.

Глава 10

10.11 прямые параллельны. 10.12 прямые перпендикулярны.

10.13(2; 1) 10.

∫y = x-20, (y = x-20,

∣4θΓ22θoθ)0=* 1; I4 (40x — 200°)=*(* — 2°);

I X[X~4U) 4’

У = х-20 = 60, х = 80;

У = х-20 = 80, x=100.

Итак, мы имеем два ответа: скорость первого автомобиля 80 км/ч, второго автомобиля 60 км/ч; скорость первого ав­томобиля 100 км/ч, второго автомобиля 80 км/ч.

Ответ: Скорость первого автомобиля 80 км/ч, второго автомо­биля 60 км/ч; скорость первого автомобиля 100 км/ч, второго автомобиля 80 км/ч.

[1] Функция принимает отрицательные значения при Х > 7.

[2] Нулями функции являются числа -3, 0, 7.

[3] Функция возрастает на промежутке [-5; 3].

[4] Y = X2 + L;

3. Y = — X2+ 1;

[6] Рассмотрим ΔACK‘.

AK=AC’ cos ZCAK, AC = —4‰≈ = ————— ‰τ;.

Cos ZCAK cos ZCAK