& Конспект _______________________ Диаграммы Диаграмма строится по числовым значениям в неко­тором…

& Конспект _______________________

Диаграммы

Диаграмма строится по числовым значениям в неко­тором диапазоне (блоке) таблицы. При этом подписи диаграммы обычно также берутся из соответствующих диапазонов таблицы (из её «шапки» и/или левого столбца с названиями строк).

При этом в таблице определяются исходные и зави­симые величины. Исходные величины называют Кате­гориями, А зависящие от них величины называют Ряда­ми данных.

Пример (таблица зависимости координаты тела, движущегося по прямой, от времени для трёх различ­ных экспериментов):

T	1	2	3	4	5	6	7	8 ι
	2	2,5	3	4	6	9	15	21′
X2	1,5	2	2,5	3	3,5	4	4,5
S*3.	1	4	9	16	25	36	49	64,

Категории Ряды данных

На диаграмме, в зависимости от её вида, может быть отображён только один ряд данных либо несколько рядов данных. Значения категорий при этом являются подпи­сями к элементам диаграммы, соответствующим значе­ниям ряда/рядов, либо определяют значения по оси X (тогда значения рядов данных — это значения по оси У).

Имена рядов данных, как правило, отображаются на диаграмме в составе её Легенды — таблицы, определяю­щей соотношение имени каждого ряда данных и его графического отображения (цвета линии, вида значков, соответствующих точкам и т. д.).

Основные виды диаграмм

1. Гистограмма — состоит из вертикальных прямо­угольников. Каждый столбик соответствует одному зна­чению таблицы для соответствующей категории.

Пример чтения гистограммы:

Ось категорий располагается по горизонтали (здесь — содержит названия месяцев).

Ряд данных — один. Числовые значения соответ­ствуют высотам столбиков и приближённо определяют­ся по вертикальной оси (слева).

Месяц	Январь	Февраль	Март	Апрель	Май	ИЮНЬ
Значение	900	2000	1200	900	900	2500

2. Линейчатая диаграмма — Состоит из горизон­тальных полосок. Каждая полоска соответствует одно­му значению таблицы для соответствующей категории.

Пример чтения линейчатой диаграммы:

Ось категорий располагается по вертикали, слева (здесь — содержит числа — порядковые номера).

Ряд данных — один. Числовые значения соответ­ствуют длинам полосок и приближенно определяются по горизонтальной оси.

№ п/п	1	2	3	4	5	6	7	8
Значение	2,4	2	1,35	1,2	1,3	1,49	1,5	1,45

3. График — Представляет собой набор точек и/или соединяющую их линию. Каждая точка соответствует одному значению таблицы для соответствующей кате­гории.

Пример чтения графика:

Ось категорий располагается по горизонтали (здесь — содержит названия месяцев).

Ряд данных — один. Числовые значения соответ­ствуют вертикальным координатам расположения то­чек и приближённо определяются по вертикальной оси (слева).

Месяц	Январь	Февраль	Март	Апрель	Май	ИЮНЬ
Значение	900	2000	1200	900	900	2500

4. Точечная диаграмма — Аналогична графику (представляет собой набор точек и/или соединяющую их линию), но здесь при построении диаграммы ком­пьютер автоматически выстраивает числовые значения категорий по возрастанию по оси X и строит график за­висимости от них значений ряда (рядов) данных. Имен­но точечная диаграмма является в электронных табли­цах аналогом графиков в математике.

Пример чтения точечной диаграммы:

Ось категорий располагается по горизонтали и со­держит значения X.

Ряд данных — один. Числовые значения соответ­ствуют вертикальным координатам расположения то­чек и приближённо определяются по вертикальной оси (слева).

X	1	2	3	4	5	6	7	8
Y	2,4	2	1,35	1,2	1,3	1,49	1,5	1,45

2 В гистограмме, линейчатой диаграмме, графике, точеч­ной диаграмме для вычисления процентных долей значений ряда данных относительно суммы для всего ряда нужно сло­жить все значения ряда данных, определить тем самым общее значение и вычислять процентные доли делением каждого значения ряда данных на сумму их значений.

5. Круговая диаграмма — представляет собой набор секторов круга. Каждый сектор соответствует процент­ной доле одного значения таблицы для соответствую­щей категории относительно суммы всех значений ряда данных.

Пример чтения круговой диаграммы:

Категории определяются по легенде или надписям на самой диаграмме (здесь — названия месяцев).

Ряд данных — один (круговая диаграмма всегда отображает один ряд данных). Процентные доли каждо­го значения ряда данных, соответствующего той или иной категории, могут быть надписаны на диаграмме либо определяются приближённо как процентные доли углов соответствующих секторов относительно всего круга (360°).

§ Круговая диаграмма не даёт информации об абсолютных значениях ряда данных! Для их определения необходимо знать суммарное значение по всему ряду данных либо абсо­лютное значение хотя бы одного элемента данных (дальней­ший расчёт выполняется пропорционально).

Пусть известно, что, например, июню (29%) соот­ветствует числовое значение 870. Тогда можно по име­ющейся диаграмме восстановить (рассчитать) значения для остальных категорий:

Месяц	Ян­варь	Фев­раль	Март	Ап­рель	Май	Июнь	СУМ­МАРНО
Доля, %	11	24	14	11	11	29	100
Значе­ние	330	720	420	330	330	870	3000

6. Гистограмма для нескольких рядов данных — Со­стоит из наборов соответствующих количеств столбцов разного цвета или фактуры (каждому ряду данных со­ответствует свой цвет или фактура, указанный в ле­генде).

Пример чтения гистограммы для нескольких рядов данных:

Диаграмма читается аналогично обычной гисто­грамме, но нужно отдельно считывать значения для столбиков каждого ряда данных.

Ось категорий располагается по горизонтали (здесь — содержит названия месяцев).

Рядов данных — два (первый, «импорт», — светло­серый цвет, второй, «экспорт», — тёмно-серый цвет). Числовые значения соответствуют высотам столбиков и приближённо определяются по вертикальной оси (слева).

Месяц	Январь	Февраль	Март	Апрель	Май	ИЮНЬ
Импорт	900	2000	1200	900	900	2500
Экспорт	1500	1800	700	500	900	2000

[==∣Разбор типовых задач

Задача 1*. В цехе трудятся рабочие трёх специаль­ностей — токари (T), слесари (C) и фрезеровщики (Ф). Каждый рабочий имеет разряд, не меньший второго и не больший пятого. На диаграмме I отражено распреде­ление рабочих по специальностям, а на диаграмме II — количество рабочих с различными разрядами. Каждый рабочий имеет только одну специальность и один раз­ряд.

I II

Какое из утверждений:

А) Среди слесарей найдётся хотя бы один третьего разряда

Б) Среди токарей найдётся хотя бы один второго раз­ряда

В) Все токари могут иметь четвёртый разряд

Г) Все фрезеровщики могут иметь третий разряд сле­дует из диаграмм?

1)A 2) Б 3)В 4) Г

Решение

Из диаграммы II следует, что больше всего рабочих 3-го разряда (40 чел.); второй разряд имеют 25 чел.; чет­вёртый разряд имеют 20 чел.; меньше всего рабочих 5-го разряда (15 чел.). Общее же число рабочих равно 40 + 25 + 20 + 15 = 100 чел.

Из диаграммы I следует, что токарей в цехе больше всего, их 50%, т. е. 50 чел. Количества же слесарей и фрезеровщиков одинаковы — по 25% , т. е. по 25 чел.

Последовательно анализируется справедливость каждого из приведённых утверждений в соответствии с обеими диаграммами.

А) Среди слесарей найдётся хотя бы один третьего разряда. Токарей и фрезеровщиков: 50 + 25 = 75 чел., а рабочих 3-го разряда — 40 чел. Поэтому может ока­заться так, что все рабочие 3-го разряда будут только то­карями и фрезеровщиками, а все слесари будут иметь 2-й, 4-й или 5-й разряд.

Б) Среди токарей найдётся хотя бы один второго раз­ряда. Слесарей и фрезеровщиков (как следует из диа­граммы I) 50 чел., а 2-й разряд имеют 25 чел. Поэтому может оказаться, что 2-й разряд имеют только слесари и фрезеровщики, но ни одного токаря.

В) Все токари могут иметь четвертый разряд. Это невозможно: токарей (как следует из диаграммы 1)50 чел., а 4-й разряд имеют только 20 чел. Значит, как минимум 30 токарей должны иметь разряд, отлич­ный от 4-го.

Г) Все фрезеровщики могут иметь третий разряд. Это вполне возможно: фрезеровщиков — 25 чел., а име­ющих 3-й разряд — 40 чел. Следовательно, все 25 фре­зеровщиков могут иметь 3-й разряд.

Вывод: истинным из четырёх приведённых в задаче высказываний является высказывание Г.

Ответ: высказывание Г (вариант ответа №4).

Задача 2*. Дан фрагмент электронной таблицы:

	А	В	C	D
1	3		3	2
2	=(C1+A1)∕2	=Cl — Dl	=Al — Dl	=B1∕2

Какое число должно быть за­писано в ячейке Bl, чтобы пост­роенная после выполнения вы­числений диаграмма по значе­ниям диапазона ячеек A2:D2 соответствовала рисунку:

Решение

В предыдущих задачах требовалось по результатам расчётов в таблице указать, какая диаграмма по ней бу­дет построена (это были задачи группы А). Теперь зада­ча стала сложнее — надо по виду диаграммы (причём «слепой» — без легенды и подписей!) определить недо­стающее значение в ячейке таблицы.

Искомое число в ячейке Bl обозначается как Х и вы­полняются (по возможности и с учётом этой неизвест­ной) все вычисления по предложенным в строке 2 фор­мулам:

	А	В	C	D
1	3	X	3	2
2	(3 + 3)/2	3-2	3-2	Х/2

Или

	А	В	C	D
1	3	X	3	2
2	3	1	1	Х/2

Полученный набор числовых значений в строке 2 сравнивается с диаграммой:

На этой диаграмме — три равных сектора, в сумме дающих 180°, и значит, равных 60° каждый, и один сектор в 180° (т. е. равный трём остальным вместе). Та­кая ситуация возможна, если большой сектор соответ­ствует значению 3, а малые секторы — каждый значе­нию 1.

Тогда Х / 2 = 1, откуда Х= 2.

Ответ: в ячейке Bl должно быть записано число 2.

Задача 3*. Дан фрагмент электронной таблицы:

	А	В	C	D
1	3		5
2	=Cl — 3	=(A1 + Cl)∕2	=Al/3	=(B1 + A2)∕2

Какое число должно быть записано в ячейке Bl, что­бы построенная после выполнения вычислений диа­грамма по значениям диапазона ячеек A2:D2 соответ­ствовала рисунку?

Решение

1. В формулы подставляются все известные констан­ты (значения соответствующих ячеек) и выполняются все возможные вычисления:

	А	В	C	D
1	3		5
2	5-3 = 2	(3 + 5)/2 = 4	3/3 = 1	(Bl + 2)/2

Диапазон значений для построения диаграммы:

	А	В	C	D
2	2	4	1	(Bl + 2)/2

2. Диаграмму, приведённая на рисунке — это гис­тограмма. Её столбцы непосредственно определяют со­ответствующие числовые значения. В данном случае эти значения пропорциональны:

2

4

1

3

3. При построении гистограммы по значениям неко­торого диапазона порядок следования столбцов гисто­граммы соответствует порядку следования ячеек. Со­поставляя известные значения в ячейках A2:D2 и зна­чения, считанные с гистограммы, получается, что коэффициент пропорциональности равен 1, а значение ячейки D2 должно быть равно 3.

4. Тогда (Bl + 2)/2 = 3. Отсюда Bl + 2 = 6, тогда Bl = 4.

Ответ:4.

Задача 4*. Дан фрагмент электронной таблицы:

	А	В	C	D
1			5	4
2	=Dl — 3	=Cl — Dl	=(A2 + B2)∕2	=Bl — Dl + С2

Какое число должно быть записано в ячейке Bl, что­бы построенная после выполнения вычислений диа­грамма по значениям диапазона ячеек A2:D2 соответ­ствовала рисунку?

Решение

1. В формулы подставляются все известные констан­ты (значения соответствующих ячеек) и выполняются все возможные вычисления:

	А	В	C	D
1			5	4
2	4-3 = 1	5-4=1	(1 + 1)/2= 1	Bl — 4 + 1

Диапазон значений для построения диаграммы:

	А	В	C	D
2	1	1	1	В1-3

2. Диаграмму, приведённая на рисунке — это круго­вая диаграмма. Её секторы определяют процентное со­отношение соответствующих числовых значений. В данном случае эти соотношения можно оценить так:

1∕2

V6

V6

1∕6

3. При построении круговой диаграммы по значени­ям некоторого диапазона порядок следования секторов соответствует порядку следования ячеек, но отсчёт сек­торов может начинаться с любой ячейки. Сопоставляя известные значения в ячейках A2:D2 и значения, счи­танные с круговой диаграммы, можно сделать следую­щие выводы:

• три равных сектора, соответствующие 1∕6частям диаграммы, соответствуют значениям ячеек А2:С2 (числовое значение 1);

• сектор, соответствующий 1∕2части диаграммы, со­ответствует значению ячейки D2, а его числовое зна­чение втрое больше значений в ячейках А2:С2, т. е. равно 3.

Тогда Bl — 3 = 3. Отсюда Bl = 6.

Ответ:6.