81. На 15 дней понадобится 183 • 15 = 2745 пачек сахара. Учитывая, что в одной упаковке 16 пачек и 2745 : 16 = 171,5625, то надо купить 172 упаковки.
Ответ:172.
82. Наибольшая среднесуточная скорость ветра соответствует точке с наибольшей ординатой. По графику определяем, что наибольшая ордината равна 20.
Ответ:20.
83. По определению арифметического корня чётной степени имеем
51 — 13x = 25, О 13x = 26, О Х= 2.
Ответ:2.
84. ZA+ ZB+ ZC = 180°,
ZC = 180o — 2 ∙ ZABP — ZA = 180° — 2 — 6° — 93° = 75°.
Ответ:75.
85. Определим стоимость набора продуктов в каждом городе. Астрахань: 30 • 3 + 260 • 1 + 42 • 2 = 434 (руб.) Новочеркасск: 35 • 3 + 250 • 1 + 45 • 2 = 445 (руб.) Тара: 40 • 3 + 240 • 1 + 40 • 2 = 440 (руб.)
Стоимость самого дешёвого набора составляет 434 рубля.
Ответ:434.
86. S = • 3 = 18.
Ответ:18.
87. <а< 2π, значит, cos а < 0.
Cos α = — χ∕l — sin2а = — 4/1 — if = ^^ ⅛ = ^^0,2. V о
Ответ: —0,2.
88. На касательной выберем две точки А(8; 8) и B(3; 1), тогда
, X2-Xi 8-3 5
Ответ:1,4.
89. По условию цилиндр вписан в прямоугольный параллелепипед. Значит, в основании параллелепипеда — квадрат со стороной, равной A = 2R, Где Г — радиус основания цилиндра. a = 2 • 5 = 10.
Объём прямоугольного параллелепипеда найдём по формуле V=Soch.• Л, где H — высота параллелепипеда.
V = IO2• 5 = 500.
Ответ:500.
_ T
В10. В формулу M(T) = T∏Q •2 T подставим То = 150 мг, T = 3 мин, M(T) = 18,75 мг. Получим 150 • 2~з = 18,75; 2~з = 1; 2~з = 2^3; о
= -3; T = 9.
Ответ:9.
Bl 1. Y‘ = 3×2 + IOx — 8, У’= 0,3×2 + IOx — 8 = 0 -4 ∈ (-5;-2); !¢(-5:-2).
Y(-5) = (—5)3+ 5 • (—5)2 — 8 • (-5) + 1 = 41;
Y(-4) = (—4)3+ 5 • (—4)2 — 8 • (-4) + 1 = 49;
J∕(-2) = (—2)3+ 5 • (—2)2 — 8 • (-2) +1 = 29;
Из чисел 29,41,49 наибольшее число 49.
Ответ:49.
В12. Пусть Х км/ч — скорость первого мотоциклиста, S км — расстояние с
Между пунктами А и В. Тогда — ч — время в пути первого мотоциклиста.
 |
 |
ч — время второго мотоциклиста, затраченное на первую половину
Рую половину пути. I + 777—I ч — время второго мотоциклиста,
\о0 2\Х4- 2U) J
Затраченное на весь путь от пункта А до пункта В. По условию мотоцик
Листы прибыли в пункт В одновременно. Составим уравнение:
S S . S
Х 60 2(x + 20)’
1 =1 . 1 Х60 2(х + 20)’
60х + 1200 = X2 + 20х + ЗОх, X2-IOx — 1200 = О, Х= 40, X =—30 — корни уравнения. Х= —30 не удовлетворяет условию Х > 0. Второй мотоциклист во второй половине пути ехал со скоростью 40 + 20 = 60 км/ч.
Ответ:60.
Cl. (6sin2Х — Ilsinx + 4)√-5cosx = 0.
 |
|
COsx ≤ 0.
Решим уравнение системы.
6 sin2х — И sinx+ 4 = 0.
Обозначим sinx = t, ∣t∣ ≤ 1.
Уравнение примет вид:
[‘=!■
6t2-llt + 4 = 0<=>
T = 2 не удовлетворяет условию ∣t∣ ≤ 1. О
Вернёмся к исходной переменной:
Х = 5 + 2πn, П∈ Z, о
 |
 |
+ 2πn ≤ х ≤ ¾- + 2πn, П∈ Z;
<≠ х = + 2πn, П ∈ Z(см. рис. 1).
Ответ: ⅛ + πn, ⅛ + 2πn, П ∈ Z. Δ о
С2. 1. Проведём BH ± DCИ HHi || BBγt BBi — L (ABC)TЗначит, HHi — L (ABC)T BHi — наклонная, BH — проекция наклонной.
BHi ± DCПо теореме о трёх перпендикулярах (см. рис. 2).
Рис. 2.
Так как DiCi ∣∣ DCtТо BHi — L DiCitСледовательно, BHi — искомое расстояние.
2. В ΔBHC ZH = 90o, ZBCH = 180o — ZBCD. ZBCD = 120°, так как шестиугольник ABCDEF — правильный, ZBCH = 180° — 120° = 60°.
Sin ZBCH = BH = BC — sin ABCH = 7 ∙ sin60o =
3. В ΔBHHi, АН = 90°:
BHi = √BH2 + HH12 = + ?2 = ¾p
Ответ:
&
СЗ. 7 Iog9(х2+ Зх — 10) ≤ 8 + Iog9 2/.
XТ О
|
|
X2 + Зх — 10 >О,
⅛⅛F>°»X + о
Решим неравенство на ОДЗ.
71og9(x + 5)(x — 2) — Iog9 ≤ 8,
Log9^ + ⅞~2¾^ + ^≤8.
Log9(x + 5)8 ≤ 8,
8 Iog9∣x + 5∣ ≤ 8,
Iog9∣x + 5∣ ≤ 1,
∣x÷5∣≤9,
-9 ≤ Х+ 5 ≤ 9,
-14 ≤ Х≤ 4.
Учитывая ОДЗ, имеем —14 ≤ Х<—5,2 <Х≤ 4 (см. рис. 3).
 |
|
Ответ: [—14;—5)U (2;4].
С4. По условИю в ΔABC ZC = 9Qo, AC = 8, BC = 15, тогда AB = VAC2 + BC2 = √82 + 152= 17.
OE ± ABt OK ± MNПо свойству касательной к окружности, MN ± ABПо условию, OK = OEtСледовательно, KOEN — квадрат. Sabc = \Pabc• г, где τ — радиус окружности, вписанной в ΔABC.
2 ∙ I∙AC∙BC
R =2Sabc= = 8д15 = з
Pabc AC + BC + AB 40
Рассмотрим два случая.
1. Прямая MNtПерпендикулярная гипотенузе ABtПересекает катет BC (см. рис. 4).
BE = BFПо свойству отрезков касательных, проведённых из одной точки. BF = BC — CFt CF = г = 3, BE = BF = 15 — 3 = 12, тогда
 |
|
15
Sacmn = Sabc — Smnb = ± ∙ AC BC — ± MN BN =
ЛА ЛА
= ± • 8 • 15 — ± • 4,8 • 9 = 60 — 21,6 = 38,4. ЛА ЛА
2. Прямая MN,Перпендикулярная гипотенузе АВ, пересекает катет AC (см. рис. 5).
AP = AE = AC — PC = 8- 3 = 5, AN = AE-EN = 5- 3 = 2.
AANM ~ ΔACB (ZW = ZC = 90o, ZA — общий).
Из подобия следует
AW MN AW-BC 2∙15 q
AC = ~BC‘Mn = ~AC— =“8“ =3>75∙
Scmnb = Sabc — Samn = 60 -1 ∙ AW ∙ MW = 60 -1 • 2 • 3,75 = 56,25. ЛЛ ЛА
Ответ:38,4; 56,25.
С5. Первое уравнение системы задаёт две симметричные относительно оси абсцисс окружности радиуса 4, центры которых находятся в точках (5; 8) и (5; —8). Второе уравнение системы задаёт окружность с центром в точке с координатами (-3; 2) радиуса А.
Исходя из расположения задаваемых окружностей, ясно, что система имеет единственное решение в двух случаях.
1. Когда окружность радиуса А (случай /), касается «верхней» окружности: (х — 5)2+ (у — 8)2= 16;
2. Когда окружность радиуса А (случай //), касается «нижней» окружности: (х — 5)2+ (у+ 8)2= 16 (см. рис. 6).
Рис. 6.
Рассмотрим каждый из случаев.
1. Расстояние между цеНтрами окружностей рАвно сумме радиусов этих окружностей и равно γ∕(5 — (—З))2+ (8 — 2)2 = √64 + 36 = 10, то есть а + 4 = 10, откуда А= 6.
2. Расстояние между центрами этих окружностей равно
√(5 — (-3))2+ (2 — (—8))2 = √64 + 100 = √164 = 2√41 и равно разности радиусов окружностей, значит, A = 2√z41 + 4. Таким образом, при α = 6πα = 4÷ 2√z41 исходная система уравнений имеет единственное решение.
Ответ:6; 4 + 2√41.
С6. Докажем, что А и BВзаимно просты. Предположим противное, то есть у них есть общий простой делитель р. Тогда А и BМожно представить в виде A = αι ∙ Pm, где αι не делится на р, Т∈ TV;
B = Bι ∙ Pn, где BιНе делится на р, П∈ TV.
При тп ≥ п из первой строки системы получаем α3P3M — C(α2P2M ψ B^P2N),
α3p3m-∏ + ⅛1 = Cpn(A2P2M~2N + Ь2), Bι = Cpn(A2P2M~2N+b2) — A3P3M~N,Что невозможно, так как правая часть равенства делится на р, а левая — не делится.
Аналогично при тп <п из второй строки системы получаем α1 = Dpm(A2 + B2P2N~2τn) — B3P3N~M,Что также приводит к противоречию. Следовательно, числа А и BВзаимно просты.
Рассмотрим число
B(Ab—1) = α(α2 + b2)-(α3 + b) = α(α2 + b2)- c(α2 + b2) = (a — c)(α2 + b2). Это число делится на A2 + B2.Из взаимной простоты чисел А и BСледует взаимная простота чисел BИ A2 + Ь2, поэтому Ab— 1 делится на A2 + B2. Это невозможно при Ab > 1, так как в этом случае α2 + 52 ≥ 2Ab > Ab— 1. Следовательно, Ab = Lua = B = C = D=L.
Ответ:(1; 1; 1; 1).