1. Теория 1°. Значащие цифры в записи числа Начнем с обычных десятичных чисел

1. Теория

1°. Значащие цифры в записи числа

Начнем с обычных десятичных чисел. Важны следующие два взаимосвязанных свойства цифровой записи чисел:

1) любая последовательность десятичных цифр является каким-нибудь числом;

2) любую запись числа можно дополнить без изменения значения числа произвольным количеством нулей, которые приписываются к числу слева.

Например, число 1 можно записать так:

А) 1; 6) 01; в) 001; г) 0001.

Первое свойство используется в лотереях: в каком бы порядке цифры ни появлялись, все равно получится число. Второе свойство используется в телефонных но­мерах, номерах автомобилей и документов. Здесь нули приписывают к числам для того, чтобы все они были одной длины.

Получается, что в записи числа могут находиться цифры, которые могут быть отброшены без изменения самого числа. Остальные цифры числа отбрасывать нельзя, поскольку ими определяется число. Цифрами, которые могут быть отброше­ны, являются, конечно, нули, стоящие слева.

Значащие цифры — все цифры числа, кроме нулей, стоящих слева. Эти нули называются Незначащими. Исключение: знача­щей цифрой нуля является 0. Значащие цифры записывают в виде целого числа.

Без примеров в объяснении этого понятия не обойтись. а. Значащими цифрами числа 123 являются цифры 123.

Б. Значащими цифрами числа 0022 являются цифры 22.

В. Значащие цифры числа 00001230,0456 — цифры 12300456. г. Значащие цифры числа 000987,654000 — 987654000.

В двоичной системе счисления дело обстоит точно так же, как м в десятичной. Определение значащих цифр остается без каких-либо изменений.

А. Значащими цифрами числа 101 являются цифры 101.

Б. Значащими цифрами числа 0011 являются цифры 11.

В. Значащие цифрычисла 00001101,0101 — цифры 11010101.

Г. Значащие цифры числа 000111,111000 — 111111000.

Определение значащих цифр без каких-либо изменений верно и для любой системы счисления с основанием N.

2°. Операции над двоичными числами

Рассмотрим четыре элементарные арифметические опера­ции над целыми двоичными числами. Операции над двоич­ными числами удобно производить точно так же, как и над десятичными числами — столбиком.

При проведении операций над двоичными числами, как и в случае операций над десятичными числами, удобно произ­водить операции столбиком. При этом следует учитывать, что 12 + 12 = 102, 12 + 12 + 12 = 112, a 102- 12 = 12.

1. На рисунке 1 показано сложение двух пар двоичных чи­сел: 1100102 (=50) и 1101112 (=55), 1101112 (=55) и 1110112 (=59).

Когда при сложении текущих разрядов двух чисел в дво­ичной системе получается 102или 112, то 1 переходит в сле­дующий разряд.

2. При вычитании нужно помнить, что уменьшаемое не должно быть меньше вычитаемого! Если уменьшаемое меньше вычитаемого, то тогда наоборот, из вычитаемого вычитается уменьшаемое, а к разности приписывается знак -.

На рисунке 1 показано вычитание двух пар двоичных чи­сел: 11001102 (=102) и 10012 (=9), 1011112 (=47) и 111000002 (=224).

При вычитании в двоичной системе если из 0 вычитается 1, то этот 0 в вычитаемом становится 102, ближайшая слева 1 ста­новится 0, а все нули между ними становятся 1.

0 10

11 11	111111	1 1 10 0 10	0 1 1 1 110
110010	110111	1100110	11100000
+ 110111	+ 111011	— 1001	— 101111
1101001	1110010	1011101	10110001
А	6	В	Г

Рис. 1. Сложение и вычитание двоичных чисел:
a) 1100102+ 1101112== 11010012 (50 + 55 = 105);
6) 1101112+ 1110112= 11100102 (55 + 59 = 114);
в) 11001102- 10012= 10111012 (102 — 9 = 93);
г) 1011112- 111000002= -101100012 (47 — 224 = -177)

3. На рисунке 2 показано умножение двух пар двоичных чисел: 100012 (=17) и 10112 (=11); 1010012 (=41) и 11010002 (=104).

Итак, самое сложное в умножении двоичных чисел — сло­жение Нескольких чисел, равных первому сомножителю, цифры которого просто сдвинуты по разрядам влево.

4. На рисунке 2 показано деление двух пар двоичных чисел: 1001002 (=36) и 112 (=3); 100011112 (=143) и 11012 (=13).

Самое сложное в этом процессе — вычитание Двух чисел, причем это вычитание сильно упрощается тем, что вычитается всегда делитель. Таким образом, двоичное деление проще двоичного умножения.

10001111I1101

10001	101001	100100I11	1101 1011
× 1011	× 1101000	11 1100	10011
10001	101001	11	1101
10001	101001	11	1101
+ 10001	+ 101001	0	1101
10111011	1000010101000		0
А	6	В	Г

Рис. 2. Умножение и деление двоичных чисел:

А) 100012× 10112= 101110112 (17 × 11 = 187);

Б) 1010012× 11010002= 10000101010002 (41 × 104 = 4264);

В) 1001002: 112= 11002 (36 : 3 = 12);

Г) 100011112: 11012= 10112 (143 : 13 = 11)

Так же производят операции над числами в любой системе.

3°. Круглые числа и сумма степеней двоек

Изучим некоторые свойства целых положительных чисел.

Круглым числом называется целое число, которое оканчива­ется на один или несколько нулей.

Например, числа 10, 110, 340 — круглые.

Понятно, что круглость числа зависит от системы счисле­ния, в одной системе счисления число может быть круглым, а в другой — нет.

Например, в десятичной системе число 4 не круглое, а в двоичной оно записывается как 100 и является круглым.

Рассмотрим десятичную систему. Любое число в десятич­ной системе можно представить как сумму степеней 10:

A = Am-110M-1 + Am-210M 2 + … + A 1101 + A0100.

В этой формуле по степеням 10 разложено число A, которое имеет в своей записи MДесятичных знаков. Если к тому же Am-1 ≠ 0, то число AИмеет MЗначащих цифр.

Например, 123 = 1∙102 + 2∙101 + 3∙100.

Теперь можно дать другое определение круглого числа.

Круглым числом называется число, у которого количество единиц A0 = 0.

Поэтому круглое число можно записать в виде

A = Am-110 M-1 + Am-210 M-2 + . + A 1101.

Круглые числа имеют следующее интересное свойство. Из последнего равенства следует, что Круглое число в десятичной системе делится на 10:

A = 10(Am-110 M-2 + Am-210 M -3 + . + A 1).

Любое число AМожно записать не только в десятичной сис­теме счисления, но также и в двоичной, т. е. в виде

A = Aι-12L-1 + Aι-22L-2 + . + A 2 + A 020,

Где L— количество цифр в двоичной записи числа A.

Аналогично десятичной системе, Круглое число в двоичной системе делится на 2:

A = aι-12L-1 + Aι-22L-2 + . + A 2 = 2( Aι-12L-2 + Aι-22L -3 + . + A 1).

Наконец, рассмотрим систему счисления с произвольным основанием N.

Любое число А можно записать в произвольной N-ричной системе счисления, т. е. представить его в виде

A = ак-1 Nk-1 + Ак-2 Nk-2 + . + A ι N1 + А о N0,

Где К — количество цифр в N-ричной записи числа А, т2.

И в общем случае Круглое число в произвольной N-ричной сис­теме всегда делится на N!

А = ак-1 Nk-1 + Ак-2 Nk-2 + … + А ι N1 = N(Ак-2K-2+ Ак-зK-3+ … + А1).

C помощью записи числа в двоичной системе легко дока­зать следующее полезное соотношение.

Рассмотрим сумму степеней числа 2 от нулевой до L-й:

20 + 21 + .+ 2L-1+ 2L.

Покажем, что эта сумма равна 2L+1- 1:

20 + 21+… + 2L-1 + 2L = 11.11 = 100…00 -1 = 2L+1-1.

4 2 3 1 2 3

L+1 Раз L+1 Раз

Например, 1 + 2 + 4 = 7 = 8 — 1, 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 = 32 — 1.

Обобщим доказанное соотношение. Найдем сумму двоек, возведенных в последовательные степени от К+ 1 до L:

2 K +.+2L = 1.1 0.0 = 1.1 • 10.0 = (2L — K+1-1)∙ 2K = 2L+1- 2K.

1—{—1 1—2—3 1—{—1 1—2—3
L— К+1 раз К раз L— К+1 раз К раз

4°. Перевод шестнадцатеричных, восьмеричных
и четверичных чисел в двоичные и обратно

Рассмотрим простой алгоритм перевода шестнАдцАтерич­ных чисел в Двоичные. Следующая технология основана на том факте, что однозначное шестнадцатеричное число является четырехзначным двоичным числом (см. табл. 8 или 12 в § 1). Это связано с тем, что основание системы 16 является степенью основания двоичной системы: 16 = 24.

Доказательство этой технологии основано на вычислении суммы степеней двоек и оставляется читателю.

Для перевода числа из шестнадцатеричной системы в дво­ичную нужно просто заменить каждую шестнадцатеричную цифру ровно на четыре двоичные цифры.

Например, D = 11012, 2A = 0010 10102 = 1010102.

Перевод чисел из двоичной системы в шестнАдцАтеричную производится наоборот.

Например, 11012 = D, 1010102 = 0010 10102 = 2A.

Байты, записываемые двоичными числами от 0000 00002до 1111 11112, гораздо проще записывать соответствующими ше­стнадцатеричными числами от 0016до FF16.

Например, символ уникода кодируется 2 байтами и может принимать значения от 00 0016до FF FF16, а глубина цвета зада­ется 3 байтами и принимает значения от 00 00 0016до FF FF FF16.

Однозначное восьмеричное число является трехзначным двоичным числом (см. табл. 12 в § 1). Это связано с тем, что ос­нование системы 8 является степенью основания двоичной системы: 8 = 23.

Аналогично для перевода числа из восьмеричной системы в двоичную нужно просто заменить каждую восьмеричную цифру ровно на три двоичные цифры.

Например, 68 = 1102, 258 = 010 1012 = 1 01012.

Перевод чисел из двоичной системы в восьмеричную про­изводится наоборот.

Например, 1102 = 68, 1 01012 = 010 1012 = 258.

Наконец, однозначное четверичное число — это двузнач­ное двоичное (см. табл. 12 в § 1), поскольку основание системы 4 является степенью основания двоичной системы: 4 = 22.

Точно так же для перевода числа из четверичной системы в двоичную нужно просто заменить каждую четверичную циф­ру ровно на две двоичные цифры.

Например, З4 = 112, 124 = 01 102 = 1102.

Перевод чисел из двоичной системы в четверичную произ­водится наоборот.

Например, 112 = З4, 1102 = 01 102 = 124.

5°. Перевод целых двоичных чисел в десятичные

Сначала займемся переводом только натуральных, т. е. це­лых неотрицательных, чисел.

Как было сказано выше, любое натуральное число можно разложить единственным образом по степеням десятки с ко­эффициентами, принимающими значение от 0 до 9.

Точно так же любое натуральное число M > 0 можно разло­жить Единственным образом по степеням двойки:

M = Ao×2 + A2∙2 + . .. + An-2∙2 + An-1∙2 , An-ι = 1.

Равенство An-1 = 1 означает, что все степени двойки со степеня­ми, большими или равными N, равны 0. Остальные коэффи­циенты A0, A1, …, An2равны либо 0, либо 1.

Нуль является исключением: Все его коэффициенты равны нулю: 0 = 0.

Например, 1 = 20, 2 = 21, 3 = 20 + 21, 4 = 22.

Кроме того, любое натуральное число MМожно записать в двоичной системе счисления, причем двоичные цифры Совпа­дают с коэффициентами разложения числа MПо степеням двойки, но расположены в обратном порядке по сравнению с предыдущей формулой:

M =<An-1 An-2 ■ ■■ A 1 A0)2, An■ = 1.

Равенство An-1 = 1 означает, что старший разряд числа равен 1. Остальные N —1 цифры A0, A1, ., An-2равны либо 0, либо 1.

Эти свойства и положены в основу перевода двоичных чисел в десятичные и обратно. Объединяя две последние формулы, получаем самый известный и простой способ перевода двоич­ных чисел в десятичные: суммированием степеней двоек.

Например,

00102 = 0 + 1∙2 + 0∙4 + 0∙8 + 1∙16 = 18,

1000102 = 1∙2 + 1∙32 = 34,

1100112 = 20 + 21+ 24+ 25= 1 + 2 + 16 + 32 = 51,

5 4 3 2 1 0

1 1 0 1 1 02 = 32 + 16 + 4 + 2 = 54.

32 16 8 4 2 1

6°. Перевод целых десятичных чисел в двоичные справа налево

Приведенное выше разложение

M = AО + A 1∙2 + . .. + An-2∙2 + 2 позволяет по числу MВычислить коэффициенты разложения A0, A1, …, An-2 и максимальную ненулевую степень двойки N —1.

Перепишем эту формулу в виде

M = A0 + 2( A1∙20 + . + An-2∙2N -3 + 2N-2).

Тогда при делении числа MНа 2 остаток равен A0, а частное

A1 + A2∙21 + . + An-2∙2N -3 + 2N-2 = A1 + 2( A2∙20 + . + An-2∙2N-4 + 2N-3).

При делении этого частного на 2 остаток равен A1, иг. д.: коэффициент A0равен остатку от делении MНа 21; коэффициент A1равен остатку от делении MНа 22;

Коэффициент An-1равен всегда 1: остатку от делении MНа 2N.

Т. е. коэффициент AiВ разложении произвольного числа M По степеням двойки равен остатку от деления на 2I+1, где I— индекс, пробегающий значения от 0 до N— 1, N— 1 — макси­мальная степень двойки, не превышающая исходного числа M:

2N-1 ≤ M< 2N.

Но коэффициенты разложения числа MПо степеням двой­ки являются также цифрами его двоичного представления:

M = <An-1 An-2… A 1 A0)2,
получаем алгоритм перевода десятичного числа в двоичное.
Алгоритм прост, поскольку деление производится в хорошо
знакомой десятичной системе.

20|2 30I2

20 10ф2 30 15ф2

^0412 5j2 30″44 712

∖X^0×4 2j2 xχ»1×6 3ф2

4∖41×2 1φ2 4∖41×2 1ф2

∖4⅛ 0 ∖×1∖0 0

∖×1

А б

Рис. 3. Перевод десятичных чисел в двоичные: а) 20 = 101002; б) 30 = 111102

7°. Перевод целых десятичных чисел в двоичные слева направо

Предыдущий алгоритм перевода десятичных чисел в дво­ичные еще называют Алгоритмом справа налево, поскольку цифры двоичного числа получаются, начиная с млаДшЕго разряда.

Рассмотрим алгоритм перевода десятичных чисел в двоич­ные Слева направо, в котором цифры двоичного числа находят, начиная со старшего разряда.

Снова воспользуемся разложением произвольного нату­рального числа M > 0 по степеням двойки

M = А о + A2∙2 + . .. + An2^2 + 2

И тем фактом, что имеется показатель степени NТакой, что

2N ^¼ M < 2N.

Приведем пример.

Переведем 5 в двоичную систему.

Подбором находим, что 22 ≤ 5 <23.

Следовательно, 5 = 22+ . ¼

Находим разность 5 — 22= 5 — 4 = 1.

Подбором находим, что 20 ≤ 1 <21.

Следовательно, 5 = 22 + 20 + .

Находим разность 1 — 20 = 1 — 1 = 0.

Следовательно, 5 = 22 + 20, т. е. 5 = 1012.

Приведем еще один пример.

Переведем 54 в двоичную систему.

25 ≤ 54 <26, 54 - 32 = 22,

24 ≤ 22 <25, 22 - 16 = 6,

22 ≤ 6 <23, 6 - 4 = 2,

21 ≤ 2 <22, 2 - 2 = 0,

Получаем, что 54 = 25 + 24 + 22 + 21, т. е. 51 = 1101102.

Заметим, что перевод целых отрицательных чисел произ­водится точно так же: переводится модуль числа, а затем к числу снова приписывается знак минус.

8°. Перевод дробных двоичных чисел в десятичные и обратно

Любое дробное число состоит из целой и дробной частей, поэтому его можно представить как сумму целого и дробного числа. Как переводить целые числа, мы уже знаем. Разберемся с дробными числами, у которых целая часть равна нулю.

1. Пусть у нас есть дробное число MВ двоичной системе:
M = (0,A1A2 ¼ An-1An)2, An = 1.

Равенство An = 1Означает, что млаДшИй разряд числа равен 1. Остальные N —1Цифры A1, A2, .., An-1равны либо 0, либо 1. Тогда M = -⅛+A2+ …+~A=^∙+~A^ = A12-1 + A22-2 +…+ 12-N+1 + ⅛ 2-N.

21 22 2-N+1 2-N 1 2 N-1 N

По этой формуле дробные числа переводят из двоичной системы в десятичную.

Например,

0,0012 = 0∙2-ι + o∙4-ι + 1∙8∙1 = 1/8 = 0,125,

0,1 1 01 2 = 1/2 + 1/4 + 1/16 = 8/16 + 4/16 + 1/16 = 13/16.

2 4 8 16

2. Приведенное выше разложение

M = A 1×2 + A2∙2 + … + An-2∙2 + 2 .

Позволяет по числу MВычислить коэффициенты разложения A1, A2, …, An-1и максимальную ненулевую степень двойки —N.

Перепишем эту формулу в виде

M = 2 (A1 + A2∙2-1 + ¼ + An-1∙2-N+2 + 2 N+1).

Тогда при умножении MНа 2 целая часть равна A1, а дробная

A2∙2-1 + … + An-1∙2-N+2 + 2 N+1 = 2 (A2 + ¼ + An-1∙2-N+3 + 2 N+2).

При умножении этой дроби на 2 целая часть равна A2, и т. д.

Получаем алгоритм перевода дробного десятичного числа в двоичное. Алгоритм прост, поскольку умножение произво­дится в хорошо знакомой десятичной системе.

0,125 0,25 0,5 0,8125 0,625 0,25 0,5

0,250 0,50 1,0 1,6250 1,250 0,50 1,0

А б

Рис. 4. Перевод десятичных дробей в двоичные:

А) 0,125 = 0012; б) 0,8125 = 11012. Черта означает умножение на 2

9°. Упражнения

1. Вычислите в двоичной системе счисления.

111012 + 100012; 110112 + 1001i2; 101112 + 101112; 111112 + 101112.

2. Вычислите в двоичной системе счисления.

Напомним, что столбиком можно вычитать из числа только не большее число. При вычитании большего из меньшего числа при вычитании меняются местами.

111002 — 100012; 110102 — 100112; 101102 — 101112; 111102 — 101112.

3. Для умножения двоичных чисел придется разработать алгоритм сложения более чем 2 чисел (или складывать только по 2 числа). В десятичной системе подобные проблемы пере­носа в следующий разряд двузначного числа начинаются только при сложении 11 десятичных чисел и поэтому в школе не рассматриваются.

Вычислите в двоичной системе счисления.

111012∙100012; 110112∙100112; 101∏2∙101∏2; 111112∙101112.

4. Вычислите в двоичной системе счисления.

110112/112; 110012/1012; 11111102/1102; 1111112/10012.

5. Переведите шестнадцатеричные числа в двоичные.

8D; AB; 1BA; 2D8.

6. Переведите двоичные числа в шестнадцатеричные.

11 1011 11012; 111 1110 01112; 1001 1001 10012; 1111 1101 10112.

7. Переведите двоичные числа в десятичные.

10101010102; 11011011012; 11001100112; 10010010012.

8. Переведите в десятичные четверичные числа.

3 23 314; 13 32 1З4; 21 21 214; 33 31 234.

9. Переведите в десятичные восьмеричные числа.

16758; 37478; 46318; 77338.

10. Переведите в десятичные шестнадцатеричные числа.

8D; AB; 1BA; 2D8.

11. Сколько значащих цифр получится при переводе сле­дующих десятичных чисел в двоичные и какая при этом полу­чится последняя цифра (разряда единиц)?

15; 20; 25; 30; 40; 60; 80; 100.

12. Переведите десятичные числа в двоичные по таблицам.

15; 20; 25; 30; 40; 60; 80; 100.

13. Переведите десятичные числа в двоичные подбором.
200; 300; 400; 800.

14. Переведите десятичные числа в двоичные делением.
1000; 2000; 3000; 10000.

15. Переведите десятичные числа в троичные делением. 1000; 2000; 3000; 10000.

Решения

1.
1 1	1 11	1 111	11111
11101	11011	10111	11111
+ 10001	+ 10011	+ 10111	+ 10111
101110	101110	101110	110110
2.
	0 1 10		0 10 0 10
0 110	0 10		010
11100	11010	10111	11110
— 10001	— 10011	— 10110	— 10111
1011	111	— 1	111
3.
11101	11011	10111	11111
× 10001	× 10011	× 10111	× 10111
11101	11011	10111	11111
+ 10001	11011	10111	11111
100101101	+ 11011	10111	11111
	1000000001	+ 10111 1000010001	+ 11111 1011000001
4.
11011I11	11001I101	1111110I110	111111I1001
-11 1001	-101 101 —	110 10101	-1001 111
0011	101	111	1101
— 11	—101	—110	—1001
0	0	110 —110 0	1001 —1001 0

5.

8D = 1000 1101; AB = 1010 1011;

1BA = 0001 1011 1010 = 1 1011 1010;

2D8 = 0010 1101 1000 = 10 1101 1000.

6.

11 1011 1101 = 0011 1011 1101 = 3BD;

111 1110 0111 = 111 1110 0111 = 7E7;

1001 1001 1001 = 999; 1111 1101 1011 = FDB.

7.

101010101 02= 512 + 128 + 32 + 8 + 2 = 520 + 160 + 2 = 682;

512 256 128 64 32 16 8 4 2 1

110110110 12=512+256+64+32+8 +4+1 =520+260+96+1 =877;

512 256 128 64 32 16 8 4 2 1

110011001 12= 512 + 256 + 32 + 16 + 2 + 1 = 770 + 49 = 819;

512 256 128 64 32 16 8 4 2 1

100 1 00 1 00 12= 512 + 64 + 8 + 1 = 520 + 65 = 585.

512 256 128 64 32 16 8 4 2 1

8.

3 2 3 3 14= 768 + 128 + 48 + 12 + 1 = 780 + 177 = 957;

256 64 16 4 1

1 3 3 2 1 34= 1024 + 768 + 192 + 32 + 4 + 3 = 1060 + 960 + 3 = 2023;

1024 256 64 16 4 1

2 1 2 1 2 14= 2048 + 256 + 128 + 16 + 8 + 1 = 2048 + 400 + 9 = 2457;

1024 256 64 16 4 1

3 3 3 1 2 34= 3072 + 768 + 192 + 16 + 8 + 3 = 3080 + 960 + 19 = 4059.

1024 256 64 16 4 1

9.

1 6 7 58= 512 + 384 + 56 + 5 = 517 + 440 = 957;

512 64 8 1

3 7 4 78= 1536 + 448 + 32 + 7 = 1543 + 480 = 2023;

512 64 8 1

4 6 3 18= 2048 + 384 + 24 + 1 = 2049 + 408 = 2457;

512 64 8 1

7 7 3 38= 3584 + 448 + 24 + 3 = 3608 + 451 = 4059.

512 64 8 1

10.

8 D16 = 128 + 13 = 141;

16 1

AB16 = 160 + 11 = 171;

16 1

1 B A16 = 256 + 171 + 10 = 437;

25616 1

2 D 816 = 512 + 208 + 8 = 728.

256 16 1

11.

23 ≤ 15 < 24, поэтому в двоичной записи будет 4 цифры. 15 — нечетное число, и его двоичная запись оканчивается на 1.

24 ≤ 20 <25, поэтому в двоичной записи будет 5 цифр. 20 — четное число, и его двоичная запись оканчивается на 0.

25 ≤ 25 <25, поэтому в двоичной записи будет 5 цифр. 25 — нечетное число, и его двоичная запись оканчивается на 1.

26 ≤ 30 <25: имеем 5 цифр, последняя — 0.

27 ≤ 40 <26: имеем цифр, последняя — 0.

28 ≤ 60 <26: имеем 6 цифр, последняя — 0.

29 ≤ 80 <27: имеем 7 цифр, последняя — 0.

30 ≤ 100 <27: имеем 7 цифр, последняя — 0.

12.

15 = 1111; 20 = 1 0100; 25 = 1 1001; 30 = 1 1101;

40 = 32 + 8 = 10 0000 + 1000 = 10 1000;

60 = 32 + 28 = 10 0000 + 1 1100 = 11 1100;

80 = 64 + 16 = 100 0000 + 1 0000 = 101 0000;

100 = 64 + 36 = 64 + 32 + 4 = 100 0000 + 10 0000 + 100 = 110 0100.

13.

200 = 128 + 72 = 128 + 64 + 8 = 1100 1000;

300 = 256 + 44 = 256 + 32 + 12 = 256 + 32 + 8 + 4 = 1 0010 1100;

400 = 256 + 144 = 256 + 128 + 16 = 1 1001 0000;

800 = 512 + 288 = 512 + 256 + 32 = 11 0010 0000.

14.

Над чертой поместим результаты деления чисел на 2, под чертой — остатки от деления чисел на 2.

1000 500 250 125 62 31 15 7 3 1 0

0 0 0 1 0 1 1 1 1 1

1000 = 11 1110 1000

2000 1000 500 250 125 62 31 15 7 3 1 0

0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1

2000 = 111 1101 0000

3000 1500 750 375 187 93 46 23 12 6 3 1 0

0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1

3000 = 1100 1011 1000

10000 5000 2500 1250 625 312 156 78 39 19 9 4 2 1 0

0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1

10000 = 10 0111 0001 0000

15.

Над чертой поместим результаты деления чисел на 3, под чертой — остатки от деления чисел на 3.

1000 333 111 37 12 4 1 0

1 0 0 1 0 1 1

1000 =1101001

2000 666 222 74 24 8 2 0

2 0 0 2 0 2 2

2000 = 2202002

3000 1000 333 111 37 12 4 1 0

0 1 0 0 1 0 1 1

3000 =11010010

10000 3333 1111 370 123 41 13 4 1 0

1 0 1 1 0 2 1 1 1

10000 = 111201101

2.Алгоритмы

Итак, подведем итоги. Выпишем алгоритмы, которыми мы пользовались.

При этом все алгоритмы запишем как в некотором частном, так и в общем виде.

Алгоритм 1. Перевод шестнадцатеричного числа в двоичное.

1. Каждая цифра шестнАдцАтеричного числа записывается четырехзначным двоичным числом.

2. Незначащие нули, стоящие слева, можно отбросить.

Алгоритм 2. Перевод 2N-ричного числа в двоичное.

1. Каждая цифра 2N-ричного числа записывается N-значным двоичным числом.

2. Незначащие нули, стоящие слева, можно отбросить.

Алгоритм 3. Перевод двоичного числа в шестнадцатеричное.

1. Каждые четыре цифры двоичного числа, считая справа налево, записывается одним однозначным шестнАдцАтерич­ным числом.

2. Если количество цифр двоичного числа не делится на че­тыре, то двоичное число дополняется слева нулями до соот­ветствующего количества цифр.

Алгоритм 4. Перевод двоичного числа в 2N-ричное.

1. Каждые NЦифр двоичного числа, считая справа налево, записывается одним однозначным 2N-ричным числом.

2. Если количество цифр двоичного числа не делится на N, то двоичное число дополняется слева нулями до соответст­вующего количества цифр.

Алгоритм 5. Перевод двоичного числа в десятичное.

M-значное двоичное число переводится в десятичное по формуле:

(.AM-1 AM-2 ¼ A 1A0½ = A0’20 + O1∙21 +… +Anl-2’2M 2+ OM 1 ‘2M 1, °M1 = 1, где все числа в правой части равенства записаны в десятичной системе.

Алгоритм 6. Перевод N-ричного числа в д е сятичн о е.

M-значное N-ричное число переводится в десятичное по формуле:

(Om-1 Om-2 . .. 01О °>2 = О о’ П+ 01′П+ ... + Om-2′П+ Om-1′П , Om_-1≠ 0, где все числа в правой части равенства записаны в десятичной системе.

Алгоритм 7. Упрощенный перевод двоич — ного числа в десятичное.

Для перевода двоичного числа в десятичное складываем двойки, возведенные в степени, равные разрядам ненулевых двоичных цифр числа.

Алгоритм 8. Упрощенный перевод N— рич — ного числа в десятичное.

Для перевода N— ричного числа в десятичное складываем числа N, возведенные в степени, равные разрядам ненулевых N-ричных цифр числа.

Алгоритм 9. Перевод десятичного числа в двоичное делением.

1. Число в Десятичной системе делится на 2. Частное снова делится на 2. И т. д. Остатки от деления — цифры 0 и 1 — яв­ляются цифрами соответствующего двоичного числа, запи­санными Справа налево.

2. Процесс деления прекращается, когда Частное становится равным нулю.

Алгоритм 10. Перевод десятичного числа в N-ричное делением.

1. Число в Десятичной системе делится на N. Частное снова делится на N. И т. д. Остатки от деления — цифры в диапазо­не от 0 до N —1 — являются цифрами соответствующего N-ричного числа, записанными Справа налево.

2. Процесс деления прекращается, когда Частное становится равным нулю.

3. Задачи

1°. Количество нулей или единиц в двоичной записи числа
Задача 2006.А4

Количество значащих нулей в двоичной записи десятично­го числа 126 равно

1) 1 2) 2 3) 3 4) 0

Задача 2007.А4

Сколько единиц в двоичной записи числа 195?

1) 5 2) 2 3) 3 4) 4

Задача 2008.А4

Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 194,5?

1) 5 2) 6 3) 3 4) 4

2°. Двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы
Задача 2006.А5

Вычислите сумму чисел ХИ У при Х = 1D16, У = 728.

Результат представьте в двоичной системе счисления.

1) 100011112 2) 11001012 3) 1010112 4) 10101112

Задача 2007.А5

Значение выражения 1016 + 108∙102в двоичной системе счисле­ния равно

Задача 2008.А5

Вычислите сумму чисел XИ У, при X = A616, Y = 758.Результат представьте в двоичной системе счисления.

1) 110110112 2) 111100012 3) 111000112 4) 100100112

Задача 2009.А4

Чему равна сумма чисел 438и 5616?

1) 1218 2) 1718 3) 6916 4) 10000012

Задача 2009.А3

Дано: й = D716, B = 3318. Какое из чисел C, записанных в дво­ичной системе, отвечает условию A < C < B?

1) 11011001 2) 11011100 3) 11010111 4) 11011000

Задача 2007.А13

Для кодирования букв А, Б, В, Г решили использовать двух­разрядные последовательные двоичные числа (от 00 до 11 соот­ветственно). Если таким способом закодировать последователь­ность символов ГБВА и записать результат шестнАдцАтеричным кодом, то получится:

1) 138 2) DBCA 3) D8 4) 3120

Задача 2008.А13

Для кодирования букв А, Б, В, Г решили использовать двухраз­рядные последовательные двоичные числа (от 00 до 11 соответст­венно). Если таким способом закодировать последовательность символов ГБAB и записать результат в шестнадцатеричной систе­ме счисления, то получится:

Задача 2009.А11

Для кодирования букв А, Б, В, Г решили использовать двух­разрядные последовательные двоичные числа (от 00 до 11, соот­ветственно). Если таким способом закодировать последователь­ность символов БАВГ и записать результат шестнАдцАтеричным кодом, то получится

1) 4B 2) 411 3) BACD 4) 1023

3°. Системы с другими основаниями

Задача 2006.B1

В системе счисления с некоторым основанием число 17 за­писывается в виде 101. Укажите это основание.

Задача 2007.B1

Укажите через запятую в порядке возрастания все основа­ния систем счисления, в которых запись числа 22 оканчивается на 4.

Задача 2008.B1

Укажите через запятую в порядке возрастания все основа­ния систем счисления, в которых запись числа 23 оканчивается на 2.

Задача 2009.B3

Укажите через запятую в порядке возрастания все десятич­ные числа, Не превосходящие 25, запись которых в системе счисления с основанием четыре оканчивается на 11.

4. Ответы

1°. Количество нулей или единиц в двоичной записи числа

Задача 2006.А4. 1) 1.

Задача 2007.А4.4) 4.

Задача 2008.А4. 4) 4.

2°. Двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы

Задача 2006. А5. 4) 101 01112.

Задача 2007. А5. 3) 10 0000.

Задача 2008.А5. з) 111 000112.

Задача 2009. А4. 2) 1718.

Задача 2009. A3. 4) 1101 1000.

Задача 2007. А13. 3) D8.

Задача 2008. А13. 2) D2.

Задача 2009.А11. 1) 4B.

3°. Системы с другими основаниями

Задача 2006.B1. 4.

Задача 2007.B1. 6, 9, 18.

Задача 2008.B1. 3, 7, 21.

Задача 2009.B3. 5, 21.

5. Решения

1°. Количество нулей или единиц в двоичной записи числа Замечание. Простые задачи.

Рекомендации.1. Условия не представляют трудностей.

2. Возможны более короткие решения по сравнению с пол­ным переводом числа в двоичную систему.

3. Варианты ответов в одной системе счисления.

Задача 2006.А4

Ответ: 1) 1.

Решение 1. Переведем число 126 в двоичную систему: 126|2 12610 = 111 11102.

12663|2 0 6231|2 1 3015|2 1 147|2 1 6 3|2 1 2 1|2 1 0 0 1

Получаем один нуль в записи числа.

Решение 2. Переведем 126 в двоичную систему, воспользо­вавшись хорошим значением числа:

12610 = 12810 — 210 = 2⅞ — 2110 = 1000 00002 — 102 = 111 11102.

Задача 2007.А4

Решение 1. Переведем число 195 в двоичную систему: 195|2 19510 = 1100 00112.

19497|2 1 9648|2 1 4824|2 0 2412|2 0 126|2 0 6 3|2 0 2 1|2 1 1 0 1

Получаем четыре единицы в записи числа.

Решение 2. Посчитаем, сколько раз встретятся нечетные числа при делении 195 на 2: 195® 97 ® 48 ® 24 ® 12 ® 6 ® 3 ® 1.

Получаем четыре единицы в записи числа.

Задача 2008.А4

Решение 1. Переведем число 194,5 в двоичную систему: 194|2 0,5 194,510 = 1100 0010,12.

19497|2 1,0

09648|2 1 4824|2 0 2412|2 0 126|2 0 6 3|2 0 2 1|2 1 1 0 1

Получаем четыре единицы в записи числа.

Решение 2. Посчитаем, сколько раз встретятся нечетные числа при делении 194 на 2. В следующей цепочки нечетные числа подчеркнуты: 194 ® 97® 48 ® 24 ® 12 ® 6 ® 3 ® 1.

И подсчитаем, сколько раз встретится целая 1 при умноже­нии 0,5 на 2: 0,5 ® 1,0.

Получаем четыре единицы в записи числа.

2°. Двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы

Замечание. Задачи средней сложности. Самая сложная — 2009.А3.

Рекомендации. 1. Условия не представляют трудностей.

2. Числа быстро и легко переводятся в двоичную систему, поскольку они записаны, кроме двоичной, только в восьме­ричной и шестнадцатеричной системах.

3. Нужно быть внимательным с вариантами ответов, кото­рые могут быть приведены в разных системах счисления.

Задача 2006.А5

Ответ: 4) 101 01112.

Решение. Переведем оба данных числа в двоичную систему счисления. Воспользуемся тем, что 16 = 24, а 8 = 23.

1D16 = 0001 11012 = 1 11012, 728 = 111 0102.

Осталось сложить два двоичных числа.

11101
+ 111010
1010111

Задача 2007.А5

Ответ: 3) 10 0000.

Решение 1. Переведем оба данных числа в двоичную систе­му счисления. Воспользуемся тем, что 16 = 24, а 8 = 23.

1016 = 0001 00002 = 1 00002, 108 = 001 0002 = 1 0002.

Перемножим два числа в двоичной системе.

1 0002 х 102 = 10 0002.

Осталось сложить два двоичных числа.

10000
+ 10000
100000

Решение 2. Числа в условии круглые, поэтому переведем их в десятичную систему, посчитаем результат, а затем переведем результат в двоичную:

1016 + 108 х 102 = 16 + 8 х 2 = 16 + 16 = 32 = 10 00002.

Задача 2008.А5

Ответ: 3) 111 000112.

Решение. Полностью аналогично решению задачи 2006. А5.

Задача 2009.А4

Ответ: 2) 1718.

Решение. Аналогично решению предыдущей задачи, при­чем все числа, в том числе и варианты ответа, проще перевести в двоичную систему.

Задача 2009.А3

Ответ: 4) 1101 1000.

Решение. Переведем оба данных числа в двоичную систему счисления. Воспользуемся тем, что 16 = 24, а 8 = 23.

Й= D76 = 1101 01112, B = 3318 = 011 011 0012 = 1101 10012.

Сравним числа из вариантов ответа с числами А и B.

Первый вариант ответа: А < 1101 1001 ≤ B— не подходит. Второй вариант ответа: А < 1101 1100 >B— не подходит. Третий вариант ответа: A ≤ 1101 0111 <B— не подходит. Четвертый вариант ответа: А < 1101 1000 <B— подходит.

Задача 2007.А13

Ответ: 3) D8.

Решение 1. Запишем данную последовательность ГБВА в ви­де двоичного числа: 1101 1000. Переведем его в шестнадцате­ричное: D8.

Решение 2. 4 символа закодируются 8 двоичными цифрами, поэтому при переводе его в шестнадцатеричный код получит­ся не более 2 шестнадцатеричных цифр. Но все ответы, кроме 3), имеют более 2 шестнАдцАтеричных цифр и поэтому не подходят.

Задача 2008.А13

Ответ: 2) D2.

Решение. Полностью аналогично предыдущей задаче. Толь­ко не проходит решение 2.

Задача 2009.А11

Ответ: 1) 4B.

Решение. Полностью аналогично предыдущей задаче. И решение 2 проходит.

3°. Системы с другими основаниями

Замечание. Задачи повышенной сложности. Их решение но­сит в некоторой степени творческий характер.

Рекомендации.1. Приходится внимательно изучать условие задания, чтобы правильно выбрать метод решения.

2. Нужно хорошо представлять общие свойства систем счисления и уметь ими пользоваться. По условию задачи и свойствам систем счисления нужно суметь подобрать метод решения задачи. Иногда по данным задачи удается составить уравнение, что может быть использовано учащимися, слабо разбирающимися в системах счисления. Часто помогает пере­ход к круглому числу.

3. Варианты ответов не приводятся.

Задача 2006.Bl

Ответ: 4.

Решение 1. Обозначим искомое основание через N. Тогда по­лучим уравнение N2 + 1 = 17, или N2 = 16. Отсюда N = 4, посколь­ку N— положительное число.

Решение 2. 17 записывается в виде 101. Тогда 16 запишется в виде круглого числа 100, т. е. если N— искомое основание сис­темы, то N2 = 16. Отсюда N = 4.

Решение 3. Переберем все системы, пока не получим 17.

Двоичная: 1012 = 4 + 1 = 5 < 17.

Троичная: 101з = 9 + 1 = 10 < 17.

Четверичная: 1014 = 16 + 1 = 17.

Задача 2007.B1

Ответ: 6, 9, 18.

Решение 1. Если запись числа 22 оканчивается на 4, то запись числа 18 круглая и оканчивается на 0. Следовательно, основа­ния искомых систем счисления являются делителями 18.

C другой стороны, если запись числа 22 оканчивается на 4, то основания искомых систем больше или равны 5.

Делителями 18, которые больше или равны 5, являются числа 6, 9, 18.

Решение 2. Если запись лиспа 22 оканчивается на 4, то осно­вания искомых систем больше или равны 5.

Поскольку 52> 22, то запись числа 22 содержит не более 2 цифр даже для пятеричной системы, а для систем с большим основанием — тем более.

C другой стороны, число 22 не может быть записано одной цифрой 4.

Итак, запись числа 22 состоит из двух цифр. Пусть первая их них Х, а основание системы N. Toina получаем уравнение Xn + 4 = 22, или Xn = 18, где ХИ N— целые положительные чис­ла, N>- 5. Следовательно, N = 6, 9, 18.

Задача 2008.Bl

Ответ: 3, 7, 21.

Решение. Полностью аналогично предыдущей задаче.

Задача 2009.B3

Ответ: 5, 21.

Решение. Просто переберем все эти числа.

Наименьшее число в четверичной системе, которое окан­чивается на 11, это 11. В десятичной системе оно равно 4 + 1 = 5≤ 25.

Следующее число в четверичной системе, которое оканчи­вается на 11, это 111. В десятичной системе оно равно 16 + 4 + 1 = 21 ≤ 25.

Следующее число в четверичной системе, которое оканчи­вается на 11, это 211. В десятичной системе оно равно 32 + 4 + 1 = 37 > 25.

Все остальные числа будут тем более больше 25.