1. Найдите площадь треугольника АВС, если AC = 7, BC = 8, Z-DCB=300.
2. Найдите площадь треугольника ABN,Если AB = 7,
AN = 8.
N
3. Найдите неразвернутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если сумма двух из них равна 64°.
4. Найдите неразвернутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если разность двух из них равна 64°.
5. Две стороны треугольника равны 5 и 10. Высота, проведенная к большей из них, равна 4. Найдите площадь треугольника.
6. Две стороны треугольника равны 6 и 12. Высота, проведенная к меньшей из них, равна 4. Найдите площадь треугольника.
7. В прямоугольном треугольнике ABC (/.C = 90°) CD — биссектриса угла С, AC =2л/з, ZCAD = 15°. Найдите длину AD.
8. На сторонах треугольника ADHВзяты точки LИ C Так, что AL = 2, LD = 3, AC —3, CH = 1. Найдите отно-
9. На сторонах треугольника ADHВзяты точки L и C Так, что AL —2, LD —3, AC = 3, CH —1. Найдите отно-
10. На двух пересекающихся прямых взяты четыре точки так, что EO = 15, OD = 12, ОС —4, OA = 5. Найдите отношение площадей Sedo : Saco.
11. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 90°, боковая сторона равна 4. Найдите длину медианы, проведенной к этой стороне.
12. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 60°, боковая сторона равна 4. Найдите длину высоты, проведенной к этой стороне.
13. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 120°, боковая сторона равна 4. Найдите длину высоты, проведенной к этой стороне.
14. Найдите высоту правильного треугольника со стороной 12.
15. Найдите площадь правильного треугольника со стороной 12.
16. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной 12.
17. Найдите радиус окружности, описанной около правильного треугольника со стороной 12.
18. Найдите площадь равнобедренного прямоугольного треугольника со стороной 12.
19. Найдите меньшую высоту равнобедренного прямоугольного треугольника со стороной 12.
20. Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного прямоугольного треугольника со стороной 12.
21. Найдите периметр прямоугольного треугольника с катетами 12 и 16.
22. Дан прямоугольный треугольник с катетами 12 и 16. Найдите косинус меньшего угла треугольника.
23. Найдите медиану, проведенную к гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами 12 и 16.
24. В равнобедренном треугольнике с основанием 16 и боковой стороной 10 найдите высоту, проведенную к основанию.
26. Найдите площадь равнобедренного треугольника с основанием 16 и боковой стороной 10.
27. В равнобедренном треугольнике с основанием 16 и боковой стороной 10 найдите высоту, проведенную к боковой стороне.
28. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны 20, а косинус угла при основании треугольника равен 0,8. Найдите основание треугольника.
29. Середины сторон правильного треугольника последовательно соединены отрезками. Найдите сторону исходного треугольника, если сторона полученного треугольника равна 4.
30. Середины сторон правильного треугольника последовательно соединены отрезками. Найдите биссектрису исходного треугольника, если сторона полученного треугольника равна 3.
31. Середины сторон правильного четырехугольника последовательно соединены отрезками. Найдите сторону нового четырехугольника, если сторона данного четырехугольника равна 2√2.
32. Середины сторон правильного четырехугольника последовательно соединены отрезками. Найдите площадь нового четырехугольника, если сторона данного четырехугольника равна 2.
33. Дан ромб с диагоналями 16 и 30. Найдите сторону ромба.
34. Дан ромб с диагоналями 16 и 30. Найдите площадь ромба.
35. Дан ромб с диагоналями 6 и 8. Найдите высоту ромба.
36. Дан ромб с диагоналями 6 и 8. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.
37. В параллелограмме ABCDПроведена диагональ BD. Найдите сторону ADПараллелограмма, если AB = 6√,2>ZADB = 30o, ZBDC = 45°.
38. Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 10 и 14.
39. Большая высота параллелограмма равна 6. Найдите площадь параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 10 и 14.
40. Найдите длину меньшей диагонали параллелограмма со сторонами 3>/3 и 2 и углом 30°.
41. Найдите длину большей диагонали параллелограмма со сторонами Зл/З и 2 и углом 30°.
42. Дана равнобедренная трапеция, боковые стороны которой равны 10. Высота трапеции равна 6, а большее основание равно 20. Найдите меньшее основание трапеции.
43. В равнобедренной трапеции, боковые стороны равны 10, высота трапеции равна 6, а большее основание равно 20. Найдите среднюю линию трапеции.
44. Найдите сумму всех внутренних углов правильного шестиугольника.
45. Найдите сумму всех внешних углов правильного шестиугольника.
46. Найдите градусную меру внутреннего угла пра — вильцого шестиугольника.
47. Найдите градусную меру внешнего угла правильного шестиугольника.
48. По данным рисунка найдите угол Х.
49. По данным рисунка найдите угол Х (т. О — центр окружности).
50. Центральный угол КОС на 60° больше вписанного угла, опирающегося на дугу КС. Найдите угол КОС.
51. Центральный угол LONНа 70° больше вписанного угла, опирающегося на дугу LN.Найдите этот вписанный угол.
52. На полуокружности MNВзяты точки А и В так, что ИМА = 12°, <JNB = 40°. Найдите
53. На полуокружности MNВзяты точки А и В так, что ∖JMA = 100o, <JNB = 100°. Найдите
54. На полуокружности MNВзяты точки А и В так, что иМА = 72o, <JNB = 40°. Найдите хорду АВ, если радиус окружности равен 12.
55. На полуокружности MNВзяты точки А и В так, что ИМА = 42°, <JNB = 18°. Найдите хорду АВ, если радиус окружности равен 12.
56. На полуокружности MNВзяты точки А и В так, что иМА = 72o, <JNB = 18°. Найдите хорду АВ, если радиус окружности равен 12.
57. Хорда NTСтягивает дугу, равную 120°, а хорда NA — дугу в 110°. Найдите угол ANN.
58. Хорды MNИ АВокружности пересекаются в точке С. Найдите угол BCN,Если ∖JMA = 12°, ∖JNB = 18°.
59. Укажите номера неверных утверждений:
Г) Котангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
2) Синусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
3) Если углы вертикальные, то они равны;
4) Если углы равны, то они являются вертикальными.
60. Укажите номера неверных утверждений:
1) Котангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
2) Косинусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
3) Любой равнобедренный треугольник является равносторонним;
4) Любой равносторонний треугольник является равнобедренным;
61. Укажите номера верных утверждений:
1) Любой прямоугольник является квадратом;
2) Любой квадрат является прямоугольником;
3) Если треугольники имеют равные площади, то треугольники равны;
4) Если треугольники равны, то они имеют равные площади.
62. Укажите номера неверных утверждений:
1) Любой параллелограмм является прямоугольником;
2) Любой прямоугольник является параллелограммом;
3) Если сумма двух углов равна 180°, то они являются смежными;
4) Если углы смежные, то их сумма равна 180°.
ЧАСТЬ II
Задания на 4 балла
63. В треугольнике со сторонами 7, 9 и 14 найдите длину медианы, проведенной к большей стороне.
64. Найдите длину окружности, вписанной в треугольник со сторонами 20, 20, 24.
65. В треугольнике MBO ВО —5, ОН= 4, радиус окружности, описанной около треугольника MBOРавен 10. Найдите МВ.
66. В треугольнике MNPСторона MNНе длиннее 12, сторона NPНе длиннее 5, а его площадь не меньше 30. Найдите диаметр окружности, описанной около треугольника MNP.
67. Сторона правильного шестиугольника равна 8. Найдите меньшую диагональ шестиугольника.
68. В трапецию ABCD (ВС ∣∣ AD)Вписана окружность. BC = 12, AD = 16. Найдите диаметр окружности, если CD = 15.
69. Дана трапеция ABCDС основаниями AD = 11, BC = 4. Боковые стороны трапеции равны 20 и 15. Найдите площадь трапеции.
70. Дана трапеция ABCDС основаниями AD = 11, BC —4. Боковые стороны трапеции равны 20 и 15. Диагонали трапеции пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника ВОС.
71. Даны координаты двух вершин треугольника MXN : М(0; 4) и Λr(4; 6). Найдите координаты третьей вершины X, если известно, что точка XЛежит на прямой Ь, заданной уравнением У = х, и треугольник MXNИмеет наименьший периметр.
72. Найдите площадь равнобедренной трапеции, диагональ которой равна 8л/2 и составляет с основанием угол 45°.
73. Одна из диагоналей прямоугольной трапеции делит эту трапецию на два прямоугольных равнобедренных треугольника. Найдите площадь этой трапеции, если меньшая боковая сторона трапеции равна 2.
Задания на 3 балла
74. Отрезки KEИ OPПересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Докажите, что AKOE = AEPK.
75. Отрезки KE и OPПересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Докажите, что S коЕ=S peo.
76. В четырехугольнике ABCD BC ∣∣ ADИ ZB = ZD. Докажите, что ABCD — параллелограмм.
77. В четырехугольнике ABCD ZABC = ZBDCИ ZABC + ZBCD = 180°. Докажите, что ABCD — параллелограмм.
78. Докажите, что если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольник — равнобедренный.
79. Докажите, что если биссектриса треугольника совпадает с его высотой, то треугольник равнобедренный.
80. Хорды AB и CK — диаметры окружности. Докажите, что хорды AK и BCРавны.
81. Хорды AB иCK — диаметры окружности. Докажите, что ZBAK = ZBCK.
82. Отрезки OB и CKПересекаются в их Общей середине. Докажите, что прямые ОС и BKПараллельны.
83. Две параллельные прямые пересечены секущей. Докажите, что биссектрисы соответственных углов параллельны.
84. Две параллельные прямые пересечены секущей. Докажите, что биссектрисы односторонних углов перпендикулярны.
85. В разностороннем треугольнике ABC (АС — большая сторона) проведены высота АН и биссектриса AD. Докажите, что угол между высотой и биссектрисой равен полуразности углов В и С.
86. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.