1.1. Тождественные преобразования Числа, которые…

1.1. Тождественные преобразования

Числа, которые используются для счета предметов, называются натуральными.

N = {1; 2; 3;…) — множество натуральных чисел.

Натуральные числа 1, 2, 3, …, противоположные им числа -1, -2, -3, … и число 0 образуют множество целых чисел.

Z = {…, -3, -3, -1, 0, 1, 2, 3, …} — множество целых чисел.

Числа, которые можно представить в виде —, где Т∈ Z, N ∈ N1Называются П

Рациональными. Множество рациональных чисел обозначают символом Q.

Числа, которые нельзя представить в виде —, где Т∈ Z, П ∈ N,Называются П

Иррациональными. Эти числа — бесконечные непериодические десятичные дроби.

Например: ‘J‘2’, Tt —3,1415926…; е = 2,7182818…

H

Объединение рациональных и иррациональных чисел называют действи­тельными числами. Множество действительных чисел обозначают символом R.

1.2. Обычные, десятичные, рациональные дроби. Смешанные числа

Rjifi A ∈N, B ∈N,Называются обычными дробями. Число B —

Знаменатель, который показывает, на сколько равных частей делится число, число А — числитель —Сколько таких частей взято. Дробная черточка означает

Знак деления.

Если А <Ь, то γ — правильная дробь. B

Если A ≥ Ь, то — неправильная дробь.

□

Смешанным числом называется сумма натурального числа и правильной дроби, записанная без знака «+».

7 7

Например:3 + — = 3- — смешанное число.

О о

□

Обычные дроби (и смешанные числа), знаменателями которых являются чис­ла 10, 100, 1000, …. называются десятичными.

З? s 6

Iδ=0∙* iω=0∙02i iδδo*o∙oos 7ioδ∙7’06’

Десятичная дробь, в которой бесконечно повторяется определенная группа цифр, называется бесконечной десятичной периодической. Минимальная группа цифр, которая повторяется, называется периодом. Период записывают в круглых скобках.

Например:2,30404… = 2,3(04); | = 0,666… = 0,(6).

Если период начинается сразу после запятой, то дробь называется чисто периодической. Если период начинается не сразу после запятой, то дробь на­зывается смешанной периодической.

Чтобы из неправильной дроби выделить целую часть, надо разделить с остат­ком числитель на знаменатель: неполное частное будет целой частью, остаток — числителем дробной части, а знаменатель — тот же.

39 4 39 5

Например: — = 7 —, поскольку —

4 (ост.)

Чтобы смешанное число представить в виде неправильной дроби, надо ум­ножить его целую часть на знаменатель дробной части, прибавить числитель и записать сумму в числитель, а знаменатель оставить тот же.

Например:8-= —TL

9 9 9

Чтобы записать обычную дробь в виде десятичной, надо числитель дроби разделить на знаменатель.

Например: j 4

~0 0J5

7 = 0,75, бо 30 2-7 = 2 + 0,8 = 2,8:- = 0,666… = 0,(6).

4 «28 5 3

~^20

20
~0

Чтобы десятичную дробь записать в виде обычной дроби (смешанного числа), надо: число, которое стоит до запятой, записать целой частью; число, которое стоит после запятой, записать в числитель, а в знаменателе поставить единицу и столько нулей, сколько цифр после запятой.

Например:О,07 = —; 3,019 = 3-^-; 2,5 = 2- = 2- = -.

100 1000 10 2 2

Чисто периодическая десятичная дробь равна обычной дроби, числителем которой является период, а знаменателем — цифра 9, записанная столько раз, сколько цифр в периоде.

Например:0,(5) = -; 0,(21) = — = —.

9 ’ 99 33

Для того чтобы превратить смешанную бесконечную периодическую дробь в обычную, надо из числа, которое стоит до второго периода, вычесть число, которое стоит до первого периода, и записать разность числителем, в знаменателе записать цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде, и после девяток дописать столько нулей, сколько цифр между запятой и первым периодом.

1.3. Признаки делимости

	2	Если его последняя цифра четная.
ω X	5	Если его последняя цифра 0 или 5.
В: у	3	Если сумма его цифр делится на 3.
S ⅛	9	Если сумма его цифр делится на 9.
О ч о	10	Если его последняя цифра 0.
5″	4	Если число, составленное из двух последних цифр, делится на 4.
	25	Если число, составленное из двух последних цифр, делится на 25.

1.4. Наименьший общий делитель (НОД)

И наименьшее общее кратное (HOK)

Определение степени с натуральным показателем

Пусть А — действительное число, П — натуральное число, тогда A» =Aa∙…∙A,

Ч — ■ _ V , ,, √
П множителей

Где число А — основа степени, П — показатель степени.

A‘ = а; 82= 8 ■ 8 = 64; 2’ = 2 • 2 • 2 = 8; З4= 3 • 3 • 3 ■ 3 = 81; 5 • 5 • 5 • 5 ■ 5 • 5 = 56.

Свойства степени с натуральным показателем

1) А»∙ am = a»+m;

2) А»: Am = a»-m, если П >т;

3) (a’,)m = Anm∙,

4) А»∙ b” = (ab)π;

5) — = ⅛⅛ , B≠0.

Ь» \ь)

Например: а1 ■ а’°= а12; а30 : а12= a18; (a5)6 = a30; 252 ∙ 42 = (25 ∙ 4)2 = IOO2 = = 10 000; ⅛- = — I = 5’ = 125.

5 \ 5 I

Натуральное число, на которое данное натуральное число делится без остат­ка, называется делителем данного натурального числа.

Например:1; 2; 3; 6; 9; 18 — делители числа 18; а 1; 7 — делители числа 7.

Натуральное число, которое делится на данное натуральное число без остат­ка, называется кратным данного натурального числа.

Например:4; 8; 12; 16; 20; 24; … — числа, кратные 4;

5; 10; 15; 20; 25; 30; … —числа, кратные 5.

Натуральное число называется простым, если оно имеет лишь два натураль­ных делителя: единицу и само это число.

2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; … — простые числа.

Натуральное число называется составным, если оно имеет больше чем два натуральных делителя.

4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20; … — составные числа.

Самое большое натуральное число, на которое делится каждое из данных чисел, называется наибольшим общим делителем этих чисел.

Например:НОД (5; 20) = 5;

НОД (2; 4; 6) = 2

Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких чисел, надо:

1) разложить данные числа на простые множители;

2) вычислить произведение общих простых множителей с наименьшим показателем;

3) найти значение полученного произведения.

Например:

10 = 2-5

8 = 2∙2∙2

2

2

320 = 26 • 5 640 10 = 2-5

64 8 = 2∙2∙2

88=2-2-2

1

640 = 27 • 5 840 10 = 2-5

84 3 28

4

2

1

840 = 3 • 5 • 7 • 2’

НОД (320; 640; 840) = 23 — 5 = 8 ■ 5 = 40.

H

Наименьшее число, которое делится на каждое из данных чисел, называется наименьшим общим кратным этих чисел.

Например:HOK (4; 12) = 12;

HOK (3; 8) = 24

Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких чисел, надо:

1) разложить заданные числа на простые множители;

2) вычислить произведение всех найденных простых множителей, взяв каж­дый из них с наибольшим показателем;

3) найти значение полученного произведения.

Например:396 44 4 2 1

396 = 32∙22∙ 11;

180 10 = 2-5

18 9 = 3-3

2 2

1

180 = 22 • З2 • 5

HOK (396; 180) = 32 ∙ 22• 5 • 11 = 36 • 55 = 1980.

Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то получим дробь, равную данной:

А _ ап _ А : п

B Ьп Ь:п

Например:1 _ 2 _ 3 _ 4 8 _ 1 15 _ 3

3-6^9^125 24~3, 20^4′

1.5. Формулы сокращенного умножения

Произведение разности двух выражений на их сумму (а + B)(A — B) = A2- B2.

Например:(Зх — 2y)(3x + 2Y) = (Зх)2 — (2y)2 = 9×2- 4y2; (5×2 + 4y)( 4Y —5×2) = (4у)2 — (5х2)2= 16y2- 25Х*.

Квадрат суммы двух выражений

(а + B)2 = A2 + 2Ab + B2.

Например:(5х + 3y)2 = (5x)2 + 2 ∙ 5x ∙ 3Y + (3y)2 = 25×2 + 30xy + 9y2.

Квадрат разности двух выражений

(а — B)2 = A2- 2Ab + B2.

Например:(6x — I)2 = (6х)2 — 2 • 6х ■ 1 + I2 = 36×2- 12x + 1.

Произведение суммы двух выражений на неполный квадрат их разности (а + B)(A2- Ab + B2) = A3 + B3.

Например:(2x + 3)(4×2- 6x + 9) = (2x)3 + 33 = 8×3 + 27.

Произведение разности двух выражений на неполный квадрат их суммы (а — B)(A2 + Ab + B2) = A3- B3.

Например:(х- l)(x2 + x+l) = x3-l3 = x3-l.

Куб суммы двух выражений

(а + By = A3 + 3A2B + 3αb2 + B3.

Например:(2 + х)3= 23+ 3 ∙ 22• х + 3 ■ 2 ∙ X2 + X3 = 8 + 12x + 6×2 + х3.

Куб разности двух выражений

(а — ЬУ = A3- 2>A2B + 3Ab2- B3.

Например:(Зх — I)3 = (Зх)3 — 3 • (Зх)2 ■ 1 + 3 ■ 3x ∙ I2- I3 = 27×3- 27×2 + 9x — 1.

1.6. Разложение многочленов на множители

Вынесение общего множителя за скобки

A(B — с) — c(c — B) = A(B— с) + C(B — с) = (B — с)(а+ с).

6β2- За+ 12ba = 3α(2a — 1 + 4b).

Использование формул сокращенного умножения «справа налево» A2- B2 = (а — b)(α + Ь);

A2 + 2ab + b2 = (а + ЬУ;

A2— 2ab + b2 = (a — Ь)2;

A3 + b3 = (a + b)(a2— Ab + b2);

A3-b3 = (a — b)(a2 + ab + b2).

Например:9×2- 25y2 = (Зх)2 — (5у)2= (Зх — 5y)(3x + 5у);

25×2- IOxy + У2= (5х — у)2;

4×2 + 12xy + 9y2 = (2х + Зу)2;

8+x3 = 23 + x3 = (2 + x)(4 — 2x + х2);

1 — 27×3 = I3- (Зх)3= (1 — 3x)(l + Зх + 9×2).

Способ группировки

Ac+ be — 2ad — 2bd = (ас + be) — (2ad + 2bd) = c(a + b) — 2d(a + b) = (а + Ь) ■ (с — 2d).

Использование нескольких способов разложения многочлена на множители

X — у — X2 + у2= (х — у) — (х2 — у2) = (х — у) — (х — у)(х + у) =

= (x-y)(l — (x + y)) = (x-y)(l — х-у);

4 — X2- 2xy — y2 = 4 — (х2+ 2ху + у2) = 4 — (х + у)2= 22 — (х + у)2=

= (2 — (х + y))(2 + (х + у)) = (2 — х — у)(2 + х + у).

1.7. Сложение и вычитание рациональных чисел и выражений

Определение модуля действительного числа

А, если А >О ∣α∣ = • -а, если А <О

О, если А= О

Например:∣3,2∣ = 3,2; |0| = 0; — у

Чтобы сложить два отрицательных числа, надо сложить их модули и поста­вить перед результатом знак «-».

Например:-15 + (-20) = -(15 + 20) = -35.

Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо из большего модуля вы­честь меньший и поставить перед полученным числом знак того слагаемого, модуль которого больший.

Например:-40 + 30 = -(40 — 30) = -10; 50 + (-30) = 50 — 30 = 20.

Чтобы из одного числа вычесть второе, надо к уменьшаемому добавить число, противоположное вычитаемому.

Например.10-17=10 + (-17) = -(17 — 10) = -7;

-5-13 = -5 + (-13) = -(5 + 13) = -18;

-3 — (-5) = -3 + 5 = 5- 3 = 2.

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их чис­лители, а знаменатель оставить тот же:

A + B_ а + Ь C I

И п2 6 2+6 8 . 1 А

Например:— + — = -—= — = l-j-

Чтобы выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, надо из чис­лителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тот же: A B _А-Ь Сс с

Например: ———- Σ = 2ξ1 = A=7jS—3- = 2^^ = 2-∙, 5— = 4— = 4-;

14 14 14 14 7 7 7 7 7 8 8 8 8

3—l — = 2 + l—l — = 2—l- = l∣; JJlZ—
33 3333388

Сложение дробей с разными знаменателями

A C ad + be ττz,ι∏∕L J∖ 1

T + J = , , . если НОД(Ь; J) = 1.

B а Ьа

А С _ Ak + ClГде т = HOK(B; D). к = ^, L = ^J— B D Bd ’ B D

„ 5’1 , 1’2 3+4 7 1 1

Например: — + — =————- = — = 1-;

2 3 6 6 6

-5 5,7+*’9=_5J5 +36

8 10 4040

/. 75 36∖ 39

= -4— ——- = -4—:

∖ 40 40/ 40

2BlL—B2+1‘2⅜3-L=2⅛(1 — ⅛2) + (2Fr3 -1)=2⅛~χz + X^-L_ 2Fe—L

3ab 6ab2 i>ab2 6ab2 6ab2

Вычитание дробей с разными знаменателями

А с Ad—Bc .×

—— т =—ГЗ—> если НОД(Ь; D) = 1. B D Bd

⅛-⅛ = ⅛^>где m = HOK(b; ¢/), К = %, 1 = % B D Bd B D

7’1 ,’9 7 9 7 9 21 9 1? 6

Например:10√-4- = 10— -4— = 9 + 1— -4— = 9— -4 — = 5— = 5″;

2 14 14 14 14 14 14 14 14 7

A + b_ Д-3=3LA + B_ 11а-3=3(д + &)-(д-3)=За + ЗЬ-а + З A 3 1 3 3 3

=2A + 3⅛ + 3

3 ;

А_______ А _ 3,A_________ 21а _ За-2а__________ а__

2x + 4 3x + 6~2(x + 2) 3(x + 2) — 6(x + 2) ~ 6(х + 2)’

Д-1 _ А=At2,Fl—L_ “а=(д + 2)(д-1)-д2 Д2-2д д2-4 л(д-2) (д-2)(д + 2) д(д-2)(д + 2)

—A + 2a-2-f/_ _ 1

Д(д-2)(д + 2) A ⅛i’∙,rf (а + 2) a2+2a

1.8. Умножение и деление рациональных чисел и выражений

Умножение дробных чисел

Д £_ Д£ ^_дЬ +■ + =+•- = — B‘D‘Bd A‘C~ с — = + -■ + = —

Например: 1.{Λ∖ = .L∆ = Λ.22.51zz 8.39 = 8^£=104 _ 6.

5 I 4∣ 1∕.4 4’ S 157 3 7 ,χ.7 7 1V

6a 2x-2_^∕X’∙2(>-^f)’_ 4

X2-X 3ax ^x.1(λ-H’).1∕1√x^x2′

Деление десятичных дробей на натуральное число

Деление десятичной дроби на натуральное число выполняется так же, как деление натуральных чисел, только, окончив деление целой части числа, надо в ответе поставить запятую и продолжить деление.

Например: 20,75 5

“20 4Д5

_7

20,75 : 5 = 4,15; _£

_25

25

“о

1,6 : 10 = 0,16; 21,3 : 100 = 0,213.

Деление десятичной дроби на десятичную дробь

Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь, надо в делимом и делителе перенести запятую вправо на столько знаков, сколько их в делителе, а затем выполнить деление на натуральное число.

Например: 40,56 13

“39 ЗЛ2

15

“13

4,056 : 1,3 = 40,56 : 13 = 3,12; — ■

26

“26

0

0,052 : 0,1 = 0,52 : 1 = 0,52; 0,123 : 0,01 = 12,3 : 1 = 12,3.

Деление дробных чисел

Д с _ a J _ ati B_ + •+- + +• —

B d b с Be a’с A b b —

„ 2 I4\ 2 9 ‘/•/’ 3 , c

Например.—:(-) = — = -^—^ = 1,5;

11 _ 7 28 _ 7 9 =‘∕√3_3.

3 9 3’9 3 28 ,/• ,X 4’

А2 -За а2-9_ А(а —3)А(а+ 5)

А2-25′A2 + 5a (α-5)(α + 5) (a-3)(α + 3)

A ∖β^>) _ А а

(α-5)1>-κ55’1>^3T(fl + 3)~ (α-5)(a + 3) α2-2α-15′

Вычисление дроби от числа

_. , а л а.

Пусть А — некоторое число, тогда — от А = —-А. B B

3 3 3 21 3-21

Например: — от 21 = —∙21 = —∙- = —-у—= 9.

R r7 7 7 1 ι∕∙l

Проценты

Процент — это одна сотая часть.

L% = — L = 0,01

100

1 25 1 75 3 20 1

Например:100 % = 1; 50 % = 4; 25 % = -=4 = 4; 75 % = 44 = 4; 20 % = 44 = 4;

R r 2 100 4 100 4 100 5

0,2 = 20 %; 1,3 = 130 %; 0,03 = 3 %.

Вычисление процента от числа

Ра

Р % от а = ——

R 100

Например:3 % от 15 = 0,03 • 15 = 0,45; 15% от 4 = 0,15-4 = 0,6;

25 % от 40 = 0,25 • 40 = 10.

Вычисление числа по данному проценту

Если р % от некоторого числа Х равно Ь, то Р %От Х = Ь.

-2^- = B; Px= 100b; х = —

100 р

Например:5 % от Х= 10; 0,05x =10; Х= 10 : 0,05; Х= 1000 : 5; Х= 200.

Вычисление процентного соотношения

Число А составляет 4 -100 % от числа Ь. B

Число 15 составляет — ∙100% = 20% от числа 75.

1.9. Арифметический корень

Арифметическим корнем и-й степени (и ∈N, П >

А называется неотрицательное число, n-я степень кот

Арифметический корень и-й степени обозначают символом ∖Ja.Если П= 2, то пишут —Ja . Такое выражение называют арифметическим квадратным корнем.

Если А < 0, и — натуральное четное число, то среди действительных чисел 1JaНе существует.

Если А< 0, П — натуральное нечетное число (и > 1), то Va существует, причем Va = —Tf—A.

√64 = 8, потому что 82 = 64; V16 = 2, потому что 24= 16; V-8 = — Vδ = -2;

V-27 = — V27 = -3; iV-15 — не существует; √-20 — не существует.

Свойства корня n-й степени

(2Ja) = а, если А > 0 (2″Ja) = а, где A ∈ R	(√7)2=7; (√δ)7=8
|«.если o≥0 !-«,если А<0 2N∖∣A2N~’ = AiГде A∈ R	V(-2)6 =∣-2∣ = 2; V(-3)5=-3
JcT = JT, A≥0,M ∈ Z, к∈ N	VF = TfF = √125
= «Ja, к∈ N, k≥2, а>0	V√5=√5; I∣J2=’J2
Jab = Ja ■ Jb,Где A ≥ 0, B ≥ 0	√27∙8 = JT ∙√8=3∙2 = 6
[a Ja . „ , ΨT Jb’r^a≥0’b>0	,/625=√625=5 _ 12 N 81 JT 3 3
Ajb = ja»-b, a≥0,b≥0	2J4 = J2T4 = JTa = JT-, -5Ji = —JTi = —JiT = —Jso
Ja» — b = aJb, a ≥ 0, B ≥ 0 L——————————————————	JT = JT = Jis—Ji = SJi-, Jii = JT = Ji—Ji = 2J4; JT =-Jii = —JT =-Ji—Ji = -2-Ji

1.10. Избавление от иррациональности в знаменателе дроби

А _ Aji>_ Ajb

JiT Ji-JiT ь

U2 2J2 2J2 г

Напрт“р

А _ A(Ja-Jb) _A(Ja-Jb)

Ja+Jb (Ja + Jb)(Ja — Jb) a~⅛

Например:

2 _ 2(√3-√2) _ 2(J3-Ji) _2(Л-Л) F^ [^}

Т^Т2~(Т + Т2)(Т-Т2)~Ш-Ш~ 3^2

А _ A(>Ja + ∙∕B) _ A{4A + Vfe)

Ja—Y∣B (Vα — Vfe)(V∏ + Vfe) A~B

8 = 8(V6 + √2) =8(V6 + V2)=8(V6 + V2)

√β-√2 (√6-√2)(√6 + √2)^(√5),-(√2)»6~2

≈≡∙Ai⅛l=2(√J+√J).

4

Пусть п — натуральное число и a ≠ 0, тогда

Например:3 2

1 З2

2= (Zt =^ = 5-; 0,750=1; (~2)^2 = — ZL. = ½~2^2=~
\3/ 9 9 (-2)24 22

Т ….—

Пусть А >О, Т, п —Натуральные числа и П≥ 2, тогда д»= Yjam

— 1

Если а > 0, то A N= — ап

Например:2’ = ∙^; 8’ = Vδ2^ = (Ve)’ = 22 = 4; 4^≈ =-1- = -1= = 1 = 0,5.

I 42 √4 2

Выражение (-8)3 не определено.

Свойства степени с рациональным показателем

Ax ∙ ay = ax’∖а>0	1 .1 1.-2 _1 J 1 2’ ∙2 3=2’ ‘3’ = 2 3= —= — U 1 ib 23 yjl
Ax: a> = ax’y,Я > 0	111-1-11 1 34 :32 =3« 2 = 34 =_L= 2 3I V5
(ab)x = ax ∙ bx, а> 0, B< 0	23∙53 = (2∙5)3 =IO3 =VlO
/ ∖x X А\ а л , л Г =—, А> 0, B< 0 ∖B∣ьх	IVi = (—V = 8з = Vs7=(Ve)2 = 22 = 4 23 U/
(αx)y = Axy, Х> 0	(гО2=23^ = 22 = √27=√8

1.12. Логарифм числа

Логарифмом числа B (Ь>0) по осно­ванию А (а >0, A ≠ 1) называется по­казатель степени, в которую надо возвести основание а, чтобы полу­чить число Ь. Обозначение: IogoЬ. Iog0B = х 0 Ax= B Iogi0x= Ig x— десятичный логарифм log, х = In х — натуральный лога­рифм Е ≈ 2,7	Iog3 27 = 3, потому что З3= 27; Ig IOO = 2, потому что IO2 = 100; In 1 = 0, потому что e0 = 1.
Iog0А= 1	Iog7 7 = 1
Iog0 1 = 0	Iog7 1=0
Logo(bc) = Iog0B + IogoС, B > 0, С> 0	Ig IOO = lg(10 ■ 10) = Ig 10 + Ig 10 = 1 + 1 = 2
Iog0~ = Iog0B-Iogoс, B>O, c>O	Log3∣ = log3l-!og39 = 0-2 = -2
IogoЬ»= и∙ Iog0B, B >О	Iog6 36 = Iog6 62 = 2 ∙ Iog6 6 = 2 • 1 = 2
1°g0″fe = ~1°g>>b>0 Т	Log497 = log7j7 = ∣log77 = ∣∙l = ∣ = 0,5
I 1. 1о&b, 10g‘h= logι√ b>O, c>O, c≠l В частности, log B = 7—— или! ogf,α Iog0B ■IogbА= 1	Г. 1о8з 5 T*15″⅛4
Основное логарифмическое тождество αl°fci,_ (а>о, a ≠ ijЬ>о)	Yiog7в _

Практика

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

∏nuuαn 1 V 6Xy + 6-4X-9Y 9y2-12y + 4

Пример 1. Упростите выражение —с———————— !_■— L——— i———

X2-12x + 36 3xy-18y-2x + 12

Решение

6Xy + 6 — 4X — 9Y 9у2-12у + 4 _ (бху-9у)+ (6-4х)

X2-12x + 36 3xy-18y-2x + 12 ~ (х-6)2

(Зу-2)2 _ 3Y(2X — 3) + 2(3 — 2X) (3Y-2)A _

‘ (3xy-18y)-(2x-12) (х-6)2 ’ 3y(x-6)-2(x-6)

=(2X-3)(3Y-2)∙(X-6)(3Y-2)=(2X-3)(3J^F)2∙(Λ^<)_ 2X-3

(х-6)2• (Зу-2)2 ~ (х-б/ ∙(3y^f)2 ~ х-6′

Ответ: ——— .

Х-6

Пример 2. Найдите значение выражения V4 + 2λ∕3->/4-2л/з.

Решение

√4 + 2√3 -√4-2√3 =a∕(√3 + 1)2 — a∕(√3-1)2 =∣√3 + 1∣-∣√3-1∣ = = √3+l-(√3-l) = √^ + l-√f + 1 = 2.

Ответ: 2.

Пример 3. Найдите значение выражения

Решение

З_+W Y(√3+f i-2 3-√3√ +1) , 3(√3+2)

2.

З. 5123

17

I 4

Пример 4. Найдите значение выражения 81log,3 + 27lo*,κ + 3l°g,,∙

Решение

8ι∣⅞T3 +27∣<‰*+3^ =(34)∣°8,s+(3J)lo⅛62+(34)⅛7=3«W + 33'4logj6 +342 log>7 = 5<+ 63+72=625 + 216 + 49 = 890.

Ответ:890.

Пример 5. Вычислите Iog6 27, если Iog12 16 = а.

Решение

ιθff 27= 1 _ 1 = 1 = 3 — 3 — 3

8бlog276 Iog3,6 llog6 logj(2∙3) Iog3 3+Iog3 2 1 +Iog32’

I и — 1 _ 1 1 2 _ 2 2

°8’2Iog1612 Iog4212 Ij0g4i2 1°g412 ⅝4 (43) ⅝4 4 +Iog4 3

2 .. 2 _ 2

L + log43 l + log2,3 1 + ll0g2√

По условию задачи: —р——— = а;1 + 1 Iog2 3 = 1; 1 Iog2 3 = 1-1; — Iog2 3 = -—-

L +llog23 2 a 2 α

. _ 4-2α 1 _ 1 а

10g,3 = -; l0g,2.-.

3 3

Следовательно, Iog6 27 = —:————- =————

L+log32 1 +-JL — 4-2а

„ 6(2 -а)

Ответ: ————

4-а

Пример 6. Решите задачу.

Цену на товар повысили на 12 %. На сколько процентов нужно уменьшить новую цену, чтобы получить начальную?

Решение

Пусть начальная цена товара составляет 100 %.

1) 100 % + 12 % = 112 %.

2) Пусть на Х% нужно уменьшить новую цену, чтобы получить начальную.

112 — (х % от 112) равно 100; 112 — l,12x = 100; l,12x = 12;

1200 Ю. 5

112 112 7

Ответ: на 10-%.

7

Практика

Решение

1 _ A[2]+4= 1 _ Д2+ 4=°[3]—λ,*2’1_ V+4 =

1) А+ 42 а[4]+2^2 а+ 42 A3+(у/2.)} а+ 42 (а + — Уз)(а2->∕2a + 2)

=Д2-√2A + 2-(A2 +4)=X-^A + 2->Z-4= -√2A-2 =

(а + >∕2)(a* — 42а+ 2) (а + ∙V2)(λ2— 42а+ 2) (a + V2)(a^ — 42а+ 2) г(2 А

. ⅛÷2 — «+Y ‰⅜?)’

(a + ∙^)(a2—∖∣2a + 2) {a + 42,)(a2— 42а + 2) J^ψ<7Y)(a2-42a + l)

4~2

A2-4ia + l

(а L + 1Y* — f’7fl ∣ *U ‘ Fl2-V2A + 2Y1 2д

2) ∣42 42 AJ V 2 2 А ) I 2д ) a2-4ia + 2

4~2_________ 2a=√2(a2-√2a + 2)=_ √2

3) A2-4ia + 2 ^ a2-4ia + 2 2a(a2-4ia + i} 2a

4I

Ответ: 2а

Пример 8. Найдите значение выражения ^2->/з ∙ ^7-4-^3.

Решение

42-4i-^2-4i}1 =42-4i-42-4i=(√2-√3) =2-√3.

Ответ: 2->/з.

Пример 9. Упростите выражение

1 All 1

9 A3 +2 a3 +8a3 5-а3
Д+8 21’ ? 1’

A3-2a3+4√ 1-д3 1 + д3

9 A3+2 _ 9

!) Д + 8 I 1 ~ I ι∖3

A3-2a3+4 +23

_ Lllt22A3 +2= 9-(д3+2)

A3-2a3+4 (a3+2)(a3-2a3 H

Ответ: 5.

Пример 10. Найдите значение выражения — Iog2 Iog2 T√2.

Решение

-Iog2 Iog2Т?2 = -Iog2 Iog2 V2 = — Iog2 Iog228=

= -1θg2 (∣∙ 1°g22 j = ~1θg21 = — l°g28^’ = 1°g28 = 1°g22’ = 3’l°g2 2 = 31 = 3. \о / о

Ответ:3.

Iog0 Vα2-1 ∙ log2 Va2 -1

Пример 11. Упростите выражение ———————————- —.

Log^ (a2-D-Iog^Va2-I

Решение

IogjT^Iiogl ТТЛ ∣Oe-⅛∙-1)s. lθ8-.,(a.-1)⅞

Loga2(a2-1)■ log^ Va2-I log^(д2 _ 1).log _ 1)6

Ai

⅛(a2-l)

= ≠1—————— = ⅛(a2 -1) = 0,51oga(a2-1)-

∣.lloga(a2-l) 2 Z о

Ответ:O,51og0(a2-1)∙

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

W V7^4 + lδV128

1. Упростите выражение. ■

V⅛V32 + V9^62

2. Упростите выражение и найдите его значение.

1 1

O_B + C_ (1+⅛2+C2-02 ].0-⅛-C если a = 002; b_ _1105; С — 1-7.

1 l1I 2bc J abc

A b + c Iog3135 Iog3 5

3. Найдите значение выражения 7o⅛3^~ log О53‘

Тесты

Тестовые задания

3 5 1. Разместите в порядке возрастания числа —; 1,6.
А	Б	В	Г	Д
Ch N> I UJ CP I СП	VO »“Н Ull СП СО I <4	1.6; ∣; I 3 2	⅜ 1,6= I 3 2	I= ι∙6= I 2 3
I If2 2. Найдите значение выражения 1-2-1 ■			□
А	Б	В	Г	Д
6	49 9	49 9	9 49	_9_ 49
Л/7 3. Найдите значение выражения —=———— 7= + — √7+√3 л/	√3 F7-y∕l ‘
А	Б	В	Г	Д
2,5	5	√30	11	12
, n VJ∙√64 4. Вычислите ——— =—. √8				I »|
А	Б	В	Г	Д
√2	I∕l	2	4	0,5
7 5. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби -∏≈	•
А	Б	В	Г	Д
⅛7	√49	√7 7	√7	7√7
Б. Упростите выражение >/з^З ∙.¾∣3∙J3
А	Б	В	Г	Д
√3.	Vi	3	1	1 √3
⅛

7. Установите соответствие между числами (1-4) и процентами (А-Д).

1 0,02	А 2 %	А	Б	В	Г	Д
2 0,05	Б 50 %	1
3 0,2	В 100 %	2
4 0,5	Г 5 %	3
Д 20 %	4

8. Установите соответствие между числовыми выражениями (1-4) и их зна­чением (А-Д).

9. Установите соответствие между выражениями (1-4) и их числовым зна­чением (А-Д).

1 Iog2 10 — Iog2 5 А 0,5

2 1°g23	Б 1	А	Б	В	Г	Д
“ 1°g29	В 2	1
3 Iog20 4 +Iog201	2
Г 5	3
4 log2 3 — log3 4	ДО	4

Решите задачи 10-12. Ответы запишите в виде десятичной дроби.

10. Найдите значение выражения [∖∣25 + 4>/б — √1 + 2√β)∙Vl-2√6.

‘ ι 1
й4+4 й4-4

1 + 1

Чй4-4 й4+4

12. Цена товара возросла на 25 %. На сколько процентов нужно ее снизить, чтобы получить начальную цену?