 |
 |
 |
Ж) ∣x∣- 2 ≥ 0; ∣x∣ ≥ 2; х ≤-2 или х > 2. D = (-∞; — 2] о [2; + ∞);
 |
 -3, х ≤ -3;» width=»71″ height=»49″ class=»»/> |
 |
Б) G(X) = 5При х = -3; G(X) = 0 при х = -5 и х = 1;
В) Унаиб. i/наим. 4, г) E(S) = [-4; 5].
 |
 |
|
11. a) D(Y) = [-5; — 2) и (-2; + ∞). Нули Х =—————-
 |
 |
 |
 |
Следовательно, D{Y) =
П
Чтобы найти нули функции, решим уравнение 4x + 36x = 0 на области D(Y).
<14
i 9 ) а 9
" align="right" width="113" height="45" class=""/>4х(х + 9) — 0; х — 0, х = -9; Oe 2)(ι∕),-9∈-О(у) Нули функции: -9; 0.
В) Решается аналогично пункту б): Z>(t∕) =
Для нахождения нулей функции решим уравнение 4×2 -16x = 0 на Z)(y).
4x(x-4) = 0; х = 0, х = 4; Oe D (у), 4(D[Y).
Нулём функции является число 0.
12. а) -8х + 16 = О, -8x + 16>0, -8x + 16<0,
Х = 2; х < 2; х > 2.
/(x) > 0 при хе (-∞; 2); /(x) < 0 при хе (2; + ∞);
|
6) решается аналогично пункту а). 4 C 4 Ответ: F(х) = 0 при х =—— ; F(х) > 0 при хе!— 3 \ 3 13. а) возрастающие У= 9х — 7 и У — х+ 1; Б) убывающие y = -4x + 13 и y = -49x-50; В) не являются ни возрастающими, ни убывающими 14. а) возрастающая при а + 3 > 0, а > -3; Г) убывающая при а + 3 < 0, а < -3; Д) не является ни возрастающей, ни убывающей при 15-а)ЛМ=?Ъ; ft<-3>=⅛=⅛ft<31= 1 6)Λ(x) = -5^-; ⅜(-3) = ~3 = -⅛ ⅛(3) = √L- Х2 +4 (-3)+4 13 32 +4 Л(3) и Л(-3) — противоположные числа; Е) Λ(x) = -^≡-; ⅛(-3) = ~(;3) = А;Λ(3) =-А-= X2 +4 (-3)+4 13 32 +4 Л(3) и Л(-3) — противоположные числа 16. a) D(Y) = [0; + ∞), У(х) — возрастающая, как сумма двух возрастающих функций; Б) D(Y) = ( В) |
|
И F(X) <О при Хе |
|
А — 3 = 0, А= 3. 72—= ⅛; ⅛(-3) = Λ(3). 3 +4 J- |
|
Q = —; Λ(3)>Λ(-3); |
|
Q ; Λ(-3)>Λ(3); |
|
■; 0], У(х) — убывающая, как сумма двух убывающих функций; D(Y) —[0; + ∞). На этом промежутке функции У= х2 и У= 2-Ух возрастают, следовательно, У = X2 + 2-Ух — возрастающая; У= X3 + — У-х; D(Y) = (-∞; 0]; У = 4-х ~ убывающая; У= х3 — возрастающая, следовательно, У= X3 + 4-х не является ни возрастающей, ни убывающей; У= — X3- — Ух; D(Y) = [θ; f∞); У= — X3- убывающая; У= —Ух — убывающая, следовательно, У= — X3- 4х — убывающая. F (√2 +1) =(7L+1^~3 = 2 + 27L+1~3 = = 2. V’ √2 + l-l √2 √2 T( П (χ-1)2~3 x2-2x + l-3 Б) Найдем F(х -1) = —z =———————- |
|
Г) |
|
Д) |
|
Составим уравнение F(х -1) = 1; ∫x2 -2x-2 = x-2, (x2-3x = 0, (х — 2 ≠ O; ]x ≠ 2; Ответ: 0; 3. |
|
X2- 2х — 2 Х-2 х-2 X2- 2x — 2 1 Т. е. ————- = 1; Х-2 ∫x = 0, х = 3, (х ≠ 2. |
|
В) Область определения х — 1 ≠ 0; х ≠ 1, D(F) = ( |
|
X2— 3 Чтобы найти нули функции, надо решить уравнение f(x) — 0 , т. е. ———— = 0 : Х-1 |
|
!x2-3 = 0, ‘x2=3, < ∙! X = ±√3 . [х -1 ≠ 0; jx ≠ 1; Нули функции —УЗ И 43 . 18. а) У= — Зх + 9 : Y(x) > 0, т. е. — Зх + 9 > 0; — Зх > -9; Y(x) < 0 . т. е. - Зх + 9 < 0; - Зх < -9; |
Б) г/ = —=; V5x +15 >О при 5x + 15>0,
√5x + 15
 о, 5x + 15>0;» width=»88″ height=»49″ class=»»/> |
 -4,|х > -3; » width=»62″ height=»49″ class=»»/> |
 0 при» width=»208″ height=»24″ class=»»/> |
 -3;» width=»54″ height=»24″ class=»»/> |
 |
 |
Г х + 4 <О, [х < -4,
У(х) < 0 при < <{ решений нет.
^5x +15 > 0; > -3;
Значений Х, при которых Y(X) < 0, нет.
. χ∕3x-18 o
В) У =———— . Задание выполняется аналогично пункту а).
Х-1
Ответ: y(x) > 0 при х > 6 ; значений х, при которых y(x) < 0, нет.
|
19. а) /(х) = 2,5 — 5х D(∕) = W) = (-∞5+∞); Б)/(x) = 3,5x, D(∕) = ^(∕) = (-oo5+oo); |
I I I |
⅛)IV |
U∕∣ 7 I L |
||
|
I |
I |
I I \ |
I/V: I |
||
|
I |
I |
I о г |
I / |
Lli |
|
|
I : |
‘ , I I > I |
||||
|
I |
I I |
I I I |
|||
|
I |
I I1 |
! i i |
|||
|
! |
I |
1 I |
/11 |
I 1! |
|
|
I |
I |
-1 ! |
I ∖ i i i I |
X |
|
|
I |
I I |
I I 0 |
Uiii |
||
|
1 |
I |/ |
IV -1rr |
A i I I |
||
|
I |
I 1/ |
Л } ! L! i I |
|||
|
Й)/ |
I \.иI I I |
В) ч -20
В) /(х) =——- ;
Х
1)(/) = ВД = (-оо;0)и(0;+~);
 |
|
 |
|
 |
|
 |
|
 |
|
 |
|
 |
|
 |
 |
 |
|
 |
|
2×2 -13x + 6 = 2∣ X2- —х + 3 ∣ = 2∣x2-2—х + 3
I 2 J I 2-2
 » width=»22″ height=»18″ class=»»/> |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
22. Запишем квадратный трёхчлен в общем виде Ax2 + Bx + с, где A ≠ 0.
Γα + ∂ + c = O, ∖A + B + 5A = О, B = -6а, По условию
 |
[с = 5α; [с = 5а; с = 5а.
О B с N Rr , 2 -6a 5a
Х H—хн— = 0. Подставим значения о и с в уравнение: х H———- хн—- = 0;
А а а а
X2- 6x + 5 = 0; x1 = 1; х2= 5 .
Ответ: 1; 5.
5
23. Решается аналогично № 22. Корни ; 1.
24. а) 4×2 -32x + 28 = 4(x2-8x + 7) = 4(x-1)(x-7);
Б) —х2 + — х + — = — (х+ 2)(х + 1), так как
12 4 6 12v m ’
— X2+ — Х + —= 0; x2+3x + 2 = 0; x1 =-2; х?=-1;
12 4 6 1 2
В) X2- 15х + 50 = (х — 10)(x — 5);
Г) — y2+18y-17 = -(y-l)(y-17) = (l-y)(y-17) = (y-l)(17-y), так как — y2+18y-17 = 0; y2-18y + 17 = 0; y1 = 1; у2= 17;
Д) -2х2+ 5х + 3 = -2 i х + (х — 3) = (-2x -1) (х — 3) = (2x +1) (3 — х), так как
-2×2+5x + 3 = 0, 2×2-5x-3 = 0, D = 25 + 24 = 49;
5±7 1 _
Х=^~’ xι =~2’Хг =3;
IOx2 + 19x — 2 = 10 (х + 2) (х — 0,1) = (х + 2) (IOx — 1), так как
IOx2 + 19x — 2 = О; D = 361 + 80 = 441;
-19 ±21
Х =———- ; x1 = -2; X2 = 0,1.
20 1 2
2 2(x-2)∣x—I
2×2-5x + 2 v\ 2) 2х-1
————- =——- — —-—г—- =—— , так как
3x-6 3(x-2) 3
2×2-5x + 2 = 0; D = 25-16 = 9;
5±3 o 1
X =-у; x1 =2; X2 =-;
2
—— . Выполняется аналогично пункту а);
Х + 2
3×2-12 3(x2-4) (χ-2)(x + 2) х + 2 3(x + 2)
—s———- ■ —т—1—×= -7————- P————— τ^ = ~—— , так как
Зх -7x + 2 3Γ 1\ 2) fχ-Γ∣(χ-2) X— 3x~1
<3/ '<з/ ’ 3
3×2- 7x + 2 = 0, D = 49 — 24 = 25;
7±5 o 1
Х =—— ; X1 = 2; X2 = —;
6 1 2 3
|
Г) |
|
2x -1 1 — 2х ’ |
Г 1Il 2I
9X3-9X2+2X=X(9X2-9X + 2)=X’9 ^X~ 3 J ^X~ 3 J=
l-3x + y-3xy (1 — Зх) + (у — Зху) (1 — Зх) + у (1-Зх)
X(3X—L)(3X-2) х ∙ (-1)(1 — 3X)(3X — 2) X(2-3X)
(l-3x)(l + y) (l-3x)(l + y) 1 + у ’
9×2-9x + 2 = 0; D = 81 -72 = 9; 9±3 1 12 2
18 1 3 2 18 3
9α-4_ 44-16α =(9α — 4) (а — 2) — (44 — 16а) _
А + 7 (α + 7)(α-2)^ (a + 7)(a-2)
_ 9а2 — 18а — 4а + 8 — 44 + 16а _ 9а2 — 6а — 36 ^ (а+ 7) (а-7) ^ (a + 7)(a-2) ‘
Уравнение 9а2 -6а -36 = 0 имеет иррациональные корни, следовательно, при разложении квадратного трёхчлена 9a2- 6a — 36 на множители дробь нельзя б дет сократить дальше.
Б) -2.
Проверочная работа As 1
Вариант 1
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
4 |
4 |
3 |
2 |
2 |
2х-3 Х -4 |
-2 |
8α2 -31 (α + 5)(α-3) |
X2- 4x +1 |
-2 |
Вариант 2
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
3 |
3 |
1 |
1 |
2 |
Х — 5 Зх-1 |
-2 |
4 Х + 1 |
X2- 6х + 7 |
0; 3 |
И) Найдем координаты вершины
_ Ь8 o
Параболы: Х„ =—— , х. = — = 2 ;
β 2a β 4
Yβ = ι∕(2) = 2 22-82+3= -5.
Ветви параболы направлены вверх.
 |
Проводим ось симметрии х = 2 через вершину (2; -5).
В пунктах к) и л) парабола строится аналогично пункту и).
28. Строим параболу аналогично № 27 и) по нескольким точкам.
А) y(3) = -∣∙32 + 4 3-4 = 5; y(l) = -∣ ∙ I2 + 4 — 4 = О OO
Б) У= 4 ; “X2+ 4х-4 = 4; x2-12x + 24 = 0; x = 6±2>∕3;
Y = -l; —x2+4x-4 = — l; x2-12x + 9 = 0; x = 6±3√3; 3
В) У = O; —X2 + 4x-4 = 0; x2-12x + 12 = 0;
У3
Dx = 36 -12 = 24; х = 6 ± 2√6 .
Нули функции x1 = 6 — 2л/б; X2 = 6 + 2√6 .
T/>О при x∈(6-2√656 + 2√6)и У<О при х ∈(-°°;6 - 2л/б) и (б + 2-Уб; + ∞j.
-44∙3 1 9
Г) χβ=-l = ±-≤ = 6; Yβ=y(6) = -~-62+4∙6-4 = 8; 2 о
«з
У возрастает при х ∈ (-∞; б]; У убывает при х ∈[6; + ∞) унак6. = 8, Yκωsx.Не существует.
Q = 8, ∖Q = 8, Jg = 8,
4p + g + 16 = 0; [4p + 8 + 16 = 0; [р = -6.
Д) xβ =——; Xe=-; ye=-5; — = 2, р = -4.
β2а 2 2
ι∕(2) = j∕β=4 + 2∙2 + <7 = -5, ^>q = -13.
30. График — парабола, ветви которой направлены вверх, так как старший коэффициент 2 >О. График лежит выше оси абсцисс при D<О.
D = b2— 4αc, D = 1 — 4 • 2 • А иL-8a<0; -8a < -1; А >—.
8
Ответ: при А >—.
31. У = Ax2 +Bx + C. Подставим координаты точек А, В и С, получим систему уравнений относительно А, Ь, с.
(1) ∣9a-36 + c =-3,
(3) [20a — 5b + с= 15.
Вычтем почленно из уравнения (1) уравнение (2), получим 8a-46 = 0. Так как A ≠ 0, то 46 = 8a, 6 = 2a.
Из (2): С= -3 — 6 — А= -3 — А — 2a = -3 — За.
Подставим значения 6 и с в (3) и получим 25a — 5 ∙ 2a — 3 — За = 15; 12а = 18;
А = — = — , тогда B = 2A = 2- = 3; с= -3-3 — = -7,5.
12 2 2 2
У = —х2+ Зх — 7,5.
2
Ответ: У = l,5×2+ Зх — 7,5.
32. а) У = X2— 4х + А,
У«^.х. = 2; «/„анх. = Y(Xβ) = У(2) = 4-8 + A = A-4,
4
Ха = — = 2,a-4 = 2,a = 6.
β 2
У = X2-4х + 6. Строим график по нескольким точкам (см. № 27(и)).
6)‰⅛=3, Xβ = = 3; ι∕(xβ) = ι∕(3) =-9 +18 + a = a + 9;
А+ 9 = 3; А = -6.
У = —X2 + 6х — 6. График строим по нескольким точкам (см. № 27(и)).
А —4 4 — А 4 — а 4
33. Xa =——- =——- , составим уравнение —— = 1; 4 — a = 2а; За = 4; а = —.
β2а 2а 2а 3
_ Fa
Xa — — при А< 0, B> 0————- > 0 ,
2а 2а
Хд — справа от 0.
 0; с >о, d< 0. 2а" width="183" height="35" class=""/> |
X2— 7х + 6 при Х≥ О
X2 + 7х+ 6 при Х<О
Построим график функции (см. рисунок).
Функция возрастает в промежутках [-3,5; 0];[3,5;+~).
Функция убывает в промежутках (-oo; -3,5]; [0; 3,5]
В) У= ∣2∕(x)∣ = ∣2 (x2- 2x)∣ = ∣2×2- 4x∣;
Г) У= /(* -1) = (х -1)2-2(x — 1) =
= X2- 2x +1 — 2x + 2 = X2- 4х + 3 ;
 |
 |
= X2 -2x + l-2∣x-l∣ =
X2- 4х + 3 при х ≥ 1, = √
X2-I при х < 1.
38. 
J∕(2)> 0; у(-З) > 0, так как (-3)34= З34; ι∕(0) = О.
39. ⅛f(-8) < 0; у(0) = 0; у(5) > 0.
40. /(x) = х12 при х >О возрастает.
А) /(3,4) < /(4,5), так как 3,4 < 4,5;
Б) при х < 0 /(х) убывает; -4,7 > -6,2, следовательно, /(-4,7) < /(-6,2);
В) /(-7) = /(7), т. к. /(х) = х12 — четная; /(7) > /(6), следовательно, /(-7) > /(6);
Г) /(-27) = /(27), 27 < 30, /(27) < /(30), /(-27) < /(30).
41. /(х) = х33 возрастающая на всей числовой прямой.
А) 7,5 < 8,7 , следовательно, /(7,5)
Б) -4,3 > -5,6, следовательно, /(-4,3) > /(-5,6);
В) -9 < 6 , следовательно, /(-9)
Г) -53 < 53, следовательно, /(-53) < /(53) и /(-53) = -/(53).
42. Аналогично № 40 и 41.
A)l,36 _ к ( 1V ( 1V 6) 0,86>0,76; г) (-3,2)6<(-3,6)6; е) <[--j. 43. А) в I и П; б) в I и IIL 44. А) 3; б) 1; в) 3; г) -; д) -0,5; е) —; ж) 2; з) —; и) -2; к) -; л) -0,1. 2 3 2 2 45. А) имеет смысл; б) имеет смысл; в) не имеет смысла; г) имеет смысл; Д) не имеет смысла; е) имеет смысл; ж) имеет смысл. 46. А) -3; б) -1; в) -4; г) -4 (-3) = 12; д) -2 + 2 = 0; е) 0; ж) 29; з) -1 + 10 • 0,3 = 2; И) 10,5; к) -27; л) 20; м) 13; н) 2; о) -6. 47. A) A ≥ O; 6) A ≤ О; в) A— любое число; г) A ≥ 0; д) A— любое число. 48. А) 6; б) -5; в) ±5; г) решений нет; д) ^9; е) Я/—7 = -^7; ж) ±^11; з) 0; и) -3; к) ±1; Л) решений нет; м) —; н) -2; о) 10; п) ±∖∕δ^ = ±$5; р) Vθ; с) V-6 = —-ζ∕β; т) ±V18. 2 27 5 49. А) 6; б) 10; в) 0,6; г) 2,5; д) 1,5; е) -1,5; ж) 500; з) 2,7; и) —; к) ——. 4 169 50. A) 4√x; б) 3√2b; в) 6b√b; г) 2c2 √5; д) 3α3^2α. 51. А) л/250; б) $2; в) -\/зЬ6; г) $6а4; д) 1∖∣4C12При С≥ 0 и -1Y∣4C12При с < 0. 52. А) 5; б) 2; в) 0; г) 0; д) 0; е) 2. 2 я 53. А) —; б) -14; в) 7; г) ±2; д) 48. 3 54. A) — V2W = -⅛λ∕23■ 3 = -ξ∕24 ; -^5 = -½2 = -^25 ; 25 > 24, $25 >$24; -$25 <-$24. Ответ: -$2$3 >-$5. Б) -2$3 = -⅛24• 3 = -$48 = -$48* ; -⅛6√2 = -$$36 ■ 2 = -1^72 , 484> 72, 1^484>1V72, -1⅛484<-г$72. Ответ: -2$3 <-$6$2.