РАЗДЕЛ I 1. ТРИГОНОМЕТРИЯ 1.1. Преобразования тригонометрических…

РАЗДЕЛ I

1. ТРИГОНОМЕТРИЯ

1.1. Преобразования тригонометрических
выражений

39. Сгруппируйте слагаемые с суммой аргументов, равной 180°, и примените формулы приведения или формулу суммы косинусов.

40. Примените формулу синуса двойного угла, для sin 20°

Этого умножьте выражение на ———————- —.

Sin 20°

Cosl8o

41. Умножьте исходное выражение на дробь ———————————- .

Cosl8°

Далее в числителе примените формулу «сину­са двойного угла» и используйте равенство sin54° = cos36°.

42. Выразите sinαcosα через sinα — cosα. Для этого рассмотрите (sinα + cosα)2.

43. Выразите sinαcosα через sina + cosa. И подставьте в исходное выражение, при этом используя фор­мулу разности кубов.

44. Разделите и числитель и знаменатель дроби на cos2a. И примените формулу тангенса двойного угла.

45. Из уравнения 4sin2a = 15sin2a + 1 найдите tga. Разделите и числитель и знаменатель исходной дроби на cosa.

46. В первой скобке дополните до квадрата суммы и используйте основное тригонометрическое тожде­ство. Во второй скобке используйте формулу сум­мы кубов.

1.2. Тригонометрические функции

43. Используйте определение четной функции, т. е. */(-*) = !/(х).

44. Используйте определение нечетной функции, т. е. у(-х) = —ι∕(x).

45. Найдите сначала ДО) = cosO, затем /(ДО)), т. е. /(1). Аналогично со значением функции g(g(0)).

46. Найдите сначала g(0). Затем /(g(0)), т. е. ДО).

47. Найдите сначала ДО), затем /(ДО)), т. е. ДО). И так далее.

48. Используйте свойства четной функции Дх) = cosx, а именно: если /(x0) = 0, то и Д-х0) = 0.

49. Используйте свойства четной функции Дх) = = 16cos4x — 4cosx + 1, а именно: если /(x0) = 0, то и Д-х0) = 0.

50. Уменьшите аргумент каждой из функций, приме­няя свойства периодичности тригонометрических функций и формулы приведения. Т. е. получите — siπ20°, — cos200, tg20o, ctg20°. Далее используйте возрастание (убывание) тригонометрических функ­ций на соответствующих промежутках.

51. Оцените каждое слагаемое, т. е. sinl < 1, -1 < cos2 << 0, ctg3 < -1, tg4 > 1.

52. Применяя метод вспомогательного аргумента, мож­но получить, что E(cos200x + sin200x) = [-V2; λ∕2].

53. Применяя метод вспомогательного аргумента, можно получить, что

£(cos200x-sin200x) = [-V2; >/2].

1.3. Тригонометрические уравнения

53. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом суще­ствует. Учтите, что tg∣x—1 определен не при \ 4/

Всех значениях переменной х.

54. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом опре­делен. Учтите, что tgx определен при

π ~

X≠-+ πn, NeZ.

2

55. Уравнение можно решить разложением на множи­тели. Получим: (sinπx + 3)(2cosπx — 1) = 0, т. е. 2cosπx -1 = 0. Используйте свойства четной функ­ции F(X) = 2cosπx -1, а именно: если f(x0) = 0, то И F(-X0) =О.

56. Уравнение можно решить введением новой пере­менной. Получим, что sinπx = 0,5. Итак,

X = — + 2m, meZ, (1)

6

Х = — + 2m, mεZ. (2)

L 6

Из (1) серии решений получим —+ 2- + … + 18-. 6 6 6 5 5 5 Из (2) серии решений получим —+ 2—+ … + 18—. 6 6 6 Суммируем решения, используя формулу суммы П Первых членов арифметической прогрессии.

		Cos х ≥ 0,
	<	Cos2 x + 0,5cosxsinx = 0;
Cos2 x + 0,5∣cosx∣∙sinx = О <=>
57.		Cos х < 0,
		Cos2 x-0,5cosxsinx = 0.

Cos2х-0,5 Icos x∣ sin Х= О <=>

58.

Cosx ≥ О, Cos2х-0,5 cos х sin х = 0; cos х <О, Cos2 x + 0,5cosxsinx = 0.

59. Уравнение равносильно системе

I π) 1 Cos х + — = -1. 1 47 sin2x — -1.

60. Используйте формулу понижения степени для cos22x. Уравнение равносильно системе

Cos 4x = 1, sin3x = -1.

61. Рассмотрите уравнение как квадратное относи­тельно sinx и используйте неотрицательность дис­криминанта.

Уравнение можно решить введением новой пере­менной. Пусть sinx + Cosx = а, тогда

A2 -1
Sinxcosx = .

2

Используя свойство ограниченности функций У = = sinx и У = Cosx и основное тригонометрическое тождество, получите, что уравнение равносильно

Rt. 4 ~ ∙2 a,

Sin X = Sin X.

Так как cos4x = -1 — sin3x > 0, то sin3x < -1. По­этому sinx = -1.

Рассмотрите уравнение как квадратное относи­тельно и используйте, что -1 ≤ cosx < 1.

Рассмотрите уравнение как квадратное относи­тельно и используйте, что О ≤ cos2x ≤ 1.

Рассмотрите функцию F(T) = T2- T + а, где -1 ≤ T ≤ 1. Изобразите соответствующую параболу. Чтобы уравнение имело хотя бы одно решение, необходи­мо и достаточно выполнение следующих условий:

7(-D≥o,
‘∕d)≤0.

Рассмотрите функцию F(T) = T2- Gt + а, где О ≤ T << 1. Изобразите соответствующую параболу. Что­бы уравнение не имело решений, необходимо и до­статочно выполнение следующих условий:

LD <0;

LD >О, [/(1) >0; LD >О, V(O) <0.

69. Выделите в левой части уравнения квадрат разно­сти (х — У)2.