Линейные уравнения и неравенства
Задание 1. Решите при всех значениях параметра А Уравнение Ax = 2X + 5.
Решение.
Необходимо решить линейное уравнение с параметром. Сначала перенесем все неизвестные слагаемые в левую часть уравнения и приведем подобные слагаемые. Получим (A— 2)X = 5.
Чтобы найти значение Х, в данном случае надо разделить уравнение на (А — 2). При всех ли значениях параметра А мы можем уравнение разделить на (А — 2)? Нет.
При А= 2 выражение А — 2 обращается в нуль, поэтому значение параметра А= 2 является «особым» — контрольным значением параметра. Рассмотрим это значение отдельно.
При А = 2 (2 — 2)Х= 5; 0Х= 5 — уравнение решений не имеет.
Теперь A ≠ 2, и, чтобы выразить Х, делим обе части уравнения на (А — 2).
При А ≠ 2 получим X = 2.
Ответ: при А= 2 решений нет; при А ≠ 2 X = 5.
A—2
Задание 2. Решите при всех значениях параметра А неравенство Ax < 2X + 5.
Решение.
Необходимо решить линейное неравенство с параметром. Перенесем все неизвестные слагаемые в левую часть неравенства и приведем подобные слагаемые. Получим (A — 2′)X < 5.
Чтобы найти значения Х, надо разделить обе части неравенства на (А — 2) . При всех ли значениях параметра А Мы можем неравенство разделить на (А — 2)?
При А= 2 выражение А— 2 обращается в нуль.
Рассмотрим это значение отдельно.
При А = 2 (2 — 2)Х≤ 5; 0Х≤ 5. Это неравенство верно при любых значениях Х, поэтому решением исходного неравенства при А = 2 является промежуток (-∞; + ∞).
Теперь A ≠ 2. Для того чтобы выразить Х, надо разделить неравенство на (А — 2). Существенным отличием решения линейного неравенства с параметром от решения линейного уравнения с параметром является то, что знак неравенства при делении обеих частей неравенства на выражение с неизвестным может измениться на противоположный или не изменится. Поэтому при делении неравенства на выражение с параметром надо учитывать знак этого выражения.
Если A —2 < 0, то знак неравенства придется изменить; если A —2 > 0, то знак неравенства не меняется.
При A < 2 X >—^2 (знак неравенства изменился).
При A > 2 X <—^2 (знак неравенства не изменился).
Ответ: при А = 2 X∈ (-∞; + ∞); при A < 2 X >——;
A—2
При A > 2 X < A-2
Квадратные уравнения и неравенства
|
Ф |
Число корней квадратного уравнения определяют по знаку дискриминанта:
— если D> 0, то уравнение имеет два различных корня;
— если D = 0, то уравнение имеет один корень (или два совпавших);
— если D< 0, то уравнение не имеет корней.
Задание 3. При каких значениях параметра А уравнение 4Х2— 4Ах+ 1 = 0: 1) имеет два различных корня; 2) имеет два корня; 3) не имеет корней?
Решение.
Найдем дискриминант исходного уравнения.
D =16А2- 4 ■ 4 ■ 1 = 16A2- 16.
1) Так как уравнение имеет два различных корня, то D =16А2— 16 > 0, А2> 1 (см. решение квадратных неравенств в теме «Неравенства»). Получим
A∈(—∞; — 1) U (1;+ ∞}.
2) Так как уравнение имеет два корня, не обязательно различных, то
D =16А2— 16 ≥ 0, А2 ≥ 1 и A∈(—∞; — 1] U [1; + оо).
3) Так как уравнение не имеет корней, то
D =16А2— 16 < 0, А2< 1 и А∈(—1; 1).
Ответ: при А∈(—∞; — 1) U (1; + ∞} уравнение имеет два различных корня; при А∈(—∞; — 1] U [1;+ ∞) уравнение имеет два корня; при А∈(—1;1) уравнение не имеет корней.
Задание 4. При каких значениях параметра уравнение (B —1)X2 + (B + 4)X + B + 7 = 0 имеет только один корень?
Решение.
При всех ли значениях параметра данное уравнение будет квадратным? Нет.
При B = 1 уравнение становится линейным (B = 1 — контрольное значение параметра). Подставим значение B = 1 в исходное уравнение.
(1 — 1)X2 + (1 + 4)X + 1 + 7 = 0,5X + 8 = 0. Это уравнение имеет один корень —1,6.
При B ≠ 1 имеем квадратное уравнение. Так как квадратное уравнение имеет один корень, то D = 0.
Находим дискриминант и приравниваем его к нулю.
D = (b + 4)2 — 4 ∙(B— 1)(B + 7) = B2 + 8B + 16 — 4(b2 + 6b —7) =
= -3B2— 16b + 44 = 0
3B2 + 16B— 44 = 0
Уравнение имеет корни 2 и — —.
22
Ответ: при B = 1; B = 2; B = — — Уравнение имеет только один корень.
Задание 5. При каких значениях параметра неравенство
Ах2 + 4Ах+ 5 ≤ 0
Не имеет решений?
Решение.
Данное неравенство не при любых значениях параметра А будет квадратным. Какое значение параметра является в данном случае контрольным?
(I) Пусть А = 0. Имеем: 0 ■ X2 + 0 ■ X + 5 ≤ 0. Получаем 5 ≤ 0. Это не верно. Значит, при А = 0 исходное неравенство решений не имеет.
(II) При A ≠ 0 исходное неравенство будем квадратным и графиком функции F (X) = Ax2 + 4Ax + 5 является парабола. Чтобы неравенство Ах2 + 4Ах+ 5 ≤ 0 не имело решений, надо, чтобы парабола была расположена выше оси абсцисс.
Запишем условия, соответствующие данному положению параболы.
A> 0.
D = 16A2- 4 ■ A ■5 = 16A2- 20A.
Решением неравенства D < 0 является промежуток (0; 1,25).
А> 0,
0 <А < 1,25.
Решением системы является промежуток (0; 1,25). Объединяем полученные решения и получаем ответ. Ответ: при A∈ [0; 1,25) неравенство не имеет решений.
Если приведенное квадратное уравнение X2 + Px + Q —0 имеет корни, то сумма корней этого уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену, т. е. если X1И X2— корни уравнения X2 + Px + Q —0, то
 |
 |
Задание 6. Найдите все значения параметра B, при которых уравнение
Х2— 2 Bx + B + 6 = 0
Имеет положительные корни.
Решение.
1-й способ
Чтобы квадратное уравнение имело корни, необходимо, чтобы дискриминант его был неотрицателен (D ≥ 0).
В каком случае оба корня положительны. Например, если и сумма корней положительна (X1 + X2> 0) и произведение корней положительно (X1■ X2> 0).
Пусть Х1и Х2корни уравнения, тогда, по теореме Виета: X1 + X2 = 2BИ X1■ X2= B + 6. И имеем систему неравенств:
 0, x1■ x2= b + 6 > 0, d ≥ 0;» width=»134″ height=»73″ class=»»/> |
 0,b > -6, 4b2- 4(b + 6) ≥ 0. » width=»126″ height=»69″ class=»»/> |
Решим квадратное неравенство:
4B2— 4B —24 ≥ 0,
B2— B —6 ≥ 0.
 |
Решением системы неравенств будет промежуток [3; + ∞).
2-й способ
Рассмотрим функцию F (X) = Х2— 2Bx + B + 6. Ее графиком является парабола. Изобразим параболы, удовлетво
 |
 |
Ряющие условиям задачи.
Запишем условия, соответствующие этому расположению парабол.
F (0) > 0,
D ≥ 0,
0.» align=»right» width=»34″ height=»23″ class=»»/>X
Решим каждое из этих неравенств.
F(0) = B + 6, B + 6 > 0, B > -6.
D = 4B2- 4(B + 6) ≥ 0, B∈ (-∞; — 2] U [3;+ оо).
 |
 |
| 0.» width=»34″ height=»23″ class=»»/> |
‘6 > -6,
6 ≤ -2, B > 3, B> 0.
232
Отметим решения каждого неравенства на координатной прямой и найдем пересечение решений.
Решением системы неравенств будет промежуток [3; + ∞).
Ответ: при B∈ [3; + ∞) уравнение имеет положительные корни.
Задание 7. Найдите все значения параметра Р, при которых разность корней уравнения X2 + Px + 12 = 0 равна 1.
Решение.
Пусть Х1и Х2корни уравнения (D = P2- 48, P2- 48 ≥ 0), тогда, по теореме Виета, имеем систему:
|
X1 |
+ x 2 |
= — P |
|
X1 |
■ X 2 |
12, |
|
X 1 |
— X 2 |
= 1. |
Выразим корни уравнения из первого и третьего уравнений через параметр Р и подставим во второе уравнение.
 |
 |
Решим квадратное уравнение относительно параметра Р.
(1-P)(1 + P) _ 12
4
1 — P2 = -48
P2 = 49
D = P2- 48. Так как P2 = 49, то D> 0, и уравнение имеет два корня 7 и (—7).
Ответ: при P = ±7 разность корней уравнения равна 1.
Расположение корней квадратного уравнения
относительно заданных точек
Задание 8. При каких значениях параметра А оба корня уравнения Х2— Ах+ 7 = 0 меньше 7.
Решение.
Рассмотрим функцию F (X) = X2— Ax + 7. Графиком данной функции является парабола. Изобразим параболу с указанными свойствами.
Рассмотрим дискриминант исходного квадратного уравнения:
 |
Запишем условия, соответствующие этому расположению параболы.
F (7) > 0,
D ≥ 0,
 |
 |
 |
 ///z/ //у/2√7 8 14 » width=»85″ height=»32″ class=»»/> |
Решим каждое из этих неравенств.
F (7) = 49 — 7A + 7 > 0, A < 8.
> 28, A ∈—∞;—2λ∕7] U |2у7;~xj.
< 7, A < 14.
Отметим решения каждого неравенства на координатной прямой и найдем пересечение решений.
Решением системы неравенств будет объединение промежутков (-∞; — 2/7 ] U [2√7; 8).
Ответ: при A∈ (-∞; — 2/7]U [2/7; 8^ оба корня уравнения меньше 7.
Задание 9. При каких значениях параметра А число 7 находится между корнями уравнения Х2— Ах+ 7 = 0.
Решение.
Рассмотрим функцию F(X) = Х2— Ах+ 7. Изобразим параболу, удовлетворяющую условиям задачи, и опишем соответствующие условия.
Чтобы число 7 разделяло корни уравнения, достаточно, чтобы F (7) < 0.
Решим неравенство F(7) = 49 — 7A + 7 < 0, А>8.
Ответ: при A > 8 число 7 находится между корнями уравнения Х2— Ах+ 7 = 0.
Задание 10. При каких значениях параметра А система уравнений
A + у = 0,5 A2X,
2X — у+ 2 = 0
1) не имеет решений; 2) имеет бесконечно много решений.
Решение.
Графиком каждого из уравнений системы является прямая. Две прямые на плоскости могут быть: 1) параллельными (система не имеет решения); 2) могут пересекаться (система имеет одно решение); 3) совпадать (система имеет бесконечно много решений).
Прямые Y = K1X + B1и Y = K2X + B2 1) параллельны, если KI = K2 и B 1 ≠ B2; 2) пересекаются, если K1≠ K2; 3) совпадают, если K1= K2и B1= B2.
Тема12. уравнения и Hepabehctbac параметром 235
Выразим в каждом уравнении системы переменную У.
A + Y = 0,5A2X, у = 0,5 A2X — A,
Сравним коэффициенты при Х. При равенстве коэффициентов при Х (угловых коэффициентов) прямые могут либо совпадать, либо быть параллельными.
0,5A2 = 2, A2 = 4, A = ±2.
При А = 2 имеем систему
‘у = 2X —2,
У = 2X + 2
И прямые параллельны (система не имеет решений).
При А = — 2 имеем систему
Y = 2X + 2,
У = 2X + 2
И прямые совпадают (система имеет бесконечно много решений).
Ответ: при А = 2 система не имеет решений; при А = — 2 система имеет бесконечно много решений.
ЛТр\ Уравнения и неравенства с модулем можно решать графически. Для этого выражения, содержащие параметр, переносят в одну часть уравнения (неравенства) и строят графики функций левой и правой частей уравнения (неравенства).
Задание 11. Решите уравнение |Х+ 3| — А|Х — 1| = 4 при А>0.
Решение.
| Х+ 3| — А\х — 1| = 4
| Х+ 3| — 4 = А | Х — 1|.
Будем строить в одной системе координат графики функций У =| Х+ 3| — 4и У = а\х — 1|.
Рассмотрим четыре случая: 1) A> 1; 2) A = 1; 3) 0 <A < 1; 4) А = 0.
Графики пересекаются в одной точке: (1; 0), т. е. при A> 1 Х = 1.
2) При A = 1 графики выглядят следующим образом.
При Х>1 графики совпадают, т. е. система имеет бесконечно много решений.
При A = 1 решением уравнения будет промежуток [1; + ∞).
3) При 0 <A < 1 графики выглядят следующим образом.
Графики пересекаются в двух точках. Одна точка имеет координаты (1; 0).
Чтобы найти координаты второй точки, надо решить систему
> + 3| — 4 = A∖C — 1|,
Х < -3.
Так как Х<—3, то модули выражений раскрываются следующим образом:
X + 3| = —(Х+ 3) = —х —3; χ— 1| = —(X— 1) = — Х+ 1.
Осталось решить уравнение:
—х —3 — 4 = A(—Х+ 1),
Ax — х = a + 7,
Х(A —1) = A + 7.
Так как 0 <A < 1 (поэтому A ≠ 1), то Х = A +^.
Итак, при 0 <A < 1 Х = 1 и Х = A +^.
4) При А = 0 график У = а|Х — 1| совпадает с осью абсцисс и уравнение имеет два решения. Решения можно найти из уравнения |Х+ 3| — 4 = 0.
Х+ 3| = 4
Х+ 3 = 4 или Х+ 3 = -4
Х = 1 или Х= -7
При А= 0 уравнение имеет два корня: 1 и —7.
Ответ: при A> 1 Х= 1; при A = 1 Х ≥ 1; при 0 <A < 1 Х= 1 и Х = A + 7; при А= 0 Х= 1 и Х = — 7.
A-1
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
ЧАСТЬ I
1. При каком значении параметра А корнем уравнения X — A = 0 является число 4?
Ответ:.
2. При каком значении параметра А корнем уравнения 5X — A = 0 является число 4?
Ответ:.
3. При каком значении параметра А корнем уравнения X2— 2X — A = 0 является число 4?
Ответ:.
4. При каких значениях параметра А уравнение X2 = A Не имеет решений?
Ответ:.
5. При каком значении параметра А уравнение 0X = A Имеет бесконечно много решений?
Ответ:.
6. При каком значении параметра А уравнение 0X = A Не имеет решений?
Ответ:.
7. При каком значении параметра А сократима дробь X-2?
X—A
Ответ:.
ЧАСТЬ II
Задания на 2 балла
8. При каком значении параметра А уравнение Ax = 3 не имеет решений?
9. При каком значении параметра А уравнение Ax = 1 — XНе имеет решений?
10. При каком значении параметра А уравнение Ax2= 0 Имеет бесконечно много решений?
11. При каком значении параметра А уравнение X = 0 Не имеет решений? X—A
12. При каких значениях параметра А неравенство Ax > 8 имеет бесконечно много решений?
13. При каком значении параметра А неравенство Ax > 8 не имеет решений?
14. При каких значениях параметра А сократима дробь X2—25?
X—A
15. При каких значениях параметра А сократима дробь 2
X2—A if x—5
16. При каких значениях параметра А сократима дробь
2 X x С\
X—A
17. При каких значениях параметра А уравнение X2— Ax + 16 = 0 имеет два различных корня?
18. При каких значениях параметра А уравнение X2— Ax + 16 = 0 имеет два корня?
19. При каких значениях параметра А уравнение X2— Ax + 16 = 0 не имеет корней?
Задания на 3 балла
20. При каком значении параметра А уравнение (A2— 4)X = A2 + A —6 имеет бесконечно много решений?
21. При каком значении параметра А уравнение (A2— 4)X = A2 + A —6 не имеет решений?
22. При каком значении параметра А неравенство 2Ax < 1 — XВыполняется для любых значений Х?
23. При каком значении параметра А неравенство X ■ A2< A + XНе имеет решений?
24. При каком значении параметра А неравенство X ■ A2< A + XВыполняется для любых значений Х?
25. При каком значении параметра А уравнение 2A(A —2)X = A —2 имеет бесконечно много решений?
26. При каком значении параметра А уравнение 2A (A —2)X = A —2 не имеет решений?
27. При каких значениях параметра А неравенство 2A (A— 2)X < A —2 не имеет решений?
28. При каких значениях параметра А неравенство 2A(A — 2)X > A —2 имеет бесконечно много решений?
29. При каких значениях параметра А неравенство 2A(A — 2)X ≥ A —2 выполняется для любых значений Х?
30. При каких значениях параметра BУравнение (2B— 5)X2— 2(B— 1)X + 3 = 0 имеет единственное решение?
31. При каких значениях параметра BУравнение (2B— 5)X2— 2(B— 1)X + 3 = 0 имеет два различных корня?
32. При каких значениях параметра А неравенство X2 + 2Ax + 1 < 0 не имеет решений?
33. При каких значениях параметра А множеством решений неравенства X2 + 2Ax + 1 ≤ 0 является отрезок?
34. При каких значениях параметра А множество решений неравенства X2 + 2Ax + 1 ≤ 0 состоит из одной точки?
35. При каких значениях параметра А неравенство X2— (A + 2)X + 8A + 1 > 0 выполняется при всех значениях Х ?
36. При каких значениях параметра А неравенство X2— (A + 2)X + 8A + 1 > 0 не имеет решений?
37. Найдите все значения параметра B, при которых уравнение Х2— 2Bx + B + 6 = 0 имеет отрицательные корни.
38. Найдите все значения параметра B, при которых уравнение Х2— 2Bx + B + 6 = 0 имеет корни разных знаков.
39. Найдите все значения параметра Р, при которых разность корней уравнения 2X2— Px + 1 = 0 равна 1.
40. Найдите все значения параметра Р, при которых отношение корней уравнения X2 + Px + 2 = 0 равно 2.
41. Найдите все значения параметра А, при которых оба корня уравнения Х2— Ах+ 4 = 0 лежат в промежутке (1; 4).
42. Найдите все значения параметра А, при которых 4 разделяет корни уравнения Х2— Ах+ 4 = 0.
43. Найдите все значения параметра А, при которых оба корня уравнения Х2— Ах+ 4 = 0 больше 4.
44. Найдите все значения параметра А, при которых оба корня уравнения Х2— Ах+ 4 = 0 отрицательны.
45. Найдите все значения параметра А, при которых разность корней уравнения Х2— Ах+ 4 = 0 равна 4.
46. Найдите все значения параметра А, при которых отношение корней уравнения Х2— Ах+ 4 = 0 равно 4.
47. При каких значениях параметра А система уравнений
A + у — 0,5A2X = 0,
8X — у+ 4 = 0
Имеет бесконечно много решений?
48. При каких значениях параметра А система уравнений
A + у — 0,5A2X = 0,
8X — у+ 4 = 0
Не имеет решений?
49. При каких значениях параметра А система уравнений
A + у —0,5A2X = 0,
8X — у+ 4 = 0
Имеет единственное решение?
Задания на 4 балла
50. При каких значениях параметра А неравенство Ax2- 4Ax— 3 ≤ 0 выполняется при всех значениях Х?
51. При каком значении параметра А неравенство Ax2+ (2A— 3) X + A ≥ 0 не имеет решений?
52. Найдите все значения параметра А, при которых 2 разделяет корни уравнения Ax2+ X + 1 = 0.
|
53. |
При |
Каких |
Значениях параметра |
А уравнение |
|
|
X |
— 1I |
+ I x |
— 3 I = A |
Имеет бесконечно много |
Решений? |
|
54. |
При |
Каких |
Значениях параметра |
А уравнение |
|
|
X |
— 1 1 |
+ I x |
— 3 I = A |
Не имеет решений? |
|
|
55. |
При |
Каких |
Значениях параметра |
А уравнение |
|
|
X |
— 1 1 |
+ I x |
— 3 I = A |
Имеет ровно два решения? |
56. Укажите число решений уравнения А | Х+ 3 | — 2| Х — 1| = 2
В зависимости от А при А> 0.
Тема 13. Планиметрия
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
A, B, C — стороны треугольника.
α, β, γ — углы треугольника, ∠A — угол, лежащий против стороны A, ∠B — угол, лежащий против стороны B, ∠C — угол, лежащий против стороны C.
HA, HB, HC— высоты треугольника, опущенные из вершин, соответственно на стороны A, B и C.
R — радиус окружности, описанной около треугольника.
R — радиус окружности, вписанной в треугольник.
P — периметр треугольника, P — полупериметр треугольника.
S— площадь многоугольника или круга
C — длина окружности.
Медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
Каждая медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.
Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис.
Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.
S = 1Aha , S = 1Bc sin A , S = —, S=Pr,
2 A 2 4 R
S = y∣P(P — A)(P — B)(P — C) (формула Герона)
—A— = —=— = —С— = 2R(теорема синусов) sin A sin B sin C
A2= B2+ C2- 2BcCos A(теорема косинусов)
Прямоугольный треугольник (A-катет, B-катет, C-гипотенуза)
В прямоугольном треугольнике A2+ B2= C2(теорема Пифагора).
Радиус окружности, описанной около прямоугольного C С Треугольника, равен половине гипотенузы: R =-^.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
В равнобедренном треугольнике три отрезка — высота, медиана и биссектриса, проведенные к основанию, равны.
D1и D2— диагонали четырехугольника.
S = 1DI D2sin ∠( D1, D2)
2
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника.
Противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны.
S = Aha, S = Ab sin(∠A, B), где А и B — смежные стороны параллелограмма, Ha— высота, проведенная к стороне А.
Имеет все свойства параллелограмма.
Диагонали прямоугольника равны.
S = Ab, где А и B — смежные стороны прямоугольника.
Имеет все свойства параллелограмма.
Все стороны ромба равны.
Диагонали ромба перпендикулярны и делят его углы пополам.
Имеет все свойства прямоугольника.
Стороны квадрата равны.
Диагонали квадрата перпендикулярны и равны.
Cα + B I, к
S =——— H, где А и B — основания трапеции,
2 H — ее высота.
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Sκpyra = πR2, где Г — радиус круга.
C = 2πR, где Г — радиус окружности.
Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, — прямой.
В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180°.
В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°.