Диагностическая работа /2 V3 •4,5. 0.» width=»89″ height=»26″ class=»»/> 5. Найдите…

Диагностическая работа

/2 V3

•4,5.

0.» width=»89″ height=»26″ class=»»/>

5. Найдите значение выражения Iogi х/7.

7

6. Найдите значение выражения 33 ∙ 71°67,8.

7. Найдите значение выражения

5 cos се-F — 3 sin се, если

2 sin се+ 7 cos се

TgcE = 1,5.

Действия с обыкновенными дробями

© Немного полезной информации

Вспомним, как производить простейшие вычисления с обыкновенными дробями. Чтобы перемножить дроби, нужно умножить их числители и записать результат в числитель, а потом перемножить знаменатели и результат записать в зна­менатель:

A d Cl’D ad

B с Ь — с Be’

5 5 5•5 25

76 7-6 42

Если числитель и знаменатель дроби делятся на одно и то же число, то на него обычно делят каждый из них и называют это «сократить дробь»:

20=20: 10=2

30 30:10 3′

. Иногда сокращение выполняют во время умножения дро­бей:

3 2 3’2 1•11

8 6 8-6 4-2 8’

Если дроби смешанные (с выделенной целой частью), то нужно их перевести в обыкновенные (состоящие только из числителя и знаменателя). Для этого целую часть умножают на знаменатель, прибавляют числитель и результат записы­вают в числитель, а знаменатель оставляют прежним:

„2 _ 3-5 + 2_ 17
5 5 5 ’

34 А =3-5 + 4 5_ 19 . _5_ = 1 > 5 * 19 5 19 5 ’19

Чтобы перевести неправильную дробь (числитель боль­ше знаменателя) в смешанную (выделить целую часть), нужно числитель разделить на знаменатель с остатком. Тогда непол­ное частное будет целой частью, остаток будет числителем, а знаменатель останется тем же:

IQ

—- = 19 : 5 = 3 (остаток 4),

19 _ ,4
5 5

Чтобы перевести обыкновенную дробь в десятичную, надо числитель разделить на знаменатель:

— = 6 : 25 = 0,24.

25

Десятичную дробь можно перевести в обыкновенную. На­пример, 0,201 читается как «ноль целых двести одна тысяч — ∏ 201

Ная». Пишем——— .

1000

Чтобы умножить обыкновенную дробь на десятичную, нужно или обыкновенную перевести в десятичную, или деся­тичную в обыкновенную:

2

I • 0,25 = 2:5- 0,25 = 0,4 ■ 0,25 = 0,100 = 0,1;

2 noκ 2 25 50 5 1

5 5 100 500 50 10

Чтобы разделить число на обыкновенную дробь, нужно в этой дроби поменять местами числитель со знаменателем и умножить число на полученную дробь:

α D _ а с _ ас
B с B D Bd‘

2 . 3 =2 4 = _8_

5 4 5 3 15′

Чтобы целое число записать в виде обыкновенной дроби, нужно записать его со знаменателем 1:

ιc о6 15 3-7+6 15 27 15 7 15-7

71 7 1 7 1 27 1*27

5-7 35

1-9 9 ’

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители и записать числитель новой дро­би, а знаменатель оставить прежним. Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно вычесть их числители и записать числитель новой дроби, а знаменатель оставить прежним. Если у дробей есть целая часть, то нужно сначала сложить или вычесть целые части:

5 _ 1 =5-1=4 =2

6 6 6 6 3’

5 5 5 5 5′

Можно при сложении и вычитании дробей сразу перевести все дроби в обыкновенные (без целой части):

„4 l o3 3-5 + 4 2-5 + 3 19 13 32 _2

3—h 2- =——————————— =——— 1— = — = 6-,

55 5 5 555 5

Сложить дроби с разными знаменателями можно двумя способами.

1 . Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительные множители так, чтобы новый знамена­тель был равен наименьшему общему кратному знаме­нателей исходных дробей. Сложим полученные дроби с одинаковым знаменателем:

3 _5_ =3ξ3+_5_Х2=3-3 5-2=9 + 10=19

8 12 8 12 8-3 12-2 24 24′

2 . Умножим числитель и знаменатель первой дроби на знаменатель второй и наоборот. Сложим полученные дроби с одинаковым знаменателем:

3 _5_ =3v2_5}8 =3-12 5-8 =36 40 =

8 + 12 8 + 12 8 • 12 + 12 • 8 96 + 96

=36 + 40=76 =19

96 96 24′

Разберём ещё пример сложения и пример вычитания дро­бей.

2 3 =2χ4+3Х5=2 • 4 l 3 ■ 5 _ 8 , 15 = 23 = 1 3 .

5 4 5 4 5 • 4 ~4 • 5 20 20 20 20’

22 _ 43 =2-3 + 2_ 4-4 + 3=8 _ 19 =8V_ 19ξ3= 34 3 4 3 434

32 _ 57 =57- 32= 25 =_2J_

12 12 12 12 12′

3.3ак.№225

8″»т Задачи с решениями

1. Найдите значение выражения Z + 4^ • 9,6.

Решение.

1) _Z + 42=_Z + 113±2 = _7 + 14 =

, 8 3 8 3 8 3

=_ZX3+ 14vL _21 112=112-21=91

8 + 3 “ 24 + 24 ” 24 24′

91 q r 91 q 6 91 96

‘ 24 24 10 24 10

Сокращаем 96 и 24, 96 : 24 = 4, 91 96 91-4 364 qc4 θβ. 24 10 10 10 10

Ответ:36,4.

Действия со степенями

© Немного полезной информации

Вспомним основные формулы.

An ∙ am = αn+m;

An : am = an~m;

(αn)m = Anm∙

(ab)m = ат ■ Bm∙

(a∖M_ а™

∖b∕ ~ bm’

&—т Задачи с решениями

2. Найдите значение выражения 57 ∙ 51° : 515.

Решение.

57 — 51° : 515 = 57+10~15 = 52= 25.

Ответ:25.

Х18∙ X1

3. Найдите значение выражения ——— при Х= 8.

Xм

Решение.

-1—~x~- = ajl8+7-20 = χ5= 85 = 8.8.8.8.8 = 64.64.8 = Xм

= 32 768.

Ответ:32 768.

4. Найдите значение выражения 29 ∙ Il6 : 226.

Решение.

29 ∙ Il6 ∙ 226 = 29‘116 = 29•116 = 29‘116 = 2! =

226 (2 ∙ Il)6 26 ∙ Il626

= 29~6 = 23= 8.

Ответ:8.

5. Найдите значение выражения 1212 • З2 : 99. Решение.

1212∙32: 99 = = — у 11-*∙ = Il4″1 = Il3 = 1331.

11 • З2 З2 • 11

Ответ:1331.

6. Найдите значение выражения 2vzi2~6 ∙ 23-v/l2.

Решение.

Ответ:0,125.

4.3«. Na 226

12 8

7. Найдите значение выражения 0,49 ∙ 59 ∙ IO9.

Решение. 12 8 1 1

0,49• 59 ∙ IO9 = (0,4 ∙ 52 ∙ IO8)9 = (0,4 • 25 ∙ IO8)9 = 1 1

= (10 ∙ IO8)9 = (109)9= IO1 = 10.

Ответ:10. 2 JL

8. Найдите значение выражения 9 7• 8114.

Решение. 2 _5_ 2 5 210 25 2,5 7

97∙8114 = 97∙(92)14 = 97∙914 = 97∙97 = 97 7 = 97 = 9.

Ответ:9.

A,-10 . a,-8

9. Найдите значение выражения ——— —— при Х= 5.

Х 19

Решение. ~-ю ~-8 ≡ ≡- = τ(-10)+(-8)-(-19) = a,-18+19 = a, l = a. = 5

τ^19

Ответ:5.

Действия с многочленами

Ф Немного полезной информации

Вспомним основные правила действий с многочленами.

Распределительный закон:

А • (Ь+ с — К) = Ab + ас — ак.

Этот закон позволяет не только раскрывать скобки, но и упрощать вычисления.

38 — 46 + 38 • 254 — 38 • 200 = 38(46 + 254 — 200) = = 38 • 100 = 3800.

Переместительные законы:

A — B + с — к = A + с — B — к,
а ∙ B: с — К = а ∙ B ■ к : с.

Если в примере написана алгебраическая сумма (то есть встречаются только знаки «+» и «—»), то слагаемые можно поменять местами, но перемещать их нужно вместе с тем зна­ком, который стоит перед слагаемым.

Например, 38 — 126 + 236 — 141 = 236 — 126 + 38 — 141 = = ПО + 38 — 141 = 148 — 141 = 7.

Если в примере есть только действия умножение и деление (и нет скобок), то есть встречаются только знаки «•» и «:», то числа можно поменять местами, но перемещать их опять-таки нужно вместе с тем знаком, который стоит перед числом.

Например, 64 : 9 • 45 : 16 = 64 : 16 • 45 : 9 = 4 • 45 : 9 = = 45 : 9 • 4 = 5 • 4 = 20.

8—т Задачи с решениями

10. Найдите значение выражения 3x(3x — 15) — 9×2 + Sx +11 при Х= 200.

Решение.

Упростим данное выражение.

3X(3X—15)-9×2 + 8x + ll = (3x)2-15∙3x-9×2 + 8x+ll = = 9ж2 — 45ж — 9ж2+ Sx + 11 = — 37х+ 11.

Подставим значение переменной Х= 200.

—37x + 11 = —37 • 200 + 11 = —7400 + 11 = —7389.

Ответ: —7389.

Пгт — (7α)2 — 7α

11. Найдите значение выражения δ—⅛———- .

7α2— a

Решение.

7α(7α — 1)_ 7a A(7a — 1) A

Ответ:7.

12. Найдите значение выражения

Решение.

3(3Ar3)2 ∙ (5Y)3_ 3∙32(Ar3)2∙53Y3_ 3⅛6 ∙ 5 V_
(15x2j∕)3 153(x2)V 33∙5⅛V

Ответ:1.

Решение.

3(⅜3)8 + 13(⅛6)4 3⅛24 + 13⅛24 16⅛24

Решение.

(25а2 — 4) • (——————- —=

V, ×5α-2 5a+ 2/

= (5a-2)(5a + 2)∙ (————- 5a + 2——————- 5a-_2——- =

1 }∖j5a-2)(5a + 2) (5a — 2)(5a + 2)y/

= (5a — 2)(5a + 2)5,° + 2~∫-^ = v a’ (5a-2)(5a + 2)

= (5a — 2)(5a + 2) 4 = 4.

(5a — 2J(J)CL ÷ 2)

Ответ:4.

16. Найдите -⅛¾ , если T(X) = (τ+⅞) (δτ+J) при Х≠ 0. . (1\ \ χ / ∖ χ/

Дх )

Решение.

Tf⅛) = (i + 5x) (⅞ + х^) = Kx∖

\х J \х J \х J v 7

T(x)_ T(x)_1

√1∖T{x)

Xх/

Ответ:1.

17. Найдите K(B) + K(J>-B),Если fc(6) = —— при B ≠ 2,5.

6 — 2,5

Решение.

Fc(5 — 6) = (5 ~ ~-(- = ^-~ ¾- = —K{B).

5 B 2,5 B

K(B) + fc(5 — 6) = K(B) — K(B) = 0.

Ответ:0.

18. Найдите f, если ——= 13. У 7X + 6Y

Делим числитель и знаменатель на У.

6‘Y~7

———— = 13,

7’⅞ + 6

6 • — — 7 = i3f7 • —+ б\

У \ У J

6∙g-7 = 9i∙g + 78, ⅛7 ⅛7

85∙≡ + 85 = 0,

2 = -1.

У

Ответ:-1.

19. Найдите —⅜⅛—lесли — = 2. Х + 2у+ 4 У

Решение.

Так как — = 2, то Х = 2у. Подставим 2у вместо Х в У

2х+ 5г/ + 9 выражение.

Х + 2у+ 4

4у + 5г/ + 9=9у+ 9=9 (г/ + 1)=9= 2 25

2г/ + 2г/ + 4 4г/ + 4 4(г/ + 1) 4

Ответ:2,25.

On тт — 9τ2 + Y2— (3τ + У)2

20. Найдите значение выражения —————— i——- ^z-

2ху

Решение.

Qx2 +Y2— (Zx + у)2 _ 9а:2+ Y2— (Qx2 + Qxy + у2) _ 2ху 2ху

Qx2 + Y2— Qx2— Qxy — Y2_ Qxy_ 2ху 2ху

Ответ: —Z.

N. 1τ u Ibabc — (-Zcab)

21. Найдите значение выражения ————- *——-

Решение.

L⅛Abc — (-Zcab)_ Ibabc + Zabc Qabc

Решение.

Сложим левые и правые части выражений Зя + У= 10 и 5у+ 18г = 2. Получим Зя + бу + 18г = 12. Разделим на 3, получим Х + 2у+ 6г = 4.

Ответ:4.

25. Найдите значение выражения 3fc(3τ) — 2K(X + 7) — 7х, Если К(х) = х — 14.

Решение.

£(3я) = Зя — 14. К[х+ 7) = я + 7 — 14 = я — 7. 3£(3я) — 2&(я + 7) — 7я =• 3(3я — 14) — 2(я — 7) — 7я = = 9я — 42 — 2я + 14 — 7я = 7я — 28 — 7я = —28.

Ответ: —28.

Действия с корнями

Ф Немного полезной информации

Вспомним основные формулы:

Т

NTyamk = ∖FcΓ‘,Если К нечётно и
N!ξ∕Amk = γ∕∣αm∣, если К чётно;

δ*τ Задачи с решениями

14 1Ux Ux

26. Найдите значение выражения —* vпри Х > 0.

Ux

Решение.

X4-I-I X4-X-X

= 14√8≡ 5 = 14√8 18 18

= 14×0 = 14.

Ответ:14.

27. Найдите значение выражения √4062— 2942.

Решение.

√4062- 2942 = √(406 + 294)(406 — 294) = √700∙112 = = √7 • 100 • 7 • 16 = 10 • 7 • 4 = 280.

Ответ:280.

28. Найдите значение выражения

Решение.

√Γ¾∙√8^1- /1,4 ∙8,4:/1,4 • 1,4_ 1,4. и √0> V °’06V °’01 ОД

Ответ:14.

29. Найдите значение выражения

Решение.

 

=(8 Л — √i)=(l Л)=(2Л):(⅜ Л)=2;I=6∙

Ответ:6.

30. Найдите значение выражения

Решение.

(2√3 — √5)2=12 —4√15 + 5=-4√15 + 17=~1 4√15-17 4√15 — 17 4√15-17

Ответ: —1.

31. Найдите значение выражения ι∕(α — 5)2 + γ∕(α — 7)2 при 5 <а < 7.

Решение.

∖∕(A— 5)2 + λ∕(α — 7)2 = |а — 5| + |а — 7|. Так как A > 5, то ∣α — 5∣ = A— 5. Так как A < 7, то |а — 7| = 7 — А. Значит, ∣α — 5∣ + |а — 7| = (а — 5) + (7 — а) = 7 — 5 = 2.

Ответ:2.

32. 0.» align=»right» width=»205″ height=»51″ class=»»/>

8-2>8 =» width=»238″ height=»39″ class=»»/>

Найдите значение выражения

= 5х°= 5.

Ответ:5.

Х> 0.

PeuieHue.

 

17^x-8^x = =3

35√Ξ 3^≡

Ответ:3.

34. Найдите —Д, если F(X) =-Угг (6 — Х) при ∣x∣ ≠ 3.

/(3 + Х)

Решение.

/(3 — я) = У(3 — х)(6 — (3 — я)) = У(3 — я)(3 + я),

/(3 + я) = ⅞∕(3 + τ)(6- (3 + я)) = У(3 + я)(3-я) =

Ответ:1.

Логарифмические выражения

Ф Немного полезной информации

Пусть α >О, α≠l, Х > 0. Тогда αlogβ* = Х.

Вспомним основные формулы.

Logα(ху) = IogaХ+ IogaУ, у > 0;

Loga(⅞) = loSa τ- l°gaУ, у > 0;

Lθga (zb) = 6 IogaX∖ logaδ (я) = 7 IogaХ\ о

1 1

IogaХ = , х≠ 1.

Iog1А

Пусть Ъ > O, B ≠ 1, Х > 0. Тогда IogaХ= 12g⅛Ξ

Iogba

8—г Задачи с решениями

35. Найдите значение выражения Iog7 4,9 + Iog710.

Решение.

Iog7 4,9 + Iog710 = log7(4,9 • 10) = Iog7 49 = log7(72) = 2.

Ответ:2.

36. Найдите значение выражения 621ogβ5.

Решение.

β21og65 _ θlog652= 52 _ 25

Ответ:25.

37. Найдите значение выражения 8log23.

Решение.

Giog23 _ (23)l0g23 = 231og23 = (2log23)3 = З3= 27.

Ответ:27.

38. Найдите значение выражения log0 25 8.

Решение.

Logo,25 8 = Iogi 8 = log2-2 23 = • 3 Iog2 2 = -1,5.

4 —2

Ответ: —1,5.

39. Найдите значение выражения Iog16 Iog3 9.

Решение.

Iog16 Iog3 9 = Iog16 2 = Iog24 2 = ∣ Iog22 = | = 0,25.

Ответ:0,25.

40. Найдите значение выражения logχ χ∕15. 15

Решение.

Logχ √15 = log15-ι 150,5= -1 • 0,5 ∙ Iog15 15 = —0,5. 15

Ответ: —0,5.

41. Найдите значение выражения ———— .

L°Sβ25 7

Решение.

Iog25 7=Iog25 7=Iog25 7= 1. 1 = L°g625 7 l°g252 7 1 У 2

Ответ:2.

42. Найдите значение выражения Iog113 ∙ Iog911.

Решение.

Log113.1og9ll = ⅛? = ⅛4 = ⅛li = 1 =0,5.

Iog119 Iog1132 2 Iog113 2

Ответ:0,5.

43. Найдите значение выражения 105 ∙ Iog4 vz4.

Решение.

1 1

105 ∙ Iog4^4 = 105 ∙ Iog443= 105 ∙ ± ∙ Iog4 4 = 35.

3

Ответ:35.

44. Найдите значение выражения (Iog2 32) ∙ (Iog3 27).

Решение.

(Iog2 32) — (Iog3 27) = (log2 25) ■ (Iog3З3) =

= (51og22) ■ (31og33) = 5 ■ 3 = 15.

Ответ:15.

У Iog3 18

45. Найдите значение выражения lo^∙ — .

Решение.

7 Iog3 18

1______ — у Iog318—Iog3 2 _ у Iog3 (18:2) _ у Iog3 9 _ у 2 _

7 Iog3 2

Ответ:49.

46. Найдите значение выражения /1 — Iog3 15)(1 — Iog515). Решение.

(1 — ⅛ 15)(1 — Iog5 15) = (Iog3 3 — Iog3 15) (Iog5 5 — Iog5 15) =

=(iog≡ ⅛) (ι°g= ⅜)=(ι°g4) (log4)=

= (- ⅛ 5)(- Iog5 3) = —Ц ∙ Iog5 3 = 1.

Iog5 3

Ответ:1.

Л-7 LJ — Iog5 50

47. Найдите значение выражения ————— .

2 + log52

Решение.

Iog5 50_ Iog5 50 _ Iog5 50_ Iog5 50_

2+ Iog5 2 Iog5 25 + Iog5 2 Iog5(25 • 2) Iog5 50

Ответ:1.

48. Найдите значение выражения -^7- + Iog5 0,25.

Iog7 5

Решение.

⅛4 + 1¾θ>25 = ⅛ 4 + Iog5 0,25 = log5(4 • 0,25) = Iog7 5

= Iog5 1 = 0.

Ответ:0.

49. Найдите значение выражения Iogyg 25.

Решение.

LoSy5 25 = (log√5 25)3 = (log5o,5 52)3 = M — • 2 ∙ Iog5 δ) = ‘v,0 ‘

= 43= 64.

Ответ:64.

Тригонометрические выражения

Cn u„ 32 (sin2 18° — coS2 18°)

50. Найдите значение выражения —————————— 1.

Cos 36°

Решение. 32(sin2 18° — Cos2 18°)_ —32(cos2 18° — Sin2 18°)_ cos 360 cos 36°

_ -32(cos36o)_ _

Cos 36°

Ответ: —32. . 3 cos35°

51. Найдите значение выражения.

Решение.

3 cos 35°_ 3 cos 35° _ 3 cos 35°_

Sin 55o ~ sin(90o — 350) ” cos 35°

Ответ:3.

52. Найдите значение выражения 14yz6 tg — cos —.

3 4

Решение.

14√6 tg j cos ∣ = 14√6 — √3 ∙ = 14√6 ∙ = 42.

Ответ:42.

53. Найдите значение выражения 3vz3 cos — cos 7π.

6 Решение.

3-√z3 cos cos 7π = 3-√z3 ∙ cos(6π + π) — ∣cosπ ≈

.9 Л к

— = -4,5.

2

Ответ: —4,5.

16

54. Найдите значение выражений ————г——— —-.

Sin( —cos

V 4 / 4

Решение. 16 =_____ 16 = sin (— cos sin cos

V 4 / 4 4 4

16 Sin^7π + cos(16π +

=———- lθ—— =——- lθ— = 16 : — = 16 ∙ 2 = 32.

— sin γ cos у √2 √2 2

4 4 —,—

2 2

Ответ:32.

55. Найдите значение выражения —5√3cos(-390°). Решение.

—5√3cos(-390o) = —5√3cos(390o) =

= —5√3cos(360o + 30°) = —5√3cos30o = -5√3 ∙ — = 2

Ответ: —7,5.

56. Найдите значение выражения 4√3tg(-750o).

Решение.

4√3tg(-750o) = —4√3tg(750o) =

= —4√3tg(720o + 30°) = —4√3tg30o = -4√3 ∙ = -4.

«v 5

Ответ: —4.

57. Нййдите значение выражения

Решение.

28 sin 316°=28 sin(360o— 44o)=28sin(-440) Sin 440 sin 44o sin 44o

28 sin 44o no

—————— = —2о.

Sin 44°

Ответ: —28.

Го и — 12tgl680

58. Найдите значение выражения ■- fc>-o■

Решение.

12Tgl68O=12Tg(180O— 120)=12⅛G(-12°)= tg 12o tg 12°

_ 12tg120_ _19 tg 12° Ответ: —12.

59. Найдите значение выражения

Решение. _________ 6_ _____________________________ sin2 220 + sin2112o sin2 220 + sin2(90o + 22°)

Sin2 22o + cos2(22°)

Ответ:6.

1 ( 3πλ

60. Найдите tgα, если cos а = —т= и а ∈ I π; — ).

√17 \ 2 /

Решение.

Tg2A = ————— 1 = 17 — 1 = 16. Так как A∈ fπ; —, то

Cos А \ 2 ‘

Tg а > 0, поэтому tg а = \/16 = 4.

Ответ: ⅛.

Варианты для самостоятельного решения

Вариант 1

Вариант 2

*,о -1Q

1. Найдите значение выражения 3 • 9

2. Найдите значение выражения

Rc-8 . χ6

3. Найдите значение выражения —zτ- при Х —28. Х Л

4. Найдите значение выражения (9а;2—25) •

Варианты для самостоятельного решения

Вариант 4

1. Найдите значение выражения 778 : Il7 : 76.

3. Найдите значение выражения

4. Найдите значение выражения

(13 — 2х)(13 + 2x) + 4z2 + 5х — 69 при Х= 68.

5. Найдите значение выражения Iog3 8 ♦ Iog2 27.

6. Найдите значение выражения 5log2s64.

7. Найдите значение выражения

8. Найдите tgα, если 3cosα+2sinα=θ sin A + 2 cos A

Вариант 5

1. Найдите значение выражения √5652— 4522.

2. Найдите значение выражения v.

3. Найдите 2G{Y} —10⅛∕ + 3, если G{Y} = 5у — 7.

ЛU “ (8~ 8χ

4. Найдите значение выражения g∣⅛——.

5. Найдите значение выражения 38 Iog25 vz5.

7

6. Найдите значение выражения ^l0g3-g.

7. Найдите значение выражения √3 tg 750°.

2 sin — β} + 3 сс

8. Найдите значение выражения——— —-÷5———- г

Cos(p — π)