А) Решите уравнение sin2x — 2 √ 3 siιΓx + 4cosx — 4√3 siαv = 0. Б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие…

А) Решите уравнение sin2x — 2 √ 3 siιΓx + 4cosx — 4√3 siαv = 0.

Б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Решение.

А) Преобразуем уравнение и разложим левую часть на множители:

2sinxcosx — 2√3 sin2v + 4cosx — 4√3 sinx = 0;

Cosx(sinx + 2) — v 3 sinx(sinx + 2) = 0;
(shiv + 2)(COS. V — \/3 sinv) = 0.

Уравнение sinx + 2 = 0 не имеет корней. Следовательно,

Costv — х 3 SlIlV = 0.

Если COSX = 0, то sinx = 0, это невозможно. Значит, cosx ≠ 0. Разделим обе части уравнения на √3 cosx. Получаем

Тогда х = — + πk, К∈ Z.

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте А или в пункте Б	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

С2 В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC точка M— середина ребра SA,Точка К — середина ребра SB.Найдите угол между плоскостями CMKИ АВС, если SC=8, AB=6.

Решение.

Проведем перпендикуляр СО к MK, О — середина MK.Из точки QОпустим перпендикуляр OPНа плоскость основания. Точка PЛежит на медиане CL Треугольника АВС. Прямая MKПараллельна прямой пересечения плоскостей, OP ± MKИ CQ ± MK.Следовательно, Z QCP— линейный угол искомого угла. Найдем OPИ СР:

SO = ∖SC2— CO2 = √82- (2√3 f = х 64 — 12 = 2√13;
QP = Lsθ = √13;

Значит, tg Z QCP = Zv Т √3 ■ 5

 

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ, или решение не закончено, или при правильном ответе решение недостаточно обоснованно	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Решите систему неравенств

( l°g3,v+1 (4* — О + Iog4v_6(3x + 1) ≤ 2, 16v — 12x-2∙9λ≤0.

Решение.

Решим первое неравенство:

Сделаем замену У —Log3γ+1(4x — 6):

Откуда У = 1 или У< 0.

Решение неравенства: — <х <

Решим второе неравенство. Разделим обе части на 9Л :

-2≤0.

Сделаем замену ∑ = Обратная замена:

. Получаем

2 ≤ 0:

Решением системы является общая часть решений двух неравенств. Учитывая, 3 7

Что 2 < Iog4 .^2 < 7, находим решение системы: — <л* <—.

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	3
Оба неравенства системы решены верно, но система решена неверно	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве системы	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

Ответ:

Площадь трапеции ABCDРавна 810. Диагонали пересекаются в точке О. Отрезки, соединяющие середину PОснования ADС вер­шинами В и С, пересекаются с диагоналями трапеции в точках MvlN, Найдите площадь треугольника MONiЕсли одно из оснований трапеции вдвое больше другого.

Решение.

Пусть AD = 2BC(рис. 1). Четырехугольники ABCPИ BCDP— Параллелограммы, поэтому MИ N— середины BPИ CPiЗначит, CMИ BN — Медианы треугольника BPC,Пусть H — высота трапеции. Положим BC = a, AD = 2a, OM = х. Тогда

^⅛-h = — ah = 810, Ah = 540,

2 2

А ОС= 2х, так как О — точка пересечения медиан треугольника BPCiПоэтому

AM=MC = 3x, OA=AM+OM=3x + x = 4x, — = —

OA 4х

Аналогично —- = —, значит, треугольник MONПодобен треугольнику AOD OD 4

С коэффициентом —. Следовательно,

’ ^AOD —77
Io

Рассмотрим случай, когда BC = 2AD(рис. 2). Пусть H — Высота трапеции.

Положим AD = A, BC = 2Ai AM= 3/. Тогда Ah = 540.

Треугольник A ODПодобен треугольнику COB с коэффициентом —, а

Треугольник AMP — треугольнику CMBС коэффициентом—————————————————————— = —. Тогда

BC 4

MC= 12/. AC = AM+MC = 15/, AO=5t. MO = It,

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	3
Рассмотрена хотя бы одна геометрическая конфигурация, для которой получено правильное значение искомой величины	2
Рассмотрена хотя бы одна геометрическая конфигурация, для которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки	1 —
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

Ответ:

72 или —. 5

Рис. 1

Рис. 2

К нулю, находим А =

X2 + 2х — 3 и У =| х + A ∣ +2A— 1. Из рисунка видно, что подходящих

Значений А ровно два — при одном из них график правой части проходит через точку (1; 0), при другом — касается отражённого участка параболы. Первое, очевидно, происходит при А= 0, а второе — когда уравнение

*) —

3 -2X—X~ ≈3A— \ +х имеет единственный корень. Приравнивая дискриминант

Л25

Ответ: 0; —

12

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
Получен верный ответ, но он недостаточно обоснован, или в обосновании содержатся мелкие неточности, например отсутстуют рисунки для различных значений параметра	3
Ход решения в целом верен, но ответ содержит посторонние числа, или найдено только одно из верных значений	2
Решение содержит верную геометрическую интерпретацию задачи или верный переход к равносильной системе без модулей, дальнейшие содержательные продвижения отсутствуют	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

В возрастающей последовательности натуральных чисел каждые три последовательных члена образуют либо арифметическую, либо геометрическую прогрессию. Первый член последовательности равен 1, а последний 2076.

А) Может ли в последовательности быть три члена?

Б) Может ли в последовательности быть четыре члена?

В) Может ли в последовательности быть меньше 2076 членов?

А) Нет, поскольку 1 + 2076 не делится на 2, а 2076 не является квадратом натурального числа.

Б) Последовательность не может быть арифметической прогрессией, поскольку 2076 — 1 не делится на 3.

Последовательность не может быть геометрической прогрессией, поскольку 2076 не является кубом натурального числа.

Если первые три члена образуют геометрическую прогрессию, а последние три — арифметическую, то эти числа: 1 , Q, Q2, 2Q2- Q9Но уравнение Iq2 —Q— 2076 = 0

Не имеет целых корней.

Если первые три члена образуют арифметическую прогрессию, а последние

Три — геометрическую, то эти числа: 1, А+ 1 и 2а

= 4а +

 

Не натуральное число.

В) Да, например 1, 2, 4, 6, 8,…, 2076.

Содержание критерия	Баллы
Верно решены все три пункта	4
Верно решены два пункта: А и б или бив	3
Верно решены два пункта: айв или один пункт Б	2
Верно решен только один из пунктов: А или В	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4