3.1. Планиметрия 3.1.1. Вписанная и описанная…

3.1. Планиметрия

3.1.1. Вписанная и описанная окружность, треугольник

657. В Треугольнике ABCСинус угла CРавен -, AC = 5, Радиус вписан — э

Ной в этот треугольник окружности равен 1. Найдите сторону ВС, если AB <АС.

658. Около равнобедренного треугольника ABC (АВ = ВС) с углом В, Равным 30°, описана окружность радиусом 7vz2. Её диаметр ADПересе­кает сторону BCВ точке Е. Найдите диаметр окружности, описанной око­ло треугольника AEC.

659. Окружность радиусом 15, вписанная в равнобедренный треугольник, делит боковую сторону этого треугольника в отношении 2 : 3, считая от вершины основания. Во сколько раз длина окружности, описанной около этого треугольника, превосходит число тг?

660. В равнобедренном треугольнике точка касания вписанной окружно­сти делит боковую сторону в отношении 2 : 5, считая от вершины ос­нования. Радиус окружности, вписанной в этот треугольник, равен 2√,5. Найдите боковую сторону.

661. Треугольник ABCВписан в окружность радиуса √z2. Его вершины делят окружность на три части в отношении 1:2:3. Найдите сторону правильного треугольника, площадь которого равна площади треугольни­ка АВС.

662. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС, считая стороны квадратных клеток равными 1 (см. рис. 287).

663. В четырёхугольник ABCDСо сторонами AB = 17, BC = 14 и CD = 22 вписана окружность (см. рис. 288). Найдите четвёртую сторону ч еты р ёху го л ь н и ка.

664. Четырёхугольник ABCDВписан в окружность. Угол ABCРавен 125°, угол CADРавен 55° (см. рис. 289). Найдите угол ABD.Ответ дайте в градусах.

Рис. 289.

665. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, ра­вен 8. Найдите высоту этого треугольника (см. рис. 290).

3.1.2. Прямоугольный треугольник

666. Площадь прямоугольного треугольника равна 24 см2, а его пери­метр — 24 см. Найдите радиус окружности, описанной около этого тре­угольника.

3.1.3. Треугольник

667. В треугольнике ABCТочка DДелит сторону ACНа отрезки AD = 4 и DC = 5, ABAC = 30o, AABD = AACB.Найдите площадь треуголь­ника ABD.

668. В равнобедренном треугольнике ABCУгол при вершине В ра­вен 120°. Расстояние отточки M, лежащей внутри треугольника, до осно­вания треугольника равно -⅛=, а до боковых сторон равно 3. Найдите АС.

Y 3

669. В треугольнике ABCСторона BCРавна 2√97, и она больше поло­вины стороны АС. Найдите сторону АВ, если медиана BMРавна 12, а площадь треугольника ABCРавна 96.

670. В треугольнике ABCСторона ABРавна 10, угол А — острый. Най­дите медиану BAI,Если AC = 20, а площадь треугольника ABCРавна 96.

671. На сторонах ABИ BCТреугольника ABCВзяты соответственно точ­ки MИ NТак, что AM : MB = 3 : 4 и BN : NC = 3:5. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника MNAРавна 9.

672. На сторонах ABИ BCТреугольника ABCВзяты соответственно точ­ки MИ NТак, что AM : MB = 2 : 3 и BN : NC = 4:9. Найдите площадь четырёхугольника AMNC,Если площадь треугольника ABCРавна 130.

673. В треугольнике ABCНа стороне ACВзята точка DТак, что длина 13

Отрезка ADРавна 3, косинус угла BDCРавен —, а сумма углов ABCИ

ADBРавна л. Найдите периметр треугольника АВС, если длина стороны BCРавна 2.

674. Отрезки KPИ MHИмеют равные длины и пересекаются в точке О Так, что KH Il MP, ОН = 4, OM = 5. Найдите отношение периметров треугольников OKMИ OHP.Отрезки KPnMHИмеют равные длины и пересекаются в точке О так, что KH ∣∣ MP, ОН = 4, OM = 5. Найдите отношение периметров треугольников OKMИ OHP.

675. В треугольнике ABCМедианы ADИ BEПересекаются под пря­мым углом. Найдите сторону ABЭтого треугольника, если AC = 30 и BC = 12√5.

676. Дан треугольник АВС. Известно, что AC = 10, BC = 12 и ACAB = 2АСВА. Найдите длину стороны АВ.

677. В Треугольнике ABCС тупым углом В И со стороной BCДлиной 5 проведена биссектриса BD.Площади треугольников ABDИ BCDРавны 60√2 50√2 „ _

Соответственно ■ ■ ■ и. Найдите длину стороны АС.

678. В равнобедренном треугольнике длина основания равна 6, а диаметр вписанной окружности равен 2. Найдите радиус описанной около данного треугольника окружности.

679. В равнобедренном треугольнике ABCС основанием BCВысоты BB1 И CCi пересекаются в точке М, при этом AB1—24, BB1 = 32. Найдите площадь треугольника ABM.

680. В Равнобедренном треугольнике KLMС основанием KMВысоты LPИ KBПересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника KLO, Если LO = 5, PO = 4.

681. В AABC AA —30°, точка О — центр вписанной в AABCОкружно­сти. Прямые АО и ВО пересекают описанную вокруг AABCОкружность в точках MИ NСоответственно. Найдите величину угла C в градусах, если известно, что AM = MN.

682. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к боковой стороне, делит её в отношении 5 : 8, считая от вершины. Найдите длину основания данного треугольника, если радиус его вписанной окружности равен 2.

683. В равнобедренном треугольнике ABCС равными сторонами ACИ CBИ углом при вершине С, равным 120°, проведены биссектрисы AMИ BN,Равные 5. Найдите площадь четырёхугольника ANMB.

684. В равнобедренном треугольнике ABCС равными сторонами ACИ CBИ углом при вершине С, равным 120°, проведены биссектрисы AM И BN.Найдите длину биссектрисы BN,Если площадь четырёхугольника ANMBРавна 12,25.

685. В прямоугольном треугольнике ABCС прямым углом В проведена биссектриса CD.Найдите площадь треугольника ACD,Если CB = 6, BD = 3.

686. В треугольнике ABCПроведена биссектриса ADУгла ВАС, равного 60°. Известно, что BC = 6, CD = 2. Определите градусную меру угла АВС.

687. В равнобедренном треугольнике с острым углом при вершине бо­ковая сторона равна 25, а его площадь равна 300. Найдите основание треугольника.

688. Биссектриса AMТреугольника ABCДелит сторону CBНа отрезки CM = 10 и MB = 14. ABРавно 21√2. Найдите радиус описанной вокруг NABCОкружности.

689. На координатной плоскости заданы точки А(—1; 3), В(2; —3), С(—1; —4). Вычислите площадь треугольника АВС.

690. На координатной плоскости заданы точки A(0; 1), В(3;2), С(3;5). Вычислите площадь треугольника АВС.

691. В равнобедренном треугольнике PKMС основанием PMБоковая λ∕ι ∩5

Сторона PKРавна 13, a cos P = Y∙. Найдите высоту, проведённую к основанию.

692. В треугольнике ABCУгол CРавен 90o, cos А = ∣, AB = 20. Найди­те ВС.

693. В треугольнике ABCУгол CРавен 90o, cos В = ∣, AB = 15. Найди­те АС.

694. В треугольнике ABCУгол CРавен 90o, AB = 10, BC == 8. Найди­те cos А.

695. В треугольнике ABCУгол CРавен 90o, AB —29, BC = 21. Найди­те tg А.

696. В треугольнике ABC AB = 8, AA — АВ,Cos А — . Найдите бис — О

Сектрису СВ.

697. В треугольнике ABC AC = BC = 10, cos А= 0,6. Найдите площадь треугольника АВС.

698. В равнобедренном треугольнике ABCС основанием ACБоковая сто­рона равна 22, a cos C = -^∙ Найдите высоту, проведённую к основанию. 699. В равнобедренном треугольнике ABCС основанием ACБоковая сто­рона ABРавна 8, а высота, проведённая к основанию, равна 3-√z7∙ Найдите косинус угла А.

700. В прямоугольном треугольнике ABC AC = 90o, AB = √T3, AC = 3. Найдите ctg AA.

701. В треугольнике ABC AC = 90o, AC = 3, BC = 3-√z3- Найдите sin АВ.

702. В треугольнике ABC AC = 90°, sin В = 0,2, BC = 6-√z6∙ Найди­те АС.

703. В прямоугольном треугольнике ABCС прямым углом C AB = 25, cos А —0,28. Найдите ВС.

704. В треугольнике ABC AC = ВС, AB = 10, sin А = Найдите J. О

Высоту CH.

705. В треугольнике ABC AC = 90o, AB = 12,5, BC = 12. Найдите косинус внешнего угла при вершине А.

706. В прямоугольнике ABCDСторона AB = 1,6, а диагональ прямо­угольника равна 2. Найдите синус угла ACD.

707. В тупоугольном треугольнике ABC AB — ВС, CH — высота, AB = 2,5, BH = 2. Найдите косинус угла АВС.

708. В тупоугольном треугольнике ABC AB = ВС, AB —13, высота CH Равна 5. Найдите котангенс угла АВС.

709. В треугольнике ABC AB = ВС, AC = 26, CH — высота, АН = 10. Найдите тангенс угла ACB.

710. В треугольнике ABC AC = 90o, CH — высота, BC = 8, BH = 2-√z7∙ Найдите cos AA.

711. В треугольнике ABC(см. рис. 291) угол В равен 90o, BC = 5, tg AC = 2,4. Найдите АС.

С/15

712. В треугольнике ABCУгол CРавен 90o, cos AB = . Найдите си­

Нус внешнего угла при вершине В.

Cl>∖

β□ —

Рис. 291.

713. В равнобедренном треугольнике ABCС основанием ACБоковая сто — \/3

Рона AB = 10, cos AA — . Найдите высоту, проведённую к основанию.

714. В треугольнике ABC AC = BC = 16, sin AB = . Найдите АВ.

7

715. В треугольнике ABCУгол CРавен 90o, sin Z√l = —, AB = 144.

Найдите ВС.

716. В треугольнике ABCУгол CРавен 90o, AB = √74, AC = 5. Найдите котангенс угла В.

717. В тупоугольном треугольнике ABC AB = ВС, AC = 8, высота CH = √28. Найдите косинус угла ACB.

718. В треугольнике ABCУгол CРавен 90o, sin Л = 0,2, AC = 6√6. Найдите ВС.

719. В треугольнике ABCУгол CРавен 90°. Найдите синус внешнего угла при вершине А, еслиTg А =

720. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 3, а косинус угла при вершине равен —0,28. Найдите радиус вписанной в него окруж­ности.

721. В треугольнике ABCУгол CРавен 90o, BC = 5, tg А = Най­дите высоту CH.

722. В треугольнике ABCУгол CРавен 90o, CH — высота, BC = 8, sin A = i. Найдите АН. C

723. Боковая сторона равнобедренного треугольника / \ равна 9 (см. рис. 292). Из точки, взятой на основании / лЛ этого треугольника, проведены две прямые, параллель — Щ /\ Ные боковым сторонам. Найдите периметр получивше — / \ / \ гося параллелограмма CLDK. A1£>1β

724. В треугольнике ABC AC = СВ, АН — высота, sin ABAC = 0,2. Найдите cos АВАН. Рис’

725. В Треугольнике ABC AC = BC —9, Cos А = Найдите высо­

Ту CH.

726. В Треугольнике ABCУгол А равен 64°, угол В равен 80o. AL, BNИ CK — биссектрисы, пересекающиеся в точке О (см. рис. 293). Найдите угол AOK.Ответ дайте в градусах.

727. Острые углы прямоугольного треугольника равны 38° и 52°. Найдите угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла (см. рис. 294). Ответ дайте в градусах.

728. Сумма двух углов треугольника и внешнего угла к третьему равна 70°. Найдите третий угол треугольника. Ответ дайте в градусах.

729. В Треугольнике ABCУгол CРавен 90o, AB = 30, AC = 18. Найдите синус внешнего угла при вершине А.

729.1.1. Параллелограмм. Квадрат. Ромб

730. В Параллелограмме ABCDБиссектрисы углов В и CПересекаются в точке L,Лежащей на стороне AD.Найдите периметр параллелограмма ABCD,Если известно, что CL = 12, а площадь ЛАВ LРавна 15.

731. В параллелограмме ABCDБиссектрисы углов В и CПересекаются в точке L,Лежащей на стороне AD.Найдите площадь параллелограмма ABCD,Если известно, что BL = 6, а периметр ΛCDLРавен 18.

732. В Параллелограмме ABCDБиссектрисы углов В и CПересекают сторону ADВ точках LnKСоответственно. Найдите площадь паралле­лограмма ABCD,Если известно, что BL = 6, CK = 8 И AB : AH = I : 3.

733. В параллелограмме ABCDБиссектрисы углов В и CПересекают сторону ADВ точках LИ К соответственно. Найдите площадь паралле­лограмма ABCD,Если известно, что BL= 5, CK = 12 и AB -.AD= 2 : 3.

734. В Параллелограмме ABCDТочка MЛежит на прямой CD.Через точку пересечения диагоналей параллелограмма О и точку MПроведена прямая, которая пересекает BCВ точке EИ ADВ точке F.Найдите отно­шение площадей Sefcd ‘■ Secm,Если ЕС : FD = 2:1.

735. В Параллелограмме ABCDЧерез точку пересечения диагоналей про­ведена прямая, которая отсекает на сторонах BCИ ADОтрезки BE = 1,6 и AF = 6,4. M — точка пересечения прямых ABИ EF.Найдите периметр треугольника ABD,Если BM = 1 и ABAD = 60°.

736. В Параллелограмме ABCDБиссектриса угла DПересекает сторону ABВ точке К и прямую BCВ точке Р. Найдите периметр треугольника BKP,Если DC = 10, PK = 6, DK = 9.

737. В Параллелограмме ABCDБиссектриса угла В пересекает сторону CDВ точке MИ прямую ADВ точке N.Найдите периметр треугольника ABN,Если MD = 5, MN = 4, BM = 6.

738. В Параллелограмме ABCDПроведена высота CHК стороне AD.Ко­

Синус угла А равен — , а сторона ABРавна 2-√z5. Прямая BHДелит

О

Диагональ ACВ отношении 3 : 5, считая от вершины А. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

739. В Параллелограмме ABCDБиссектриса угла DПересекает стороны ABВ точке NИ прямую BCВ точке М. Найдите длину отрезка CN,Если DC = 3√3, MD = 9, BN = √3.

740. Определите синус острого угла параллелограмма, если его высоты равны 5 и 7, а периметр равен 48.

741. Определите тангенс острого угла параллелограмма, если его высоты равны 3√2 и 5√2, а периметр равен 32.

742. Дан ромб ABCDС острым углом при вершине А. Площадь ромба

Равна 135, a sin AA =Высота DKПересекает диагональ ACВ точке L. О

Найдите длину отрезка DL.

743. В параллелограмме ABCD AB = 20, sin C = -. Высота, опущен — О

Ная из вершины В, пересекает сторону ADВ точке Н. Найдите площадь треугольника ABH.

744. В параллелограмме ABCD AB = 20, cos А = . Высота, опущен — D

Ная из вершины D,Пересекает сторону BCВ точке Н. Найдите площадь треугольника CDH.

745. В Параллелограмме ABCDС острым углом C sin А= 0,28. Найди­те cos В.

746. Найдите площадь ромба, если его высота равна √2, а тупой угол 150°.

747. Диагонали четырёхугольника равны 6 и 9 (см. рис. 295). Найдите пе­риметр четырёхугольника, вершинами которого являются середины сто­рон данного четырёхугольника.

Рис. 295.

748. Диагонали ромба относятся как 3 : 4. Периметр ромба равен 300. Найдите высоту ромба.

748.1.1. Трапеция

749. Средняя линия трапеции равна 10 и делит площадь трапеции в отно­шении 3 : 5. Найдите длину большего основания трапеции.

750. В равнобедренной трапеции длины оснований 21 и 9, а длина высоты 8. Найдите диаметр описанной около трапеции окружности.

751. Основания трапеции равны 10 и 5, а диагонали — 9 И 12. Найдите площадь трапеции.

752. В трапецию ABCD с прямым углом BADВписана окружность ради­уса 5. Найдите среднюю линию трапеции, если угол между ней и боковой стороной CDТрапеции равен 30°.

753. В Трапеции ABCD с основаниями ABИ CDДиагонали ACИ BD Равны 18 и 16 соответственно. На диагонали ACКак на диаметре построе­на окружность, пересекающая прямую ABВ точке К. Найдите длину AK, Если известно, что ACABВ два раза меньше AABD.

754. В трапеции ABCDС основаниями ABИ CDДиагонали ACИ BD Равны 12 и 10 соответственно. Найдите площадь трапеции, если ACABВ два раза меньше AABD.

755. Прямоугольная трапеция описана около окружности. Точка касания делит боковую сторону трапеции на отрезки длиной 2 и 8. Найдите пери­метр трапеции.

756. В Трапеции ABCDОтношение длин оснований ADИ BCРавно 3. Диагонали трапеции пересекаются в точке О, площадь треугольника AOB Равна 6. Найдите площадь трапеции.

757. В Трапеции ABCDОтношение длин оснований ADИ BCРавно 2. Диагонали трапеции пересекаются в точке О, площадь треугольника BOC Равна 3. Найдите площадь четырёхугольника BOCP,Где P — точка пе­ресечения продолжений боковых сторон трапеции.

758. Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, а длина её средней линии равна 9. Найдите длину отрезка, соединяющего середины основа­ний трапеции.

759. Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 17 соответственно, боковые стороны равны 13. Найдите тангенс острого угла трапеции.

760. Меньшее основание равнобедренной трапеции равно 3, высота тра­пеции равна 5. Котангенс острого угла равен 1,4. Найдите большее осно­вание.

761. Большее основание равнобедренной трапеции равно 27, боковая сто­рона равна 25. Синус угла при основании трапеции равен 0,96. Найдите меньшее основание.

762. В Равнобедренной трапеции косинус острого угла равен а основа­ния равны 5 и 9. Найдите боковую сторону трапеции.

763. Высота равнобедренной трапеции равна 4yz3, а продолжения боко­вых сторон пересекаются на расстоянии 6yz3 от большего основания под углом 60°. Найдите сумму оснований трапеций.

764. Основания трапеции равны 5 и 7. Найдите отрезок, соединяющий се­редины диагоналей трапеции (см. рис. 296).

765. Основания равнобедренной трапеции равны 11 и 27. Боковые сторо­ны равны 17. Найдите тангенс острого угла трапеции.

3.1.6. п-угольники

/λ∕g λ∕9 \

766. Около окружности, радиус которой равен 3( —h описан

Правильный двенадцатиугольник. Найдите радиус окружности, описанной около этого двенадцатиугольника.

766.1.1. Окружность, касательная, секущая

767. Хорды окружности ACИ BDПерпендикулярны и пересекаются в точке P. PH — высота треугольника ADP.Угол ADP = 30°, АН = 2, PC —6. Найдите отношение площади треугольника ADCК площади тре­угольника АВС.

768. Радиусы двух пересекающихся окружностей равны 3 и 4. Расстояние между их центрами равно 5. Определите длину их общей хорды.

769. Пусть MNИ KF — диаметры окружности с центром в точке О (см. рис. 297). Угол MKFРавен 38°. Найдите угол FON.Ответ дайте в гра­дусах.

Рис. 297.

770. В окружность радиуса 11 вписан квадрат, в который также вписа­на окружность. Во внутреннюю окружность вписан прямоугольный тре­угольник с тангенсом одного из углов, равным 7. Найдите площадь этого треугольника.

771. Хорда BCДелит окружность радиуса 14 на две части, градусные ве­личины которых относятся как 6 : 30 (см. рис. 298). Найдите хорду ВС.

772. Угол ACBРавен 26°. Градусная величина дуги ABОкружности, не содержащей точек KnL,Равна 80° (см. рис. 299). Найдите угол KAL. Ответ дайте в градусах.

3.1.8. Разные задачи

773. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см × 1 см изображён от-

774. Найдите произведение длин векторов ABИ AC(см. рис. 301).

Рис. 301.

775. Найдите длину медианы AMТреугольника ABC(см. рис. 302).

776. На клетчатой бумаге 1cm×1см изображена трапеция (см. рис. 303). Найдите её площадь в см2.

777. На клетчатой бумаге с клетками 1 cm×1см изображён треугольник (см. рис. 304). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

778. На клетчатой бумаге с клетками 1 cm×1см изображён четырёхуголь­ник (см. рис. 305). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

779. Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис. 306). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

780. Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис. 307). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

781. Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1см × 1см (см. рис. 308). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

782. Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис. 309). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

783. Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (рис. 310). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

784. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 cm×1см изображён тре­угольник (см. рис. 311). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

785. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 cm×1см изображена тра­пеция (см. рис. 312). Найдите её площадь в квадратных сантиметрах.

Рис. 312.

 

786. Найдите площадь треугольника (см. рис. 313), вершины которого имеют координаты (0; 0), (5; 6), (9; 4).

787. Найдите площадь параллелограмма (см. рис. 314), вершины которого имеют координаты (2; 4), (2; 7), (10; 1), (10; 4).

788. Найдите площадь четырёхугольника (см. рис. 315), вершины кото­рого имеют координаты (2; 6), (3; 1), (9; 7), (10; 2).

789. Найдите площадь трапеции (см. рис. 316), вершины которой имеют координаты (2;3), (2; 5), (10; 1), (10; 7).

790. Найдите площадь трапеции (см. рис. 317), вершины которой имеют координаты (2; 1), (3; 6), (8; 6), (11; 1).

791. Найдите площадь четырёхугольника (см. рис. 318), вершины которо­го имеют координаты (2; 2), (6; 7), (9; 1), (13; 4).

792. Найдите площадь четырёхугольника (см. рис. 319), вершины которо­го имеют координаты (2; 3), (8; 6), (12; 1), (12; 3).

793. На клетчатой бумаге с размером клетки 1cm×1см изображён квад­рат (см. рис. 320). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

794. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 cm×1см изображён ромб (см. рис. 321). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

795. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 cm×1см изображён четы­рёхугольник (см. рис. 322). Найдите его площадь в квадратных сантимет-

 

796. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 cm×1см изображён парал­лелограмм (см. рис. 323). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

797. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 cm×1см изображён параллелограмм (см. рис. 324). Найдите его площадь в квадратных сан­тиметрах.

798. Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 cm×1см (см. рис. 325). Ответ дайте в квад­ратных сантиметрах.

799. Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 смх! см (см. рис. 326). Ответ дайте в квад­ратных сантиметрах.

Рис. 326.

 

800. Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты (2; 3), (4; 7), (7; 7), (10; 3) (см. рис. 327).

801. Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого имеют коор­динаты (0; 5), (4; 7), (7; 0), (И; 2) (см. рис. 328).

802. Найдите площадь ромба, изображённого на клетчатой бумаге с раз­мером клетки 1 см × 1 см (см. рис. 329). Ответ дайте в квадратных санти­метрах.

Рис. 329.

803. Найдите площадь трапеции, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис. 330). Ответ дайте в квадратных сан­тиметрах.

804. Найдите сумму координат вектора A — B(см. рис. 331).

805. Диагонали ромба ABCDПересекаются в точке О и равны 1,5 и 2. > >

Найдите длину вектора АО + DO(см. рис. 332).

806. Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты (1; 0), (1; 8), (8; 3), (8; 7) (см. рис. 333).

807. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см изображена фи­гура (см. рис. 334). Найдите её площадь в квадратных сантиметрах.

808. Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координа­ты (2; 2), (2; 6), (10; 3) (см. рис. 335).

809. Найдите синус угла AOB(см. рис. 336). В ответе укажите значение синуса, умноженное на ∙√z13.

810. Найдите площадь параллелограмма, вершины которого имеют коор­динаты (0; 1), (1; 6), (7; 5), (6; 0) (см. рис. 337). 811. Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге

812. Найдите площадь прямоугольника, изображённого на клетчатой бу­маге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис. 339). Ответ дайте в квадрат­ных сантиметрах. 813. Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты (3; 1), (7; 1), (7; 7), (9; 7) (см. рис. 340).

 

814. Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого имеют коор­динаты (0; 9), (3;3), (6; 1), (10; 5) (см. рис. 341).

815. Найдите площадь закрашенной фигуры на координатной плоскости

816. Найдите абсциссу середины отрезка, соединяющего точки Л(2; —1) и В(-5;3) (см. рис. 343).

817. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см изображена за­штрихованная фигура (см. рис. 344). Найдите её площадь SВ квадратных 5

Сантиметрах. В ответе запишите —.

818. Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого имеют коор­динаты (-4; 0), (-2; 8), (2; 3), (5; 5) (см. рис. 345).

Рис. 345.

 

819. Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис. 346). Ответ дайте в квад-

 

820. Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис. 347). Ответ дайте в квад­ратных сантиметрах.

821. Площадь сектора круга радиуса 4 равна 9 (см. рис. 348). Найдите длину его дуги.

822. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника, верши­ны которого имеют координаты (—4; —2), (—4; 4), (4; 4) (см. рис. 349).

822.2. Стереометрия

822.2.1. Пирамида

823. Боковые рёбра правильной четырёхугольной пирамиды равны 5, сто­рона основания равна 8 (см. рис. 350). Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Рис. 350.

824. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые рёбра равны 13 (см. рис. 351). Найдите площадь боковой поверх­ности этой пирамиды.

825. Объём первой пирамиды равен 24 м3. У второй пирамиды площадь основания в 6 раз больше, чем площадь основания первой пирамиды, а высота второй пирамиды в три раза меньше, чем у первой. Найдите объём второй пирамиды. Ответ дайте в кубических метрах.

826. Найдите сторону основания правильной треугольной пирамиды, если боковое ребро равно 16, а высота пирамиды равна 8.

827. Найдите боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды, если сторона основания равна 6, а высота равна 3χ∕14.

828. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие наклонены к плоско­сти основания под углом 30°. Высота пирамиды равна 5. Найдите объём пирамиды.

829.

Диагональ ACОснования правильной четырёхугольной пирамиды SABCDРавна 24. Длина бокового ребра равна 13 (см. рис. 352). Най­дите высоту SO.

830. Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все рёбра увеличить в 1,7 раза?

831. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, если сторона ос­нования равна 18, а апофема равна 14.