Пусть на плоскости имеется конечная последовательность отрезков; у каждого отрезка один из концов назовем Началом. Если начало второго отрезка совпадает с концом первого, начало третьего — с концом второго и т. д., то совокупность (объединение) этих отрезков называется Ломаной (при этом предполагается, что никакие два соседних отрезка не лежат на одной прямой). Отрезки, составляющие ломаную, — Звенья, концы отрезков — Вершины ломаной (ломаная A1A2… A8на рис. 158, а). Ломаная называется Простой, Если она не имеет самопересечений; Замкнутой, если конец последнего отрезка совпадает с началом первого отрезка (рис. 158, Б).
Ломаная Простая замкнутая ломаная
А) Б)
Многоугольник — это простая замкнутая ломаная. Звенья ломаной — Стороны, вершины ломаной — Вершины многоугольника. Многоугольник с и сторонами называется П-угольником. Многоугольником также называется часть плоскости, ограниченная простой ной (плоский многоугольник). Периметр Многоугольника — сумма длин его сторон.
Многоугольник называется Выпуклым (рис. 159), если он лежит по одну сторону относительно прямой, содержащей любую его сторону.
Углы (внутренние) выпуклого многоугольника — это углы, образованные соседними сторонами. Число углов многоугольника равно числу сторон и числу вершин. Среди углов Невыпуклого многоугольника имеется хотя бы один угол, больший 180°.
Теорема 13.1. Сумма углов выпуклого п-угольни — ка равна
(п — 2)180°.
Доказательство. Соединим диагоналями вершину A1Выпуклого п-уголь — ника (рис. 160) с другими вершинами. Получим П — 2 треугольника, сумма углов которых равна сумме углов п-угольника. Сумма углов каждого треугольника равна 180°, поэтому сумма углов многоугольника A1A2 …AnРавна (и — 2) • 180°.
Теорема доказана.
■ Пример 13.1. Найти сумму углов выпуклого семиугольника.
Решение. По доказанной теореме искомая сумма равна (7 — 2)180° = 5 • 180° = 900°.
■ Пример 13.2. Найти углы выпуклого пятиугольника, если они пропорциональны числам 1, 3, 5, 7, 11.
Окружность описана Окружность вписана
Около многоугольника в многоугольник
А) Б)
Рис. 161
Решение. Сумма углов выпуклого пятиугольника равна
(5 — 2) • 180° = 3 • 180° = 540°.
Приняв за Х меньший из углов, составим уравнение:
Х + 3X + 5X + Ix + Ilx = 540, откуда Х = 20. Таким образом, углы пятиугольника равны 20°, 60°, 100°, 140°, 220°.
Многоугольник называется Вписанным в окружность, если все его вершины лежат на некоторой окружности. В этом случае также говорят: «Окружность описана около многоугольника» (рис. 161, А).
Многоугольник называется Описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности. В этом случае также говорят: «Окружность вписана в многоугольник» (рис. 161, ¢).
13.3. Правильный многоугольник
Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.
Примеры правильных многоугольников: правильный (или равносторонний) треугольник, квадрат, правильные пятиугольник, шестиугольник и т. д. На рисунке 162 изображены правильные пятиугольник и шестиугольник.
Так как сумма внутренних углов выпуклого п-угольника равна (и — 2)180°, то каждый внутренний угол правильного n-угольника равен
■ Пример 13.3. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, каждый из внутренних углов которого равен 135°?
Решение. По условию задачи составим уравнение
—- -180 = 135,
п
Или
(n — 2)180 = 135n,
Откуда 45п = 360 и, значит, п = 8.
Для выпуклых правильных многоугольников справедлива следующая теорема.
Теорема 13.2. Если выпуклый многоугольник правильный, то:
1) Около него можно описать окружность;
2) В него можно вписать окружность, причем центры описанной и вписанной окружностей совпадают.
Эта точка называется Центром правильного многоугольника.
Приведем формулы для радиуса RОписанной окружности и радиуса Г вписанной окружности для правильного n-угольника со стороной А:
А
O. 180°’
2 sin———
П
А
ОхISO0’
2 tg
П
■ Пример 13.4. Для правильного (равностороннего) тре-
( q 180° угольника I п = 3, —
P _ A a _ a _ A
Li~ 2sin60o“ 7з; Г~ 2tg60o ^ 2√3∙
■ Пример 13.5. Для правильного четырехугольника, т. е.
( л180°
Квадрата I П= 4, -½- = 45 I, J—Y CL CL CL CL
Я =2 sin 45o =√2 ’ Г =2 tg45o =2 ‘
■ Пример 13.6. Для правильного шестиугольника П= 6, T =30°)
Р — A— zj. r— A— AJ⅜ ZQX
2τ 2 sin 30o α, r 2tg30o 2 ∙ w
Из формул (1) и (2) получаем:
Но • 180°
А = 2R ∙ sin —— (4)
И о 4. 18θo α = 2r∙tg-—. (5)
■ Пример 13.7. Сторона правильного вписанного в окружность треугольника равна 3. Найти сторону квадрата, вписанного в эту окружность.
Решение. Согласно примеру 13.4
R= = √3.
√3
Если А — сторона квадрата, вписанного в ту же окружность, то согласно формуле (4)
А= 2 ∙ √3 ∙ sin 45o = 2’⅛’⅛ = √6 .
£
Наглядное представление о длине окружности получается следующим образом. Представим себе нить в форме окружности. Разрежем ее и растянем за концы. Длина полученного отрезка и есть длина окружности. Как найти длину
|
окружности, зная ее радиус? При неограниченном увеличении числа сторон вписанного в окружность правильного многоугольника его периметр неограниченно приближается к Длине окружности (рис. 163). Это используется при доказательстве следующей теоремы.
Теорема 13.3. Отношение длины окружности к ее диаметру не зависит от окружности, т. е. одно и то же для любых двух окружностей.
Отношение длины окружности к ее диаметру принято обозначать греческой буквой π (читается «пи»):
С
⅛=π’ (θ)
Где C — длина окружности, R — ее радиус.
Число π иррациональное, его приближенное значение π≈3,1416.
Из равенства (6) имеем
C = 2πB, (7)
Т. е. длина окружности радиуса RВычисляется по формуле (7). Например, длина окружности радиуса 12 м равна 2π∙ 12 = 24π м.
■ Пример 13.8. На сколько изменится длина окружности, если радиус увеличится на 1 м?
Решение. Пусть радиус первоначальной окружности был R19Тогда длина этой окружности C = 2πR1.
По условию радиус первоначальной окружности увеличивается на 1 м, т. е. R2 = (R1 + 1), тогда длина новой окружности
C2 = 2πR2 = 2πCR1 + 1).
Найдем разность:
C2- C1 = 2πCR1 + 1) — 2tlR1 = 2π.
Итак, C2- C1 = 2π ≈ 6,28 (м).
■ Пример 13.9. ТочкиMnNДелят окружность на две дуги, разность градусных мер которых равна 90°. Чему равны градусные меры каждой из дуг?
Решение. Сумма градусных мер дуг равна 360°, а разность равна 90°. Обозначим градусные меры этих дуг Х и У. Имеем:
J Х + у= 360,
I Х — у= 90.
Решая эту систему, получим Х = 225°, У = 135°.
■ Пример 13.10. Сторона квадрата равна 4 см. Вычислить длину окружности: 1) вписанной в него; 2) описанной около него.
Решение.1) Радиус вписанной в квадрат окружности равен 2 см, тогда длина окружности равна C = 2π∕?, т. е. C = 4π см.
■ ) Радиус окружности, описанной около квадрата, равен —J=. Поэтому R = —J= = 2 л/2, а длина окружности равна
C = 4λ∕2 π см.
13.5. Длина дуги окружности. Радианная мера угла
|
|
Найдем длину дуги окружности радиуса R9Отвечающей центральному углу в no(рис. 164). Развернутому углу соответствует длина полуокружности πR.Следовательно, углу в 1° соответствует дуга πB o
Длины, а углу в NoСоответствует дуга IoU
ДЛИНЫ
. πR
1~ 180 n’
Например, длина дуги окружности радиуса 12 м, отвечающей центральному углу в 30°, есть
Z=⅛S •30 = 2π ≈ 6 (м).
IOU
■ Пример 13.11. По данной хорде K Найти длину ее дуги, если она соответствует центральному углу в 60° (рис. 165).
Решение. Так как АО = ВО = R (R — Радиус окружности) и Z AOB = 60°, то треугольник AOBРавносторонний: R = = AB = K.Теперь согласно формуле (8) имеем:
πR
180
Радианной мерой угла называется отношение длины соответствующей дуги к радиусу окружности. Из формулы для длины дуги окружности следует, что
L — π
R ~180 П’
Т. е. радианная мера угла получается из градусной умножением на ψ-^ . В частности, радианная мера угла 180° равна π,
π радианная мера прямого угла равна -≈ .
|
Единицей радианной меры углов является Радиан. Угол в один радиан — это центральный угол, у которого длина дуги равна радиусу (рис. 166). Градусная мера 180° К7О угла в один радиан равна «57°.
■ Пример 13.12. Найти радианные меры углов параллелограмма ABCD,Если ZA = 36°.
Решение. Радианная мера угла А равна 36° • 73773 = ⅞, IoU О
N π 4π
А радианная мера угла В равна π — т — = ηr, τaκ κaκ в паралле — э э
Лограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180° (теорема 6.1). Наконец, радианные меры углов CИ DСо- π 4π z
Ответственно равны и — (в параллелограмме противопо — □□
Ложные углы равны).
1. Что такое ломаная?
2. Что такое многоугольник?
3. Какой многоугольник называется выпуклым?
4. Чему равна сумма углов выпуклого п-угольника?
5. Какой многоугольник называется вписанным в окружность?
6. Какой многоугольник называется описанным около окружности?
7. Какой многоугольник называется правильным?
8. Приведите формулы для радиусов вписанной и описанной окружностей правильного п-угольника.
9. Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей для правильного треугольника, четырехугольника (квадрата), шестиугольника.
10. По какой формуле вычисляется длина окружности?
11. По какой формуле вычисляется длина дуги окружности?
12. Что такое радианная мера угла?
13. Чему равны радианные меры развернутого и прямого углов?
1. Чему равна сумма внутренних углов выпуклого: 1) четырехугольника; 2) пятиугольника; 3) шестиугольника?
2. Сколько сторон имеет многоугольник, у которого сумма внутренних углов равна 1260°?
3. Найдите углы выпуклого четырехугольника, если они пропорциональны числам 1, 2, 2, 4.
4. Может ли сумма внутренних углов многоугольника равняться 740°?
5. Чему равен каждый внутренний угол правильного: 1) восьмиугольника; 2) десятиугольника?
6. Диаметр окружности равен 10 см. Найдите сторону правильного четырехугольника, описанного около этой окружности.
7. Найдите отношение сторон правильного вписанного в окружность шестиугольника и квадрата, описанного около той же окружности.
8. Отношение числа сторон двух правильных многоугольников равно 2 : 3, а отношение пары внутренних углов этих многоугольников равно 6:7. Определите число сторон каждого многоугольника.
9. Найдите длину окружности махового колеса, радиус которого равен 150 см.
10. Радиус окружности увеличен на 5 см. Как изменилась длина окружности?
11. Окружность разделена двумя точками на две дуги. Найдите градусную меру каждой дуги, если одна из них в девять раз больше другой.
12. Найдите длину дуги окружности радиуса 3 см, если градусная мера дуги равна: 1) 30°; 2) 60°; 3) 90°.
13. По данной хорде KНайдите длину ее дуги, если она соответствует центральному углу 90°.
14. Найдите радианную меру углов: 1) 30°; 2) 135°; 3) 120°.
15. Найдите радианную меру углов равнобедренного прямоугольного треугольника.