В 2013 году Единый государственный экзамен по математике состоял…

В 2013 году Единый государственный экзамен по математике состоял из 20 заданий: 14 заданий Bl-Bl4 с кратким ответом (часть 1) и 6 заданий С1-С6 с полным решением (часть 2). Июньский экзамен («основная волна ЕГЭ») сдавали 778 648 человек. Минимальный порог из пяти правильно решенных задач (более 4 первичных баллов, более 20 баллов по стобалль­ной шкале) не преодолели 9,6 % выпускников, не менее 14 пер­вичных баллов (не менее 60 по стобалльной шкале) получили 25,7% выпускников, не менее 18 первичных баллов (не менее 70 по стобалльной шкале) получили 8 % выпускников, не ме­нее 23 первичных баллов (не менее 80 по стобалльной шкале) получили 2,2 % выпускников, не менее 27 первичных баллов (не менее 90 по стобалльной шкале) получили 0,65 % выпуск­ников. Приведем разбор одного из открытых (реальных) ва­риантов ЕГЭ-2013 (вариант 106) с краткими статистическими сведениями и указанием типичных ошибок.

Часть 1

Задание Bl

Одна таблетка лекарства весит 20 мг и содержит 9 % актив­ного вещества. Ребенку в возрасте до 6 месяцев врач прописы­вает 1,35 мг активного вещества на каждый килограмм веса в сутки. Сколько таблеток этого лекарства следует дать ребенку в возрасте четырех месяцев и весом 8 кг в течение суток?

РЕШЕНИЕ. Поскольку процент — это одна сотая часть числа, активного вещества в каждой таблетке содержится 20-0,09 = 1,8 мг. Ребенку указанного в условии задачи возрас­та и весом 8 кг требуется 8 • 1,35 = 10,8 мг активного вещества в сутки. Искомое число таблеток будет равно 10,8:1,8 = 6.

ОТВЕТ. 6.

8 Подготовка к ЕГЭ по математике

Краткий анализ выполнения Средний процент правильных отве — Задания в 2013 Году тов — 81,4%. Статистика подтвер­

Ждает, что среди арифметических текстовых задач наиболь­шие трудности вызывают задачи на проценты, даже в про­стейших вариантах. Поэтому особое внимание следует уде­лить повторению темы «Проценты» и арифметическим вы­числениям, в том числе устному счету, навыки которого у части выпускников либо частично утрачены, либо недоста­точно сформированы. Часть ошибочных ответов обусловлена невнимательностью и неумением выполнять арифметические действия без калькулятора.

Задание В2

На диаграмме показано распределение выплавки меди в 11 странах мира (в тысячах тонн) за 2006 год. Среди пред­ставленных стран первое место по выплавке меди занимала Папуа — Новая Гвинея, одиннадцатое место — Индия. Какое место занимал Лаос?

РЕШЕНИЕ. Для ответа на вопрос задачи можно «посчитать столбики», которые выше столбика, соответствующего пока­зателю Лаоса. Но проще посчитать столбики, которые ниже: такой столбик всего 1 (Индия). Следовательно, Лаос занимает 10-е место.

Ответ.10.

Краткий анализ выполнения Средний процент правильных отве — Задания в 2013 Году тов — 97,3 %. Около трех процентов

Выпускников не смогли правильно ответить на этот вопрос.

Задание ВЗ

Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

Решение. Основания трапеции равны 2 и 4, а высота равна 4.

Поэтому искомая площадь равна (2 + 4) • 4 = 12.

ОТВЕТ. 12.

Краткий анализ выполнения Средний процент правильных отве — Задания в 2013 Году тов— 85,6%. Наибольшие трудно­

Сти вызывают задачи на вычисление площади тупоугольного треугольника в случае, когда основание направлено по верти­кальной линии сетки, а основание высоты лежит на продол­жении основания. Для трапеций результаты примерно одина­ковые. Часть неправильных ответов связана с недостаточным знанием формул площадей плоских фигур (в ответах при­ведены удвоенные значения площадей), часть — с неверной прикидкой. Если площадь выражается дробным числом, ре­зультаты хуже по сравнению с задачами, ответы в которых являются целыми числами.

Задание В4

Независимая экспертная лаборатория определяет рейтинг RБытовых приборов на основе коэффициента ценности, рав­ного 0,01 средней цены Р, показателей функциональности F, Качества QИ дизайна D.Каждый из показателей оценивается целым числом от 0 до 4. Итоговый рейтинг вычисляется по формуле

R = 4(2P+2Q + Z)) -0,01P.

В таблице даны средняя цена и оценки каждого показателя для нескольких моделей вафельниц. Определите наивысший рейтинг представленных в таблице моделей вафельниц.

Модель вафельницы	Средняя цена	Функциональность	Качество	Дизайн
А	4100	3	2	4
Б	4700	0	2	2
В	5500	3	1	1
Г	5400	0	2	0

РЕШЕНИЕ. Задачу можно решить двумя способами, первый из которых состоит в прямом подсчете рейтингов:

Рейтинг модели А равен Ra = 4(2 • 3 + 2 • 2 + 4) — 0,01 • 4100 = 15;

Рейтинг модели Б равен ¾ = 4(2 ■ 0 + 2 • 2 + 2) — 0,01 -4700 = —23;

Рейтинг модели В равен ¾ = 4(2 • 3 + 2 • 1 + 1) — 0,01 • 5500 = —19;

Рейтинг модели Г равен ⅛ = 4 (2 • 0 + 2 • 2 + 0) — 0,01 • 5400 = —38.

Второй способ основан на оценке и прикидке: очевидно, что при данных в таблице значениях в выражении для RУмень­шаемое 4(2F+ 2Q + D)Максимально, а вычитаемое 0,01P ми­нимально именно для модели А. При таком решении считать придется только один — наилучший — рейтинг, т. е. рейтинг модели А.

ОТВЕТ. 15.

Краткий анализ выполнения Средний процент правильных отве — Задания в 2013 Году тов — 86,8 %. Значительная часть

Неправильных ответов обусловлена арифметическими ошиб­ками. Вообще, процент верных ответов уменьшался во всех случаях, когда требовалось проводить вычисления с дробями. Эта задача, как и предыдущие, позволяет сделать общий вывод о недостаточных навыках решения задач на арифмети­ческие действия с дробями у примерно 13 % выпускников.

Задание В5

Найдите корень уравнения 4 5+x = 64.

РЕШЕНИЕ. Для решения уравнения достаточно знания того, что 64 = 43. Тогда — 5 + Х —3, откуда Х= 8.

ОТВЕТ. 8.

Краткий анализ выполнения Средний процент правильных от — Задания в 2013 Году ветов — 92 %. Наибольшие трудно­

Сти — в уравнениях, правая часть которых является относи­тельно высокой степенью двойки (пятой или шестой), тройки (третьей или четвертой), четверки (третьей) и пятерки (тре­тьей). Часть ошибочных ответов обусловлена неумением выполнять действия с дробями и степенями, в частности переходить к степеням с отрицательным показателем, а также ошибками решения линейных уравнений. Для того чтобы исключить возможность арифметической ошибки, в этой за­даче обязательно следует делать проверку полученного ответа путем его подстановки в данное уравнение.

Задание В6

В треугольнике ABC AB —ВС, AC= 14, высота CHРавна 7. Найдите синус угла ACB.

РЕШЕНИЕ. Поскольку /LACB = /LC АВ, синусы этих углов

Тоже равны: sin /LACB = sin /LCAB = = Xλ~

.AC/ X 4

ОТВЕТ. 0,5.

Краткий анализ выполнения Средний процент правильных отве — Задания в 2013 Году тов — 79 %. Ошибки связаны с пло­

Хим знанием простейших геометрических фактов и определе­ний тригонометрических функций.

Задание В7

Найдите значение выражения Iog6135 —Iog6 3,75.

РЕШЕНИЕ. Поскольку основания логарифмов одинаковы, данное выражение приводится к логарифму частного:

Iog6 135 — Iog6 3,75 = Iog6Щ = Iog6 36 = 2.

O9<О

ОТВЕТ. 2.

Краткий анализ выполнения Средний процент правильных отве — Задания в 2013 Году тов — 80,5 %. Наибольшие пробле­

Мы — в незнании или недостаточном знании свойств основных свойств логарифмов. Еще раз отметим плохие навыки ариф­метических вычислений без применения калькулятора.

Задание В8

На рисунке изображён график функции У = F(X), опреде­ленной на интервале (—5; 9). Найдите количество точек, в которых производная функции F(X)Равна 0.

РЕШЕНИЕ. Условие задачи предполагает подсчет точек экс­тремума, т. е. общего числа точек максимума и точек мини­мума данной непрерывной функции. Таких точек в данном случае ровно 6.

ОТВЕТ. 6.

Краткий анализ выполнения Средний процент правильных от — Задания в 2013 Году ветов— 74,8%. Ошибки связаны

С плохим или формальным усвоением темы, не позволяю­щим делать правильные выводы и использовать графические интерпретации.

Задание В9

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Радиус сферы равен 51√z2. Найди­те образующую конуса.

РЕШЕНИЕ. Из условия следует, что осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник, основание которого равно диаметру сферы, а высота, проведенная к основанию, равна радиусу сферы. Поэтому искомая образующая равна 51√2∙ √2-102.

ОТВЕТ. 102.

Краткий анализ выполнения Средний процент правильных от — Задания в 2013 Году ветов — 80,4 %. Ошибки связаны с

Недостаточным знанием основных фактов и формул стерео­метрии и планиметрии, а также плохими вычислительными навыками.

Задание BlO

Перед началом первого тура чемпионата по настольному теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 спортсменов, среди которых 7 спортсменов из России, в том числе Георгий Бочкин. Найдите вероятность того, что в первом туре Георгий Бочкин будет играть с каким-либо спортсменом из России.

Решение. Поскольку искомая вероятность PРавна отно­шению числа П= 6 благоприятных для данного события исхо­дов к числу N = 25 всех равновозможных исходов, находим p=⅛=0∙24∙

ОТВЕТ. 0,24.

Краткий анализ выполнения Средний процент правильных отве — Задания в 2013 Году тов — 73j4 %. Высокий процент тех,

Кто даже не приступал к решению, т. е. не может найти веро­ятность элементарного события даже в простейшем случае.

Задание Bll

Найдите объём многогранника, вершинами которого явля­ются точки А, В, С, D, Е, F, DiПравильной шестиугольной призмы ABCDEFAχBiCιDlEιFI, площадь основания которой равна 8, а боковое ребро равно 6.

РЕШЕНИЕ. Многогранник, вершинами которого являют­ся точки А, В, С, D, Е, F, D∖,Представляет собой пирамиду с основанием ABCDEFИ высотой DiD.Объем пирамиды ра­вен трети произведения площади основания на высоту, т. е. ∣∙8∙6 = 16.

ОТВЕТ. 16.

Краткий анализ выполнения Средний процент правильных от — Задания в 2013 Году ветов — 60,4 %. Ошибки связаны с

Недостаточным знанием основных фактов и формул стереомет­
рии, неумением сделать вывод о совпадении высот пирамиды и призмы.

Задание В12

Локатор батискафа, равномерно погружающегося верти­кально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 558 МГц. Скорость погружения батискафа, выражаемая в м/с, F — F

Определяется по формуле υ = C∙~—Где С = 1500 м/с — / + / о

Скорость звука в воде, /о — частота испускаемых импульсов (в МГц), F — частота отраженного от дна сигнала, регистрируе­мая приемником (в МГц). Определите наибольшую возможную частоту отраженного сигнала F,Если скорость погружения ба­тискафа не должна превышать 12 м/с. Ответ выразите в МГц.

± 558

Решение. Из условия задачи следует, что 1500——⅛ ≤

/ + 558

≤ 12, откуда 125(F —558) ≤ ↑ + 558, и, далее, F ≤ >τ∙ E∙

F ≤ 567.

Ответ.567.

Краткий анализ выполнения Средний процент правильных отве — Задания в 2013 Году тов — 62,5 %. Наибольшие трудно­

Сти связаны с неумением оптимизировать вычисления. Высо­кий процент тех, кто даже не приступал к решению.

Задание В13

Байдарка в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, распо­ложенный в 15 км от А. Пробыв в пункте В1 час 20 минут, байдарка отправилась назад и вернулась в пункт Ав18:00 того же дня. Определите (в км/ч) собственную скорость бай­дарки, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч.

Решение. Пусть собственная скорость байдарки равна Х Км/ч (х > 3). Тогда время (в часах) её движения по течению

Реки равно

15 Х+ 3 ’

А время её движения против течения реки

15, 15 11 = 8

Х + 3 х — 3 3

Откуда

15, 15_ 20 ττττττ3 3_ 4

X + 3 +х-3 3 X + 3 +х-3 3’

Умножив обе части последнего уравнения на 3(х — 3) (х + 3), приходим к уравнению 18x = 4(x2-9), откуда 2×2-9x-18 = 0. Корнями уравнения являются числа -1,5 и 6, из которых только второе больше 3.

ОТВЕТ. 6.

Краткий анализ выполнения Средний процент правильных от — Задания в 2013 Году ветов— 69,2 %. Наибольшие труд­

Ности — в составлении уравнения по условию задачи и его решении; неумении записывать время, данное в часах и ми­нутах, в виде обыкновенной дроби; неумении решать дробно­рациональные уравнения, неумении оптимизировать вычис­лительные сложности при решении уравнения, деля обе части уравнения на общий множитель его коэффициентов. Высокий процент тех, кто даже не приступал к решению.

Задание В14

I2 5

Найдите наибольшее значение функции У = — на от­резке [—12; -1]. x

РЕШЕНИЕ. Традиционное для школьника решение предпо­лагает вычисление наибольшего значения данной функции с помощью производной. Найдем производную данной функции, считая, что х < 0, и воспользовавшись формулой производной

, 2x∙x-(x2 + 25) , (x-5)(x + 5) π

Частного: У =———— ⅛——— , откуда У =———— Ч——- . При

Xz Xi

Х<0 производная обращается в нуль, если х = —5, причём У’> 0 при х ∈ (-12; -5) и У’< 0 при х ∈ (-5; -1). Таким обра-

Зом, непрерывная при х < 0 функция У —————— возрастает

На отрезке [—12; —5] и убывает на отрезке [—5; —1]. Значит, max y(x) =y(-5) 10.

[-12;-!]

У______

У’-12

ОТВЕТ. -10.

Краткий анализ выполнения Средний процент правильных отве — Задания в 2013 Году тов — 62,5 %. Высокий процент тех,

Кто даже не приступал к решению. Ошибки связаны с арифме­тическими действиями, неуверенным владением алгоритмом вычисления наибольшего и наименьшего значений непрерыв­ной на отрезке функции (как в случае знакопостоянства про­изводной на данном отрезке, так и в случае принадлежности точки экстремума данному отрезку).

Часть 2

Задание Cl

А) Решите уравнение 14cos x— 2cos X■7~ Sιn х.

Б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 2πj.

РЕШЕНИЕ.

А) Представим левую часть уравнения, используя свойства степеней, в виде произведения: 2cos x ∙ 7cos x = 2cos X ∙ 7~ Sιn х. По­скольку 2cosx≠0, получаем уравнение

7cosx = 7~ sιnx. Таким образом, cos Х = 3 ⅞⅜

= — sin Х, откуда tg X =— 1 и X = — + πk, T

K e z∙ / ∖ ∖2π

Б) C помощью числовой окружности г θ∖ отберем корни, принадлежащие отрезку ∖ ∖ J

[⅛ 2π]. Это числа и ~.

L2 J 4 4

ОТВЕТ, a) ~ + πk, fe∈Z; б) ∙⅛. 4 4 4

Краткий анализ выполнения Средний процент решений, оценен — Задания в 2013 Году ных максимальным ЧИСЛОМ бал­

Лов,— 31,7%. Положительный результат (не менее одного балла за решение)— 10,7%. Основные проблемы: неумение решать простейшие тригонометрические уравнения, незнание свойств ограниченности синуса и косинуса, неумение отбирать решения с помощью тригонометрической окружности или неравенств.

Задание С2

В правильной четырехугольной пирамиде MABCDС верши­ной MСтороны основания равны 4, а боковые рёбра равны 8. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку В и середину ребра MDПараллельно прямой АС.

Решение. Пусть точка E — середина ребра MD.Отрезок BEПересекает плоскость MACВ точке P.В треугольнике MBDТочка PЯвляется точкой пересечения медиан, следо­вательно, MP : PO = 2:1, где О — центр основания пирами­ды. Отрезок FGПараллелен ACИ проходит через точку P (точка FПринадлежит ребру МА, G — ребру MC),Откуда Mf∙.Fa=Mg∙.Gc=Mp∙.Po=2∙.I∙,Fg=Iac=^½÷^ = ^½.

О OO

Четырехугольник BFEG — искомое сечение. Отрезок BE — Медиана треугольника MBD,Значит,

ВЕ =√2BΠ2 + 2MB2—MZ>2=√4AB2÷MB2= 4√^
2 2

Поскольку прямая ACПерпендикулярна плоскости MBD,Диа­гонали BEИ FGЧетырехугольника BFEGПерпендикулярны, следовательно,

Q_ BE-FG_ 32

&BFEG 2 β ‘

Краткий анализ выполнения Средний процент решений, оценен — Задания в 2013 Году ных максимальным числом бал­

Лов, — 5,1 %. Положительный результат (не менее одного бал­ла за решение) — 4,8 %. Основные проблемы в зависимости от варианта: неумение анализировать пространственные кон­фигурации, использовать факты и теоремы, связанные с пер­пендикулярностью прямых и плоскостей, неумение строить простейшие линейные углы и проекции, ошибки в определе­нии вида сечения, вычислительные ошибки.

Задание СЗ

Решите систему неравенств

_■l°≡3→ (f⅛ ≡≈ -8∙
X3+б*2+40*2+3;-24 ≤ з.

Х — 8

РЕШЕНИЕ. 1. Решим первое неравенство системы, предста­вив его левую часть в виде разности логарифмов:

Log7_x(г + 3) — Iog7-Jx- 7)8 ≥ -8.

Далее, используя свойства четной степени, получим

Iog7-Jx+ 3) — log7~J7-x)8 ≥ -8,

Откуда

Log7.x(x + 3)-8 ≥ -8 и log7~x(x +3) ≥ 0.

Рассмотрим два случая. Первый случай: 0< 7 — X<L.В этом случае получим систему

0

0 <7-х < 1,

Которая не имеет решений.

Второй случай: 7 — х > 1. В этом случае получим систему

Х H — 3 1,

7-х > 1,

Откуда —2 ≤ х < 6.

Таким образом, решением первого неравенства данной си­стемы является [—2; 6).

2. Решим второе неравенство системы, перенеся число 3 из правой части неравенства в левую и вычтя его из дроби:

χ3 + 6χ2+40x∣ 0

Х — 8

Откуда

X4-2×3-8x2nx2(x-4)(x÷2)
x≈8 ≤ ° И х-8 ≤ °-

Решение второго неравенства данной системы (его можно найти, например, с помощью метода интервалов): (—∞; —2] U U{0}U[4; 8).

3. Решение данной системы неравенств: {—2; 0} U [4; 6).

ОТВЕТ. {-2; 0} U [4; 6).

Краткий анализ выполнения Средний процент решений, оценен — Задания в 2013 Году ных максимальным числом бал­

Лов,— 6,1 %. Положительный результат (не менее одного балла за решение) — 11,8 %. Основные проблемы: неумение ре­шать логарифмические неравенства, арифметические ошибки, плохое знание свойств логарифмов и свойств неравенств.

Задание С4

Окружности радиусов 5 и 8 с центрами Oi и O2соответ­ственно касаются в точке А. Прямая, проходящая через точ­ку А, вторично пересекает меньшую окружность в точке В, А большую — в точке С. Найдите площадь треугольника BCO2, Если ZABOi = 15°.

РЕШЕНИЕ. Поскольку линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку касания, точки 0ι, O2И А Лежат на одной прямой. Поскольку треугольники BOiA и CO2AРавнобедренные (их боковые стороны равны радиусам), находим, что

ZABO1 = ZBAO1 = ZCAO2 = ZACO2 = 15°, откуда

AB = 2O1A∙cos 150 = 10∙ cos 15°,

AC = 2O2A∙cos 15° = 16∙cos 15°.

Возможны два случая. Первый случай: окружности каса­ются внутренним образом (рис. 1), тогда точка В лежит между точками А и С, откуда BC = AC — AB = 6 ∙ cos 15°. Следователь­но,

C BC ∙ CO2 ∙ sin ZBCO2ол1 ко • 1 ко А

Sbco2— —Q ~ = 24∙ cos 150∙sm 15 =6.

Рис. 1

Второй случай: окружности касаются внешним образом (рис. 2), тогда точка А лежит между точками В и С,

BC = AC +AB = 26∙cos 15°.

Поэтому

C BC • CO2 ∙ sin /LBCO2 ιn. Iso. 1κ0

Sbco2 = ———- —5———— — = 104∙cos 15 — sin 15 = 26.

А

ОТВЕТ. 6 ИЛИ 26.

Краткий анализ выполнения Средний процент решений, оценен — Задания в 2013 Году ных макСимальным числом бал­

Лов,— 3,5%. Положительный результат (не менее одного балла за решение) — 4,7 %. Наибольшие проблемы связаны с анализом геометрической конфигурации, незнанием свойств окружностей и касательных, рассмотрением одного случая вместо двух.

Задание С5

Найдите все значения А, при каждом из которых уравнение Ах+ √z-3 — 4х — х2 За + 1 имеет единственный корень.

РЕШЕНИЕ. Запишем уравнение в виде

-y∕-3 — 4x — X2 = -αx + За + 1.

Рассмотрим две функции:

F(X) = √,-3 — 4х — х2 и G(X) = —ах + За + 1.

Графиком функции F(X)— √12— (х + 2)2 является полуокруж­ность радиуса 1 с центром в точке (—2; 0), лежащая в верхней полуплоскости (см. рис.). При каждом значении А графиком функции G(X)Является прямая с угловым коэффициентом —а, Проходящая через точку M(3; 1).

Уравнение имеет единственный корень, если графики функ­ций f(x) и G(X)Имеют единственную общую точку: либо пря­мая касается полуокружности, либо пересекает её в единствен­ной точке.

Касательная MC,Проведенная из точки MК полуокружно­сти, имеет угловой коэффициент, равный нулю, т. е. при А = 0 Исходное уравнение имеет единственный корень. При —а < 0 прямая не имеет общих точек с полуокружностью.

Прямая МА, заданная уравнением У = —Ax +За +1,Прохо­дит через точки M(3; 1) и А(—3; 0), следовательно, её угловой коэффициент -α = 4∙ При 0 <—A ≤ 4 прямая, заданная урав — о о

Нением Y = —ах+ За +1, имеет две общие точки с полуокруж­ностью. Прямая МВ, заданная уравнением

У = —ах+ За +1,
проходит через точки M(3; 1) и В(—1; 0), следовательно, её
угловой коэффициент —а =4. При 4 <—A ≤ 4 прямая, задан-
4 о 4

Ная уравнением У — —ах + За+1, имеет угловой коэффициент больше, чем у прямой МА, и не больше, чем у прямой МВ, и пересекает полуокружность в единственной точке. Получаем, что при — 4 ≤ А <— 4 исходное уравнение имеет единственный 4 о

Корень. При —а >- прямая не имеет общих точек с полу­окружностью.

ОТВЕТ. Γ-∣; 0.

L 4 о/

Краткий анализ выполнения Средний процент решений, оценен — Задания в 2013 Году ных максимальным числом бал­

Лов,— 1,3%. Положительный результат (не менее одного балла за решение) — 6,2%. Наибольшие проблемы: непони­мание логики задачи и неполный анализ условия, неумение искать ключевые факты и делать необходимые обоснования, строить графики, использовать геометрические интерпрета­ции.

Задание С6

Задумано несколько (не обязательно различных) натураль­ных чисел. Эти числа и все их возможные суммы (по 2, по Зит. д.) выписывают на доске в порядке неубывания. Если какое-то число П, выписанное на доске, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число п, а остальные числа, равные П, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.

А) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 18, 19, 20, 22?

В) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 5, 6, 8, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 21, 23, 24, 29.

Решение, а) Задуманные числа 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 дают требуемый набор, записанный на доске.

Б) Поскольку задуманные числа натуральные, наименьшее число в наборе — это наименьшее из задуманных чисел, а наи­большее число в наборе — это сумма всех задуманных чисел. Среди чисел записанного набора должна быть сумма всех чи­сел, кроме наименьшего, т. е. 22 — 1 = 21. Но этого числа нет в наборе, поэтому не существует примера таких задуманных чисел, для которых на доске будет выписан набор из условия, в) Число 5 — наименьшее число в наборе — является наи­меньшим из задуманных чисел, а наибольшее число в набо­ре — это сумма всех задуманных чисел. Поэтому количество

29 задуманных чисел не превосходит целой части числа —, т. е.

5

5. Кроме того, числа 6 и 8 меньше, чем сумма двух чисел 5, поэтому они также являются задуманными. Значит, сумма оставшихся задуманных чисел равна 29 — 5 — 6 — 8 = 10. Таким образом, так как наименьшее задуманное число равно 5, остав­шиеся задуманные числа — это 5 и 5 или 10. Для задуманных чисел 5, 5, 5, 6, 8 и 5, 6, 8, 10 на доске будет записан набор, данный в условии.

Ответ, а) 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1; б) нет; в) 5, 5, 5, 6, 8 или 5, 6, 8, 10.

Краткий анализ выполнения Средний процент решений, оценен — Задания в 2013 Году ных максимальным числом бал­

Лов,— 0,7%. Положительный результат (не менее одного балла за решение) — 7,3 %. Наибольшие проблемы: непони­мание логики задачи и неполный анализ условия, неумение использовать свойства целых чисел, делать необходимые обоснования и выводы. Значительный процент участников экзамена не приступил к решению задачи.