Часть 1 Ответом на задания Bl—В14 должно быть целое число или конечная десятичная дробь

Часть 1

Ответом на задания Bl—В14 должно быть целое число или конечная десятичная дробь. Каждую цифру, знак минус и запя­тую пишите в отдельной клеточке. Единицы измерений писать не нужно.

I Bl IРост Джона 5 футов 11 дюймов. Выразите рост Джона в санти­метрах, если 1 фут равен 0,305 м, а 1 дюйм равен 2,5 см. Результат округлите до целого числа.

Ответ:

IB21На рисунке жирными точками показан курс доллара, установ­ленный Центробанком РФ, во все рабочие дни с 22 сентября по 22 октября 2010 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена доллара в рублях. Определите по рисунку наи­больший курс доллара за указанный период. Ответ дайте в рублях.

Ответ:

Показатель оценивается целым числом от 0 до 4. Ито­говый рейтинг вычисляется по формуле

 

R = 4(4F + 2Q + D) — О, OlP.

В таблице даны средняя цена и оценка каждого показателя для нескольких моделей пылесосов. Определите наивысший рейтинг представленных в таблице моделей пылесосов.

Модель пылесоса	Средняя цена	Функциональность	Качество	Дизайн
А	4800	4	1	4
Б	3700	2	2	2
В	3800	4	4	2
Г	6000	4	1	3

Ответ:

IB51Найдите корень уравнения Iog3 (-2 — х) = 2.

Ответ:

IВ61Центральный угол на 48° больше остро­го вписанного угла, опирающегося на ту же ду­гу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.

Ответ:

IB71Найдите значение выражения (√54- √24) ∙ /6

Ответ:

IBSIНа рисунке изображён график некоторой функции У = /(х) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(5) — F(I), где F(x) — одна из первообразных функции f (х).

Ответ:

IВ91В правильной четырёхугольной пирамиде SABCDС вершиной S точка О является центром основания, SA = 13, BD = 10. Найдите длину отрезка SO.

Ответ:

I BlO IВ сборнике билетов по физике всего 15 билетов, в 12 из них встречается вопрос по термодинамике. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанет­ся вопрос по термодинамике.

Ответ:

Ответ:

[ВЙ] Во сколько раз уменьшится объём конуса, его высоту уменьшить в 5 раз, а основание оста­вить прежним?

IB121При температуре OoC рельс имеет длину I0 = 12 м. При возрас­тании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону L(F) = Z0(1 + А ∙ T), Где α = 1,2∙ IO-5(oC)-1— коэффициент теплового расширения, T — Температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 3,6 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

Ответ:

IB131Смешали некоторую массу 14-процентного и 50-процентного растворов кислоты. Добавив к этой смеси 10 кг чистой воды, полу­чили 22-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды до­бавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 32-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 14-про­центного раствора использовали для получения смеси?

Ответ:

 

IВ141Найдите наибольшее значение функции y = (x+6)2(x-10)+8 на отрезке [—14; —3].

Ответ:

Часть 2

Запишите полное обоснованное решение и ответ.

С1|А) Решите уравнение 7 tg2Х — + 1 = 0.

Б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

IC21В правильной четырёхугольной пирамиде SABCDС основани­ем ABCDПроведено сечение через середины рёбер ABИ BCИ вер­шину S. Найдите площадь этого сечения, если все рёбра пирамиды равны 8.

IСЗIРешите систему неравенств

2x + 6∙2~x ≤ 7,

2X2— 6х 7~ ≤ X∙ х-4

IC41Дан прямоугольник KLMNСо сторонами KN = 11, MN = 8. Пря­мая, проходящая через вершину MiКасается окружности с центром К Радиуса 4 и пересекается с прямой KNВ точке Q. Найдите QK.

IC51Найдите все значения А, при каждом из которых система

, ∣x + 2y + l∣ ≤ 11,

(х — а)2+ (у — 2а)2= 2 + а

Имеет единственное решение.

IС61Решите в натуральных числах уравнение

Nk+1— п! = 5(30fc + ll).

(Для натурального числа П символом и! обозначается произве­дение l∙2∙3∙…∙n.)

Критерии оценивания

I Cl IА) Решите уравнение 7 tg2Х — + 1 = 0.

Б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение, А) Запишем уравнение в виде

—2———— — -6 = 0

COSzX COS X

—-1Н— COS X √ k COS X

Значит, либо Cosx = 1, откуда х = 2πk,
7

К∈ Z, либо Cosx = — т, что невозможно. 6’

Б) C помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку

Получим число — 2π.

Ответ:A) 2πk, ке%;6) —2π.

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в п. а или в п. б	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечислен­ных выше	О
Максимальный, балл	2

IC21В правильной четырёхугольной пирамиде SABCDС основанием ABCDПроведено сечение через середины рёбер ABИ BC и вершину S. Найдите площадь этого сечения, если все рёбра пирамиды равны 8.

Решение. Изобразим указанное в условии сечение — треуголь­ник SKM;

KM = ∣AC = ∣ ∙ 8√2 = 4√2.

Проведем в треугольнике SKMВысоту SP,Где P — середина КМ. Зна­чит,

KP = ⅛KM = 2√2.

Из прямоугольного треугольника SKAНаходим

SK = у/SA[5]—AK2 = √64-16 = √48.

Из прямоугольного треугольника SPKНаходим SP — у/SK2— KP2 = = √48≡8 = 2√Tδ.

Тогда Sskm = ±KM ‘SP = γ 4√2 ∙ 2√Iθ = 8√5.

Ответ:8-/5.

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено, или при правильном ответе решение недостаточно обосновано	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечислен­ных выше	0
Максимальный балл	2

IСЗIРешите систему неравенств

Решение. 1. Решим первое неравенство. Сделаем замену 2х= у. Поскольку у > 0, на него можно умножить обе части неравенства. Получим

Y + ≤≤7; Y2—7y + 6≤0; (y-l)(y-6) ≤ 0.

Значит, 1 ≤ У≤ 6, т. е. 0 ≤ Х≤ Iog2 6.

2. Решим второе неравенство:

2×2-6x. X2-4x x(x-2) ^ л

— т— ≤————— Т~; ≤ О, т. е. Х≤ 0; 2 ≤ Х< 4. х-4 х-4 ’ х-4 ’

3. Учитывая, что 2 < Iog2 6 < 3, находим решение системы: х = О или 2 ≤ Х≤ Iog2 6.

Ответ:{0} U [2; Iog2 6].

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах ис­ходной системы	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исход­ной системы	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечислен­ных выше	0
Максимальный балл	3

IC41Дан прямоугольник KLMNСо сторонами KN = 11, MN = 8. Пря­мая, проходящая через вершину М, касается окружности с центром К Радиуса 4 и пересекается с прямой KNВ точке Q. Найдите QK.

Решение. Пусть точка Q лежит между KhN(рис. 1), P — точка ка­сания прямой MQ с данной окружно­стью. Обозначим KQ = х.

Из прямоугольного треугольника QPKПо теореме Пифагора находим

PQ = у/QK2—PK2 = √x2-16.

Прямоугольные треугольники QPKИ QNMПодобны, поэтому

PK _ MN

PQ QN ’

Т. е.

J = (11-x)2 = 4(√-16);

√x2-16 11 ^x

3×2 + 22x-185 = 0; Х= 5.

Если точка Q лежит на продолжении стороны NKЗа точку К (рис. 2), то, рассуждая аналогично, получим уравнение Зх2 — 22х — 185 = 0, 37 из которого находим х = — у.

Рис. 2

Ответ:5 или у.

Содержание критерия	Баллы
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ	3
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигура­ция, в которой получено правильное значение искомой величины	2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигура­ция, в которой получено значение искомой величины, неправиль­ное из-за арифметической ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечислен­ных выше	0
Максимальный балл	3

IC51Найдите все значения А, при каждом из которых система ∫∣x + 2y + l∣ ≤ 11, ( (х — а)2+ (у — 2а)2= 2 + а имеет единственное решение.

Решение. Преобразуем систему:

‘ — 12≤x + 2y ≤ 10,

(х — А)2+ (у — 2D)2 = 2 +а.

Неравенство

-12 ≤ x + 2y ≤ 10

Задаёт на плоскости полосу, граница которой — пара параллельных прямых:

X + 2y = 10 и Х + 2у= —12.

Если А <—2, то система не имеет решений, поскольку правая часть уравнения становится отрицательной.

Если А= —2, то уравнение принимает вид (х + 2)2+ (у + 4)2= 0 и задаёт единственную точку (—2; —4), координаты которой удовле­творяют неравенству | — 2 — 8 + l∣ = 9

Следовательно, при а = -2 система имеет единственное реше­ние.

Рассмотрим случай А >—2. Тогда уравнение

(х — α)2 — I — (у — 2а)2= 2 + а

Определяет окружность радиусом г = √2 + α. Центр M(а; 2а) окруж­ности лежит на прямой у = 2х, которая перпендикулярна гранич­ным прямым полосы и пересекает их в точках А(-2,4; —4,8) и В(2; 4). Система имеет единственное решение, только если окруж­ность внешним образом касается полосы в точке А или точке В. Если точка касания — точка А, то a <—2,4, что невозможно.

Окружность касается полосы внешним образом в точке В, только если а > 2 и MB = г. Получаем

(a —2)2 + (2α-4)2 = 2 + α; 5a2-21a + 18 = 0.

Корни: a = 3, А= 1,2. Условию a > 2 удовлетворяет только корень a = 3.

Ответ:-2; 3.

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ	4
Решение в целом верное, но допущена арифметическая ошибка, возможно, приведшая к неверному ответу	3
Обоснованно найдено значение a = 3, но значение a = -2 не най­дено или не включено в ответ	2
Решение содержит — или верное описание взаимного расположения окружности и полосы; — или верный переход к уравнению относительно А	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечислен­ных выше	0
Максимальный балл	4

IС61Решите в натуральных числах уравнение Nk+1—N‘ = 5(30k + ll).

(Для натурального числа и символом и! обозначается произве­дение 1 ∙2∙3∙… ∙n.)

Решение. Заметим, что 5(30k + 11) делится на П. Случай n = 1 не подходит. Простых делителей, меньших 5, число 5(30k +11) не имеет. Следовательно, л ≥ 5, а значит, л! делится на 5.

Поскольку правая часть равенства Nk+1 = 5(30k +11) + и! делит­ся на 5, левая часть равенства тоже делится на 5, а значит, и делится на 5.

Пусть и = 5M, т > 1. Тогда 5K ∙Mk+1— 4! • 6 •… ∙ (5m) = 30k +11.

Левая часть полученного равенства делится на 5, а правая нет, противоречие.

Пусть л — 5, тогда 5K-24=30k +11; 5fc»1 = 6k + 7.

Чтобы правая часть последнего равенства делилась на 5, необхо­димо, чтобы К делилось на 5 с остатком 3.

Пусть К = 51 + 3. Тогда

55z+2= 3θz + 25. 5Sι _ 1 =∣Z. 5Sι _ 1_ ∣Z = 0

Заметим, что функция F(L) = S51— 1 — ∣Z равна 0 при I = 0 и строго возрастает при I > 0, значит, исходное уравнение имеет единственное решение П= 5, К = 3.

Ответ: N = 5, к = 3.

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получены верные значения Пик	4
Обоснованно получено верное значение П, найдено верное значе­ние к, но не обосновано отсутствие других значений К	3
Обоснованно получено верное значение П, но верное значение К Не найдено, найдено неверно или ответ содержит лишние значе­ния К	2
Верно найдены значения пик	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечислен­ных выше	0
Максимальный балл	4