Часть 1 81. В школе 1200 учеников, из них 16 февраля 5% отсутствовало на за­нятиях

Часть 1

81. В школе 1200 учеников, из них 16 февраля 5% отсутствовало на за­нятиях. Среди присутствовавших на занятиях учеников 40% обедало в школьной столовой. Сколько учеников обедали в школьной столовой в этот день?

82. На рисунке 72 жирными точками показана цена акций компании «Сургутнефтегаз» на момент закрытия биржевых торгов во все рабо­чие дни января 2011 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена акции в рублях. Для наглядности точки на рисун­ке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа цена акции «Сургутнефтегаза» на момент закрытия торгов была наименьшей за дан­ный период.

Январь2011 г.

83. Высота трапеции равна 15, а площадь — 225. Найдите среднюю ли­нию трапеции.

84. Для изготовления книжных полок библиотеке требуется заказать 64 одинаковых стекла в одной из трёх фирм. Площадь каждого стекла — 0,125 м2. В таблице приведены цены на стекло, а также на его резку и шли­фовку края. Сколько рублей будет стоить самый дешёвый заказ?

Фирма	Цена стекла (руб. за 1 м2)	Резка и шлифовка (руб. за одно стекло)
А	320	85
Б	360	75
В	440	50

В5. Найдите корень уравнения 2a, ψ 3 ~ ~^∙

86. В треугольнике ABCУгол CРавен 90o, AB = 10, AC = 8. Найдите тангенс угла А.

87. Найдите значение выражения —j-

12
П

88. На рисунке 73 изображён график функции У= /(z), определённой на интервале (—8; 8). Определите количество целых точек, в которых произ­водная функции положительна.

Рис. 73.

89. В правильной треугольной пирамиде SABC R — середина ребра ВС, S — вершина (см. рис. 74). Известно, что AB = 6, a SR = 9. Найдите площадь боковой поверхности.

Рис. 74.

810. Рядом находятся два банкомата. Каждый из них может быть неис­правен с вероятностью 0,1 независимо от другого банкомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один из этих банкоматов исправен.

811. Объём одного шара в 64 раза больше объёма второго (см. рис. 75). Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади по­верхности второго?

812. Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя RT RT

Определяется формулой η = —L7=—2∙ • 100%, где T1— температура нагре-

41

Вателя (в градусах Кельвина), T2— температура холодильника (в граду­сах Кельвина). При какой минимальной температуре нагревателя T1КПД этого двигателя будет не меньше 20%, если температура холодильника T2 = 310 К? Ответ выразите в градусах Кельвина.

813. Оля и Дима читают одну и ту же книгу. Оля читает за час 50 страниц, а Дима только 30. Дети начали читать книгу одновременно и не преры­вались, при этом Оля закончила читать на 36 минут раньше. Сколько страниц текста содержит книга?

814. Найдите точку максимума функции У = Qx2— х3.

Часть 2

Cl. А) Решите уравнение Iog100 ^2 cos2Х+ 5 cos (ж + + 11) = 0,5.

Б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку (-2πj-j).

С2. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1Сторона основания равна 4, высота — 10. Точки К и M — середины рёбер ACИ A1B1Соот­ветственно. Найдите косинус угла между прямыми AC1И КМ.

СЗ. Решите систему неравенств

Г 1°g^—ι(∙7’2 + 1) + 21oga,2+1(z2— 1) ≤ 3,

( 25х — 10≈ — 10≈+1 + 6 ■ 4≈+1 ≤ 0.

С4. Окружность с центром. О проходит через вершины AnBТре­угольника ABCИ пересекает луч CAВ точке MИ луч CBВ точке N. AAOM = ABON = 60°, расстояние от точки NДо прямой ABРавно 10. Найдите площадь ΔABC, если длины MNИ ABОтличаются в 4 раза.

С5. Найдите все значения параметра А, при которых система ( X2 + Y2 ≤ а3, ,

<. l C, имеет хотя бы одно решение.

[ |ж| • у ≥ 4о

С6. Разбившись на бригады, 30 школьников пошли собирать яблоки. По­сле окончания сбора школьники каждой бригады делят между собой по­ровну собранные этой бригадой яблоки, а остаток от такого деления (если он есть) отправляют в общий котёл, где будет вариться компот (котёл один на все 30 человек). Всего в саду на деревьях росло 336 яблок, и все они были собраны. Какое наибольшее число яблок может оказаться в котле, если:

А) в каждой бригаде 6 человек;

Б) в бригадах может быть любое количество человек (причём в разных бригадах — разное)?

Вариант № 12

Часть 1

81. Среди 50000 жителей города 70% не интересуются футболом. Сре­ди интересующихся 60% смотрели по телевизору финал Лиги чемпионов. Сколько жителей города смотрели этот матч?

82. На графике 76 показано изменение удельной теплоёмкости водного раствора некоторого вещества в зависимости от температуры. По гори­зонтали указывается температура в градусах Цельсия, по вертикали —

JT>ι

Удельная теплоёмкость в λλo. Определите по рисунку наименьшую КГ *

Возможную удельную теплоёмкость раствора на исследуемом диапазоне

83. Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади прямо­угольника со сторонами 2 и 18 (см. рис. 77).

Рис. 77.

84. В приведённой ниже таблице приведены тарифы на услуги трёх фирм такси. Предполагается поездка длительностью 80 минут. Нужно выбрать фирму, в которой заказ будет стоить дешевле всего. Сколько рублей будет стоить этот заказ в выбранной фирме?

Фирма такси	Подача машины	Продолжительность и стоимость минимальной поездки*	Стоимость одной минуты сверх про­должительности минимальной поездки (в руб.)
А	Бесплатно	Нет	12
Б	Бесплатно	20 мин — 150 руб.	14
В	50 руб.	15 мин — 50 руб.	13

* Если поездка длится меньше указанного времени, она оплачивается по сто­имости минимальной.

85. Найдите корень уравнения √49 — Зж = 2.

86. В треугольнике ABCУгол CРавен 90o, AB = 10, BC =Л/19. Найдите синус внешнего угла при вершине В.

∖∕l∕a

87. Найдите значение выражения —Y VПри A = 23,72.

З/Х 4/-
V 27 V

88. На рисунке 78 изображён график производной функции /(ж), опре­делённой на интервале (—8; 11). Найдите количество точек максимума функции /(ж) на отрезке [—7; 10].

Рис. 79.

89. В правильной треугольной пирамиде SABC Точка M — середина ребра AC, S — вершина (см. рис. 79). Известно, что SM = 5, а площадь боко­вой поверхности равна 15. Найдите длину отрезка АВ.

BlO. Если футбольная команда А играет на домашнем стадионе, то она выигрывает у футбольной команды Б с вероятностью 0,4. Если А играет в гостях (на домашнем стадионе команды Б), то А выигрывает у Б с вероят­ностью 0,3. Команды А и Б играют два матча, по одному разу на домашнем стадионе каждой из них. Найдите вероятность того, что А выиграет оба матча.

811. Объём конуса равен 20. Через середину высоты параллельно осно­ванию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной (см. рис. 80). Найдите объём меньшего конуса.

Рис. 80.

812. Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая рав­ноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачи — ∕⅜2

Вается катушка, изменяется со временем по закону φ = ωt + —-, где T —

Время в минутах, ω = 20°/мин — начальная угловая скорость вращения катушки, a β —4°/мин2 — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момен­та, когда угол намотки (^достигнет 2400°. Определите время после начала работы лебёдки, не позже которого рабочий должен проверить её работу. Ответ выразите в минутах.

813. Расстояние между городами А и В равно 850 км. Из города А в го­род В со скоростью 75 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города В со скоростью 80 км/ч — второй авто­мобиль. На каком расстоянии от города А автомобили встретятся? Ответ дайте в километрах.

814. Найдите наибольшее значение функции У = — + х+ 16 на отрез­ке [-4; -1].

Часть 2

Cl. А) Решите уравнение Iog8(2sin2Х — 9sin б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

(→—⅞)∙

С2. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1Сторона основания равна 6, высота — 10. На рёбрах ACИ A1B1Отмечены точки К и MСо­ответственно так, что AK : КС = A1M : MB1 =2:1. Найдите косинус угла между прямыми AC1И КМ.

СЗ. Решите систему неравенств

∫ 1θg. c2-ι(x2 + 1) — 21ogx2+1(a;2— 1) ≤ 1,

( 72≈+2- 4 ∙ 14τ- 1,25 ∙ 14≈+2 + 5 ■ 22x+2 ≤ 0.

С4. Окружность с центром О проходит через вершины А и В тре­угольника ABCИ пересекает луч CAВ точке MИ луч CBВ точке N. AAOM = ABON = 60°, площадь треугольника ABCРавна 9vz3∙ Най­дите расстояние от точки NДо прямой АВ, если длины MNИ ABОтли­чаются в 3 раза.

С5. Найдите все значения параметра А, при которых система I X^ -∣- ч2<(Г

< ∣∣ ζn ’ имеет хотя бы одно решение.

С6. Разбившись на бригады, 28 школьников пошли собирать яблоки. По­сле окончания сбора школьники каждой бригады делят между собой по­ровну собранные этой бригадой яблоки, а остаток от такого деления (если он есть) отправляют в общий котёл, где будет вариться компот (котёл один на все 28 человек). Всего в саду росло на деревьях 304 яблока, и все они были собраны. Какое наибольшее число яблок может оказаться в котле, если:

А) в каждой бригаде 4 человека;

Б) в бригадах может быть любое количество человек (причём в разных бригадах — разное)?