62. Достройте исходный треугольник до параллелограм­ма, удвоив искомую медиану

62. Достройте исходный треугольник до параллелограм­ма, удвоив искомую медиану. Примените свойство диаго­налей и сторон параллелограмма (или смотрите решение Задания 2.6).

63. Найдите радиус вписанной окружности, используя формулу для площади треугольника через радиус вписан­ной окружности (или смотрите решение Задания 2.3).

64. Для нахождения радиуса описанной окружности используйте следствие из теоремы синусов, т. е. =2R= 2RMob; sin MOBМожно найти из треугольни — sin ∠MOB Ка BOH.

65. Используйте формулу площади треугольника через две стороны и синус угла между ними. Покажите, что из условия задачи следует, что sinMNP = 1 и треугольник MNP — прямоугольный.

66. Внутренний угол правильного шестиугольника ра­вен 120°. Используйте теорему косинусов для треугольни­ка со сторонами 8 и 8, и углом 120° между ними.

67. Используйте свойство описанного четырехугольни­ка. Найдите, что AB = 13. Далее смотрите решение За­дания 9.2.

68. Смотрите решение Задания 9.

69. Смотрите решение Задания 9.

70. Используйте осевую симметрию относительно пря­мой Y = X. Рассмотрите образ точки M(точку M1). Треу­гольник MXNИмеет наименьший периметр, если точка XЯвляется точкой пересечения прямых Y = XИ прямой MM1.

71. Проведите высоту равнобедренной трапеции и рас­смотрите прямоугольный треугольник, гипотенуза кото­рого является диагональю трапеции. Докажите, что в получившемся треугольнике один из катетов является высотой трапеции, а другой катет равен средней линии трапеции.

72. Сначала найдите площадь прямоугольного равнобе­дренного треугольника с катетами, равными 2, а затем — с катетами равными 2√2.

73. Докажите, что полученный четырехугольник явля­ется параллелограммом.

74. Треугольники KOEИ PEOИмеют общее основание и равные высоты.

75. Проведите диагональ BDИ докажите равенство треугольников по второму признаку равенства треуголь­ников.

76. Получите, что сумма односторонних углов при пря­мых ADИ BCИ секущей CDРавна 1800.

77. Докажите равенство соответствующих прямоуголь­ных треугольников по двум катетам.

78. Докажите равенство соответствующих прямоуголь­ных треугольников по катету и острому углу.

79. Докажите равенство соответствующих треугольни­ков по первому признаку равенства треугольников.

80. Докажите, что углы ∠BAKИ ∠BCKОпираются на одну дугу.

81. Докажите равенство треугольников и используйте признак параллельности прямых.

82. Используйте признак параллельности прямых.

83. Используйте свойство параллельных прямых и до­кажите, что получившийся треугольник — прямоуголь­ный.

84. Выразите ∠HADИз треугольника ADCЧерез внеш­ний угол ADC.

85. Продлите искомый отрезок до пересечения с боко­выми сторонами трапеции и используйте свойство сред­ней линии треугольника.

ОТВЕТЫ

ТЕМА 1. ЧИСЛА И ВЫРАЖЕНИЯ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ

1.1. Делимость натуральных чисел

1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	2	3	6	4
8	9	10	11	12	13	14
0, 2, 4, 6, 8	1, 4, 7	0,5	4	5	1	3
15	16	17	18	19	20	21
4	4	Верно	Верно	0	23■32-5	23■32-11
22	23	24	25	26	27	28
540	90	12 600	6	5 7	7 15	19,23
29	30	31	32	33	34	35
3	1	1	1, 5, 9, 13	4	1	3
36	37	38	39	40	41	42
10	1212, 1122, 2112	5,8	240 м	11	40	Нет
43	44	45	46	47	48	49

1	2	3	4	5	6	7	8
1	4	4	1	3	4	1—Б, 2—В, 3—А	2
9	10	11	12	13	14	15	16
4	1 16	25	27	1	690	-60	30
17	18	19	20	21	22	23	24
81	5200	113	10 > 9	135 > 100	4	3	3
25	26	27	28	29	30	31	32
2	4	2	3	4	4	1	3
33	34	35	36	37	38	39	40
1	3	2	3	2	1	81	4

1.3. Степень с целым показателем

ОТВЕТЫ 315

1	2	3	4	5	6
6	-7	3	1	X6	X12
7	8	9	10	11	12
4	2	3	Зх2+49	3	3
13	14	15	16	17	18

ТЕМА 4. НЕРАВЕНСТВА

1	2	3	4
1	2	(-∞;-4)		^-∞;!.
5	6	7	8
4	3	1	2
9	10	11	12
4	3	2	М
13	14	15	16
[-2;8]	[-8;-1)	[-S;0]		; 3 3 К 1 >
17	18	19	20
(—те;б) U (б; + ∞}	5	Решений нет	-11
21	22	23	24
(0,5;1,5)	5	-1	-3
25	26	27	28
(-∞^∞)	[-1; 1]	(-∞^s) и (—5;1]	1
29	30	31	32
0	1	(-∞;-2]	4; 5
33	34	35
(—7;0)и(1;+∞)	I4;”)	Решений нет
36	37	38
[-6;-2)и(-2;2)и(2;б]	5	(-∞;- 3], [-1;1]. [ 3; + ∞}
39	40	41	42
F -χ.3 √10 ] {0},[√1⅞+∞)	(-∞jθ]u {3}	5	[0; И(	1)u 16; + ∞)
43	44	45
A<3	(-3; -2]	8

1	2	3	4	5	6	7
А-2, 6-1, в-3	4	3	3	2	3	3
8	9	10	11	12	13	14
1	3	2	1	1-Б, 2-А, 3-В, 4-Г	2	3
15	16	17	18	19	20	21
2	3	1	3	4	У = Зх+ 6, да	У= 0,25x — 1, II четв.
22	23	24	25	26	27	28
A< 0, B< 0, С< 0	A > 0, B< 0, С > 0	1— 8	2	-0,8; (0,4; 0)	В(1; -9)	Да; (2; 4)
29	30	31	32	33	34	35
У = Зх — 8	У = 2х+ 9	У = Х+ 1, (0; 1), (-1; 0)	У — — -(χ2— 3 -2х-5)	1 2 У — —х + 3 + 2x-1	А(-1; 0), B(0; -1), С(1; 0)	А(-7з;о; В(-1; 0) C(√3; 0) В(0; -3)
36	37	38	39	40	41
A > 0, B< 0, С> 0	A > 0, B< 0, С > 0 или A< 0, B> 0, С> 0	(2; 7)	(3; -7)	A = 2; (1; 0).	A = —2; (2; 10)

322 ОТВЕТЫ

42. При A = —2 у = -2X2— 4X + 2,(—1; 4) — координаты вершины параболы.

43. Объединение гиперболы У= 2и прямой Y = —2X. X

44. Гипербола У =1без двух точек (1; 1) и (-1; -1), принадлежащих двум параллельным прямым X = 1 и X = —1.

45. Две параллельные прямые У = 1 — 2XИ У =—1 — 2X.

46. Две концентрические окружности с центром в нача­ле координат и радиусами 2 и 2/2.

5.2. Уравнение окружности

1. (0; 0)

2. 2

3. 3

4. 4

5. 1

6. 4

7. 3

8. 4

9. 3

10. 2

11. X2 + (У — 2)2= 9

12. (X— 2)2+ (У+2)2= 4

13. Окружность с центром в начале координат (0; 0) и радиусом 11.

14. Окружность с центром в точке (1; —1) и радиу­сом 3.

15. Окружность с центром в точке (—2; 4) и радиу­сом 1.

16. Окружность с центром в точке (0; 3) и радиусом 2.

17. Четыре.

18. Решений нет.

19. Восемь.

20. Два.

21. Решений нет.

22. Четыре.

23. (х -1)2+ (Y-1)2= 4.

24. Х2 + (Y— 1)2= 25.

25. (Х — 1)2 + (Y — 3)2= 1 или (Х —2)2 + (Y — 4)2= 1.

26. (Х+ 1)2 + Y2 = 25 или (Х —2)2 + (Y — 9)2= 25.

27. Две концентрические окружности с центром в нача­ле координат и радиусами 3 и 1.

28. Окружность с центром в точке (0; 0) и радиусом 3.

29. Окружность Х2 + (Y — 3)2= 4, которую пересекает прямая Y = Х+ 5.

30. Окружность Х2 + (Y — 3)2= 4, без двух точек (0; 5) и (—2; 3), лежащих на прямой Y = х+ 5.

ТЕМА 6. ФУНКЦИИ

1. А) 1; б) 3.

2. А) 3; б) 1.

3. 1)

4. 2)

5. 1) на высоте пятого этажа; 2) на пять этажей; 3) 1

3 этажа в секунду или 1 м/с; 4) между пятым и шестым.

6. 1) 75 км/ч и 50 км/ч; 2) на 20 минут; 3) 50 км.

7. 1) 20°С; 2) в 15 ч; 3) с 12 ч до 21 ч; 4) в 6 ч.

8. Если 0 ≤ Х ≤ 6, то 2 ≤ Y ≤ 4.

9. Если 2 ≤ Х ≤ 5, то —2 ≤ Y ≤—1,4.

10. Если —2 ≤ Х ≤ 1, то 1 ≤ y ≤ 7.

11. Если —1 ≤ Х ≤ 4, то 0,5 ≤ Y ≤ 3.

12. Область значений — промежуток [ — 2; +∞).

13. Область значений — множество всех чисел, кро­ме 1.

14. Если 1 ≤ Х ≤ 2, то 7 ≤ Y ≤ 15.

15. Если 2 ≤ X ≤ 3, то —29 ≤ Y ≤ —14.

16. Если 0 ≤ X ≤ 4, то —1 ≤ y ≤ 8.

17. Область значений — промежуток [8; +∞).

18. Y> 0, если X — любое число, кроме X = V2 и X =—√2.

19. [2; 4) и (4; +∞).

20. Y>3, если X>0, кроме X = 3.

21. Область значений — множество всех чисел, кроме -4,5.

22. Y ≥ 0, если X ≤ 2 и X = 4.

23. Функция возрастает на промежутке [ — 1; 0] и на промежутке [1; + ∞).

24. Функция убывает на промежутке [ — 2; 1].

25. Y(10) = -17.

26. Y ≥ 1 при X ≥—2.

∣X∣,∣X∣≤ 3

3, X > 3

X + 6, X<—3

3X-1, X>-1

-2X —6, X<-1

29. Прямая имеет с графиком функции четыре общие точки при 0 <M<4.

30. При M> 0 и M = —16 — две общих точки, при —16 <M<0 — четыре общих точки, при M =0 — три об­щих точки, при M<—16 — нет общих точек.

(VH + V5)(VH -√5)

11 — 2V55 + 5 + (11 + 2V55 + 5)

= 11=5 .

32 16 1

Окончательно имеем: = = 5 .

63 3

Ответ: 51.

[3]

Выражения вида V A + VB ± 7 A VB, A > 0, B ≥ 0

Ф

Для вычисления значения выражений вида √A + VB ±7А — VB, А > 0, B > 0 сначала обозначают это выражение, например А, потом возводят обе части равенства в квадрат и, учитывая знак выражения А, записывают ответ.

Задание 13. Выражение V7 — V24 -77 + V24 явля­ется целым числом. Найдите его.

Пусть A = 77 — V24 —77 + V24. Рассмотрим А.2.

A2 = 7 — √24 — 277 — √24 7 + V24 + 7 + V24 =

= 14 — 2∣(7 + T2∣4)(7 — V24) = 14 — 2√25 = 4.

.

[4] 27 2) -27 3) — 4) — —

27 27

[5] + 6X

[x] + 1 X2 + 5 X + 6

—2M 3 + 1 + M 3 и найдите

(M — 1) (1 — M}

[7] (0,75; 0)

[8] (4; 0)

[9] (0; 4)

[10] (0; 0,75)

[11] В каких координатных четвертях расположен график функции У = —, Если ему принадлежит точка (—2; —5)?

1) III 2) I и III 3) I и II 4) III и IV

[12] В каких координатных четвертях расположен гра­фик функции У = —, если ему принадлежит точка (—5; 2)?

1) III 2) II и III 3) II и IV 4) I и IV

[13] В каких координатных четвертях расположен гра­фик функции У = —, если ему принадлежит точка (2; — 5)?

1) I 2) I и IV 3) II и IV 4) III и IV

[14] Q = B1 = 42 = 4 или 2) Q = B^ = = -4.

B10 412 B10 — 412

Задание 7. Решите уравнение |2Х + 5| = Х — 1|.

Решение.

Два числа, модули которых равны, либо равны между собой, либо отличаются только знаком, т. е. если ∖A{ = \Ъ\, То либо А = Ъ, либо A = — Ъ. Применим это свойство моду­лей к решению исходного уравнения.

2Х + 5 = Х — 1 или 2Х + 5 = 1 — Х

4 4

Х = —6 или Х = — —

3

Ответ: —6; — 4.

[17]

Замечание: уравнение вида F(Х)∣ = ∣G(Х)| можно решать с помощью равносильных преобразований. Так как обе час­ти уравнения неотрицательны, то уравнение равносильно уравнению F 2(Х) = G2(Х), тогда (F (Х) — G(х))(F (Х) + G(х)) = 0.

Например, в задании 7 уравнение |2Х + 5| = Х — 1| равно­сильно уравнению (2Х + 5)2 = (Х — 1)2. Далее применяем формулу разности квадратов и условие равенства нулю произведения:

Задание 12. Решите уравнение X2 + TX— — 12 = 0.

Решение.

Так как VB2 = | Ь\, то исходное уравнение равносильно уравнению X2 + ∣X| — 12 = 0.

Решим его двумя способами.

1й способ. Решим уравнение на каждом из двух проме­жутков Х ≥ 0 и Х <0.

[19] При Х ≥0 получим уравнение X2 + X — 12 = 0. Его кор­ни: — 4 и 3. C учетом условия Х ≥ 0, имеем только один ко­рень 3.

[20] При Х <0 получим уравнение X2 — X — 12 = 0. Его кор­ни: 4 и (—3). C учетом условия Х <0, имеем только один ко­рень (-3).

Исходное уравнение имеет два корня: 3 и (—3).

2-й способ. Введем новую переменную. Пусть ∣X∣ = A. Так как X2 = ∣X|2, то имеем квадратное уравнение относитель­но А.

A2 + A — 12 = 0.

A = -4 или A = 3.

∣X∣ = -4 или ∣XI = 3.

Первое уравнение корней не имеет (почему?). Второе уравнение имеет два корня ±3.

Ответ: ±3.