3УСС U ЭКЗАМЕН® R G т:л Г Г ИСПЫТАНИЯ…

Тогда D,- A4 = aq(cΓg-∖}∙, ag>0;Следовательно, знак разности С? — а4 Определяется знаком CΓ4-1.

Т т

W Т ~~ ~~

ПустьР — Q = — > 0, тогда А > 1 А > 1 =>(an)»> 1 =≠>An> 1, П

Т. е. D~q> 1 =≠>D,>А4.

Логарифмическая функция

Функция вида У = logαx, А > 0, a ≠ l, x>0, называется Логариф­мической.

D(∖O%0x) = (0; +oo); ^(logαx) = R.

Функция не является периодической, четной или нечетной, так как определена только для х > 0.

Пересечение с осью Ох:

Logαx = 0 =>х = 1, точка (1; 0).

При А>1 y(x)>0 при х > 1, Y(x) < 0 при х ∈(0; 1).

При 0<А< 1, y(x) > 0 при х ∈ (0; 1), Y(x)<0При х ∈ (1; +00).

Функция не имеет наибольшего и наименьшего значений.

Свойство. При 0 <А < 1 функция убывает на всей области опре­деления, при А>1 — возрастает.

Асимптота графика функции — ось ординат х = 0.

А > 1 0 <А < 1

4. Начала математического
анализа

4.1. Производная

Определение. Пусть некоторая функция Fix)Определена на некотором промежутке I, Xq — точка этого промежутка, число H ≠О таково, что Xq+HТакже принадлежит промежутку I. Тогда Производной функции Fix) в точке X0Называется предел разностного отношения /(x0+Λ)-∕(x0) — при H—> 0 (если этот предел существует). H

Производная функцииДх) в точке XqОбозначается ∕,(x0).

Если функция Fix)Имеет производную в некоторой точке х0, то дан­ная функция называется дифференцируемой в этой точке.

Если функция Fix)Имеет производную во всех точках некоторого промежутка, то данная функция называется дифференцируемой на этом промежутке.

Геометрический смысл производной некоторой дифференцируе­мой функции заключается в том, что значение производной функции в некоторой точке равняется угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику этой функции в данной точке.

Уравнение касательной к графику функции Fix),Дифференцируе­мой в точке Xq,Имеет вид У = f'(x0 )(x— x0) + F(х0).

Производные элементарных функций

Если в точке Х существуют производные функций м(х), v(x), то справедливы соотношения:

(и± v)’ = U, ± v’; (и ■V)’ = U’v + M√;

U ∖ UV-UV

—, v≠0.
V

Производная функции вида У = fiax + Ь) равна Y, = af'{ax + Ь) .

Функция вида/^(х)) называется сложной функцией.

Производная сложной функции находится по формуле:

Y, = f{g{χ>y = f,(g(χ)) ■ G'(χ∖

4.2. Исследование функций

Если F'{x)> 0 на некотором промежутке, то функция возрастает на этом промежутке.

Если F'{x)< 0 на некотором промежутке, то функция убывает на этом промежутке.

Определение. ТочкаXo называется Точкой максимума функ­ции У =fix),Если существует такая окрестность точки х0, что при всех х ≠ х0 из этой окрестности ∕x)<∕x0).

Определение. Точка х<> называется Точкой минимума функ­ции У =fix),Если существует такая окрестность точки х0, что при всех х ≠ х0 из этой окрестности Fix) >fixo)∙

Точки максимума и минимума функции в совокупности называ­ются Точками экстремума этой функции.

Теорема. Пусть Дх) — дифференцируемая функция, тогда если х0 — точка экстремума этой функции, то /'(x0) = θ

Те точки, в которых производная функции равна нулю, называют­ся стационарными.

Теорема. Пусть функция /(х) дифференцируема на интервале (a, b), х0 е (а, Ь) , и /'(х0) = 0 Тогда:

1) если при переходе через точку Xo функции /(х) ее производная ме­няет знак с «+» на «-», то Xq— точка максимума функцииу(х).

2) если при переходе через точку х0 функции Дх) ее производная ме­няет знак с «-» на «+», то Xq— точка минимума функцииу(х).

4.3. Первообразная и интеграл

Определение. Пусть на некотором промежутке выполняется F'(x) = Дх), тогда функция У = F(x)Называется Первообразной для функции^ = Дх).

Теорема 1. Пусть F(x) — первообразная для /(х) на некотором промежутке, тогда функция F(x) + C тоже является первообразной для /(х) на том же промежутке, где C — произвольная константа.

Теорема 2. Пусть F(x) — первообразная для/(х), G(x) — для g(x), тогда F(x) + G(x) — первообразная дляДх) + g(x).

Пусть F(x) — первообразная Для /(х), К — константа, тогда KF(x) — первообразная для КЦх).

Пусть F(x) — первообразная для /(х), К, B — константы, A≠0, тогда

— F(kx + b) — первообразная для/(Ax + Ь). к

Таблица 2

Первообразные элементарных функций

Пусть нам необходимо найти площадь фигуры, ограниченной графиком У =J(x),И прямыми У = 0, Х = а, х = Ь. Для простоты предпо­лагаем, что/х) > 0 на [а; Ь].

Разобьем отрезок [а; Ь] на П равных частей точками

X0 = А < Xi <... <Xn = b.На каждом из отрезков [x⅛.ι, x⅛] построим прямо­угольник высоты Fixk~∖).Сумма площадей всех прямоугольников:

Σ (α, B) = ∙ (/(x0) + /(x1) + …+ /(xw,1)).

W

При неограниченном увеличении П существует предел S = lim∑(α,Z>), который является искомой площадью. Этот предел Н—>х

Называется определенным интегралом Fix)От А до BИ обозначается

∫∕(X)Λ. А

Теорема 1. Если функция У = fix)Непрерывна на [а; Ь], то спра — Ь

Ведлива формула: Jf(x)dx= F(b) — F(a),Где F(x) — первообразная А

Для Xr). Это формула Ньютона-Лейбница.

5. Геометрия

5.1. Планиметрия

Признаки равенства треугольников

Определение. Два треугольника называются равными, если их можно наложить друг на друга так, чтобы они совпали.

1) (Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними).

Если в AABCИ AAtBtCt ^BAC = ZBtAtCt, AB = AtBt, AC = AtCt, То AABC = AAtBtCt.

2) (Второй признак равенства треугольников — по стороне и приле­жащим к ней углам).

Если в AABCИ AAtBtCt BC = BtCt, ZACB = ZAtCiBt, ZABC== ZAtBtCt, то AABC = AAtBtCt.

3) (Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам). Если в AABCИ ΔJι51Cι AB = AtBt, AC= AtCt, BC = BtCt,То AABC = AA tBtCt.

Признаки подобия треугольников

1) (Первый признак подобия треугольников — по двум углам). Два треугольника являются подобными, если два угла одного тре­угольника равны двум углам другого треугольника.

2) (Второй признак подобия треугольников — по двум сторонам и уг­лу между ними). Два треугольника являются подобными, если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы между этими сторонами равны.

3) (Третий признак подобия треугольников — по трем сторонам). Два треугольника являются подобными, если все стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника. Сумма внутренних углов треугольника равна 180 градусов.

Неравенство треугольника: Во всяком треугольнике каждая его сторона меньше суммы двух других его сторон.

Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольник^ квадрат ги­потенузы равен сумме квадратов катетов.

Теорема косинусов: Квадрат любой стороны треугольника равен разности между суммой квадратов двух других сторон и удвоенным произведением этих сторон на косинус угла между ними.

Теорема синусов: Отношения сторон треугольника к синусам противолежащих углов равны между собой.

Площадь треугольника равна половине произведения одной из его сторон на проведенную к этой стороне высоту:

J_

5 = Ah.

Площадь любого треугольника равна половине произведения лю­бых двух его сторон на синус угла между ними.

Формула Герона для площади треугольника:

S = ∖∣P(P~ a∖P — B)(p — с)

, а+Ь+с

Где А, Ь, с — длины сторон треугольника, Ар — ———————- Полупери­

Метр треугольника.

Определение. Параллелограмм — 4-угольник, в котором про­тивоположные стороны попарно параллельны.

Теорема 1 (свойство сторон и углов параллелограмма).

Пусть ABCD — параллелограмм. Тогда AB = CD, BC = AD, ΛA = ZC, ZB = ZDnΛA + ZB=18Qo.

Теорема 2 (признаки параллелограмма).

Если в выпуклом 4-угольнике ABCD∖Или 1) AB = CDИ BC = AD, Или 2) А В — CDИ AB ∣∣ CD,То ABCD — параллелограмм.

Теорема 3 (свойство диагоналей).

Пусть ABCD — параллелограмм, ACn BD = О.

Тогда АО = ОС и ВО = OD.

Теорема 4. (признак параллелограмма).

Пусть ABCD — 4-угольник, AC, BD — его диагонали, ACry BD = О, AO = ОС, ВО = OD.Тогда ABCD — параллелограмм.

Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, опущенную на эту сторону.

Трапеция

Определение. Трапеция — это 4-угольник, в котором две противоположные стороны параллельны (основания трапеции), а две другие — нет (боковые стороны трапеции).

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.

Определение. Средняя линия трапеции — это отрезок, со­единяющий середины ее боковых сторон.

Теорема. Пусть PQ — средняя линия трапеции ABCD.

Тогда PQИ AD, PQ || ВС,

PQ = ±(AD + ВС).

Площадь трапеции равна произведению ее средней линии на вы­соту.

Правильные многоугольники

Определение. Многоугольник называется выпуклым, если этот многоугольник целиком находится в одной полуплоскости отно­сительно любой прямой, содержащей его сторону.

Сумма всех внутренних углов выпуклого «-угольника равна 180\п-2).

Выпуклый многоугольник называется правильным, если все его стороны и углы равны.

Окружность

Касательная к окружности и ее свойства. Центральный и вписан­ный углы. Длина окружности. Площадь круга

Определение. Окружность — множество всех точек, рав­ноудаленных от данной точки (центра окружности). Радиус ок­ружности — отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром. Секущая — прямая, проходящая через 2 точки окружности. Хорда — отрезок, соединяющий 2 точки окружности. Диаметр — хорда, прохо­дящая через центр. Касательная — прямая, лежащая в одной плоскости с окружностью и имеющая с ней только одну общую точку (точку ка­сания).

Теорема 1. (свойство касательной). Пусть прямая А касается ок­ружности с центром О в точке А. Тогда OA 1 А.

Теорема 2. Пусть А лежит вне окружности, ABИ AC — каса­тельные.

Тогда AB = ACИ ABAO = AOAC.

Теорема 3. (обратная к теореме 1). Пусть OA — радиус окружно­сти, A ± OA, А еа. Тогда А — касательная.

Определение. Центральный угол — угол, образованный двумя радиусами окружности. Вписанный угол — угол, образованный двумя хордами, проведенными из одной точки окружности.

Теорема 1. Пусть ZABC — вписанный в окружность с центром О.

IqtjvlZABC = — AC.

2

Теорема 2. Пусть AEИ DC — хорды, пересекающиеся внутри круга.

Тогда ZABC = ∣ (AC ÷ DE).

Теорема 3. Пусть AEИ CD — отрезки секущих, пересекающихся вне круга в точке В.

ТогдаZABC = ∣ (AC — DE).

Теорема 4. Пусть ABИ CD — хорды окружности, AB n CD = Е. Тогда AE ■ BE= CE ■ DE.

А

/ /

V× /в

Теорема 5. Пусть точка MВне круга, MA — касательная, MC — Секущая. Тогда MA2 = MB ■ MC(квадрат касательной равен произве­дению секущей на ее внешнюю часть).

Длина окружности: / = 2πR,Где / — длина окружности, a R — ее радиус. Круг с центром в точке О радиуса R — это множество таких точек X, что OX < R.Площадь круга: S = πR2,Где S — площадь круга, a R — его радиус.

Векторы

Определение. Вектором называется Направленный отрезок, То есть отрезок, для которого указано, какой из его концов является на­чалом, а какой концом.

Два вектора называются Коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Два вектора ABИ CDНазывают Одинаково направленными, если две полупрямые ABИ CDНаправлены одинаково.

Два вектора ABИ CDНазывают Противоположно направленны­ми, если две полупрямые ABИ CDНаправлены противоположно.

Абсолютной величиной (модулем) вектора называют длину отрез­ка, который изображает вектор. Обозначается ∣α∣.

Нулевым вектором называется такой вектор, начало которого совпадает с его концом.

Два вектора Равны, если они совмещаются параллельным пере­носом.

Равные векторы одинаково направлены и равны по модулю, и об­ратно: если два вектора одинаково направлены и равны по модулю, то они равны.

Пусть точка Л1 (xbj>ι) — начало вектора А, а точка A2(x2′, У2) — его конец. Тогда Координатами вектора а называются числа Aι = x2- Xi Htf2=y2-jι.

Суммой двух векторов A(al’,a2) и B(bx, ib2)Называется вектор С (tfι + Bi; tf2+ Z>2).

Произведением вектора (tf1,tf2) на число а называется вектор (αtf1, αtf2).

Скалярным произведением векторов(tf1,tf2) и {bx, b2)Называется число A∖B∖+a2b2.

Теорема. Скалярное произведение векторов равно произведению их модулей на косинус угла между этими векторами.

5.2. Прямая и плоскость в пространстве

Угол между прямой и плоскостью

Пусть a — плоскость, А — пересекающая эту плоскость прямая. Проекцией прямой а на плоскость а называется прямая «’,которая является множеством оснований перпендикуляров, опущенных из всех точек прямой А на плоскость a.

Углом между прямой а и плоскостью а называется угол между прямыми А и А’.

Угол между плоскостями. Двугранный угол

Пусть две плоскости пересекаются. Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями и общей ограничи­вающей их прямой.

Эти полуплоскости называются Гранями двугранного угла, а ог­раничивающая эти плоскости прямая — Ребром данного Двугранного угла.

Проведем плоскость, перпендикулярную ребру; она пересечет данные плоскости по двум полупрямым.

Образованный этими полупрямыми угол называется Линейным уг­лом двугранного угла.

Определение. Углом между пересекающимися плоскостями Называется линейный угол двугранного угла, образованного этими плоскостями.

Угол между скрещивающимися прямыми

Определение. Углом между скрещивающимися прямыми на­зывается угол между прямыми, которые параллельны исходным и пе­ресекаются.

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Определение. Общим перпендикуляром двух скрещивающих­ся прямых называют отрезок, концы которого лежат на этих прямых и который перпендикулярен каждой из них.

Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми называ­ется длина общего перпендикуляра этих двух прямых.

Расстояние от точки до прямой

Определение. Расстоянием от точки до прямой называет­ся длина перпендикуляра, опущенного от данной точки на данную прямую.

5.3. Многогранники

Призма

Определение. Призмой называется многогранник, состоящий из двух равных выпуклых плоских многоугольников A↑A2… AnИ B↑B2… Bn, Лежащих в параллельных плоскостях, и отрезков Λj51; A2B2; …; AnBn. Многоугольники называются Основаниями призмы, а отрезки, которые соединяют соответствующие вершины этих многоугольников— Боко­выми ребрами.

Свойство 1. Боковые ребра призмы параллельны и равны.

Определение. Высотой призмы называется расстояние меж­ду основаниями.

Определение. Боковыми гранями призмы A ↑A2… AnИ B↑B2… Bn Называются четырехугольники A∖B↑B2A2, A2B2BiAi, …, An↑Bn↑BnAn. Площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей всех ее боковых граней.

Теорема 1. Объем призмы равен произведению площади основа­ния на высоту:

V=SH.

Теорема 2. Площадь поверхности призмы равна сумме двух пло­щадей основания и площади боковой поверхности.

S = 25,och ÷ ‰κ.

Определение. Прямой призмой называется призма, основа­ния которой перпендикулярны боковым ребрам.

Теорема 3. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту

V=PochН.

Пирамида

Определение. Пирамида — многогранник, состоящий из плоского выпуклого многоугольника, называемого Основанием пира­миды, точки, не лежащей в плоскости основания, называемой Верши­ной пирамиды, и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с вершинами основания. Отрезки, которые соединяют вершину пира­миды с вершинами основания, называются Боковыми ребрами.

Определение. Опущенный из вершины пирамиды на плос­кость основания перпендикуляр называется Высотой пирамиды. Площадью боковой поверхности пирамиды называется сумма площа­дей всех ее граней.

5

Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма пло­щадей всех ее граней и площади основания.

Правильная пирамида — пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пира­миды с центром основания, является ее высотой. Правильная тре­угольная пирамида называется Тетраэдром.

Теорема. Плоскость, пересекающая пирамиду и параллельная ос­нованию, отсекает подобную пирамиду.

Определение. Часть пирамиды без ее отсеченной части на­зывается Усеченной пирамидой.

Теорема. Объем пирамиды равен одной трети произведения пло­щади основания на высоту

V = -SH.

3

Теорема. Объем усеченной пирамиды равен V = + ∖∣^lS2 + S2)

Где H — высота усеченной пирамиды, S1, S2— площади ее оснований.

Правильные многогранники

Определение. Выпуклый многогранник называется Правиль­ным, если все его грани — правильные многоугольники с одинаковым числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одинако­вое число ребер.

1. Выпуклый многогранник со сторонами — правильными тре­угольниками и такой, что в каждой его вершине сходится по три ребра, называется Правильным тетраэдром.

2. Выпуклый многогранник со сторонами — правильными тре­угольниками и такой, что в каждой его вершине сходится по че­тыре ребра, называется Октаэдром.

3. Выпуклый многогранник со сторонами— правильными тре­угольниками и такой, что в каждой его вершине сходится по пять ребер, называется Икосаэдром.

4. Выпуклый многогранник со сторонами — квадратами и такой, что в каждой его вершине сходится по три ребра, называется Кубом.

5. Выпуклый многогранник со сторонами— правильными пяти­угольниками и такой, что в каждой его вершине сходится по пять ребер, называется Додекаэдром.

Других правильных многогранников не существует.

5.4. Тела вращения

Прямой круговой цилиндр

Определение. Цилиндр — это тело, состоящее из двух кру­гов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов.

Данные круги называются Основаниями цилиндра, а отрезки, со­единяющие соответствующие точки окружностей кругов, — Обра­зующими цилиндра.

Определение. Если образующие цилиндра перпендикулярны плоскостям оснований, то цилиндр называется Прямым.

Свойство 1. Образующие любого цилиндра параллельны и равны.

Свойство 2. Сечение цилиндра плоскостью, параллельной плос­кости основания и пересекающей боковую поверхность, является ок­ружностью, равной окружности основания.

Теорема 1. Объем цилиндра равен TtR2■ H, где H — высота цилиндра.

Теорема 2. Площадь поверхности прямого кругового цилиндра равна ItiR2 + 2τtR I, где Z — длина образующей.

Прямой круговой конус

Определение. Конус — это тело, состоящее из круга — Осно­вания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга — Вершины конуса, всех отрезков, соединяющих точки основания с вершиной, и такое, что прямая, соединяющая вершину конуса с центром основа­ния конуса, перпендикулярна плоскости основания.

Высота конуса — перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания.

Осью прямого кругового конуса называется прямая, содержащая его высоту.

Проведем сечение конуса плоскостью, параллельной основанию.

Нижняя часть конуса называется Усеченным конусом.

Теорема. Объем конуса равен одной третьей произведения пло­щади основания на высоту.

Объем усеченного конуса равен V = ^h(τtR2 + πRr + πr2) ,h — вы­сота усеченного конуса, a R, Г — радиусы оснований.

Шар и сфера

Определение. Тело, состоящее из всех точек пространства, находящихся на расстоянии не большем заданного от некоторой дан­ной точки, называется Шаром. Эта точка — Центр шара, а заданное расстояние —Радиус.

Определение. Граница шара называется Сферой.

Определение. Отрезок, который соединяет две точки сферы и проходит через центр шара, называется Диаметром.

Свойство 1. Любое сечение шара плоскостью есть круг. Центром этого круга является основание перпендикуляра, опущенного из цен­тра шара на секущую плоскость.

Определение. Плоскость, которая проходит через центр ша­ра, называется Диаметральной плоскостью. Сечение ею шара — Большим кругом, а сечение сферы — Большой окружностью.

Теорема. Любая диаметральная плоскость шара является его плоскостью симметрии. Центр шара является его центром симметрии.

Определение. Плоскость, проходящая через точку RСферы и перпендикулярно радиусу, проведенному в эту точку, называется Ка­сательной плоскостью. Точка RНазывается Точкой касания.

Теорема. Касательная плоскость пересекается с шаром в единст­венной точке — в точке касания.

Теорема. Линией пересечения двух сфер является окружность.

Теорема. Объем шара равен

4 РЗ
-τtκ .

3

Определение. Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью.

O↑A =H— высота шарового сегмента.

Свойство. Объем шарового сегмента равен J, где

H — высота шарового сегмента.

Определение. Шаровым сектором называется тело, которое получается из шарового сегмента и конуса, основанием которого яв­ляется сечение плоскостью данного шара.

Свойство. Объем шарового сектора равен -TiR2H.

Теорема. Площадь сферы радиуса RВычисляется по следующей формуле: 5 = 4 TiR2.

УЧЕБНО-ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ТЕСТЫ

Инструкция по выполнению работы

На выполнение экзаменационной работы по математике дается 4 часа (240 мин.). Работа состоит из двух частей и содержит 20 заданий.

Часть 1 содержит 14 заданий с кратким ответом (В I-B14) базово­го уровня по материалу курса математики. Задания части 1 считаются выполненными, если экзаменуемый дал верный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби.

Часть 2 содержит 6 более сложных заданий (С 1-С6) по материалу курса математики. При их выполнении надо записать полное решение и ответ.

Советуем для экономии времени пропускать задание, которое не удается выполнить сразу, и переходить к следующему. К выполнению пропущенных заданий можно вернуться, если у вас останется время.

Желаем успеха!

Вариант 1

Часть 1

BI. Билет на автобус стоит 30 рублей. Какое максимальное число билетов можно будет купить на 150 рублей после повышения цены билета на 10%?

В2. На рисунке показан график изменения температуры воздуха.

83. Площадь прямоугольника равна 30. Найдите его большую сторону, если известно, что она на 1 больше его меньшей стороны.

84. Для транспортировки 12 тонн груза на 700 километров можно воспользоваться услугами одной из трех фирм-перевозчиков. Условия перевозки указаны в таблице. Во сколько рублей обойдется самая де­шевая перевозка?

85. Решите уравнение 41^x = 16.

86. В треугольнике ABCУгол CРавен 90o, sin Л = 0,27. Найдите cos В.

87. Найдите значение выражения Iog3112,5 — Iog312,5.

88. Прямая У = 1 — Х параллельна касательной к графику функции У = 2х2 — Зх — 4 . Найдите абсциссу точки касания.

89. В Правильной шестиугольной призме ABCDEFAiB↑CiD↑E↑F↑ AB = 2 см, AA1 = 5 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

810. В партии из 400 телевизоров оказалось 8 бракованных. Како­ва вероятность купить исправный телевизор?

811. Объем цилиндра равен 30 см3. Чему равен объем конуса с та­ким же основанием и высотой? Ответ дайте в см3.

812. Камень брошен вниз с высоты 24 м. Высота H,На которой на­ходится камень во время падения, зависит от времени T: h(t) = 24 — 5/ —T2. Сколько секунд камень будет падать?

813. Заказ в 180 деталей первый рабочий выполняет на 3 часа бы­стрее, чем второй рабочий. Сколько деталей в час делает второй ра­бочий, если известно, что он за час делает на 3 детали меньше?

814. Найдите точку максимума функции У = ti- 6t2-15t + 4 .

Часть 2

Cl. А) Решите уравнение sin2x = cos ~ x

Б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие проме­жутку [-π; 0].

С2. В кубе ABCDA1B1C1D1Найдите угол между прямыми AB1 И CA1.

СЗ. Решите систему неравенств

5x+5x+1 ≤36

Yj9-x2 Iogx 2 >О

С4. В окружности проведены две хорды: AB = 3 и AC = 2. Длина дуги ACВ 2 раза больше длины дуги АВ. Найдите радиус окружности.

С5. При каких положительных значениях параметра А система уравнений

α2x^v^4 =χ-4y+ 1 x+3y-5=0

Имеет ровно два различных решения?

С6. Решите уравнение в натуральных числах Тп+ 48 = 4w.

Вариант 2

Часть 1

BL Билет на автобус стоит 20 рублей. Какое максимальное число билетов можно будет купить на 80 рублей после повышения цены би­лета на 10%?

82. На рисунке показан график изменения температуры воздуха. Сколько часов температура была ниже 9 градусов?

83. Найдите длину вектора ABС началом Л(1; 2) и концом В(4;6).

84. Для транспортировки 19 тонн груза на 400 километров можно воспользоваться услугами одной из трех фирм-перевозчиков. Условия перевозки указаны в таблице. Во сколько рублей обойдется самая де­шевая перевозка?

85. Решите уравнение 2x+4 = 4 .

86. В треугольнике ABCУгол CРавен 90o, Cos A = 0,574. Найдите sin В.

( 2^

87. Найдите значение выражения I 3,2 — — J: 280 -1.

88. На рисунке изображен график функции Y = f(х). Найдите сре­ди точек x1, X2, х3 и X4те, в которых производная функции У = f(x) Положительна. В ответ запишите количество найденных точек.

89. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA∖B∖C∖D∖E∖F↑ AB = 4 см, AA1 = 3 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

810. В партии из 500 компьютеров оказалось 5 бракованных. Ка­кова вероятность купить исправный компьютер?

811. Объем конуса равен 25 см3. Чему равен объем цилиндра с та­ким же основанием и высотой? Ответ дайте в см3.

812. Камень брошен вниз с высоты 12 м. Высота H,На которой нахо­дится камень во время падения, зависит от времени /: H(t) = 12-5/-2/2. Сколько секунд камень будет падать?

813. Заказ в 130 деталей первый рабочий выполняет на 3 часа бы­стрее, чем второй рабочий. Сколько деталей в час делает первый ра­бочий, если известно, что он за час делает на 3 детали больше?

814. Найдите точку максимума функции у = 2/3 -15/2+ 24/ -1.

Часть 2

(3π ]

Cl. А) Решите уравнение cosХ= cosI — — ХI.

Б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие проме- π —;я.

2

iog2 7
» align=»right» width=»102″ height=»49″ class=»»/>С2. В кубе ABCDAlBiClDiНайдите тангенс угла между плоско­стями ABDИ CAD1.

СЗ. Решите систему неравенств

С4. В окружности проведены две хорды: AB = 3 и AC = 4. Длина дуги ACВ 2 раза больше длины дуги АВ. Найдите радиус окружности.

С5. При каких значениях параметра А система уравнений

Loga(x + y + l) = y-2x + 2

Х — 2у= 3

Имеет единственное решение?

С6. Решите уравнение в натуральных числах Тп+16 = 4?и.

Вариант 3

Часть 1

BI. Булочка стоит 6 рублей 60 копеек. Какое наибольшее число булочек можно купить на 80 рублей?

В2. На рисунке показан график изменения температуры воздуха.

ВЗ. Найдите площадь квадрата, вершины которого заданы коор­динатами в декартовой системе координат Л(0; 4), В(4;7); С(7; 3); Р(3; 0).

В4. Интернет-провайдер предлагает три тарифных плана:

Пользователь предполагает, что его трафик за месяц составит 500 Мб и, исходя из этого, выбирает наиболее выгодный тарифный план. Сколько рублей заплатит пользователь за месяц, если его тра­фик действительно составит 500 Мб?

85. Решите уравнение 5х 2= 25.

86. В треугольнике ABCУгол CРавен 90o, sinΛ = 0,8. Найдите cos А.

__ ττ„ 24sinll l0coslll0

87. Найдите значение выражения————————— .

88. На рисунке изображен график функции У = f(x) . Пользуясь

Рисунком, вычислите jf(x)dx.

AB = 5 см, AA1 = 1 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

810. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найти вероятность того, что орел не выпадет ни разу.

811. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна 5. Чему будет равна площадь поверхности параллелепипеда, ес­ли каждое его ребро увеличить в два раза?

812. Камень брошен вниз с высоты 8 м. Высота H,На которой нахо­дится камень во время падения, зависит от времени T: h(t) = 7 — 6/ —12. Сколько секунд камень будет падать?

813. Бригада рабочих должна изготовить 300 деталей. Изготавли­вая ежедневно на 10 деталей больше, чем предполагалось по плану, бригада выполнила задание на пять дней раньше срока. Сколько дней бригада затратила на выполнение задания?

814. Найдите точку максимума функции У = 3t3- 36t2 + 63z +11.

Часть 2

Cl. А) Решите уравнение tgx + Ctgx = 2.

6) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие проме­жутку [π; 3π].

С2. В единичном кубе ABCDAxBxCxDxНайдите расстояние между прямыми ADИ CA1.

СЗ. Решите систему неравенств

Log3(x-l)14+ log1(x-l)2<12
< 3

3λ+2+3v>20

С4. В окружности проведены две хорды: AB = 3 и AC = 5. Длина дуги AC в 2Раза больше длины дуги АВ. Найдите радиус окружности.

С5. При каких значениях параметра А система уравнений [logtt(l-x-2y) = y-4

[x + y + 3 = 0

С6. Решите уравнение в натуральных числах Тп+ 28 = 11т.

Вариант 4

Часть 1

81. Теплоход рассчитан на 450 пассажиров и 30 членов коман­ды. Одна спасательная шлюпка может вместить 70 человек. Какое наименьшее количество шлюпок потребуется для того, чтобы в слу­чае необходимости разместить в них всех пассажиров и членов ко­манды?

82. На рисунке показан график изменения температуры воздуха. Сколько часов температура была выше 22 градусов?

83. Найдите площадь прямоугольника, вершины которого заданы координатами в декартовой системе координат Л(0; 1), 5(4; 5); С(5; 4); П(1;0).

84. В магазине бытовой техники объявлена акция: если покупатель приобретает товар на сумму более 20000 р., он получает скидку в 10% на стоимость его следующей покупки. Если покупатель участвует в ак­ции, то он теряет право возвратить товар в магазин. Покупатель А. хо­чет приобрести пылесос стоимостью 19400 р., миксер стоимостью 2300 р. и вентилятор стоимостью 3200 р.

В каком случае А. заплатит за покупку меньше всего:

1) А. купит все три вещи;

2) А. купит пылесос и миксер и воспользуется скидкой при по­купке вентилятора;

3) А. купит пылесос и вентилятор и воспользуется скидкой при покупке миксера?

Найдите сумму, которую А. заплатит за покупку в искомом случае.

85. Решите уравнение 25 * = 16 .

86. Найдите значение выражения 16(1 — cos2а), если sin а = — .

4

87. Найдите значение выражения 3 • 21оё2 5.

88. Функция У = flx)Определена на отрезке [-4; 2]. На рисунке изображен график производной функции У = /(x). В какой точке от­резка функция принимает наибольшее значение?

89. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA↑B∖C∖D∖E∖F∖ AB = 6 см, AA ↑ = 5 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

810. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найти вероятность того, что оба раза выпадет орел.

811. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 32. Чему бу­дет равен объем параллелепипеда, если каждое его ребро уменьшить в два раза?

812. Камень брошен вниз с высоты 8 м. Высота H,На которой на­ходится камень во время падения, зависит от времени I: H(t) = 8-7t-t2. Сколько секунд камень будет падать?

813. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 120 км/ч, проезжа­ет мимо платформы, длина которой 300 м, за 15 с. Найдите длину по­езда (в метрах).

814. Найдите точку максимума функции У = — — 4/2 + It— 2.

Часть 2

Cl. Решите уравнение (4cos2Х+12 sin Х+ 5)V-4sinx = 0.

С2. Сторона основания правильной треугольной пирамиды рав­на 6, а двугранный угол при основании равен 45°. Найдите объем пи­рамиды.

__ _> x2 -9x + 21

СЗ. Решите неравенство —— < 0.

С4. В окружности проведены две хорды: AB = 2 и AC = 1. Длина дуги ACВ 2 раза больше длины дуги АВ. Найдите радиус окружности.

С5. При каких положительных значениях параметра А система „ pχ-3v-4=x-5y + l уравнении имеет единственное решение?

[x + 2j> = 5

С6. Решите уравнение в натуральных числах Тп+ 35 = 7т.

Вариант 5

Часть 1

BI. Тетрадь стоит 6 рублей. Какое наибольшее число таких тетрадей можно будет купить на 200 рублей при условии, что при покупке более чем двадцати тетрадей покупатель получает скидку 10% на стоимость всей покупки?

В2. На рисунке показан график изменения температуры воздуха.

ВЗ. Найдите площадь квадрата, вершины которого заданы коор­динатами в декартовой системе координат Λ(~4; -4), B(-3; -1); С(0;-2);£>(-1;-5).

В4. В магазине компьютерной техники объявлена акция: если по­купатель приобретает товар на сумму более 20000 р., он получает сер­тификат на 6000 р., который может обменять в этом же магазине на любой товар стоимостью менее 6000 р. Если покупатель участвует в акции, то он теряет право возвратить товар в магазин.

Покупатель А. хочет приобрести системный блок стоимостью 18990 р., монитор стоимостью 5990 р. и звуковые колонки стоимо­стью 2990 р.

В каком случае А. заплатит за покупку меньше всего:

1) А. купит все три вещи;

2) А. купит системный блок и монитор, а звуковые колонки полу­чит за сертификат;

3) А. купит системный блок и звуковые колонки, а монитор полу­чит за сертификат?

Найдите сумму, которую А. заплатит за покупку в искомом случае.

85. Решите уравнение 42^x = 64.

86. Найдите значение выражения 49(1 — cos2 α)∙, если sin a = -у.

87. Найдите значение выражения 3 ∙ 6l°8b5.

88. Функция У= Дх) определена на отрезке [-4; 3]. На рисунке изображен график производной функции У = f(x).В какой точке от­резка функция принимает наибольшее значение?

89. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 AB = 3 см, AA1 = 7См. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

810. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найти вероятность того, что орел и решка выпадут по одному разу.

811. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 64. Чему бу­дет равен объем параллелепипеда, если каждое его ребро уменьшить в четыре раза?

812. Камень брошен вниз с высоты 5 м. Высота H,На которой нахо­дится камень во время падения, зависит от времени T: h(t) = 5-4t-t2. Сколько секунд камень будет падать?

813. Из пункта А в пункт В выехал мотоциклист и одновременно из В в А выехал автомобилист. Мотоциклист прибыл в В через 3 часа после встречи, а автомобилист в А через 45 минут после встречи. Сколько часов был в пути автомобилист?

814. Найдите точку максимума функции У = — + It2- 5t— 2 .

Часть 2

~.. τι 2sin2x-7sinx-4 o

Cl. Решите уравнение———— , ——- = 0 .

√-3tgx

С2. Сторона основания правильной треугольной пирамиды рав­на 2√3 , а двугранный угол при основании равен 60°. Найдите объем пирамиды.

СЗ. Решите неравенство ∖∣4-x2 (x2 + 4x + 5) ≥ 0 .

С4. В прямоугольный треугольник с катетами 2 и 6 вписан квад­рат, имеющий с треугольником общий прямой угол. Найдите пери­метр квадрата.

С5. При каких положительных значениях параметра А система „ [<73 a'2v=x-y-2

Уравнении $ θ имеет ровно два различных решения?

С6. Решите уравнение в натуральных числах Тп+ 34 = 1т.

Вариант 6

Часть 1

81. В одной пачке 500 листов бумаги формата А4. За неделю в офисе расходуется 1600 листов. Какое наименьшее количество пачек бумаги требуется купить в офис на 3 недели?

82. На рисунке показан график изменения температуры воздуха. Сколько часов температура была выше 12 градусов?

83. Найдите площадь прямоугольника, вершины которого заданы координатами в декартовой системе координат Л(0; -3), В(1;0); С(7; -2); £>(6;-5).

В4. Интернет-провайдер предлагает три тарифных плана:

Пользователь предполагает, что его трафик за месяц составит 800 Мб и, исходя из этого, выбирает наиболее выгодный тарифный план. Сколько рублей заплатит пользователь за месяц, если его трафик дей­ствительно составит 800 Мб?

85. Решите уравнение 32~х= 81.

86. В треугольнике ABCУгол CРавен 90o, cosF = 0,2. Найдите >/24 sin В.

87. Найдите значение выражения Vl 132— 1 122 .

88. На рисунке изображен график первообразной У = F(x) неко­торой функции У = f(x), определенной на интервале (~6;7). Пользу­ясь рисунком, определите количество нулей функции F(х) на данном интервале.

89. Высота конуса равна 12, а длина образующей — 15. Найдите диаметр основания конуса.

BIO. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найти вероятность того, что орел выпадет четное количе­ство раз.

ВП. Площадь поверхности куба равна 882. Найдите его диагональ.

812. Камень брошен вниз с высоты 2 м. Высота H,На которой на­ходится камень во время падения, зависит от времени Г. H(t) = 2-t-t2. Сколько секунд камень будет падать?

813. В сосуд, содержащий 8 литров 10-процентного водного рас­твора некоторого вещества, добавили 2 литра воды. Какова концен­трация получившегося раствора? Ответ дайте в процентах.

? 5t2

814. Найдите точку максимума функции У = — — + 4/ + 2.

Часть 2

С1.а) Решите уравнение sin2Х —3sinxcosx + 2cos2Х= 0.

Б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие проме­жутку [0; 2π].

С2. В правильной треугольной призме ΛBC4∣B1C1, все ребра ко­торой равны 1, найдите косинус угла между прямой AC‘1и плоско­стью BCCx.

СЗ. Решите неравенство ∖∕5-4x-x2(х2 — 2х — 3) ≤ 0 .

С4. В прямоугольный треугольник с катетами 3 и 5 вписан квад­рат, имеющий с треугольником общий прямой угол. Найдите пери­метр квадрата.

С5. При каких значениях параметра А система уравнений

ГIoga (1 + x + 2y) = -3y-5

[х-у = 4

Имеет единственное решение?

С6. Решите уравнение в натуральных числах Тп+ 18 = Зт.

Вариант 7

Часть 1

81. Цена на пылесос была повышена на 14% и составила 12768 рублей. Сколько рублей стоил пылесос до повышения цены?

82. На рисунке показан график изменения температуры воздуха. Сколько часов температура была ниже 15 градусов?

83. Найдите площадь прямоугольника, вершины которого заданы координатами в декартовой системе координат Л (-2; 0), В(0; -2); C(-3; -5); Z)(-5; -3).

84. Семья из четырех человек планирует поехать из Москвы в Ря­зань. Можно ехать автобусом, а можно на собственном автомобиле. Билет на автобус стоит 160 рублей на одного человека. Автомобиль 78

Расходует 7 литров бензина на 100 км пути, расстояние между горо­дами равно 300 километров, а цена бензина 24,5 рубля за 1 литр. Сколько рублей придется заплатить за наиболее дешевую поездку на четверых?

Найдите сумму, которую А. заплатит за покупку в искомом случае.

85. Решите уравнение 32’+1 = 27.

86. В треугольнике ABCУгол CРавен 90o, cos А — -^=

Найдите ctg А.

87. Найдите значение выражения 2л/3 8ш—cos —.

6 6

88. Функция У = fix)Определена на отрезке [-2; 5]. На рисунке изображен график производной функции У = /(x). В какой точке от­резка функция принимает наибольшее значение?

89. Высота конуса равна 10, а длина образующей — 26. Найдите диаметр основания конуса.

810. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найти вероятность того, что орел выпадет два раза.

811. Диагональ куба равна У[в . Найдите площадь поверхности этого куба.

812. Камень брошен вниз с высоты 3 м. Высота H,На которой нахо­дится камень во время падения, зависит от времени T: h(t) = 3-2t-t2. Сколько секунд камень будет падать?

813. 3 килограмма яблок стоят столько же, сколько 4 килограмма бананов. На сколько процентов 10 килограммов бананов дешевле 10 килограммов яблок?

814. Найдите точку максимума функции У —- 2t2 + 3/ -1.

Часть 2

C1. А) Решите уравнение 2 sin2Х — 5 sin ХCos Х+ 2 cos2Х= 0.

Б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие проме­

С2. В правильной треугольной призме ABCAxBxCx, стороны осно­вания которой равны 2, а боковые ребра 3, найдите расстояние между прямыми AAxИ BCx.

_ х2+ 2х+ 3 _

СЗ. Решите неравенство — ≥ 0.

С4. В прямоугольный треугольник с катетами 2 и 3 вписан квад­рат, имеющий с треугольником общий прямой угол. Найдите пери­метр квадрата.

С5. При каких положительных значениях параметра А система уравнений

>+v+1_2у_х + 4

2х — у= 3

Имеет единственное решение?

С6. Решите уравнение в натуральных числах Тп+ 25 = 4т.

Вариант 8

Часть 1

81. Налог на доходы составляет 13%. Сколько рублей составляет заработная плата Андрея Ивановича, если после удержания налога на доходы он получил 19140 рублей?

82. На рисунке показан график изменения температуры воздуха. Сколько часов температура была ниже 20 градусов?

83. Найдите площадь прямоугольника, вершины которого заданы координатами в декартовой системе координат А(0; 2), 5(4; 4); С(5; 2); D(l;0).

84. Семья из трех человек планирует поехать из Москвы в Ниж­ний Новгород. Можно ехать на поезде, а можно на собственном авто­мобиле. Билет на поезд стоит 440 рублей на одного человека. Авто­мобиль расходует 9 литров бензина на 100 км пути, расстояние между городами равно 550 километров, а цена бензина 28,5 рубля за 1 литр. Сколько рублей придется заплатить за наиболее дешевую поездку на троих?

85. Решите уравнение 24 x = 8 .

86. В треугольнике ABCУгол CРавен 90o, sin А= 0,6, AC = ⅛. Найдите АВ.

Wl.Найдите значение выражения -4cos(-2400)sin300.

88. Функция У = fix)Определена на отрезке [-4; 3]. На рисунке изображен график производной функции У= /(x). В какой точке от­резка функция принимает наименьшее значение?

89. В кубе ABCDA∖B∖C∖D∖Сторона основания равна 5. Найдите площадь боковой поверхности куба.

810. В урне лежит 3 белых, 2 желтых и 5 красных шаров. Най­дите вероятность того, что извлеченный наугад шар будет желтого цвета.

811. Уровень жидкости в цилиндрическом сосуде достигает 180 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её пе­релить в другой цилиндрический сосуд, диаметр основания которого в 2 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в см.

812. Камень брошен вниз с высоты 4 м. Высота Л, на которой нахо­дится камень во время падения, зависит от времени T: h(t) = 4 — 3/ —I2. Сколько секунд камень будет падать?

813. Из пункта А в пункт В выехал мотоциклист и одновременно из В в А выехал автомобилист. Мотоциклист прибыл в В через 4 часа после встречи, а автомобилист в А через 1 час после встречи. Сколько часов был в пути мотоциклист?

814. Найдите точку максимума функции У = t3- 3t2- 9t + 5.

Часть 2

Cl. А) Решите уравнение sin2Х= 5 cost — -х ].

У2 J

6) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие проме­жутку [0;5тс].

С2. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 4, а высота равна л/з. Найдите объем пирамиды.

СЗ. Решите неравенство ∖∣9-x2 (x2 + Зх+ 4) ≥ 0 .

С4. В окружности проведены две хорды: AB = 2 и AC = 3. Длина дуги ACВ 2 раза больше длины дуги АВ, Найдите радиус окружности.

С5. При каких положительных значениях параметра А система „ ∖A3x+y~i =2y + x + 2 Уравнении < имеет ровно два различных решения?

[2х-у= 3

С6. Решите уравнение в натуральных числах Тп+ 42 = 8га.

Вариант 9

Часть 1

BI. Поезд Москва — Санкт-Петербург отправляется в 22:35, а прибывает в 06:35 на следующий день (время московское). Сколько часов поезд находится в пути?

В2. На рисунке показан график изменения температуры воздуха.

83. Найдите площадь квадрата, вершины которого заданы коор­динатами в декартовой системе координат Л(1; -3), B(2; -1); С(4; -2); Г>(3; -4).

84. В первом банке один доллар можно купить за 32,6 рубля, а во втором 15 долларов можно купить за 486 рублей. Какую наименьшую сумму (в рублях) придется заплатить за 30 долларов?

Найдите сумму, которую А. заплатит за покупку в искомом случае.

85. Решите уравнение 33+2x = 27 .

86. В треугольнике ABCУгол CРавен 90o, sinΛ = 0,56. Найдите синус внешнего угла при вершине А.

X11• х~4

87. Найдите значение выражения— — при Х= 0,4.

X

88. Функция У = j{x)Определена на отрезке [-6; 3]. На рисунке изображен график производной функции У = f(x).В какой точке от­резка функция принимает наибольшее значение?

89. В кубе ABCDAiB iCiDiСторона основания равна 3. Найдите площадь боковой поверхности куба.

810. В урне лежит 4 белых, 2 желтых и 6 синих шаров. Найдите вероятность того, что извлеченный наугад шар будет белого цвета. Ответ округлите до сотых.

811. Во сколько раз увеличится площадь поверхности сферы, если ее диаметр увеличить в 3 раза?

812. Камень брошен вниз с высоты 15 м. Высота H,На которой находится камень во время падения, зависит от времени T: h(t) = 15 — 12f — 3z2. Сколько секунд камень будет падать?

813. Из пункта А в пункт В выехал мотоциклист и одновременно из В в А выехал автомобилист. Мотоциклист прибыл в В через 3 часа после встречи, а автомобилист в А через 45 минут после встречи. Сколько часов был в пути мотоциклист?

P

814. Найдите точку максимума функции У =—- Зг + 5t + 2.

Часть 2

Cl. А) Решите уравнение ————- 1 — Ctgx = 0.

Sin~ Х

Б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие проме-

С2. Найдите площадь полной поверхности правильной треуголь­ной пирамиды, если сторона ее основания равна 4, а двугранный угол при основании равен 60°.

СЗ. Решите неравенство ∖J25-x2 (2×2 + х +1) ≥ 0 .

С4. В прямоугольный треугольник с катетами 1 и 3 вписан квад­рат, имеющий с треугольником общий прямой угол. Найдите пери­метр квадрата.

С5. При каких значениях параметра А система уравнений

L°ga(x-J,-2) = 2y-2 Х + у= 4

Имеет ровно два различных решения?

С6. Решите уравнение в натуральных числах Тп+ 22 = 5т.

Вариант 10

Часть 1

81. Какое наименьшее число двухместных палаток требуется взять в поход, в котором участвует 17 человек?

82. На рисунке показан график изменения температуры воздуха. Сколько часов температура была выше 10 градусов?

83. Найдите площадь квадрата, вершины которого заданы коор­динатами в декартовой системе координат Л (-3; 0), В(-6; 3); С(-3; 6); £>(0; 3).

84. В одном банке можно купить 10 евро за 425 рублей, а в дру­гом можно купить 30 евро за 1269 рублей. Какую наименьшую сумму придется заплатить за 300 евро?

85. Решите уравнение 6x+3 = 36.

86. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный тре­угольник со стороной 4√3 .

14

87. Вычислите значение выражения — .

88. Функция У = fix)Определена на отрезке [-3; 4]. На рисунке изображен график производной функции У = f(x).В какой точке от­резка функция принимает наибольшее значение?

89. В кубе ABCDA∖B∖C↑D∖Сторона основания равна 1. Найдите площадь боковой поверхности куба.

810. В урне лежит 3 белых, 2 черных и 3 зеленых шаров. Найдите вероятность того, что извлеченный наугад шар будет черного цвета.

BH. Во сколько раз уменьшится площадь поверхности правиль­ной треугольной пирамиды, если все её ребра уменьшить в 6 раз?

812. Камень брошен вниз с высоты 6 м. Высота А, на которой нахо­дится камень во время падения, зависит от времени T: h(t) = 6 — St —T2. Сколько секунд камень будет падать?

813. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо платформы, длина которой 400 м, за 30 с. Найдите длину поезда (в метрах)

814. Найдите точку максимума функции У =— 2t2- St + 4.

Часть 2

Cl. А) Решите уравнение (tg Х — Vi)cos Х= 0 .

6) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие проме­жутку [2πj4π].

С2. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 5, а высота равна 3. Найдите объем пирамиды.

СЗ. Решите неравенство λ∕2-x-x2(х2 -4х + з) ≥ 0.

С4. В прямоугольный треугольник с катетами 2 и 2 вписан квад­рат, имеющий с треугольником общий прямой угол. Найдите пери­метр квадрата.

С5. При каких значениях параметра А система уравнений

Ioge(2х + У+1) = — х — 4у — 6 Х-Зу= 5

Имеет единственное решение?

С6. Решите уравнение в натуральных числах Тп+14 = Зт.

Вариант 11

Часть 1

81. Билет на поезд стоит 200 рублей. Какое максимальное число билетов можно будет купить на 1000 рублей после повышения цены билета на 20%?

82. На графике показано изменение давления в паровой турбине после запуска. На оси абсцисс откладывается время в минутах, на оси ординат — давление в атмосферах. Определите по графику, сколько минут давление было больше 3 атмосфер?

83. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см × 1 см изо­бражен параллелограмм (см. рис.). Найдите его площадь в квадрат­ных сантиметрах.

84. Водитель собирается проехать из пункта А в пункт D,В кото­рый ведут три маршрута: через В, через CИ прямой маршрут без про­межуточных пунктов. Расстояния в километрах между соседними пунктами показаны на схеме. Известно, что если ехать через В, то средняя скорость будет равна 50 км/ч, если ехать через C — 45 км/ч, а если ехать напрямую — 60 км/ч. Водитель выбрал маршрут так, что­бы доехать до DЗа наименьшее время. Сколько часов он планирует пробыть в пути?

85. Найдите корень уравнения √2x +1 = 1.

2^2

86. В треугольнике ABCУгол В равен 90o, sin Л = ——, AB = 3.

Найти Л С.

87. Вычислите значение выражения 310g9’6 — 2.

88. На рисунке изображен график функции Y = f(x)И касатель­ная к нему в точке с абсциссой X0. Найдите значение производной F'(x)В точке X0.

89. В кубе ABCDA↑B∖C∖DγСторона основания равна 5. Найдите площадь полной поверхности куба.

810. Из слова «МАТЕМАТИКА» случайным образом выбирает­ся одна буква. Найдите вероятность того, что эта буква окажется со­гласной.

811. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна 32. Чему будет равна площадь поверхности параллелепипеда, если каждое его ребро уменьшить в два раза?

812. Камень брошен вниз с высоты 21 м. Высота H,На которой находится камень во время падения, зависит от времени T: h(t) = 21 — 4/ —12. Сколько секунд камень будет падать?

813. Моторная лодка прошла против течения 24 км и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 1 час меньше, чем при движе­нии против течения. Найдите скорость (в км/ч) лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 2 км/ч.

814. Найдите точку минимума функции Y = (x + δ)ex^5.

Часть 2

Cl. Решите систему уравнений <

С2. Найдите площадь полной поверхности правильной четырех­угольной пирамиды, сторона основания которой равна 1, а угол на­клона боковой грани к плоскости основания равен 45°.

СЗ. Решите неравенство:

IogL-. О* — 2) — Iog2x-I У*2 —12х + 4) — 7≤ 3
l-21og2x 1(6×2-7х + 2)

С4. Окружность касается одной стороны прямого угла с верши­ной А и пересекает его вторую сторону в точках В и С. Найдите ради­ус окружности, если AB = 4, AC = 8.

С5. Найдите наибольшее натуральное значение параметра А, при котором решение неравенства ∣∣7x ÷ 52∣— 23∣— 121 ≤ 14д2 удовлетворя­ет условию х ∈ [-46; 50].

С6. Решите уравнение в натуральных числах Тп2+ 46 = 1 \т.

Вариант 12

Часть 1

81. Билет на поезд стоит 150 рублей. Какое максимальное число билетов можно будет купить на 1000 рублей после повышения цены билета на 20%?

82. На графике показано изменение давления в паровой турбине после запуска. На оси абсцисс откладывается время в минутах, на оси ординат — давление в атмосферах. Определите по графику, сколько минут давление было меньше 4 атмосфер?

83. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см × 1 см изо­бражен параллелограмм (см. рис.). Найдите его площадь в квадрат­ных сантиметрах.

84. Водитель собирается проехать из пункта А в пункт D,В кото­рый ведут три маршрута: через В, через CИ прямой маршрут без про­межуточных пунктов. Расстояния в километрах между соседними пунктами показаны на схеме. Известно, что если ехать через В, то средняя скорость будет равна 57 км/ч, если ехать через C —53 км/ч, а если ехать напрямую — 54 км/ч. Водитель выбрал маршрут так, что­бы доехать до DЗа наименьшее время. Сколько часов он планирует пробыть в пути?

85. Найдите корень уравнения √x-3 = 5.

√7

86. В треугольнике BCDУгол CРавен 90o, sin 2? = — iBC = 3.

Найти BD.

87. Вычислите значение выражения 2[3]°64 49 — 3 .

88. На рисунке изображен график функции У = f(x)И касатель­ная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной F'(x)В точке х0.

89. В кубе ABCDA∖B∖C∖DχСторона основания равна 3. Найдите площадь полной поверхности куба.

BlO. Из слова «МАТЕМАТИКА» случайным образом выбирает­ся одна буква. Найдите вероятность того, что эта буква окажется гласной.

ВИ. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна 24. Чему будет равна площадь поверхности параллелепипеда, >если каждое его ребро уменьшить в два раза?

812. Камень брошен вниз с высоты 18 м. Высота H,На которой находится камень во время падения, зависит от времени T: h(t) = 18 — 3t —11 [4]. Сколько секунд камень будет падать?

813. Моторная лодка прошла против течения 48 км и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 8 часов меньше, чем при дви­жении против течения. Найдите скорость (в км/ч) лодки в неподвиж­ной воде, если скорость течения равна 4 км/ч.

814. Найдите точку максимума функции У = (2x + L)e1-x.

Часть 2

N „ [2sin2 x-7sinx + 3 = 0

Cl. Решите систему уравнении <;

[8sinx + 5y = 14

С2. Найдите площадь полной поверхности правильной четырех­угольной пирамиды, сторона основания которой равна л/з, а угол на­клона боковой грани к плоскости основания равен 30°.

С4. Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу точкой касания в отношении 3:2. Найдите площадь тре­угольника, если гипотенуза равна 15.

С5. Найдите наибольшее целое значение параметра А, при кото­ром решение неравенства ∣∣5x + 64∣ +117∣- 28 ≤ 15α3удовлетворяет условию х ∈ [-19; 10].

С6. Решите уравнение в натуральных числах Тп2+ 40 = 9т.

Вариант 13

Часть 1

BI. Билет на поезд стоит 300 рублей. Какое максимальное число билетов можно будет купить на 1000 рублей после повышения цены билета на 10%?

В2. На графике показано изменение давления в паровой турбине после запуска. На оси абсцисс откладывается время в минутах, на оси ординат — давление в атмосферах. Определите по графику, сколько минут давление было больше 5 атмосфер?

Бражен параллелограмм (см. рис.). Найдите его площадь в квадрат-

84. Водитель собирается проехать из пункта А в пункт D,В кото­рый ведут три маршрута: через В, через CИ прямой маршрут без про­межуточных пунктов. Расстояния в километрах между соседними пунктами показаны на схеме. Известно, что если ехать через В, то средняя скорость будет равна 60 км/ч, если ехать через C —50 км/ч, а если ехать напрямую — 51 км/ч. Водитель выбрал маршрут так, что­бы доехать до DЗа наименьшее время. Сколько часов он планирует пробыть в пути?

85. Найдите корень уравнения √2x-l = 3 .

√2 Г~

86. В треугольнике ABCУгол CРавен 90o, sin 5 = —, BC = ∖∏ .

Найти АВ.

Wl.Вычислите значение выражения 3log27 8 ÷ 1.

88. На рисунке изображен график функции У = f(x)И касательная к нему в точке с абсциссой X0. Найдите значение производной F'(x)В точке х0.

89. Диаметр основания конуса равен 10, а его высота равна 12. Найдите длину образующей конуса.

810. Из слова «АЛГЕБРА» случайным образом выбирается одна буква. Найдите вероятность того, что эта буква окажется согласной. Ответ округлите до сотых.

811. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна 48. Чему будет равна площадь поверхности параллелепипеда, если каждое его ребро уменьшить в два раза?

812. Камень брошен вниз с высоты 10 м. Высота H,На которой находится камень во время падения, зависит от времени T: h(t) = 10 — 9/ — г. Сколько секунд камень будет падать?

813. Моторная лодка прошла против течения 70 км и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем при дви­жении против течения. Найдите скорость (в км/ч) лодки в неподвиж­ной воде, если скорость течения равна 2 км/ч.

814. Найдите точку максимума функции

У —Ln(x ÷ 3) — 2х+ 43.

Часть 2

Cos2Х+ cos Х — 2 = 0

2cosx-7y = 9

С2. Найдите площадь полной поверхности правильной четырех­угольной пирамиды, сторона основания которой равна 5, а угол на­клона боковой грани к плоскости основания равен 60°.

~ 1 — Iog2 (2×2- 9.x + 9)

СЗ. Решите неравенство: ———— ——————— ≥ 0.

Iog3(х + 8)

С4. Из точки MК окружности с центром О проведены прямая MO И касательная MA (А — точка касания). Из точки А к прямой MOПро­веден перпендикуляр АВ. Найдите расстояние от точки MДо центра, если AM = 40 и AB = 24 .

С5. Найдите наибольшее целое значение параметра А, при кото­ром решение неравенства ∣∣4x ÷ 19∣— 83∣— 97 ≤ 8α4удовлетворяет ус­ловию Х∈ [-212; 212].

С6. Решите уравнение в натуральных числах Тп2+ 44 = 5т.

Вариант 14

Часть 1

81. Билет на поезд стоит 100 рублей. Какое максимальное число билетов можно будет купить на 600 рублей после повышения цены билета на 20%?

B2kНа графике показано изменение давления в паровой турбине после запуска. На оси абсцисс откладывается время в минутах, на оси ординат — давление в атмосферах. Определите по графику, сколько минут давление было меньше 5 атмосфер?

83. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см × 1 см изо­бражен параллелограмм (см. рис.). Найдите его площадь в квадрат­ных сантиметрах.

84. Водитель собирается проехать из пункта А в пункт D,В кото­рый ведут три маршрута: через В, через CИ прямой маршрут без про­межуточных пунктов. Расстояния в километрах между соседними пунктами показаны на схеме. Известно, что если ехать через В, то средняя скорость будет равна 50 км/ч, если ехать через C —80 км/ч, а если ехать напрямую — 60 км/ч. Водитель выбрал маршрут так, что­бы доехать до DЗа наименьшее время. Сколько часов он планирует пробыть в пути?

85. Найдите корень уравнения √x-8 = 2.

√13

86. В треугольнике ABDУгол DРавен 90o, sin В = , BD = 6.

Найти АВ.

WLВычислите значение выражения 4log»i9 + 2.

88. На рисунке изображен график функции У = f(x)И касатель­ная к нему в точке с абсциссой X0. Найдите значение производной F∖X)В точке х0.

89. Диаметр основания конуса равен 8, а его высота равна 3. Най­дите длину образующей конуса.

810. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до десятых.

811. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна 27. Чему будет равна площадь поверхности параллелепипеда, если каждое его ребро уменьшить в три раза?

812. Камень брошен вниз с высоты 11 м. Высота H,На которой находится камень во время падения, зависит от времени T: h(t) = Il-IQt-г. Сколько секунд камень будет падать?

813. Моторная лодка прошла против течения 112 км и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 1 час меньше, чем при движе­нии против течения. Найдите скорость (в км/ч) лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч.

814. Найдите точку максимума функции

У = ln(x +1) — 4x +11.

Часть 2

Cl. Решите систему уравнений

2sin2х-1 Isinx+ 5 = 0

4sinx + y = 3

С2. Найдите площадь полной поверхности правильной четырех­угольной пирамиды, сторона основания которой равна 2, а угол на­клона боковой грани к плоскости основания равен 60°.

СЗ. Решите неравенство: ^°g2 —— ≤ 0.

Iog3(2х + 1)

С4. Через точку окружности радиуса 10 проведены две взаимно перпендикулярные хорды длиной 16 и 12. Найдите расстояние между серединами хорд.

С5. Найдите наибольшее целое значение параметра /, при котором решение неравенства ∣∣∣3x+32∣-17∣-19∣ -87 <6/2 удовлетворяет усло­вию Х∈ [-84; 65].

С6. Решите уравнение в натуральных числах Тп2+ 48 = 12?и.

Вариант 15

Часть 1

BI. Билет на поезд стоит 230 рублей. Какое максимальное число билетов можно будет купить на 800 рублей после повышения цены билета на 10%?

В2. На графике показано изменение давления в паровой турбине после запуска. На оси абсцисс откладывается время в минутах, на оси ординат — давление в атмосферах. Определите по графику, сколько минут давление было больше 4 атмосфер?

Бражен параллелограмм (см. рис.). Найдите его площадь в квадрат­ных сантиметрах.

84. Водитель собирается проехать из пункта А в пункт D,В кото­рый ведут три маршрута: через В, через CИ прямой маршрут без про­межуточных пунктов. Расстояния в километрах между соседними пунктами показаны на схеме. Известно, что если ехать через В, то средняя скорость будет равна 80 км/ч, если ехать через C —80 км/ч, а если ехать напрямую — 58 км/ч. Водитель выбрал маршрут так, что­бы доехать до DЗа наименьшее время. Сколько часов он планирует пробыть в пути?

85. Найдите корень уравнения ∖∣2>-2x = 5.

86. В треугольнике ABCУгол А равен 90o, sin C =——— , AC = 5.

Найти ВС.

87. Вычислите значение выражения 2log481-З108’16.

88. На рисунке изображен график функции У = f(x)И касатель­ная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной F'(x)В точке х0.

89. Площадь полной поверхности куба равна 24 см2. Найдите сто­рону куба.

810. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков. Результат округлите до сотых.

811. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна 16. Чему будет равна площадь поверхности параллелепипеда, если каждое его ребро уменьшить в четыре раза?

ВПКамень брошен вниз с высоты 15 м. Высота H,На которой на­ходится камень во время падения, зависит от времени T: h(f) = 15 — 2t —12. Сколько секунд камень будет падать?

813. Моторная лодка прошла против течения 84 км и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 1 час меньше, чем при движе­нии против течения. Найдите скорость (в км/ч) лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч.

814. Найдите точку максимума функции

У= 2>/зcosх + Зх — π .

Часть!

Cl. Решите систему уравнений

2 cos2Х — 5 cos Х+ 2 = О

8cosx — 2у= 3

С2. Найдите площадь полной поверхности правильной четырех­угольной пирамиды, сторона основания которой равна 3, а угол на­клона боковой грани к плоскости основания равен 60°.

N 1 — 2√log2Х — Iog2Х

СЗ. Решите неравенство: ——— *——————- < 1.

2 Iog2х-1

С4. Две равные параллельные хорды окружности отсекают от нее дуги в 90°. Длина одной из хорд равна 8. Найдите расстояние между хордами.

С5. Найдите наибольшее целое значение параметра /, при котором решение неравенства ∣∣∣15x + 53∣+ 18∣-27∣-64≤30/2удовлетворяет условию Х∈ [-176; 154].

С6. Решите уравнение в натуральных числах Тп1+ 36 = 18w.

Вариант 16

Часть 1

81. Билет на поезд стоит 500 рублей. Какое максимальное число билетов можно будет купить на 2000 рублей после понижения цены билета на 20%?

82. На графике показано изменение давления в паровой турбине после запуска. На оси абсцисс откладывается время в минутах, на оси ординат — давление в атмосферах. Определите по графику, сколько минут давление было меньше 6 атмосфер?

83. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см × 1 см изо­бражен параллелограмм (см. рис.). Найдите его площадь в квадрат­ных сантиметрах.

84. Велосипедист собирается проехать из пункта А в пункт D,В который ведут три маршрута: через В, через C и прямой маршрут без промежуточных пунктов.

Расстояния в километрах между соседними пунктами показаны на схеме. Известно, что если ехать через В, то на дорогу потребуется 2 ч, если ехать через С, то потребуется 1,5 ч, а если ехать напрямую, то на дорогу уйдет 2 ч. Велосипедист выбрал маршрут так, чтобы можно было ехать с наибольшей средней скоростью. C какой скоростью (км/ч) планирует ехать велосипедист?

85. Найдите корень уравнения >∕7x + 18 = 9.

86. В треугольнике ABCУгол В равен 90o, cos√4 = ∣, BC = 4. Найти ЯС.

N — TT — 1 IloSiiTH125-loSm9

87. Найдите значение выражения 11

88. На рисунке изображен график функции У = fix)И касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной F,(x)В точке Xo-

89. Площадь полной поверхности куба равна 6 см2. Найдите сто­рону куба.

BlO. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 12 очков. Результат округлите до сотых.

Bll Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда рав­на 4. Чему будет равна площадь поверхности параллелепипеда, если каждое его ребро увеличить в два раза?

Bl2 Камень брошен вертикально вверх. Зависимость высоты, на которой находится камень (пока он не упал на землю), описывается формулой H(t) = — t2 + At2 {h — высота в метрах, T — время в секун­дах, прошедшее от момента броска). Найдите, сколько секунд камень находился на высоте выше 3 метров.

Bl3. Автомобиль ехал первую половину пути со скоростью 60 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью 90 км/ч. Найдите среднюю скорость движения автомобиля на всем пути. Ответ дайте в километрах в час.

В14. Найдите наименьшее значение функции У= 2,5cosx — Зх + 2 на отрезке [-π, 0].

Часть 2

Cl. Решите систему уравнений

2sin2 jy-llsiny+ 5 = 0 3cosx + 2siny = 4

С2. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6, а двугранный угол при основании равен 45°. Найдите объем пирамиды.

X2 Зх ÷ 1

СЗ. Решите неравенство: 4 Iog16———— + 3 Iog8——— < 1.

Зх + 1 х

С4. Через середину радиуса окружности проведена перпендику­лярная ему хорда. Найдите градусную меру меньшей из дуг, на кото­рые окружность делится проведенной хордой.

С5. Найдите наибольшее целое значение параметра I, при котором решение неравенства ∣∣∣19x + 79∣ + 53∣ +11| — 243 ≤ 57Z4удовлетворяет условию х ∈ [-260; 300].

С6. Решите уравнение в натуральных числах 2m + 2” = 12.

Вариант 17

Часть 1

81. Билет на поезд стоит 400 рублей. Какое максимальное число билетов можно будет купить на 2000 рублей после понижения цены билета на 15%?

82. На графике показано изменение давления в паровой турбине после запуска. На оси абсцисс откладывается время в минутах, на оси ординат — давление в атмосферах. Определите по графику, сколько минут давление было больше 2 атмосфер?

83. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см × 1 см изобра­жен ромб (см. рис.). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

84. Велосипедист собирается проехать из пункта А в пункт D,В который ведут три маршрута: через В, через CИ прямой маршрут без промежуточных пунктов.

Расстояния в километрах между соседними пунктами показаны на схеме. Известно, что если ехать через В, то на дорогу потребуется 1 ч, если ехать через С, то потребуется 2 ч, а если ехать напрямую, то на дорогу уйдет 1,5 ч. Велосипедист выбрал маршрут так, чтобы можно было ехать с наибольшей средней скоростью. C какой скоростью (км/ч) планирует ехать велосипедист?

85. Найдите корень уравнения √5x + 10 = 5 .

86. В треугольнике BCDУгол В равен 90o, cos D = у, BC = ^5 . Найти CD.

Wl.Найдите значение выражения 2l°8n 375 1°8s 17-1085 3.

88. На рисунке изображен график функции У =fix)И касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной F'{x) В точке Xq-

89. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 24π, а его вы­сота равна 4. Найдите диаметр основания цилиндра.

810. На научной конференции будут выступать 3 докладчика из Германии, 2 из России и 5 из Японии. Найдите вероятность того, что последним будет выступать докладчик из России, если порядок вы­ступления определяется жребием.

Bll Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда рав­на 2. Чему будет равна площадь поверхности параллелепипеда, если каждое его ребро увеличить в два раза?

Bl2 Камень брошен вертикально вверх. Зависимость высоты, на которой находится камень (пока он не упал на землю), описывается формулой H(t) = — t2 + 3t {h — высота в метрах, T — время в секундах, прошедшее от момента броска). Найдите, сколько секунд камень на­ходился на высоте выше 2 метров.

813. Автомобиль ехал первую половину пути со скоростью 40 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью 60 км/ч. Найдите среднюю скорость движения автомобиля на всем пути. Ответ дайте в километрах в час.

814. Найдите наибольшее значение функции у = ^sinx-V5x +1

ZX Я На отрезке 0, — .

Часть 2

2 cos2 x + 5cosx + 2 = 0

Cosx + sin У= -1

С2. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 4>/з, а двугранный угол при основании равен 60°. Найдите объем пирамиды.

СЗ. Решите неравенство:

2 Iog9(х2+ 4х + 3) — Iog27(х +1)3< Iog75 √7 .

С4. Основание равнобедренного треугольника вдвое меньше его боковой стороны, а высота, проведенная к основанию, равна 10. Най­дите радиус вписанной в треугольник окружности.

С5. Найдите наибольшее целое значение параметра К, при кото­ром решение неравенства ∣∣∣∣29x -1| +121∣-17∣ + 8∣- 222 <58к2 удовле­творяет условию х ∈ [-102; 117].

С6. Решите уравнение в натуральных числах 2m + 3” = 13.

Вариант 18

Часть 1

81. Билет на поезд стоит 1000 рублей. Какое максимальное число билетов можно будет купить на 5000 рублей после понижения цены билета на 15 %?

82. На графике показано изменение давления в паровой турбине после запуска. На оси абсцисс откладывается время в минутах, на оси ординат — давление в атмосферах. Определите по графику, сколько минут давление было меньше 8 атмосфер?

83. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см × 1 см изобра­жен ромб (см. рис.). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

84. Велосипедист собирается проехать из пункта А в пункт D,В который ведут три маршрута: через В, через CИ прямой маршрут без промежуточных пунктов.

Расстояния в километрах между соседними пунктами показаны на схеме. Известно, что если ехать через В, то на дорогу потребуется 1,5 ч, если ехать через С, то потребуется 1,5 ч, а если ехать напрямую, то на дорогу уйдет 2 ч. Велосипедист выбрал маршрут так, чтобы можно было ехать с наибольшей средней скоростью. C какой скоро­стью (км/ч) планирует ехать велосипедист?

85. Найдите корень уравнения >∕3x-l 1 = 7 .

2

В6 В треугольнике ABCУгол CРавен 90o, Cos В = —, AC =Зл/5 .

Найти АВ.

В4. Велосипедист собирается проехать из пункта А в пункт D,В который ведут три маршрута: через В, через C и прямой маршрут без промежуточных пунктов. •

Расстояния в километрах между соседними пунктами показаны на схеме. Известно, что если ехать через В, то на дорогу потребуется 1,5 ч, если ехать через С, то потребуется 1,5 ч, а если ехать напрямую, то на дорогу уйдет 2 ч. Велосипедист выбрал маршрут так, чтобы можно было ехать с наибольшей средней скоростью. C какой скоро­стью (км/ч) планирует ехать велосипедист?

__ t — „ 1эIn400 Igt-2lg2

87. Найдите значение выражения 1 ∙3

88. На рисунке изображен график функции У = f (х) и касатель­ная к нему в точке с абсциссой X0. Найдите значение производной /'(х) в точке х0.

89. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 12π, а его вы­сота равна 4. Найдите диаметр основания цилиндра.

В10. Одновременно бросают две монеты. Найдите вероятность того, что на обеих монетах выпадет орел.

Bll Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда рав­на 1. Чему будет равна площадь поверхности параллелепипеда, если каждое его ребро увеличить в три раза?

Bl2 Камень брошен вертикально вверх. Зависимость высоты, на которой находится камень (пока он не упал на землю), описывается формулой H(f) = — t2 + St (h — высота в метрах, T — время в секундах, прошедшее от момента броска). Найдите, сколько секунд камень на­ходился на высоте выше 6 метров.

7 4

В14. Найдите наименьшее значение функции У = — х—Cosx-3 π 3

Часть 2

Sin2х — 5 sin х + 4 = О cosy + 3sinx = 4

С2. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 3, а двугранный угол при основании равен 45°. Найдите объем пирамиды.

СЗ. Решите неравенство:

1°go, i25 Cx + 5)3< 2 log0ι25(х2+ 5х + 4) .

С4. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, каса­ется его боковых сторон в точках Mvl N. Точка MДелит сторону на отрезки 18 и 12, считая от основания треугольника. Найдите MN.

С5. Найдите наибольшее целое значение параметра К, при кото­ром решение неравенства ∣∣∣∣3 Ix -147∣ +157∣-167∣ +177∣-187 ≤ 93А:4 удовлетворяет условию х ∈ [-190; 200].

С6. Решите уравнение в натуральных числах Зот+ 2″ = 19 .

Вариант 19

Часть 1

81. Билет на поезд стоит 800 рублей. Какое максимальное число билетов можно будет купить на 5000 рублей после понижения цены билета на 15 %?

82. На графике показано изменение давления в паровой турбине после запуска. На оси абсцисс откладывается время в минутах, на оси ординат — давление в атмосферах. Определите по графику, сколько минут давление было больше 5 атмосфер?

83. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см × 1 см изобра­жен ромб (см. рис.). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

84. Велосипедист собирается проехать из пункта А в пункт D,В который ведут три маршрута: через В, через CИ прямой маршрут без промежуточных пунктов.

Расстояния в километрах между соседними пунктами показаны на схеме. Известно, что если ехать через В, то на дорогу потребуется 3 ч, ес­ли ехать через С, то потребуется 1,5 ч, а если ехать напрямую, то на до­

Рогу уйдет 2 ч. Велосипе­дист выбрал маршрут так, чтобы можно было ехать с наибольшей средней скоро­стью. C какой скоростью (км/ч) планирует ехать вело­сипедист?

85. Найдите корень уравнения √8x + 5 =11.

4

86. В треугольнике ABDУгол А равен 90o, CosB = -, AD = 3.

5 Найти BD.

Wl,Вычислите значение выражения 2l0gz7 + 25l0g5^3.

88. На рисунке изображен график функции У = f(x)И касатель­ная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной F∖X)В точке X0.

89. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 8π, а его высо­та равна 1. Найдите диаметр основания цилиндра.

810. Одновременно бросают две монеты. Найдите вероятность того, что на обеих монетах выпадет решка.

811. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна 5. Чему будет равна площадь поверхности параллелепипеда, ес­ли каждое его ребро увеличить в четыре раза?

812. Камень брошен вертикально вверх. Зависимость высоты, на которой находится камень (пока он не упал на землю), описывается формулой H(t) = — г + 6t (h — высота в метрах, T — время в секундах, прошедшее от момента броска). Найдите, сколько секунд камень на­ходился на высоте выше 8 метров.

813. Автомобиль ехал первую половину пути со скоростью 60 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью 120 км/ч. Найдите среднюю скорость движения автомобиля на всем пути. Ответ дайте в километрах в час.

814. Найдите точку минимума функции У = (х+ 3)ex^2.

Часть 2

Cos2 x-7cosx + 6 = 0

Siny + 3cosx = 4

С2. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна \/з , а двугранный угол при основании равен 30°. Найдите объ­ем пирамиды.

СЗ. Решите неравенство:

Iog75 (4 — х) — Iog27 x3 + Iog1(х + 2) < 1.

С4. Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, и боковой стороны делит эту сторону на отрезки 12 и 3, считая от основания треугольника. Найдите радиус окруж­ности.

С5. Найдите все значения А, при которых область определения функции У = ((а _ o⅛ Л)(о + а|0!кй))’ содержит лишь одно це­лое число.

С6. Решите уравнение в натуральных числах З»1+ 4” = 73.

Вариант 20

Часть 1

81. Билет на поезд стоит 260 рублей. Какое максимальное число билетов можно будет купить на 1000 рублей после понижения цены билета на 20%?

82. На графике показано изменение давления в паровой турбине после запуска. На оси абсцисс откладывается время в минутах, на оси ординат — давление в атмосферах. Определите по графику, сколько минут давление было меньше 4 атмосфер?

83. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см × 1 см изобра­жен ромб (см. рис.). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

84. Велосипедист собирается проехать из пункта А в пункт D,В который ведут три маршрута: через В, через CИ прямой маршрут без промежуточных пунктов.

Расстояния в километрах между соседними пунктами показаны на схеме. Известно, что если ехать через В, то на дорогу потребуется

1,5 ч, если ехать через С, то потребуется 0,8 ч, а если ехать напрямую, то на доро­гу уйдет 3 ч. Велосипедист выбрал маршрут так, чтобы можно было ехать с наи­большей средней скоро­стью. C какой скоростью (км/ч) планирует ехать ве­лосипедист?

85. Найдите корень уравнения λ∕4x-3 = 15 .

86. В треугольнике BCFУгол FРавен 90o, cos В = —, FC = 2г/б.

Найти ВС.

87. Вычислите значение выражения 5l°8s3+49l0g7’zr’

88. На рисунке изображен график функции У= /(х) и касатель­ная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной /'(х) в точке х0.

89. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 4π, а его высо­та равна 4. Найдите диаметр основания цилиндра.

810. Одновременно бросают две монеты. Найдите вероятность того, что на одной монете выпадет орел, а на другой — решка.

811. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна 6. Чему будет равна площадь поверхности параллелепипеда, ес­ли каждое его ребро увеличить в три раза?

812. Камень брошен вертикально вверх. Зависимость высоты, на которой находится камень (пока он не упал на землю), описывается формулой ∕z(z) = — Z2 + 7z (А — высота в метрах, Z — время в секундах, прошедшее от момента броска). Найдите, сколько секунд камень на­ходился на высоте выше 10 метров.

813. Автомобиль ехал первую половину пути со скоростью 45 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью 55 км/ч. Найдите среднюю скорость движения автомобиля на всем пути. Ответ дайте в километрах в час.

814. Найдите наименьшее значение функции У= у Х — cosx — 3 на отрезке [0, π↑.

Часть 2

τ4 w [2sin2x + 7sinx-4 = 0

Cl. Решите систему уравнении <

[2sinx + 3cosy = 1

С2. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 2√3 , а двугранный угол при основании равен 45°. Найдите объем пирамиды.

СЗ. Решите неравенство:

2Iog4,х-log27√∙log,7 >2 25

Log, 7-Iog7 3

С4. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный тре­угольник, и катета делит этот катет на отрезки 3 и 4, считая от верши­ны прямого угла. Найдите площадь треугольника.

С5. Найдите все значения параметра А, при которых область оп­ределения функции У= log2(log2(α — x))∙log2x содержит ровно пять це­лых чисел.

€6. Решите уравнение в натуральных числах 2m + 5” = 141.

Вариант 21

Часть 1

81. Килограмм яблок стоит 80 рублей. Сколько рублей сдачи вы получите с 1000 рублей при покупке 1 кг 500 г яблок?

82. На графике показано изменение температуры в классе после включения кондиционера. На оси абсцисс откладывается время в мину­тах, на оси ординат — температура в градусах Цельсия. Когда темпера­тура достигает определенного значения, кондиционер автоматически выключается, и температура начинает расти. По графику определите, сколько минут работал кондиционер до первого выключения.

83. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см × 1 см изобра­жен ромб (см. рис.). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

84. Поставщик природного газа хочет заключить договор на тран­зит 1,5 млн. м3 своего газа через один из трех газопроводов: Централь­ный, Южный и Восточный. Длина Центрального газопровода равна 400 км, длина Южного газопровода равна 370 км, а длина Восточного газо­провода равна 380 км. Транспортировка 1000 м3 газа на 100 км по Цен­тральному газопроводу стоит 345 рублей, по Южному газопроводу — 430 рублей, по Восточному газопроводу — 400 рублей. Сколько мил­лионов рублей придется заплатить за самый выгодный транзит?

85. Найдите корень уравнения Iog2(х +1) = 4.

86. В треугольнике ABCУгол CРавен 90o, CH — перпендикуляр к АВ,Sin А = — , BC =15. Найти CH.

5

87. Вычислите значение выражения 5.

88. На рисунке изображен график производной функции Y = f(x)>Определенной на промежутке (-4; 5). Найдите количество точек экстремума функции Y = f(x).

AD = ∖[3, CC1 = 2^2. Найдите длину диагонали параллелепипеда AC1.

В10. Доля брака при производстве часов составляет 0,4%. Найди­те вероятность того, что только что купленные часы окажутся ис­правными.

Bll. Объем прямоугольного параллелепипеда, в основании которого лежит квадрат, равен 24 см\ У второго прямоугольного параллелепипе­да, в основании которого тоже лежит квадрат, высота в два раза больше, а ребро основания в два раза меньше, чем у первого. Найдите объем вто­рого прямоугольного параллелепипеда (в кубических сантиметрах).

В12. Камень брошен вертикально вверх. Зависимость высоты, на которой находится камень (пока он не упал на землю), описывается формулой H(t) = — t2 +8/ {h — высота в метрах, T — время в секундах, прошедшее от момента броска). Найдите, сколько секунд камень на­ходился на высоте выше 12 метров.

В13. Бригада рабочих должна изготовить 200 деталей. Изготавли­вая ежедневно на 5 деталей больше, чем предполагалось по плану, бригада выполнила задание на два дня раньше срока. Сколько дней бригада затратила на выполнение задания?

В14. Найдите наибольшее значение функции j, = x3-3×2+4на отрезке [-2; 2].

Часть 2

Cl. Решите систему уравнений

С2. Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA∖B∖C↑Равна 1, а диагональ боковой грани равна. Найдите угол между плоскостью AiBCИ плоскостью основания призмы.

X2 +2x-3

СЗ. Решите неравенство: ——————— < 0.

Logl(x2+2Λ)

2

С4. В треугольнике ABC AB = BC —30 . Вписанная в треугольник окружность касается стороны ABВ точке Л/, и AM = 18. Найдите ра­диус окружности.

С5. Найдите все значения А, при которых область определения функции У = ∖∣A-xLog2(2x — A)∙Log2x содержит три или четыре целых числа.

С6. Решите уравнение в целых числах Mn1 +15 = 4т.

Вариант 22

Часть 1

81. Килограмм черешни стоит 60 рублей. Сколько рублей сдачи вы получите с 1000 рублей при покупке 2 кг 400 г черешни?

82. На графике показано изменение температуры в классе после включения кондиционера. На оси абсцисс откладывается время в мину­тах, на оси ординат — температура в градусах Цельсия. Когда темпера­тура достигает определенного значения, кондиционер автоматически выключается, и температура начинает расти. По графику определите,

83. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см × 1 см изобра­жен ромб (см. рис.). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

84. Поставщик нефтепродуктов хочет заключить договор на тран­зит 13 тыс. тонн нефти через один из трех нефтепроводов. Длина пер­вого нефтепровода равна 1100 км, длина второго нефтепровода равна 1500 км, а длина третьего — 2000 км. Транспортировка одной тонны нефти на 100 км по первому нефтепроводу стоит 1900 рублей, по вто­рому нефтепроводу — 1550 рублей, по третьему нефтепроводу — 1200 рублей. Сколько миллионов рублей придется заплатить за самый выгодный транзит?

85. Найдите корень уравнения Iog2(2х — 4) = 3.

86. В треугольнике ABDУгол В равен 90o, BH — перпендикуляр к

AD, sinD = ~, AB = — . НайтиBH.

7 3

87. og27″ align=»right» width=»37″ height=»21″ class=»»/>Вычислите значение выражения

88. На рисунке изображен график производной функции Y =/(х), определенной на промежутке (-5; 4). Найдите количество точек экстремума функции У = f(x).

89. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA↑B↑C↑D↑ AB = 7, A1D1 = √31, AAx = 1. Найдите длину диагонали параллелепипеда DBx.

В10. Из класса, в котором учатся 12 мальчиков и 8 девочек, выби­рают по жребию одного дежурного. Найдите вероятность того, что дежурным окажется мальчик.

Bll. Объем прямоугольного параллелепипеда, в основании которого лежит квадрат, равен 32 см3. У второго прямоугольного параллелепипе­да, в основании которого тоже лежит квадрат, высота в два раза меньше, а ребро основания в два раза больше, чем у первого. Найдите объем вто­рого прямоугольного параллелепипеда (в кубических сантиметрах).

812. Камень брошен вертикально вверх. Зависимость высоты, на которой находится камень (пока он не упал на землю), описывается формулой H(t) = — t2 + 7/ (h — высота в метрах, T — время в секундах, прошедшее от момента броска). Найдите, сколько секунд камень на­ходился на высоте выше 12 метров.

813. Бригада рабочих должна изготовить 150 деталей. Изготавли­вая ежедневно на 20 деталей больше, чем предполагалось по плану, бригада выполнила задание на два дня раньше срока. Сколько дней бригада затратила на выполнение задания?

814. Найдите наибольшее значение функции У= x3 + Зх2+ 2 на отрезке [-3; 1].

Часть 2

Cl. Решите систему уравнений —

С2. Сторона основания правильной треугольной призмы ABCAiBiCiРавна 2, а диагональ боковой грани равна V13 . Найдите угол между плоскостью AiBCИ плоскостью основания призмы.

СЗ. Решите неравенство: (4×2- 6x + 2) log — 8×3 ≥ 0.

С4. В прямоугольный треугольник ABC (ZC = 90°) вписана ок­ружность с центром О. Луч А О пересекает катет BCВ точке Г, CT =2>/з, ZTAC = ZB. Найдите гипотенузу А В.

С5. Найдите все значения А, при которых областью определения, 1 функции У = является вся числовая прямая.

А • 2 — 2x +1

С6. Решите уравнение в целых числах Тп2+ 20 = 4т.

Вариант 23

Часть 1

81. Килограмм слив стоит 50 рублей. Сколько рублей сдачи вы получите с 500 рублей при покупке 1 кг 200 г слив?

82. На графике показано изменение температуры в классе после включения кондиционера. На оси абсцисс откладывается время в мину­тах, на оси ординат — температура в градусах Цельсия. Когда темпера­тура достигает определенного значения, кондиционер автоматически выключается, и температура начинает расти. По графику определите, сколько минут работал кондиционер до первого выключения.

83. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см × 1 см изобра­жена трапеция (см. рис.). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.

84. Поставщик природного газа хочет заключить договор на тран­зит 2 млн. м3 своего газа через один из трех газопроводов: Централь­ный, Южный и Восточный. Длина Центрального газопровода равна 450 км, длина Южного газопровода равна 400 км, а длина Восточного газопровода равна 380 км. Транспортировка 1000 м3 газа на 100 км по Центральному газопроводу стоит 375 рублей, по Южному газопрово­ду — 420 рублей, по Восточному газопроводу — 450 рублей. Сколько миллионов рублей придется заплатить за самый выгодный транзит?

85. Найдите корень уравнения ——!—- .

2 x — 2х — а

86. В треугольнике ABCУгол А равен 90°, АН— перпендикуляр к

ВС,Sin В = —, AC = 3. Найти АН.

3

12

87. Вычислите значение выражения.

88. На рисунке изображен график производной функции У — F(χ)∙>Определенной на промежутке (-4; 3). Найдите количество точек экстремума функции Y = f(x).

89. Объем цилиндра равен π. Найдите высоту цилиндра, если диаметр его основания равен 1.

В10. Из класса, в котором учатся 11 мальчиков и 9 девочек, выби­рают по жребию одного дежурного. Найдите вероятность того, что дежурной окажется девочка.

Bll. Объем прямоугольного параллелепипеда, в основании кото­рого лежит квадрат, равен 16 см3. У второго прямоугольного паралле­лепипеда, в основании которого тоже лежит квадрат, высота в четыре раза меньше, а ребро основания в два раза больше, чем у первого. Найдите объем второго прямоугольного параллелепипеда (в кубиче­ских сантиметрах).

812. Камень брошен вертикально вверх. Зависимость высоты, на которой находится камень (пока он не упал на землю), описывается формулой H(t) = — t2 +8t (h — высота в метрах, T — время в секундах, прошедшее от момента броска). Найдите, сколько секунд камень на­ходился на высоте выше 15 метров.

813. Бригада рабочих должна изготовить 300 деталей. Изготавли­вая ежедневно на 10 деталей больше, чем предполагалось по плану, бригада выполнила задание на пять дней раньше срока. Сколько дней бригада затратила на выполнение задания?

814. Найдите наибольшее значение функции y = x3+6×2-4 на отрезке [-3; 2].

Часть 2

Cl. Решите систему уравнений

С2. Сторона основания правильной треугольной призмы ABCAiBiCiРавна 2, а диагональ боковой грани равна ∖∣7. Найдите угол между плоскостью A iBC и плоскостью основания призмы.

СЗ. Решите неравенство: (2x + 3)logl(x2— IOx + 26) > 0.

З

С4. В прямоугольный треугольник ABC (ZC = 90°) вписана ок­ружность с центром О. Луч АО пересекает катет BCВ точке М, AM = BMИ CM = 1. Найдите ВС.

С5. Найдите все значения А, при которых областью определения r 1

Функции У = —————— является вся числовая прямая.

С6. Решите уравнение в целых числах Mn2 + 22 = 5т.

Вариант 24

Часть 1

BI. Килограмм апельсинов стоит 70 рублей. Сколько рублей сда­чи вы получите с 500 рублей при покупке 1 кг 400 г апельсинов?

В2. На графике показано изменение температуры в классе после включения кондиционера. На оси абсцисс откладывается время в мину­тах, на оси ординат — температура в градусах Цельсия. Когда темпера­тура достигает определенного значения, кондиционер автоматически выключается, и температура начинает расти. По графику определите, сколько минут работал кондиционер до первого выключения.

Тиметрах.

84. Поставщик нефтепродуктов хочет заключить договор на тран­зит 10 тыс. тонн нефти через один из Ipex нефтепроводов. Длина пер­вого нефтепровода равна 350 км, длина второго нефтепровода равна 400 км, а длина третьего — 330 км. Транспортировка одной тонны нефти на 100 км по первому нефтепроводу стоит 1750 рублей, по вто­рому нефтепроводу — 1550 рублей, по третьему нефтепроводу — 2000 рублей. Сколько миллионов рублей придется заплатить за самый выгодный транзит?

85. Найдите корень уравнения Iog3(2т -1) = 1 .

86. В треугольнике ABFУгол В равен 90o, BH — перпендикуляр к

AF, sinA = -,BF=6.НайтиBH.

2

87. Вычислите значение выражения i.

88. На рисунке изображен график производной функции У = f(x), определенной на промежутке (-4; 5). Найдите количество точек экстремума функции Y = f(х).

89. Объем цилиндра равен 4π. Найдите высоту цилиндра, если диаметр его основания равен 2.

В10. Из класса, в котором учатся 12 мальчиков и 10 девочек, вы­бирают по жребию одного дежурного. Найдите вероятность того, что дежурным окажется мальчик. Ответ округлите до десятых.

Bll. Объем прямоугольного параллелепипеда, в основании которого лежит квадрат, равен 48 см3. У второго прямоугольного параллелепипе­да, в основании которого тоже лежит квадрат, высота в три раза меньше,
а ребро основания в два раза меньше, чем у первого. Найдите объем вто­рого прямоугольного параллелепипеда (в кубических сантиметрах).

812. Камень брошен вертикально вверх. Зависимость высоты, на которой находится камень (пока он не упал на землю), описывается формулой H(t) = — t2 +9/ (А — высота в метрах, T — время в секундах, прошедшее от момента броска). Найдите, сколько секунд камень на­ходился на высоте выше 18 метров.

813. Бригада рабочих должна изготовить 360 деталей. Изготавли­вая ежедневно на 2 детали больше, чем предполагалось по плану, бригада выполнила задание на два дня раньше срока. Сколько дней бригада затратила на выполнение задания?

814. Найдите наибольшее значение функции У = x3— 6×2 + 2 на отрезке [-4; 4].

Часть 2

Cl. Решите систему уравнений

С2. Сторона основания правильной треугольной призмы 2

ABCA1B1C1Равна -=, а диагональ боковой грани равна 1. Найдите √5

Угол между плоскостью B1ACИ плоскостью основания призмы.

П χ2 — l,5x-l Л

СЗ. Решите неравенство:———— i-1— < 0.

С4. Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник АВС, Касается гипотенузы ABВ точке М. Найдите диаметр окружности, ес­ли AM= 3, BM= 10.

С5. Найдите все значения А, при которых область определения

Функции У — содержит ровно

Два целых числа.

С6. Решите уравнение в целых числах Тп2+ 40 = 5т.

Вариант 25

Часть 1

81. Килограмм бананов стоит 40 рублей. Сколько рублей сдачи вы получите с 1000 рублей при покупке 2 кг 600 г бананов?

82. На графике показано изменение температуры в классе после включения кондиционера. На оси абсцисс откладывается время в мину­тах, на оси ординат — температура в градусах Цельсия. Когда темпера­тура достигает определенного значения, кондиционер автоматически выключается, и температура начинает расти. По графику определите, сколько минут работал кондиционер до первого выключения.

83. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см × 1 см изо­бражена трапеция (см. рис.). Найдите ее площадь в квадратных сан-

84. Поставщик природного газа хочет заключить договор на тран­зит 1 млн. м3 своего газа через один из трех газопроводов: Централь­ный, Южный и Восточный. Длина Центрального газопровода равна 700 км, длина Южного газопровода равна 670 км, а длина Восточного газопровода равна 600 км. Транспортировка 1000 м3 газа на 100 км по Центральному газопроводу стоит 410 рублей, по Южному газопрово­ду — 450 рублей, по Восточному газопроводу — 490 рублей. Сколько миллионов рублей придется заплатить за самый выгодный транзит?

85. Найдите корень уравнения Iog5 (2 — х) = 2.

86. В треугольнике BCDУгол D равен 90o, DH — перпендикуляр к

ВС,Sin В= —, DC = 6. Найти DH.

3

87. Вычислите значение выражения

88. На рисунке изображен график производной функции Y = f(x),Определенной на промежутке (-3; 6). Найдите количество точек экстремума функции У= /(х).

В10. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 4 очка. Результат ок­руглите до сотых.

Bll. Объем прямоугольного параллелепипеда, в основании которого лежит квадрат, равен 9 см3. У второго прямоугольного параллелепипеда, в основании которого тоже лежит квадрат, высота в три раза меньше, а ребро основания в два раза больше, чем у первого. Найдите объем второ­го прямоугольного параллелепипеда (в кубических сантиметрах).

812. Камень брошен вертикально вверх. Зависимость высоты, на которой находится камень (пока он не упал на землю), описывается формулой A(Z) = — Z2 + 9Z (А — высота в метрах, Z — время в секундах, прошедшее от момента броска). Найдите, сколько секунд камень на­ходился на высоте выше 20 метров.

813. Бригада рабочих должна изготовить 400 деталей. Изготавли­вая ежедневно на 10 деталей больше, чем предполагалось по плану, бригада выполнила задание на два дня раньше срока. Сколько дней бригада затратила на выполнение задания?

814. Найдите наибольшее значение функции У = — X2-1 на от­

Резке [-3; 3].

Часть 2

Cl. Решите систему уравнений

С2. Сторона основания правильной треугольной призмы ABCAιBιC] равна 2λ∕13, а диагональ боковой грани равна 13. Найди­те угол между плоскостью CiAB и плоскостью основания призмы.

С4. Около равнобедренного треугольника ABCС основанием ACИ углом при основании, равным 75°, описана окружность с центром О. Площадь треугольника BOCРавна 16. Найдите радиус окружности.

С5. Найдите все значения А, при которых область определения функции У= ((ха12 )* — 42а6’5+ 42а ∙ x2xl°e,» — A2x4х) содержит толь­ко одно целое число.

С6. Решите уравнение в целых числах Тп2+ 40 = Зт.

Вариант 26

Часть 1

81. В летнем лагере на каждого ребенка полагается 40 г сахара в день. В лагере 120 детей. Какое наименьшее число килограммовых пачек сахара достаточно для всех детей на неделю?

82. На графике показано изменение температуры в классе после включения кондиционера. На оси абсцисс откладывается время в мину­тах, на оси ординат — температура в градусах Цельсия. Когда темпера­тура достигает определенного значения, кондиционер автоматически выключается, и температура начинает расти. По графику определите, сколько минут работал кондиционер до первого выключения.

83. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1см изображе­на трапеция (см. рис.). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.

84. Поставщик нефтепродуктов хочет заключить договор на тран­зит 17 тыс. тонн нефти через один из трех нефтепроводов. Длина пер­вого нефтепровода равна 1100 км, длина второго нефтепровода равна 900 км, а длина третьего — 950 км. Транспортировка одной тонны нефти на 100 км по первому нефтепроводу стоит 1200 рублей, по вто­рому нефтепроводу — 1650 рублей, по третьему нефтепроводу — 1550 рублей. Сколько миллионов рублей придется заплатить за самый выгодный транзит?

85. Найдите корень уравнения Iog4(х+ 3) = 2 .

86. В треугольнике ABCУгол А равен 90°, АН — перпендикуляр к

ВС,CosC = —, AC = 10. Найти АН.

2

87. Вычислите значение выражения

88. На рисунке изображен график производной функции У = /(*), определенной на промежутке (-3; 4). Найдите точку макси­мума функции У= /(х).

89. Объем правильной треугольной пирамиды SABCС вершиной SРавен 30. Найдите площадь треугольника ABC, если высота пи­рамиды SOРавна 10.

810. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков. Результат округлите до сотых.

ВП. Объем прямоугольного параллелепипеда, в основании которого лежит квадрат, равен 18 см3. У второго прямоугольного параллелепипе­да, в основании которого тоже лежит квадрат, высота в три раза меньше, а ребро основания в три раза больше, чем у первого. Найдите объем вто­рого прямоугольного параллелепипеда (в кубических сантиметрах).

812. Камень брошен вертикально вверх. Зависимость высоты, на которой находится камень (пока он не упал на землю), описывается формулой H(f) = — t2 +IOz (Л — высота в метрах, T — время в секун­дах, прошедшее от момента броска). Найдите, сколько секунд камень находился на высоте выше 24 метров.

813. Пассажирский поезд длиной 600 м движется со скоростью 100 км/ч. Навстречу ему движется товарный поезд длиной 1 км со скоростью 60 км/ч. Сколько секунд пройдет от момента встречи ма­шинистов поездов до момента расставания хвостовых вагонов?

814. Найдите наименьшее значение функции y = x3+3×2+2 на отрезке [^4; 1].

Часть 2

4y2 = 4>∕3ctgx-3 у+ -^ = Victgx

С2. Высота прямой призмы ABCAiBiCiРавна 12. Основание призмы — треугольник АВС, в котором AB = AC, BC =18, tgC = 0,4. Найдите тангенс угла между прямой ACiИ плоскостью BBiCi.

Г-1 D l + V6 + 5x-4×2

СЗ. Решите неравенство: ————————— ≥ 0.

Lθg3χ÷37

С4. Около остроугольного треугольника ABCОписана окружность с центром О. Высоты АН и BKТреугольника пересекаются в точке М, ZAMB = 105° . Найдите угол ABO.

С5. Найдите все значения А, при которых область определения функции У = (l∕x ∙X5log’a +(Va) ∙V2-V2∙(Va) -χ3+*1°8’°) со­

Держит ровно два целых числа.

С6. Решите уравнение в целых числах M2 + п2= 5 .

Вариант 27

Часть 1

81. В летнем лагере на каждого ребенка полагается 35 г сахара в день. В лагере 80 детей. Какое наименьшее число килограммовых па­чек сахара достаточно для всех детей на две недели?

82. На графике показано изменение температуры в классе после включения кондиционера. На оси абсцисс откладывается время в мину­тах, на оси ординат — температура в градусах Цельсия. Когда темпера­тура достигает определенного значения, кондиционер автоматически выключается, и температура начинает расти. По графику определите, сколько минут работал кондиционер до первого выключения.

83. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см × 1 см изображе­на трапеция (см. рис.). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.

84. Поставщик природного газа хочет заключить договор на тран­зит 3 млн. м3 своего газа через один из трех газопроводов: Централь­ный, Южный и Восточный. Длина Центрального газопровода равна 500 км, длина Южного газопровода равна 600 км, а длина Восточного газопровода равна 650 км. Транспортировка 1000 м3 газа на 100 км по Центральному газопроводу стоит 440 рублей, по Южному газопрово­ду — 400 рублей, по Восточному газопроводу — 366 рублей. Сколько миллионов рублей придется заплатить за самый выгодный транзит?

85. Найдите корень уравнения Iog3 (7 — х) = 3 .

86. В треугольнике ВСЕ угол CРавен 90o, CH — перпендикуляр к

BE, CosB = — ,BC = 3.Найти CH.

3

14

87. Вычислите Значение выражения— — r.

51‰

88. На рисунке изображен график производной функции У = f(х), определенной на промежутке (-2; 5). Найдите точку макси­мума функции Y = f(х).

89. Объем правильной треугольной пирамиды SABCС вершиной SРавен 15. Найдите площадь треугольника ABC, если высота пи­рамиды SOРавна 5.

В10. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 3 очка. Результат ок­руглите до тысячных.

ВИ. Объем прямоугольного параллелепипеда, в основании которого лежит квадрат, равен 27 см3. У второго прямоугольного параллелепипе­да, в основании которого тоже лежит квадрат, высота в девять раз мень­ше, а ребро основания в два раза больше, чем у первого. Найдите объем второго прямоугольного параллелепипеда (в кубических сантиметрах).

В12. Камень брошен вертикально вверх. Зависимость высоты, на которой находится камень (пока он не упал на землю), описывается формулой H(t) = — г+1 Ir (Л — высота в метрах, Г — время в секундах, прошедшее от момента броска). Найдите, сколько секунд камень на­ходился на высоте выше 30 метров.

В13. Пассажирский поезд длиной 500 м движется со скоростью 90 км/ч. Навстречу ему движется товарный поезд длиной HOO м со скоростью 70 км/ч. Сколько секунд пройдет от момента встречи ма­шинистов поездов до момента расставания хвостовых вагонов?

В14. Найдите наименьшее значение функции У — Xi + 6.x2 — 4 на отрезке [-3; 2].

Часть 2

Cosxλ∕siny = 0 2cos2Х= 2sin2У —1

С2. Высота прямой призмы ABCAiBiCiРавна 4. Основание приз­мы — треугольник АВС, в котором AB = ВС, AC =6, tgA = 0,5.Найди­те тангенс угла между прямой AiBИ плоскостью ACCi.

СЗ. Решите неравенство: Iog3——— ≤ 2 .

С4. В треугольнике ABC Z. B —30°. Около треугольника описана окружность радиусом 12. Хорда BKПроходит через середину MСто­роны AC, MK = I.Найдите BM.

С5. Найдите все значения А, при которых область определения / 17 ∖0∙5

Функции У= (α2x*0∙5-(Va) + λ∕2x ∙fl8-(2x)0’5*2rlog2’°) содержит одно, два или три целых числа.

С6. Решите уравнение в целых числах M2 + п2 —8 .

Вариант 28

Часть 1

81. В летнем лагере на каждого ребенка полагается 200 г карто­феля в день. В лагере 160 детей. Какое наименьшее число пятикило­граммовых мешков картошки достаточно для всех детей на неделю?

82. На графике показано изменение температуры в классе после включения кондиционера. На оси абсцисс откладывается время в мину­тах, на оси ординат — температура в градусах Цельсия. Когда темпера­тура достигает определенного значения, кондиционер автоматически выключается, и температура начинает расти. По графику определите, сколько мршут работал кондиционер до первого выключения.

83. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см × 1 см изо­бражена трапеция (см. рис.). Найдите ее площадь в квадратных сан­тиметрах.

84. Поставщик нефтепродуктов хочет заключить договор на тран­зит 20 тыс. тонн нефти через один из трех нефтепроводов. Длина пер­вого нефтепровода равна 930 км, длина второго нефтепровода равна 950 км, а длина третьего — 1000 км. Транспортировка одной тонны нефти на 100 км по первому нефтепроводу стоит 1800 рублей, по вто­рому нефтепроводу — 1700 рублей, по третьему нефтепроводу — 1600 рублей. Сколько миллионов рублей придется заплатить за самый выгодный транзит?

85. Найдите корень уравнения Iog2 (6 — 2.x) = 4 .

86. В треугольнике PQRУгол QРавен 90o, QH — перпендикуляр к PR, cos P = У-, PQ— 9. Найти QH.

Wl.Вычислите значение выражения

88. На рисунке изображен график производной функции Y = f(*), определенной на промежутке (-4; 2). Найдите точку макси­мума функции Y = f(х).

В10. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 18 очков. Результат округлите до тысячных.

ВИ. Объем прямоугольного параллелепипеда, в основании которого лежит квадрат, равен 54 см3. У второго прямоугольного параллелепипе­да, в основании которого тоже лежит квадрат, высота в три раза меньше, а ребро основания в два раза больше, чем у первого. Найдите объем вто­рого прямоугольного параллелепипеда (в кубических сантиметрах).

812. Камень брошен вертикально вверх. Зависимость высоты, на которой находится камень (пока он не упал на землю), описывается формулой H(t) = — t2 +12/ (h — высота в метрах, / — время в секун­дах, прошедшее от момента броска). Найдите, сколько секунд камень находился на высоте выше 35 метров.

813. Пассажирский поезд длиной 400 м движется со скоростью 70 км/ч. Навстречу ему движется товарный поезд длиной 800 м со скоростью 50 км/ч. Сколько секунд пройдет от момента встречи ма­шинистов поездов до момента расставания хвостовых вагонов?

814. Найдите наибольшее значение функции У= x3- 6×2 + 2 на отрезке [-4; 4].

Часть 2

Sin χyjcosy = 0

Sin2У = — — COs2X

С2. Высота прямой призмы ABCAlBiCιРавна Зл/5. Основание призмы — треугольник АВС, в котором AB = AC, BC =12, tgC = 0,3. Найдите тангенс угла между прямой AB ↑И плоскостью BCC ↑.

СЗ. Решите неравенство: log∣x+3∣-77—

С4. Радиусы окружности, вписанной в прямоугольный треуголь­ник, и окружности, описанной около него, равны 2 и 5. Найдите пе­риметр треугольника.

С5. Найдите все значения А, при которых область определения / ZX-X \0’5

, ( /—∖2.r+0,5 λ∣-.- ] 1) лГ-

Функции У — (√а ) Или три целых числа.

С6. Решите уравнение в целых числах M2 + п2= 9.

Вариант 29

Часть 1

BLB Летнем лагере на каждого ребенка полагается 300 г картофеля в день. В лагере 140 детей. Какое наименьшее число десятикилограм­мовых мешков картошки достаточно для всех детей на три недели?

82. На графике показано изменение температуры в классе после включения кондиционера. На оси абсцисс откладывается время в мину­тах, на оси ординат — температура в градусах Цельсия. Когда темпера­тура достигает определенного значения, кондиционер автоматически выключается, и температура начинает расти. По графику определите,

83. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см × 1 см изо­бражена трапеция (см. рис.). Найдите ее площадь в квадратных сан­тиметрах.

84. Поставщик природного газа хочет заключить договор на тран­зит 2,5 млн. м3 своего газа через один из трех газопроводов: Цен­тральный, Южный и Восточный. Длина Центрального газопровода равна 1000 км, длина Южного газопровода равна 1300 км, а длина Восточного газопровода равна 700 км. Транспортировка 1000 м3 газа на 100 км по Центральному газопроводу стоит 380 рублей, по Южно­му газопроводу — 300 рублей, по Восточному газопроводу — 510 рублей. Сколько миллионов рублей придется заплатить за самый выгодный транзит?

85. Найдите корень уравнения log 1(х -1) = -1.

7

86. В треугольнике MLNУгол NРавен 90o, NH— перпендикуляр к

ML, cosM = —, MN= 13. Найти NH.

13

87. Вычислите значение выражения

88. На рисунке изображен график производной функции У-/(χ) >определенной на промежутке (-5; 4). Найдите точку мини­мума функции У= /(х) .

В10. В партии из 500 компьютеров оказалось 8 бракованных. Ка­кова вероятность купить исправный компьютер?

ВП. Объем прямоугольного параллелепипеда, в основании которого лежит квадрат, равен 2 см3. У второго прямоугольного параллелепипеда, в основании которого тоже лежит квадрат, высота в два раза больше, а ребро основания в два раза меньше, чем у первого. Найдите объем вто­рого прямоугольного параллелепипеда (в кубических сантиметрах).

812. Камень брошен вертикально вверх. Зависимость высоты, на которой находится камень (пока он не упал на землю), описывается формулой H(f) — — г+1 3/ (Л — высота в метрах, / — время в секун­дах, прошедшее от момента броска). Найдите, сколько секунд камень находился на высоте выше 42 метров.

813. Пассажирский поезд длиной 300 м движется со скоростью 120 км/ч. Навстречу ему движется товарный поезд длиной 700 м со скоростью 80 км/ч. Сколько секунд пройдет от момента встречи ма­шинистов поездов до момента расставания хвостовых вагонов?

X3,

814. Найдите наименьшее значение функции г = — — Х~-1 на отрезке [-3; 3].

Часть 2

Ctg)√tgX =0 tg2x-ctg2г = 3

С2. Высота прямой призмы ABCAiBiCiРавна √TT. Основание призмы — треугольник АВС, в котором AB = ВС, AC =10, tgC = 0,6. Найдите тангенс угла между прямой BCiИ плоскостью AAiCi.

СЗ. Решите неравенство: log, (x2- IOx + 24) < Iogx ^4x.

С4. В треугольнике ABC CB = 60o, BC = ЗАВ . Около треугольника описана окружность радиуса 8>/з, и в него же вписана окружность с центром О. Луч ВО пересекает сторону AC в точке М. Найдите СМ.

С5. Найдите все значения Р, при которых уравнение 3sinx = Р —4cosx Не имеет Корней.

С6. Решите уравнение в целых числах Tn~+ и2= 10.

Вариант 30

Часть 1

81. В летнем лагере на каждого ребенка полагается 15 г соли в день. В лагере 240 детей. Какое наименьшее число килограммовых пачек соли достаточно для всех детей на неделю?

82. На графике показано изменение температуры в классе после включения кондиционера. На оси абсцисс откладывается время в мину­тах, на оси ординат — температура в градусах Цельсия. Когда темпера­тура достигает определенного значения, кондиционер автоматически выключается, и температура начинает расти. По графику определите, сколько минут работал кондиционер до первого выключения.

83. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см × 1 см изображе­на трапеция (см. рис.). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.

84. Поставщик нефтепродуктов хочет заключить договор на тран­зит 11 тыс. тонн нефти через один из трех нефтепроводов. Длина пер­вого нефтепровода равна 850 км, длина второго нефтепровода равна 950 км, а длина третьего — 800 км. Транспортировка одной тонны нефти на 100 км по первому нефтепроводу стоит 1650 рублей, по вто­рому нефтепроводу — 1450 рублей, по третьему нефтепроводу — 1700 рублей. Сколько миллионов рублей придется заплатить за самый выгодный транзит?

85. Найдите корень уравнения log 1 (2 — .v) = 2 .

2

86. В треугольнике STKУгол 5 равен 90o, SH — перпендикуляр к

TK, CosK = — ,SK= 14. Найти SH.

14

О-, О 21 6

87. Вычислите значение выражения — 7 + „ |og—.

88. На рисунке изображен график производной функции У = f(x), определенной на промежутке (-4; 4). Найдите точку мини­мума функции У = f (х).

89. Объем правильной треугольной пирамиды SABCС верши­ной SРавен 3. Найдите площадь треугольника АВС, если высота пирамиды SOРавна 2.

BlO. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найти вероятность того, что решка выпадет один раз.

Bll. Объем прямоугольного параллелепипеда, в основании кото­рого лежит квадрат, равен 12 см3. У второго прямоугольного паралле­лепипеда, в основании которого тоже лежит квадрат, высота в три раза меньше, а ребро основания в три раза больше, чем у первого. Найдите объем второго прямоугольного параллелепипеда (в кубиче­ских сантиметрах).

812. Камень брошен вертикально вверх. Зависимость высоты, на которой находится камень (пока он не упал на землю), описывается формулой H(t) = — t2 + 14z,(Л — высота в метрах, T — время в секун­дах, прошедшее от момента броска). Найдите, сколько секунд камень находился на высоте выше 48 метров.

813. Пассажирский поезд длиной 300 м движется со скоростью 100 км/ч. Навстречу ему движется товарный поезд длиной 600 м со скоростью 80 км/ч. Сколько секунд пройдет от момента встречи ма­шинистов поездов до момента расставания хвостовых вагонов?

814. Найдите наименьшее значение функции y = x3+3×2+2 на отрезке [-4; 1].

Часть 2

Cos у ^ctgx =0

Ctg2х + sin2У= 4

С2. Высота прямой призмы ABCA∖B∖C↑Равна >/7. Основание призмы — треугольник АВС, в котором AB = AC, BC =6, tgZ? = 1. Най­дите тангенс угла между прямой AB ↑И плоскостью BBiCi.

СЗ. Решите неравенство: log(x_2)6 (7 — 2х) >-.

С4. Большее основание ADТрапеции ABCDРавно 15, синус угла ABDРавен. Найдите радиус описанной около трапеции окружности.

С5. Найдите все значения Р, при которых уравнение | Х+ х | = Р — 2 имеет четыре корня.

С6. Решите уравнение в целых числах Т2+ п2= 13.

Вариант 31

Часть 1

81. В магазине цена телевизора 5000 рублей. Сколько рублей бу­дет стоить телевизор после двух понижений цены на 10%?

82. На рисунке показан график изменения температуры воздуха. На оси абсцисс отмечается время суток в часах, на оси ординат — значение температуры в градусах. Сколько часов температура была ниже 20 градусов?

83. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см × 1 см изо­бражен многоугольник (см. рис.). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

84. Для изготовления книжных полок требуется заказать 30 оди­наковых деревянных панелей в одной из трех фирм. Площадь каждой панели равна 0,9 м2. В таблице приведены цены на панели и на их резку. Сколько рублей нужно заплатить за самый выгодный заказ?

85. Найдите корень уравнения -—— = —.

86. В треугольнике ABCAB = BC = 3, sin C = — . Найти АС.

D lθ‰5 ⅛7

87. Вычислите значение выражения—————— — .

Iog3 25 Iog4 49

88. Функция F(х) определена на промежутке (-6; 7). На рисунке изображен график производной этой функции.

К графику функции провели все касательные, составляющие с осью абсцисс угол 45°.

Укажите количество точек графика функции, в которых проведе­ны эти касательные.

89. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 18π, а его вы­сота равна 3. Найдите радиус основания цилиндра.

810. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найти вероятность того, что орел выпадет не выпадет ни разу.

811. Объем цилиндра равен 12. Найдите объем цилиндра, если его высоту увеличить в 2 раза, а радиус — уменьшить в два раза.

812. Материальная точка движется по координатной прямой по закону 5(z) = It1— St + 3 . Найдите момент времени, когда точка оста­новится.

813. Известно, что пустой бассейн заполняется первой трубой за 2 часа, а второй трубой — за 3 часа. Полностью заполненный бассейн выливается через третью трубу за 6 часов. За сколько часов заполнится изначально пустой бассейн, если открыть все три трубы одновременно?

814. Найдите наибольшее значение функции У —.v4- 2х2+ 3 на отрезке [-2; 2].

Часть 2

4sin2 .v-4sinx = 3

У]Y2— 2y + 4 = 2 cos л

С2. Диаметр окружности основания цилиндра равен 13, образую­щая цилиндра равна 10,5. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 12 и 5. Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.

СЗ. Решите неравенство: I-I > 1.

С4. Правильный двенадцатиугольник A1A2… A12Вписан в окруж­ность радиуса 7. Найдите площадь треугольника Λ1∕12Λ7.

С5. Найдите все значения Р, при которых уравнение ∣sinx∣ = Р3 не имеет корней.

С6. Найдите наименьшее натуральное П, при котором число 2010! = 1 — 2 — 3 — — 2009 — 2010 не делится на N»^ .

Вариант 32

Часть 1

81. В магазине цена холодильника 12000 рублей. Сколько рублей будет стоить холодильник после двух понижений цены на 10%?

82. На рисунке показан график изменения температуры воздуха. На оси абсцисс отмечается время суток в часах, на оси ординат — значение температуры в градусах. Сколько часов температура была ниже 24 градусов?

83. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см × 1 см изо­бражен многоугольник (см. рис.). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

84. Для изготовления окон требуется заказать 50 одинаковых сте­кол в одной из трех фирм. Площадь каждого стекла равна 1,6 м2. В таблице приведены цены на стекло и на резку стекол. Сколько рублей нужно заплатить за самый выгодный заказ?

85. Найдите корень уравнения— = — .

1-х 3

86. В треугольнике BCD BC = CD = 4, sin D = . Найти BD.

Wl.Вычислите значение выражения 3 ∙ ? + 2i°8m1.

Iog2 343

88. Функция /(х) определена на промежутке (-5; 5). На рисунке изображен график производной этой функции. К графику функции провели все касательные, составляющие с осью абсцисс угол 135°. Укажите количество точек графика функции, в которых проведены эти касательные.

89. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 14π, а его вы­сота равна 7. Найдите радиус основания цилиндра.

810. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четыре раза. Найти вероятность того, что орел выпадет два раза.

811. Объем цилиндра равен 16. Найдите объем цилиндра, если его высоту уменьшить в три раза, а радиус — увеличить в три раза.

812. Материальная точка движется по координатной прямой по закону S(t) — 3t2- 6t + 2 . Найдите момент времени, когда точка оста­новится.

813. Известно, что пустой бассейн заполняется первой трубой за 3 часа, а второй трубой — за 4 часа. Полностью заполненный бас­сейн выливается через третью трубу за 2 часа. За сколько часов за­полнится изначально пустой бассейн, если открыть все три трубы одновременно? z

814. Найдите наибольшее значение функции Y = x4-4х2+5 на отрезке [-3; 3].

Часть 2

2 cos2х-15 cos*+ 7 = O Y∕y2 + У + 1 + sin Х= О

С2. Диаметр окружности основания цилиндра равен 17, образую­щая цилиндра равна 23. Плоскость пересекает его основания по хор­дам длины 15 и 8. Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.

СЗ. Решите неравенство: 3 8″‘5 x> 9.

С4. Правильный двенадцатиугольник Ai A2… Ai2Вписан в окруж­ность радиуса 6. Найдите площадь четырехугольника.

С5. Найдите все значения Р, при которых уравнение Ex ~2x = р Имеет единственный корень.

С6. Найдите наименьшее натуральное П, при котором число 2010! = 1 • 2• 3• •• 2009• 2010 не делится на.

Вариант 33

Часть 1

81. В магазине цена ноутбука 25000 рублей. Сколько будет стоить ноутбук после двух понижений цены на 20%?

82. На рисунке показан график изменения температуры воздуха. На оси абсцисс отмечается время суток в часах, на оси ординат — значение температуры в градусах. Сколько часов температура была выше 21 градуса?

83. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см × 1 см изо­бражен многоугольник (см. рис.). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

84. Для изготовления книжных полок требуется заказать 50 оди­наковых деревянных панелей в одной из трех фирм. Площадь каждой панели равна 0,75 м2. В таблице приведены цены на панели и на их резку. Сколько рублей нужно заплатить за самый выгодный заказ?

85. Найдите корень уравнения ————- — = -.

86. В треугольнике PQR PQ = QR = 8, sin P = . Найти PR.

Io 2-

87. Найдите значение выражения 4—- — + Iog80 5.

Iog7 80

88. Функция F(х) определена на промежутке (-4; 7). На рисунке изображен график производной этой функции. К графику функции провели все касательные, составляющие с осью абсцисс угол 60°. Укажите количество точек графика функции, в которых проведены эти касательные.

Сота равна 4. Найдите радиус основания цилиндра.

810. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четыре раза. Найти вероятность того, что орел выпадет один раз.

811. Объем цилиндра равен 18. Найдите объем цилиндра, если его высоту увеличить в два раза, а радиус — уменьшить в три раза.

812. Материальная точка движется по координатной прямой по закону S(f) = t2-1 к + 5 . Найдите момент времени, в который ско­рость точки будет равна 1 м/с.

813. Известно, что пустой бассейн заполняется первой трубой за 3 часа, а второй трубой — за 5 часа. Полностью заполненный бас­сейн выливается через третью трубу за 2 часа. За сколько часов за­полнится изначально пустой бассейн, если открыть все три трубы одновременно?

4

814. Найдите наибольшее значение функции У-х4 — —X3+2 на отрезке [-2; 3].

Часть 2

Tg х(1 — ctg х) = ctg x(tg X-1) λ∕y2 + бу +11 — 2 sin Х= О

С2. Диаметр окружности основания цилиндра равен 15, образую­щая цилиндра равна 31,5. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 9 и 12. Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.

СЗ. Решите неравенство: 41°8

С4. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна 15, а осно­вания равны 7 и 25. Найдите диаметр описанной около трапеции ок­ружности.

С5. Найдите все значения Р, при которых уравнение Vx = |х + Р\ Имеет единственный корень.

С6. Найдите наименьшее натуральное П, при котором число 2010! = 1 • 2 • 3 • • • 2009 • 2010 не делится на и”4 .

Вариант 34

Часть 1

81. Продавец закупает на оптовой базе ботинки по цене 800 руб­лей за одну пару. При выставлении в торговый зал продавец делает наценку 20%. Сколько рублей стоит одна пара ботинок в сезон рас­продаж, когда цена на все товары понижается на 10%?

82. На графике показано изменение давления в паровой турбине после запуска. На оси абсцисс откладывается время в минутах, на оси ординат — давление в атмосферах. Определите по графику, сколько минут давление было ниже 5 атмосфер?

83. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см × 1 см изо­бражен многоугольник (см. рис.). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

84. Для изготовления окон требуется заказать 45 одинаковых сте­кол в одной из трех фирм. Площадь каждого стекла равна 1,2 м2. В таблице приведены цены на стекло и на резку стекол. Сколько рублей нужно заплатить за самый выгодный заказ?

«с И — 2х-4 3

85. Найдите корень уравнения —-— = —

2√2

86. В треугольнике MLN MN = LN= 15, sin M = —— . Найти ML.

П-7 О Iog5 21 log, 7

87. Вычислите значение выражения ————- —

Iog5 3 log, 3

88. Функция F(х) определена на промежутке (-6; 5). На рисунке изображен график производной этой функции. К графику функции провели все касательные, составляющие с осью абсцисс угол 30°. Укажите количество точек графика функции, в которых проведены эти касательные.

A1D1 =2∖∣2, AA1 =1. Найдите длину диагонали параллелепипеда DB1.

810. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четыре раза. Найти вероятность того, что решка выпадет три раза.

811. Объем цилиндра равен 25. Найдите объем цилиндра, если его высоту увеличить в пять раз, а радиус — уменьшить в пять раз.

812. Материальная точка движется по координатной прямой по закону S(f) = 2t2— 3/ + 2. Найдите момент времени, в который ско­рость точки будет равна 1 м/с.

813. Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в ча­стном получится 7 и в остатке 6. Если же это число разделить на про­изведение его цифр, то в частном получится 3 и в остатке 11. Найдите исходное число.

814. Найдите наибольшее значение функции y = x5+x3+4 на отрезке [-2; 1].

Часть 2

Ctg х(1 — tg х) = tg x(ctg х -1) Y∣Y2 — IOy+ 27 + 2cosх = 0

С2. Диаметр окружности основания цилиндра равен 5, образую­щая цилиндра равна 7. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 3 и 4. Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоско­стью основания цилиндра.

СЗ. Решите неравенство: 7log’x + x1°δ7 x — х‘°8,7< 7.

С4. Центр окружности, описанной около трапеции, лежит на ее большем основании. Боковая сторона трапеции равна 15, радиус ок­ружности равен 12,5. Найдите площадь трапеции.

С5. Найти все значения Р, при которых уравнение Р —2cos3x = = 3cos2x не имеет корней.

С6. Найдите наименьшее натуральное П, при котором число 2010! = 1 • 2 • 3 • • • 2009 • 2010 не делится на w»5.

Вариант 35

Часть 1

81. Продавец закупает на оптовой базе мониторы по цене 6000 рублей за штуку. При выставлении в торговый зал продавец де­лает наценку 10%. Сколько рублей стоит один монитор в сезон рас­продаж, когда цена на все товары снижается на 20%?

82. На графике показано изменение давления в паровой турбине после запуска. На оси абсцисс откладывается время в минутах, на оси ординат — давление в атмосферах. Определите по графику, сколько минут давление было выше 6 атмосфер?

83. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см × 1 см изо­бражен многоугольник (см. рис.). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

84. Для изготовления книжных полок требуется заказать 20 оди­наковых деревянных панелей в одной из трех фирм. Площадь каждой панели равна 1,1 м2. В таблице приведены цены на панели и на их резку. Сколько рублей нужно заплатить за самый выгодный заказ?

_ ττ„ 3 + 2x 1

85. Найдите корень уравнения —-— = —

86. В треугольнике STK ST= SK = 12, sin К = —. Найти TK

Wl.Вычислите значение выражения

В8. Функция F(x)Определена на промежутке (-5; 6). На рисунке изображен график производной этой функции. К графику функции провели все касательные, составляющие с осью абсцисс угол 30°. Укажите количество точек графика функции, в которых проведены эти касательные.

В9. Объем цилиндра равен 4π. Найдите диаметр основания ци­линдра, если его высота равна 1.

810. В случайном эксперименте симметричную монету бросают три раза. Найти вероятность того, что орел выпадет не менее двух раз.

811. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 24. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если его высоту увеличить в два раза, а радиус — уменьшить в три раза.

812. Материальная точка движется по координатной прямой по закону S(f) = t2 -4t + ∖.Найдите момент времени, в который скорость точки будет равна 2 м/с.

813. Если двухзначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 4 и в остатке 6. Если же это число разделить на произведение его цифр, то в частном получится 1 и в остатке 22. Най­дите исходное число.

814. Найдите наименьшее значение функции У = x4- 2х2+ 3 на отрезке [-2; 2].

Часть 2

2cos2x = 4cosx-3

√/ -2y =√3ctgx

С2. Диаметр окружности основания цилиндра равен 10, образую­щая цилиндра равна 7. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 6 и 8. Найдите тангенс угла между плоскостью основания ци­линдра и этой плоскостью.

СЗ. Решите неравенство: Iogl Iog0 2 Iog32

С4. Около трапеции, основания которой равны 4 и 16, описана ок­ружность. Найдите радиус окружности, вписанной в трапецию.

С5. Найдите все значения Р, при которых уравнение

3cos 6x + cos33x—р= 0 не имеет корней.

С6. Найдите наибольшее натуральное и, при котором число 2010! = 1 • 2-3••• 2009-2010 делится на.

Вариант 36

Часть 1

81. Продавец закупает на оптовой базе сотовые телефоны по цене 6000 рублей за штуку. При выставлении в торговый зал продавец де­лает наценку 30%. Сколько рублей стоит один сотовый телефон в се­зон распродаж, когда цена на все товары снижается на 20%?

82. На графике показано изменение давления в паровой турбине после запуска. На оси абсцисс откладывается время в минутах, на оси ординат — давление в атмосферах. Определите по графику, сколько минут давление было ниже 12 атмосфер?

83. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см × 1 см изо­бражен многоугольник (см. рис.). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

84. Для изготовления окон требуется заказать 10 одинаковых сте­кол в одной из трех фирм. Площадь каждого стекла равна 2 м2. В таб­лице приведены цены на стекло и на резку стекол. Сколько рублей нужно заплатить за самый выгодный заказ?

85. Найдите корень уравнения—- = —.

2х-1 2

86. В треугольнике ABC AB = ВС, АН — перпендикуляр к ВС, AC= %, sin А = — . Найти АН.

4

87. Вычислите значение выражения 2 ∙ *o^3∙∙^ + 7l°e^2.

Iog3 25

88. Функция F(х) определена на промежутке (-A,, 5). На рисунке изображен график производной этой функции.

К графику функции провели все касательные, составляющие с осью абсцисс угол 150°.

Укажите количество точек графика функции, в которых проведе­ны эти касательные.

89. Объем правильной треугольной пирамиды SABCС верши­ной SРавен 50. Найдите высоту пирамиды SO, если площадь тре­угольника ABCРавна 10.

, В10. В Случайном эксперименте симметричную монету бросают три раза. Найти вероятность того, что орел выпадет более двух раз.

ВИ. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 32. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если его высоту уменьшить в два раза, а радиус — увеличить в три раза.

Bl 2. Материальная точка движется по координатной прямой по закону S(t) = t3- 5t2 + 2/ +1. Найдите момент времени, в который ус­корение точки будет равно 2 м/с2.

В13. Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в ча­стном получится 8 и в остатке 7. Если же это число разделить на про­изведение его цифр, то в частном получится 10 и в остатке 1. Найдите исходное число.

В14. Найдите наименьшее значение функции У= x4-4х2+5 на отрезке [-3; 3].

Часть 2

Sin 2x = sinx

√y2 + y + √3 =tgx

С2. Диаметр окружности основания цилиндра равен 8,5, обра­зующая цилиндра равна 5. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 4 и 7,5. Найдите тангенс угла между образующей ци­линдра и этой плоскостью.

СЗ. Решите неравенство: Iog9(log2(2-Iog2 √x-l)-1) <.

С4. В правильный шестиугольник со стороной, равной 12, вписа­на окружность, в которую вписан правильный треугольник. Найдите сторону этого треугольника.

С5. Найдите все значения Р, при которых уравнение 5cos3x — Р + + 4cos2x = 0 Не имеет Корней.

С6. Найдите наибольшее натуральное П, при котором число 2010! = 1 • 2 • 3 • • • 2009 -2010 делится на и”3 .

Вариант 37

Часть 1

81. Сколько рублей стоит телевизор в магазине, если он на 20% дороже магнитофона, а магнитофон на 10% дешевле пылесоса, стоя­щего 8000 рублей?

82. На графике показано изменение скорости самолета в полете. Сколько часов скорость самолета была ниже 800 км/ч?

83. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см × 1 см изо­бражен многоугольник (см. рис.). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

84. Для изготовления книжных полок требуется заказать 15 оди­наковых деревянных панелей в одной из трех фирм. Площадь каждой панели равна 1,2 м2. В таблице приведены цены на панели и на их резку. Сколько рублей нужно заплатить за самый выгодный заказ?

85. Найдите корень уравнения—- = — .

6-5х 8

86. В треугольнике PQR PR = QR, PH — перпендикуляр к QR, 2 /б

PQ = 5, sin Q = — у-. Найти PH.

WLВычислите значение выражения J⅛1Z — + Iog527 31 .

Iog3 527

88. Функция /(х) определена на промежутке (-3; 5). На рисунке изображен график производной этой функции. К графику функции провели все касательные, составляющие с осью абсцисс угол 45°. Укажите количество точек графика функции, в которых проведены эти касательные.

89. Объем правильной треугольной пирамиды SABCС верши­ной S равен 5. Найдите высоту пирамиды SO,Если площадь тре­угольника ABCРавна 2.

810. В случайном эксперименте симметричную монету бросают три раза. Найти вероятность тога, что решка выпадет не более трех раз.

811. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 4. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если его высоту увеличить в два раза, а радиус основания — уменьшить в четыре раза.

812. Материальная точка движется по координатной прямой по закону 5,(z) = Z3- 2г + 3t + 4 . Найдите момент времени, в который ус­корение точки будет равно 2 м/с2.

813. Трехзначное число оканчивается цифрой 5. Если ее перене­сти в начало записи числа, то полученное число будет на 207 больше первоначального. Найдите первоначальное число.

814. Найдите точку максимума функции У = (х+ 2)e1- r.

Часть 2

χ tg У= 3 . xctgy = 9

С2. Диаметр окружности основания цилиндра равна 3√Tθ , обра­зующая цилиндра равна 6. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 3 и 9. Найдите тангенс угла между образующей цилин­дра и этой плоскостью.

СЗ. Решите неравенство: log^ Iog2 logx+t 9 >О.

У

С4. Равнобедренный треугольник вписан в окружность. Радиус ок­ружности равен 9, а основание треугольника равно 8√z5 . Найдите рас­стояние от центра окружности до боковой стороны треугольника.

С5. Найдите все значения Р, при которых уравнение 3cos 4x-р= 2cos32x Не имеет Корней.

С6. Найдите наибольшее натуральное П, при котором число 2010! = 1 • 2 • 3 ••• 2009 • 2010 делится на Пп* .

Вариант 38

Часть 1

81. Сколько рублей стоит ноутбук в магазине, если он на 40% до­роже телевизора, а телевизор на 20% дороже сотового телефона, стоящего 12000 рублей?

82. На графике показано изменение скорости самолета в полете. Сколько часов скорость самолета была выше 700 км/ч?

83. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см × 1 см изо­бражен многоугольник (см. рис.). Найдите его площадь в квадратных

84. Для изготовления окон требуется заказать 60 одинаковых сте­кол в одной из трех фирм. Площадь каждого стекла равна 0,6 м2. В таблице приведены цены на стекло и на резку стекол. Сколько рублей нужно заплатить за самый выгодный заказ?

85. Найдите корень уравнения ————- = —.

86. В треугольнике MLN ML = MN, LH — перпендикуляр к MN, LN = 4√7 , sin L = —. Найти LH.

4

87. Вычислите значение выражения 2 ∙ ^3- Iog316 .

Iog9 3

88. Функция F(x)Определена на промежутке (-5; 7). На рисунке изображен график производной этой функции. К графику функции провели все касательные, составляющие с осью абсцисс угол 135°. Укажите количество точек графика функции, в которых проведены эти касательные.

89. Объем правильной треугольной пирамиды SABCС верши­ной S равен 34. Найдите высоту пирамиды SO, если площадь тре­угольника ABCРавна 3.

810. В случайном эксперименте симметричную монету бросают пять раза. Найти вероятность того, что орел выпадет более одного раза.

811. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 1. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если его высоту увеличить в шесть раз, а радиус основания — уменьшить в три раза.

812. Материальная точка движется по координатной прямой по закону S(t) = t3- 2t2 + 5t + 2 . Найдите момент времени, в который ус­корение точки будет равно 8 м/с2.

813. Трехзначное число оканчивается цифрой 1. Если ее перене­сти в начало записи числа, то полученное число будет на 396 меньше первоначального. Найдите первоначальное число.

Bl 4. Найдите наименьшее значение функции y = x5+x3+4 на отрезке [-2; 1].

Часть 2

∣X = 6ctgJ>

Cl. Решите систему уравнении < [x = 2tgy

С2. Диаметр окружности основания цилиндра равна 2√T3 , обра­зующая цилиндра равен Ю. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 4 и 6. Найдите тангенс угла между образующей цилин­дра и этой плоскостью.

СЗ. Решите неравенство: log l Iog3 log l (x2-1) > 0 .

В 2

С4. В треугольнике ABCРасстояние от центра описанной окруж­ности до стороны BCРавно >/б. ZBAC = 45o, ZACB = 60°. Найдите длину стороны АВ.

С5. Найдите все значения Р, при которых уравнение 5cos 8х + Р = = 6sin34x Не имеет Корней.

С6. Найдите наибольшее натуральное П, при котором число 2010! = 1 • 2 • 3 • • • 2009 • 2010 делится на П”5.

СБОРНИК ЗАДАЧ
ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ

1. Алгебра

1.1. Числа, корни и степени

1. Вычислите: ^/216-0,OOl .

2. Вычислите: ^/81 — 0,0625 .

3. Вычислите: λ∕25:0,04 — л/27:125 .

4. Вычислите: . * ∙j∕125-0,027-64 .

√25∙0,09

E _ √216∙0,125

5. Вычислите: ——- ■.—— .

√243

6. Вычислите: ^/64-0,125 .

7. Вычислите: ⅛0,001 -27 .

8. Вычислите: ^∕θ,0016-81.

9. Вычислите: ^/64-0,001.

10. Вычислите: ^∕θ, 0081 • 16 .

14. Вычислите: (ι∣— + 1)(^- — ~ + D -1 ∙

15. Вычислите: (2,1^∕16⅛4 + 1,9λ∕4⅛4) 19.

16. Вычислите: (l,5y∣25∖[5+ 3,5л/5^25) 11. 16

17. Вычислите: (0,3√27√3 + 2,7√3√27 )15. . 12

18. Вычислите: (1,1√8λ∕2 + 0,9√4∖∕8)11.

19. Вычислите: (2,2√36√6 + 3,. ____________________ 12

20. Вычислите: (1,02 ∙ √7 ∙ √49 + 5,98√49√7 )’11. 15

21. Вычислите: (2,3v3⅛3 + 0,71∖∕81)19.

22. Вычислите: (1,5^4^16+2,5^4)

2_

23. Вычислите: (3,7-^64^/8 + 4,3>∕8∙V64 У1.

38. Найдите значение выражения —————— г-, если А = —

39. Найдите значение выражения cos2(5τr + α) +ctg« ∙sin2<2 , если

3π а= —.

4

39.2.2. Синус и косинус двойного угла

1

40. Найдите sin 2а, если cos а = —, — <А < 2π .

41. Найдите cos 2а, если sin а =——— , π <а <— π .

42. Найдите sin А, если sin — = — ,0<α<7r.

43. Найдите cos А, если cos — = —Y=, π≤a≤2π.

2 √2

43.2.2. Соотношения между тригонометрическими функциями

44. Найдите Ctg 2а, если sin 2a = — L √3 4 2

Тт i-fc √⅛ 1 7Г

45. Найдите tg 2а, если sin 2a = —Y= ,—<а<—. √7 4 2

45.2.2. Тригонометрические функции суммы и разности двух углов

46. Найдите значение выражения cos 150(cos350sin500-cos500sin350).

47. Найдите значение выражения cos450(cos250sm700-cos700sin250).

48. Найдите значение выражения

75 sin300(cosl00cos200- sinl0osin20o).

49. Найдите значение выражения cos 15 o(sin5 ocos 10° — cos5 osin 10°).

50. Найдите значение выражения

Cos750(sinl000cos250- cosl000sin250).

51. Найдите значение выражения

4sin300(cosl00cos200- sinl0osin20o).

52. Найдите значение выражения 4sin 10osin20o- 2cos 10°.

53. Найдите значение выражения sinl00cos200 + 0,5sinl0o.

54. Найдите значение выражения cos 1000cos200- 0,5cos80o.

1.3. Логарифмы

49

Вычислите: Iog7^ —, если log^-169 = А .

Вычислите: log,,- —, если log1, √f7 =а. 62’216,

1.4. Преобразование выражений

66. Найдите значение выражения ∖∣Tf⅛» ∙⅛3 + V∖∕13 ∙λ∕13^ .

493 .6418

1Y

363 ∙812