15. Пусть AB = α1, тогда AC = α1+J и BC = α1+2J. Периметр треугольника…

15. Пусть AB = α1, тогда AC = α1+J и BC = α1+2J. Периметр треугольника ABCРавен AB + AC + BC = 3α1+3rf или 36, поэтому α1 ÷ D = 12.

16. Используя характеристическое свойство арифметической прогрессии, найдите α4, а затем по формуле n-ого члена и α1, и D.

17. B3 = Biq2,Значит, Q2 = 3. Выразите B5Через B3.

18.

Используйте характеристическое свойство арифметической прогрессии или см. решение типового задания № 9.

22. Имеем: α1 = 3 и А5= 48. Используйте формулу n-ого члена.

23.

См. решение типового задания № 10.

25. Запишите формулу n-ого члена для A2, а3,α11. Получите: α1 + 6d = 23.

26.

Используйте формулу n-ого члена. Найдите член про­грессии, наиболее близкий к нулю. Для этого определите послед­ний отрицательный и первый положительный член прогрессии. См. также решение типового задания № 4.

28. Используйте формулу суммы n-первых членов геометриче — ∕,-ι∖7

— -1

I 2 I

Ской прогрессии. Получите: Bl-—р— = 85.

Al + D = -2, (αl + 3J)(αl + 4 D) = 8.

Систему можно решить методом подстановки. См. также ре­шение типового задания № 5.

30. Найдите последний отрицательный член прогрессии, для этого решите неравенство Ап< 0. Получите, что П< 51.

31. Используйте свойство средней линии треугольника и сред­ней линии трапеции. Получите арифметическую прогрессию: 10; 20; … 60.

32. Используйте формулу n-ого члена для Z>3и для B2.Получите уравнение на Q : Q2- Q— 2 = 0. Почему один из корней уравнения является посторонним?

33. Используя характеристическое свойство геометрической прогрессии, найдите Z>4. Получите два значения Z>4, и, соответст­венно, два значения D.Задача имеет два решения.

34. Выразите 614через Bn.Далее выразите Z>16через Z>14.

35. Используйте характеристическое свойство арифметической прогрессии для нахождения α35. Затем найдите разность прогрес­сии.

„ г. [Z>1+Z>4=27,

36. Решите систему уравнений <, ,

* ¾ — 72.

Преобразуйте второе уравнение и получите, что Z>1 ∙ ⅛ = 72. Систе­ма имеет два решения, но одно из них является посторонним.

37. См. решение типового задания № 12.

38. 1-й способ. Найдите S2IИ 519. Искомая сумма равна 528- 519.

2-й способ. Найдите α20и α2s∙ Получите конечную арифметиче­скую прогрессию: 83; …; 115 и найдите сумму ее членов.

39. Рассмотрите арифметическую прогрессию (an): 2; 4; 6 …

Запишите формулу n-го члена и решите неравенство Ап<ПО.

40. Представьте и числитель, и знаменатель в виде степени с натуральным показателем. В числителе — x1+2+ +17. В знаменателе — χ1+3+∙∙+17. Найдите сумму членов конечных арифметических про­грессий: 1; 2; …; 17 и 1; 3; …; 17. Далее разделите степень на сте­пень.

41. В числителе и в знаменателе представлены суммы конеч­ных геометрических прогрессий со знаменателем 3. Найдите их.

314-l

Получите: jr~p

42. Пусть члены геометрической прогрессии имеют вид Z>1, Blq, Bxq∖ Bxq3.Используйте характеристической свойство ариф­метической прогрессии и получите систему уравнений

2(Z>1(∕ ÷ 5) = 6] + 2 ÷ Bxq^ ÷ 7, 2(⅛1^2+ 7) = +5 + ⅛1^3+ 7.

Раскройте скобки, приведите подобные слагаемые и сгруппируйте слагаемые, содержащие Bx.См. также решение типового задания № 13.

43. Из первого условия получите: Ах= 3 — l,5rf. Исследуйте квад­ратичную функцию F(D) = (3 + 0,5d)(3 + 2,5rf) на наименьшее зна­чение. Для этого найдите координаты вершины параболы.

44. Примените формулу разности квадратов. Получите сумму конечной арифметической прогрессии 85 + 81 +… + 3.

45. Формула n-ого члена для первой прогрессии имеет вид: An = 2N +1; для второй — Am = 7 т+1. Члены прогрессий совпада­ют, если An = ат, 2п = 7т. Так как Тип— натуральные числа, то по свойствам делимости Т делится на 2, а П делится на 7. Итак, Т Может быть равно 2; 4; … 10. Получаем арифметическую прогрес­сию с первым членом 15 и разностью 14.

46. Двузначные натуральные числа, которые делятся на 3, та­ковы: 12; 15;… 99. Их 30. Двузначные натуральные числа, которые делятся на 4 таковы: 12; 16; 96. Их 22. Двузначные натуральные

Числа, которые делятся и на 3 и на 4, таковы: 12; 24; …; 96. Их 8. Имеем: 30 + 22 — 8 = 44.

47. Все четные числа, кратные 3, имеют вид 6 п, где П — нату­ральное число. Сумма двузначных чисел такого вида равна 810. Четных двузначных чисел, кратных 3 и кратных 7, всего два: 42 и 84. Имеем: 8IO — 42 — 84 = 684.

48. Любое натуральное число, которое дает при делении на 4 остаток I, можно записать в виде 4N + I, где П — натуральное чис­ло. Сколько таких натуральных чисел не превосходят 150? Решите неравенство 4N +1 <150. Их 37. Остается найти сумму тридцати семи членов арифметической прогрессии An = 4N +1.

49. Запишите формулу n-ого члена для каждого, кроме перво­го, члена геометрической прогрессии. Получите Z>15• #10= 243, зна­чит, Bx ∙ q1 = 3.