Задания этого раздела направлены на проверку…

Задания этого раздела направлены на проверку умений решать текстовые задачи, используя как арифметические способы рассуждений, так и алгебраический метод (со­ставление выражений, уравнений, систем), в том числе работать с алгебраической моделью, в которой число переменных превосходит число уравнений.

2 балла

7.49. 1) Николай и Андрей живут в одном доме. Николай вышел из дома и направился к школе. Через 4 мин после него из дома вышел Андрей и догнал своего друга у школы. Найдите расстояние от дома до шко­лы, если Николай шел со скоростью 60 м/мин, а скорость Андрея 80 м/мин.

2) Мотоцикл, движущийся по шоссе со скоростью 60 км/ч, миновал пост ДПС. Через час мимо этого поста проехал автомобиль со скоростью 90 км/ч. На каком расстоянии от поста ДПС автомобиль догнал мотоцикл, если оба они ехали без остановок?

7.50. 1) Из пунктов А и В, расстояние между которыми 19 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода и встретились в 9 км от пункта А. Найдите скорость каждого, если известно, что пеше­ход, вышедший из А, шел со скоростью, на 1 км/ч большей, чем другой пешеход, и сделал в пути 30-минутную остановку.

2) Из пунктов А и В, расстояние между которыми 34 км, выехали одновременно навстречу друг другу два мотоциклиста. Мотоциклист, выехавший из А, Ехал со скоростью, на 8 км/ч большей скорости дру­гого мотоциклиста, и сделал в пути получасовую остановку. Найдите скорость каждого, если извест­но, что они встретились в 10 км от пункта А.

7.51. 1) Группа туристов отправляется на лодке от лагеря по течению реки с намерением вернуться обратно через 5 ч. Скорость течения реки 2 км/ч, собствен­ная скорость лодки 8 км/ч. На какое наибольшее расстояние по реке они могут отплыть, если перед возвращением они планируют пробыть на берегу 3 ч?

2) Рыболов отправляется на лодке от пристани про­тив течения реки с намерением вернуться назад че­рез 5 ч. Перед возвращением он хочет пробыть на берегу 2 ч. На какое наибольшее расстояние он может отплыть, если скорость течения реки равна 2 км/ч, а собственная скорость лодки 6 км/ч?

7.52. 1) Лодка может проплыть 15 км по течению реки и еще 6 км против течения за то же время, за какое плот может проплыть 5 км по этой реке. Найдите скорость течения реки, если известно, что собствен­ная скорость лодки 8 км/ч.

2) Катер проплывает 20 км против течения реки и еще 24 км по течению за то же время, за какое плот может проплыть по этой реке 9 км. Скорость кате­ра в стоячей воде равна 15 км/ч. Найдите скорость течения реки.

7.53. 1) Для сада выделен прямоугольный участок земли. Длина изгороди вокруг сада окажется меньше, если участок при той же площади будет иметь квадрат­ную форму. Для этого надо одну сторону участка увеличить на 48 м, а другую уменьшить на 60 м. Какова сторона квадратного участка?

2) Для школьной площадки выделен прямоугольный участок земли. Длина ограды вокруг площадки ока­жется меньше, если участок при той же площади будет иметь квадратную форму. Для этого надо од­ну сторону участка увеличить на 18 м, а другую уменьшить на 27 м. Какова сторона квадратного участка?

7.54. 1) Длина детской площадки прямоугольной формы на 5 м больше ее ширины. Длину площадки увели­чили на 2 м, а ширину — на 5 м, при этом ее пло­щадь увеличилась на 280 м2. Найдите площадь но­вой детской площадки.

2) Под строительную площадку отвели участок пря­моугольной формы, длина которого на 25 м больше ширины. При утверждении плана застройки длину участка увеличили на 5 м, а ширину — на 4 м, в результате площадь участка увеличилась на 300 м2. Найдите площадь образовавшейся строительной пло­щадки.

4 балла

7.55. 1) Из города А в город В, расстояние между которы­ми равно 300 км, выехал автобус. Через 20 мин навстречу ему из В в А выехал автомобиль и через 2 ч после выезда встретил автобус. C какой ско­ростью ехал автомобиль, если известно, что она бы­ла на 20 км/ч больше скорости автобуса?

2) Из города А в город В, расстояние между кото­рыми 205 км, выехал автобус. Через 15 мин навстречу ему из В в А выехал мотоциклист и встре­тил автобус через 1 ч после выезда. C какой скоростью ехал автобус, если его скорость на 20 км/ч больше скорости мотоциклиста?

7.56. 1) Два пешехода должны выйти навстречу друг дру­гу из двух пунктов, расстояние между которыми 20 км. Если первый выйдет на полчаса раньше вто­рого, то он встретит второго пешехода через 2,5 ч после своего выхода. Если второй выйдет на 1 ч раньше первого, то он встретит первого пешехода через 2 ч 40 мин после своего выхода. Какова ско­рость каждого пешехода?

2) Из двух пунктов, расстояние между которыми 36 км, должны выехать навстречу друг другу два ве­лосипедиста. Если первый велосипедист отправится в путь на 1 ч раньше второго, то он встретит его че­рез 1 ч 48 мин после своего выезда. Если второй отправится в путь на 1 ч раньше первого, то он встретит первого через 1 ч 36 мин после своего вы­езда. Найдите скорость каждого велосипедиста.

7.57. 1) Турист, находящийся в спортивном лагере, дол­жен успеть к поезду на железнодорожную станцию. Если он поедет на велосипеде со скоростью 15 км/ч, то опоздает на 30 мин, а если поедет на мопеде со скоростью 40 км/ч, то приедет за 2 ч до отхода по­езда. Чему равно расстояние от лагеря до станции?

2) Болельщик хочет успеть на стадион к началу мат­ча. Если он пойдет из дома пешком со скоростью 5 км/ч, то опоздает на 1 ч, а если поедет на вело­сипеде со скоростью 10 км/ч, то приедет за 30 мин до начала матча. Чему равно расстояние от дома до стадиона?

7.58. 1) Путь от поселка до озера идет сначала горизон­тально, а затем в гору. От поселка до озера велоси­педист доехал за 1 ч, а обратно за 46 мин. Его ско­рость на горизонтальном участке была равна 12 км/ч, на подъеме — 8 км/ч, а на спуске — 15 км/ч. Найдите расстояние от поселка до озера.

2) Путь от пансионата до почты, который идет сна­чала в гору, а потом под гору, пешеход прошел за 1 ч 40 мин, а обратный путь — за 2 ч 20 мин. В гору он шел со скоростью 3 км/ч, а под гору — со скоростью 6 км/ч. Найдите расстояние от пансио­ната до почты.

7.59. 1) Из пункта А в пункт В, расстояние между кото­рыми 60 км, одновременно выехали автобус и авто­мобиль. В пути автомобиль сделал остановку на 3 мин, но в пункт В прибыл на 7 мин раньше авто­буса. Найдите скорости автомобиля и автобуса, если известно, что скорость автобуса в 1,2 раза меньше скорости автомобиля.

2) Из пункта А в пункт В, расстояние, между кото­рыми 80 км, одновременно выехали два автобуса. В пути один из автобусов сделал остановку на 15 мин, но в пункт В прибыл на 5 мин раньше другого. Известно, что его скорость в 1,5 раза больше скорос­ти другого. Найдите скорость каждого автобуса.

7.60. 1) Николай рассчитал, что он сможет хорошо подго­товиться к экзамену, если будет решать по 12 задач в день. Однако ежедневно он перевыполнял свою норму на 8 задач и уже за 5 дней до экзамена ре­шил на 20 задач больше, чем планировал первона­чально. Сколько задач решил Николай?

2) Ирина рассчитала, что сможет хорошо подгото­виться к зачету по английскому языку, если будет заучивать по 24 слова в день. Однако ежедневно она выучивала дополнительно 6 слов, и уже за 2 дня до зачета ей осталось выучить 18 слов. Сколько слов должна была выучить Ирина?

7.61. 1) На двух копировальных машинах, работающих одновременно, можно сделать копию пакета доку­ментов за 10 мин. За какое время можно выполнить эту работу на каждой машине в отдельности, если известно, что на первой. машине ее можно сделать на 15 мин быстрее, чем на второй?

2) На двух множительных аппаратах, работающих одновременно, можно сделать копию рукописи за 20 мин. За какое время можно выполнить эту рабо­ту на каждом аппарате в отдельности, если извест­но, что при работе на первом для этого потребуется на 30 мин меньше, чем при работе на втором?

7.62. 1) Фирма А может выполнить некоторый заказ на производство игрушек на 4 дня раньше, чем фирма В. За какое время может выполнить этот заказ каж­дая фирма, если известно, что при совместной рабо­те за 24 дня они выполняют заказ, в 5 раз больший?

2) Работая вместе, фирмы А и В за 8 дней могут вы — полнить — некоторого заказа. За сколько дней мо-

3

Жет выполнить этот заказ каждая фирма, если из­вестно, что фирма А может выполнить его на 10 дней раньше, чем фирма В?

7.63. 1) Два строителя выложили стену из кирпичей за 14 дней, причем второй присоединился к первому через 3 дня после начала работы. Известно, что пер­вому строителю на выполнение всей работы потре­бовалось бы на 6 дней больше, чем второму. За сколько дней мог бы выложить эту стену каждый строитель, работая отдельно?

2) Два мастера оклеили обоями квартиры на этаже в новом доме за 15 дней, причем второй присоеди­нился к первому через 7 дней после начала работы. Известно, что первому мастеру на выполнение всей работы потребовалось бы на 7 дней меньше, чем вто­рому. За какое время мог бы выполнить эту работу каждый мастер, работая отдельно?

7.64. 1) Два автомата разной производительности при од­новременном включении упакуют дневную норму коробок с соком за 12 ч. Если первый автомат бу­дет включен 2 ч, а второй — 3 ч, то будет упакова­но только 20% всех коробок. За какое время может упаковать дневную норму коробок каждый автомат, работая в отдельности?

2) Два оператора, работая вместе, могут набрать текст газеты объявлений за 8 ч. Если первый оператор бу­дет работать 3 ч, а второй — 12 ч, то они выполнят только 75% всей работы. За какое время может на­брать весь текст каждый оператор, работая отдельно?

7.65. 1) На пост мэра города претендовало три кандидата: Андреев, Борисов, Васильев. Во время выборов за Ва­сильева было отдано в 1,5 раза больше голосов, чем за Андреева, а за Борисова — в 4 раза больше, чем за Андреева и Васильева вместе. Сколько процентов избирателей проголосовало за победителя?

2) На пост губернатора области претендовало три кан­дидата: Гаврилов, Дмитриев, Егоров. Во время выбо­ров за Дмитриева было отдано в 3 раза меньше голо­сов, чем за Гаврилова, а за Егорова — в 9 раз боль­ше, чем за Гаврилова и Дмитриева вместе. Сколько процентов избирателей проголосовало за победителя?

7.66. 1) Каждый слушатель на курсах изучает один из языков — английский, немецкий или французский. Отношение числа слушателей, изучающих английс­кий, к числу слушателей, изучающих немецкий,

Равно 3 : 2, а число изучающих немецкий к числу изучающих французский равно 8:5. Сколько про­центов слушателей изучает наименее популярный на курсах язык?

2) Каждый учащийся спортивной школы занимает­ся одним из видов борьбы — самбо, дзюдо или карате. Отношение числа самбистов к числу дзюдо­истов равно 11 : 6, а числа дзюдоистов к числу ка­ратистов равно 3:4. Сколько процентов учащихся занимается наиболее популярным в этой школе ви­дом борьбы?

7.67. 1) Клиент внес 3000 р. на два вклада, один из ко­торых дает годовой доход, равный 8%, а другой — 10%. Через год на двух счетах у него было 3260 р. Какую сумму клиент внес на каждый вклад?

2) В прошлом году в двух крупных городах области было зарегистрировано 900 дорожно-транспортных происшествий (ДТП). В текущем году число ДТП в первом городе уменьшилось на 10%, во втором — на 30%, и всего в этих городах было зарегистриро­вано 740 случаев ДТП. Сколько дорожно-транспорт­ных происшествий было зарегистрировано в каждом из этих городов в прошлом году?

7.68. 1) В прошлом году на два самых популярных фа­культета университета было подано 1100 заявле­ний. В текущем году число заявлений на первый из этих двух факультетов уменьшилось на 20%, а на второй увеличилось на 30%, причем всего было подано ИЗО заявлений. Сколько заявлений было подано на каждый из этих факультетов в текущем ГОДУ?

2) В городской думе заседало 60 депутатов, представ­ляющих две партии. После выборов число депутатов от первой партии увеличилось на 15%, а от второй партии уменьшилось на 20%. Сколько депутатов от каждой партии оказалось в городской думе после вы­боров, если всего было выбрано 55 депутатов?

7.69. 1) Влажность свежескошенной травы 60%, сена 20%. Сколько сена получится из 1 т свежескошен­ной травы?

2) Влажность свежих грибов 90%, а сухих — 15%. Сколько сухих грибов получится из 1,7 кг свежих?

7.70. 1) Сколько граммов воды надо добавить к 180 г си­ропа, содержащего 25% сахара, чтобы получить си­роп, концентрация которого равна 20% ?

2) Сколько граммов сахарного сиропа, концентрация которого 25%, надо добавить к 200 г воды, чтобы в полученном растворе содержание сахара составляло 5%?

7.71. 1) Сколько граммов 75%-ного раствора кислоты надо добавить к 30 г 15%-ного раствора кислоты, чтобы получить 50%-ный раствор кислоты?

2) Сколько граммов 15%-ного раствора соли надо добавить к 50 г 60% — ного раствора соли, чтобы полу­чить 40%-ный раствор кислоты?

6 баллов

7.72. 1) Один автомобиль проходит в минуту на 200 м больше, чем другой, поэтому затрачивает на про­хождение одного километра на 10 с меньше. Сколь­ко километров в час проходит каждый автомобиль? 2) Один пешеход проходит в минуту на 5 м меньше другого, поэтому на прохождение одного километра ему требуется на 50 с больше. Сколько километров в час проходит каждый пешеход?

7.73. 1) Из пунктов А и B9Расстояние между которыми 6 км, одновременно вышли навстречу друг другу два пешехода. После их встречи пешеход, шедший из A9 Пришел в В через 24 мин, а шедший из В пришел в А через 54 мин. На каком расстоянии от пункта А встретились пешеходы?

2) Из пунктов А и B9Расстояние между которыми 15 км, одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста. После их встречи велосипедист, выехавший из A9Прибыл в В через 20 мин, а вы­ехавший из В приехал в А через 45 мин. На каком расстоянии от пункта В велосипедисты встретились?

7.74. 1) Турист и велосипедист одновременно отправились навстречу друг другу из пунктов А и В. Они встре­тились через 1,5 ч, после чего каждый продолжил движение в своем направлении. Велосипедист при­был в пункт А через 2 ч после выезда из В. За ка­кое время прошел путь от А до В турист?

2) Автобус отправился из пункта А в пункт В. Од­новременно навстречу ему из В в А выехал велоси­педист. Через 40 мин они встретились, и каждый продолжил движение в своем направлении. Автобус прибыл в пункт В через 10 мин после встречи. Че­рез какое время после встречи прибыл в А велоси­педист?

6 — Кузнецова, 9 кл.

7.75. 1) Дорога от поселка до станции идет сначала в го­ру, а потом под гору, при этом ее длина равна 9 км. Пешеход на подъеме идет со скоростью, на 2 км/ч меньшей, чем на спуске. Путь от поселка до стан­ции занимает у него 1 ч 50 мин, а обратный путь занимает 1 ч 55 мин. Определите длину подъема на пути к станции и скорости пешехода на подъеме й на спуске.

2) Дорога длиной 10 км от туристического лагеря до поселка идет сначала под гору, а затем в гору. Турист на спуске идет со скоростью, на 3 км/ч большей, чем на подъеме. Путь от лагеря до посел­ка занимает у него 2 ч 40 мин, а обратный путь занимает 2 ч 20 мин. Определите длину спуска на пути к поселку и скорости туриста на подъеме и на спуске.

7.76. 1) Автомобиль едет из А в В сначала 2 мин с горы, а затем 6 мин в гору. Обратный же путь он проде­лывает за 13 мин. Во сколько раз быстрее автомо­биль едет с горы, чем в гору?

2) Автобус едет из А в В сначала 5 мин в гору, за­тем 3 мин с горы. Обратный же путь он проделыва­ет за 16 мин. Во сколько раз быстрее автобус едет с горы, чем в гору?

7.77. 1) Из турбазы в одном направлении выходят три ту­риста с интервалом в 30 мин. Первый идет со ско­ростью 5 км/ч, второй — 4 км/ч. Третий турист до­гоняет второго, а еще через 4 ч догоняет первого. Найдите скорость третьего туриста.

2) Две машины выехали одновременно из одного пункта и едут в одном направлении. Скорость пер­вой машины 50 км/ч, а скорость второй на 20% больше. Через час из этого же пункта вслед за ни­ми выехала третья машина, которая догнала вторую на 1 ч 20 мин позже, чем первую. Найдите скорость третьей машины.

7.78. 1) Из деревни на станцию выехал грузовик, а через 30 мин из деревни в том же направлении выехал легковой автомобиль, который догнал грузовик в 30 км от станции. После прибытия на станцию лег­ковой автомобиль сразу же повернул назад и встре­тил грузовик в 6 км от станции. Сколько времени понадобилось легковому автомобилю, чтобы догнать грузовик?

2) Два маршрутных такси с интервалом в 12 мин отправляются от станции к поселку, причем второе такси догоняет первое в 30 км от поселка. Прибыв в поселок, второе такси сразу же поворачивает на­зад и встречает первое в 5 км от поселка. Через сколько минут после выезда со станции второе так­си догнало первое?

7.79. 1) Плот проплывает путь из А в В за 12 ч, а мотор- ‘ ная лодка — за 3 ч. За какое время моторная лод­ка преодолеет такое же расстояние в стоячей воде?

2) Плот проплывает путь из А в В за 6 ч, а мотор­ная лодка — путь из В в А за 2 ч. За какое время моторная лодка преодолеет такое же расстояние в стоячей воде?

7.80. 1) Из пункта А в пункт В, расположенный ниже по течению реки, отправляется плот. Одновременно навстречу ему из пункта В выходит катер. Встретив плот, катер сразу поворачивает и идет вниз по тече­нию реки. Какую часть пути от А до В пройдет плот к моменту возвращения катера в пункт В, если ско­рость катера в стоячей воде вчетверо больше скорос­ти течения реки?

2) Из пункта А в пункт В, расположенный выше по течению реки, вышла баржа, собственная скорость которой втрое больше скорости течения. Одновре­менно навстречу ей из пункта В отправился плот. Встретив плот, баржа сразу повернула назад и по­шла вниз по течению реки. Какую часть всего рассто­яния от А до В останется проплыть плоту к момен­ту прибытия баржи в пункт А?

7.81. 1) Из пункта А в пункт В отправились одновремен­но вниз по течению реки плот и катер. Пока плот плыл со скоростью 3 км/ч по течению реки, катер прибыл в пункт В, затем совершил обратный рейс в пункт А и вернулся снова в пункт В одновременно с прибытием плота. Какова собственная скорость ка­тера?

2) Из пункта А в пункт В отправились одновремен­но вниз по течению реки плот и теплоход. Пока плот плыл со скоростью 2 км/ч по течению реки, теплоход успел прибыть в пункт В и вернуться об­ратно в пункт А, затем еще раз совершить рейс из пункта А в пункт В и обратно и, наконец, прибыть в пункт В одновременно с плотом. Какова собствен­ная скорость теплохода?

7.82. 1) Одна мельница может смолоть 38 ц пшеницы за 6 ч, другая — 96 ц за 15 ч, третья — 35 ц за 7 ч.

Как распределить 133 т пшеницы между мельница­ми, чтобы они мололи зерно в течение одного и то­го же времени?

2) Маша может напечатать 10 страниц за 1 ч, Таня — 4 страницы за 0,5 ч, а Оля — 3 страницы за 20 мин. Как девочкам распределить 54 страницы текста между собой, чтобы они работали в течение одного и того же времени?

7.83. 1) Четыре бригады должны разгрузить вагон с про­дуктами. Вторая, третья и четвертая бригады вместе могут выполнить эту работу за 4 ч; первая, третья и четвертая — за 3 ч. Если же будут работать только первая и вторая бригады, то вагон будет разгружен за 6 ч. За какое время могут разгрузить вагон все четы­ре бригады, работая вместе?

2) Для откачивания воды из резервуара имеется че­тыре насоса. Если включить первый, второй и тре­тий насосы, то работа будет выполнена за 10 мин; если включить первый, третий и четвертый насосы, то та же работа будет выполнена за 12 мин. Если же будут работать только два насоса, второй и чет­вертый, то работа будет выполнена за 15 мин. За ка­кое время можно откачать воду из резервуара при помощи всех четырех насосов?

7.84. 1) В свежих яблоках 80% воды, а в сушеных — 20%. На сколько процентов уменьшается масса яблок при сушке?

2) Абрикосы при сушке теряют 60% своей массы. Сколько процентов воды содержат свежие абрикосы, если в сушеных абрикосах 25% воды?

7.85. 1) В лаборатории имеется 2 кг раствора кислоты од­ной концентрации и 6 кг раствора этой же кислоты другой концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, концентрация которого со­ставляет 36%. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 32% кислоты. Какова концентрация каждого из двух имеющихся растворов?

2) У хозяйки есть 5 кг сахарного сиропа одной кон­центрации и 7 кг сахарного сиропа другой концент­рации. Если эти сиропы смешать, то получится сь роп, концентрация которого составляет 35%. Если же смешать равные массы этих сиропов, то получит­ся сироп, содержащий 36% сахара. Какова концент­рация каждого из двух имеющихся сиропов?

7.86. 1) При смешивании первого раствора кислоты, кон­центрация которого 20%, и второго раствора этой же кислоты, концентрация которого 50%, получили раствор, содержащий 30% кислоты. В каком отно­шении были взяты первый и второй растворы?

2) Имеется два сплава с разным содержанием меди: в первом содержится 70%, а во втором — 40% ме­ди. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содер­жащий 50% меди?

7.87. 1) Закупив чайные кружки на складе, магазин стал продавать их по цене, приносящей доход в 50%. Перед Новым годом цена была снижена на 40%. Какая цена меньше: та, по которой магазин закупил кружки, или предновогодняя — и на сколько про­центов?

2) Магазин закупил на складе футболки и стал про­давать их по цене, приносящей доход в 40%. В кон­це года цена была снижена на 50%. Какая цена меньше: та, по которой магазин закупил футболки, или их цена в конце года — и на сколько процен­тов?

7.88. 1) На аукционе одна картина была продана с при­былью 20%, а другая — с прибылью 50%. Общая прибыль от продажи двух картин составила 30%. У какой картины первоначальная цена была выше и во сколько раз?

2) Стоимость путевки в пансионат складывается из стоимости питания и проживания. В связи с тем что питание в пансионате подорожало на 50%, а прожи­вание подорожало на 25%, стоимость путевки уве­личилась на 40%. За что платили больше до подо­рожания: за питание или проживание — и во сколь­ко раз?

7.89. 1) Апельсины подешевели на 30%. Сколько апель­синов можно теперь купить на те же деньги, на ко­торые раньше покупали 2,8 кг?

2) Цена на фрукты возросла на 15%, за счет чего на сумму в 230 р. было приобретено фруктов на 3 кг меньше. На сколько рублей возросла цена 1 кг фруктов?

7.90. 1) Цена товара была дважды снижена на одно и то же число процентов. На сколько процентов снижа­лась цена товара каждый раз, если его первоначаль­ная стоимость 2000 р., а окончательная 1805 р.?

2) Цена товара была дважды повышена на одно и то же число процентов. На сколько процентов повыша­лась цена товара каждый раз, если его первоначаль­ная стоимость 6000 р., а окончательная 6615 р.?

7.91. 1) Вчера число учеников, присутствовавших на уро­ках, было в 8 раз больше числа отсутствовавших. Сегодня не пришли еще 2 человека, и оказалось, что число отсутствующих составляет 20% от числа при­сутствующих. Сколько всего учеников в классе?

2) Вчера число учеников, отсутствовавших на уро­ках, составляло 25% от числа присутствовавших. Сегодня пришли еще 3 человека, и теперь число от­сутствующих в 9 раз меньше числа присутствую­щих. Сколько всего учеников в классе?

Ответы и указания к разделу Il

1. Выражения и их преобразование

1.1. 1) α(l + А)(а — Ь);2) X(X —L)(ι∕ + х). 1.2. 1) (α — 1)× ×(c — l)(c + 1); 2) x(x — 1 )(г/ -1). 1.3. 1) (4x — 3ι∕)(4x — Зу — 1);

2) (2с — 5α)(2c — 5α-1). 1.4. 1) (2x + Y)(L + у — 2х); 2) (а — 3B)× ×(1 — А — ЗЬ).1.5. 1) (а — 3B + 2c)(α + 3B— 2с); 2) (1 — 2x — Y)×

2) 12~3x. 1.32. 1) -у,2) — Зх. 1.33. 1) 4; 2) — Х 4∂ + 4

1.34. 1) -⅞c~1∙ 2) 2≤l±l. 1.35. 1) 4;2) -12. 1.38. 1) -√^-l; с2 А2

Г — ⅛

2)-√∂-l. 1.39. 1) —; 2) 1. 1.40. Указание. Сначала упрос­тите левую часть равенства, а затем избавьтесь от иррациональ­ности в знаменателе дроби. 1.42. Указание. Умножьте пер­вый множитель на четвертый, второй на третий и сделайте под­ходящую замену. Ответ. 1) (x2 + Зх — 3)(x2 + Зх + 5);

2) (х2+ х — 2)(х2+ х — 4). 1.43. Указание. Представьте 2а2 В виде суммы А2+ а2. Ответ. 1) (а — x)(x + 2A— 1);

2) (х + Y)(X — 2Y —1). 1.44. Указание. Докажите, что квадратный трехчлен, входящий в состав выражения, положителен при всех х. 1.45. Указание. Выделите два полных квадрата вида (х + а)2 и (у + Ь)2. Ответ. 1) При х = -2, У= 3; 2) при х = 5, У-1. 1.46. 1) Наибольшее значе­ние выражения, равное 10, достигается при х = -2, У = 3;

2) наибольшее значение выражения, равное 2, достигается при X = 1, У= 5. 1.47. 1) Выражение принимает наименьшее значе­ние, равное -5, при Т= -2, П= 3; 2) выражение принимает наибольшее значение, равное 5, при Т= 3, П= 2. 1.48. 1) Имеет, оно достигается при А = Ъ= 2,5; 2) имеет, оно достигается при А= -1,5, Ь = 1,5. 1.49. 1) 0,6; 2) 6. 1.50.1) 1±¾ 2) 2y—3x.

1 X У

1.51. 1) -4x-V, 2) 1-Vx. 1.52. 1) -11; 2) -2,5. 1.53. 1) Явля-

Ется; 2) является. 1.54. 1) Между 1 и 2; 2) между 3 и 4. 1.55. 1) Наименьшее значение равно 0, оно достигается при Х= -3, У= 2; 2) наименьшее значение равно 0, оно достигается при Х= 1, У= -2. 1.56. 1) Х= -1, У= -2; 2) А= -3, Ь= 1. 1.57. 1) Наименьшее значение равно 0, оно достигается при Х= 2, У = 5 и Х= 1, У= 2; 2) наименьшее значение равно 0, оно достигается при А= 0, Ъ= 5 и при А= 1, Ъ= 4. 1.58. 1) Наи­меньшее значение равно 0, оно достигается при Х= 2, У= 1; 2) наименьшее значение равно 0, оно достигается при Х= -2, У= 1-

2 . Уравнения с одной переменной

2.51. 1) 0,5; 1,5; 2) -1,25; 0,16. 2.2. 1) 11; 2) 1; -11.

2.3. 1) -3; -√2; √2; 2) 3; -√3; √3. 2.4. 1) -1; 1; 2,5; 2) -2;

2; 0,5. 2.5. 1) |; -1; |; 2) 2,5; -1; 0,5. 2.6. l)-√¾√2; 2) -√3; Δ о

√3; -2; 2. 2.7. 1) -^; -3; 3; 2) -^; -2; 2. 2.8.1) -3;

2 2 3 3

|; 2) -3,5; 2. 2.9. 1) 2,5; 2) 1. 2.10. 1) -1; 0,5; 2) -1,5; 1. 2.11. 1) -2; 2) 0. 2.12. 1) 3; 7; 2) -2; -1. 2.13. 1) -2; 18; 2) -4; 12. 2.14. 1) х = 2; 2) х = -2. 2.15. 1) Между числами 2 и 3;

2.4. между числами 4 и 5. 2.16. 1) -6; 1; 2; 3; 2) 1; 3; —2-√7; -2 + √L 2.17. 1) -√δ; √5; -2; 2; 0; 2) -√3; √3; -2; 2; 0. 2.18. Указание. 1) Используйте замену x2 + 4x = T;Ответ: -5; 1; -6; 2; 2) 2; 3; 1; 4. 2.19. 1) -1; 1; 2; 4; 2) -5; -3; 1; 3. 2.20. 1) 3; 7; 2) -4; 0. 2.21. 1) 16; 2) 81. 2.22. 1) Не имеет; 2) не имеет. 2.23. 1) При ∣Jfe∣ ≥ 2√2; 2) при ∣⅛∣< 2√3. 2.24. 1) Jfe = ±1; ÷2; 2) Т= ÷1; ±2; ±3; ÷4. 2.25. 1) При С > 19; 2) при С≤ 15. 2.26. 1) -1; 2) -|. 2.27. 1) 1,5; 2) -2,5. 2.28. 1) -4; 2) -2. о 3

2.29. 1) 1; 2) 1. 2.30. 1) -3; 2) 7. 2.31. 1) 0; -1; 1; 2) -1; -1; 1.

2.32. Указание. Воспользуйтесь заменой. 1) Считайте, на­пример, X2- 4х + 3 = T;Корни уравнения: 0; 4; 2) -7; 1; -5; -1.

2.33. 1) 3; 4; 2) 2; 3. 2.34. 1) Указание. Сгруппируйте мно­жители х — 2 и х + 3, х — 1 и х + 2, а затем воспользуйтесь заменой; корни уравнения: -4; 3; 2) -5; 2. 2.35. 1) При Т= О и Т= 9; 2) при K = 0 и K = 1. 2.36. 1) При -4 ≤ A ≤ 4; 2) при -1 ≤ Р≤ 1. 2.37. 1) При-i <А < 2) при А< 3 и А > 1.

2.38. 1) При А< -1 и А > 2; 2) при А< -3 и А > 1. 2.39. 1) При

Ь<-4; 2) при K< -2 И K > 2. 2.40. 1) При Т= 1; 2) при Т =—. 4

2.41. Указание. Найдите наименьшее значение каждого трехчлена и выясните, при каком значении х оно достигается.

⅛ х_ 5

2.43. 1) Указание. Введите замену ———————- = у9 корни урав-

Нения:

2.44. 1)

X(x+ 2) = T∙9Корни уравнения: -3; 1; 2) 1; 3; 2÷λ∕3. 2.46. 1) У к а — X2

Зание. Введите замену ———— — = T;Корни уравнения: -1; 2;

Х+ 2

2) -6; 2. 2.47. Указание. Воспользуйтесь тождеством A2 + B2 = = (α + B)2- 2Ab,Затем введите замену; 1) 0,5; 2; 2) -0,5; 2; 2-Jδ; 2+ Jδ. 2.48. 1) Указание. Представьте знаменатели дробей в виде многочленов и используйте замену, например х2+ 6х +

-6-JlO -6 +Jfo Г — г-

= V9Ответ: -7; 1;———————— ; —— ——- ; 2) -2-√3; -2 + √3.

3. Системы уравнений

3.1. 1) (1; -3); 2) (-2; 3). 3.2. 1) (-3; 1); 2) (1; -4).

3.3. 1) (1; 2); (-∣; -⅛∖ 2) (2; -3)J-2∣; 3∣1 3.4. 1) (3; -2); (-3; -8); 2) (2; 0); (-1; 3). 3.5. 1) (5; -2); (2; -5); 2) (6; 2);

(2; 6). 3.6. 1) (2; -2); (-2; -4); 2) (6; 8); (4; 2). 3.7. 1) (√5; 3√5);

(-√5∙-3√5); 2) (2√7; √7); (-2√7; -√7). 3.8. 1) (2 + √3; 3+4√3); (2-√⅞ 3-4√5); 2) (2+√5; 5+2√5); (2-√5; 5-2√Γ). 3.9. 1) 3 ре­шения; 2) 3 решения. 3.10. 1) (1; -2); (1; 1); (3,5; -4); 2) (4; 1); (-3; 1); (-2; 4). 3.11. 1) (1; 2); (1; -1,5); (6; -0,5); 2) (0,5; -3,25); (1; -2); (3; -2). 3.12. 1) (-2; 4); (8; -1); 2) (4; 6); (-3; -8).

3.13. 1) (-√2; -2√2); (√2; 2√2); 2) (-3√3; -2√3); (3y∕3; 2yj3).

3.14. 1) (6; -2); (-2; 6); (-6; 2); (2; -6); 2) (4; 2); (-4; -2);

3.16. 1) (-6; 3);

(2; 4); (-2; -4). 3.15.

 

(3; -6); 2) (3; 1); (-1; -3). 3.17. 1) (2,5; -0,5); 2) (5; 1). 3.18. 1) (-4; -2); (-2; -4); 2) (3; 2); (2; 3). 3.19. 1) (4; -3); (-3; 4); 2) (3; 2); (-2; -3). 3.20. 1) ^4;-∣V-4; ∣); 2) f-∣; 2∏∣; -2^. 3.21. 1) (2; 1); (-2; 1); (2; -1); (-2; -1); 2) (1,5; 0,5); (1,5; -0,5); (-1,5; 0,5); (-1,5; -0,5). 3.22. 1) (6; 1); (1; 6); 2) (6; 1); (-1; -6). 3.23. 1) (2; 2); 2) (3; -3). 3.24. 1) Решений нет; 2) (2; -4). 3.25. 1) При Р= 3; 2) при Р= 5. 3.26. 1) (-3; -1); (-1; -3); (1; 3); 2) (1; -4); (2; -2); (-2; 2). 3.27. 1) Х + у + z = 6; 2) Х + у + z = 60. 3.28. 1) (-3; -1); (3; 1); (1; 3); (-1; -3); 2) (2; 2); (-2; -2); (-2; 2); (2; -2). 3.29. 1) (1; 2); (2; 1); 2) (1; -1); (-1; 1); (1; 2); (2; 1). 3.30. 1) (-4,5; 2); (4; 2); 2) (1; 4); (1; -3,5). 3.31. 1)*-∙∣, Y-~⅛ 2>

3.32. 1) (0; 0); (1; 1), (1; -1); 2) (0; 0), (2; 4), (-2; 4).

3.33. 1) При B = ±3√2; 2) при р < -1. 3.34. 1) При А < Γ~ θ

3.34. при А > ⅛Ω1 3.35. 1) При А= -2; 2) при А= -3. 3.36. 1) 4 ре — 5

Шения; 2) 4 решения. 3.37. 1) 3 решения; 2) 3 решения.

4. Неравенства

4.1. 1) Х≤ 2; 2) Х > -3. 4.2. 1) А= 3; 2) Х= 2. 4.3. 1) При α = 1; 2) при х = -1 и х = -2. 4.4. 1) х ≥ -0,8; 2) х ≤ -2,2. 4.5. 1) х ≤ -4,5; 2) х ≤ -1,7. 4.6. 1) х < 0; 2) 4 <х < 18. 4.7. 1) Х <- Или Х> 2; 2) -2 <Х< 2,5. 4.8. 1) -1 ≤ Х ≤ -;

3 9 2 3

4.2. -1,5 ≤ Х ≤ 2. 4.9. 1)х<-^или Х > 2; 2) — ≤ Х ≤ 4.

4.10. 1) При 0 ≤ Х ≤ 2) при Х≤ -2 и Х >О. 4.11. 1) -3 ≤ Х≤ 1;

4.11. -2 ≤ х ≤ 5. 4.13. 1) √∏+√13; 2) √14 + √L5. 4.15. 1) х < 1,5; 2) х < -2,5. 4.16. 1) -4 <х < 4; 2) х < -3 или х > 3.

4.17. 1) х < -4,5 или х > 3; 2) х < -4 или х > 0,4.

4.18. 1) х — любое число; 2) 0. 4.19. 1) При 0

4.19. при х ≤ -2 и -1 ≤ х < 0. 4.20. 1) -3; -2; 2) -2; -1; 0.

4.21. 1) |< х < 2; 2) -3 <х < 4.22. 1) 1; 2; 3; 5; 2) -2;

-1; 0, 1; 3. 4.23. 1) а——— 5; 2) а = 8. 4.24. 1) -3 ≤ х ≤ -2,

4.22. ≤ х ≤ 3; 2) -2 ≤ х ≤ -1, 1 ≤ х ≤ 2. 4.25. 1) х ≤ -2 и

1 2

Х ≠ -3; х ≥ 2— и х ≠ 3; 2) х ≤ — и х ≠ -2; х ≥ 1 и х ≠ 2. 3 3

4.26. 1) х <-3-, -3- <х ≤ -3, х ≥ 2,5; 2) х ≤ -1,5, х ≥ 4 и 4 4

χ ≠ 5,5. 4.27. 1) X ≠ -1, X ≠ 2; 2) X ≠ 1, X ≠ -2.

4.29. 1) x = -6; 2) x————- 17. 4.30. 1) x > 8∣; 2) x < 8∣.

4.31. l)x>2; 2)x<-3. 4.32. 1) x<√6-2, x>λ^-1; 2)√5-2

4.32. Х≤ -3, или -2 ≤ Х≤ 2, или Х > 3. 4.35. 1) Х= -3; 2) Х= -2. 4.36. Указание. Здесь и в заданиях 4.37—4.38 используйте подходящую замену. Например, в задании 4.36 (1) введите замену У = X2 + 1. Ответ. 1) Х≤ -3, -1 ≤ х≤ 1, Х > 3;

4.33. -4 ≤ Х≤ -2, 2 ≤ Х≤ 4. 4.37. 1) Х< -2, Х > 0; 2) Х< 0, Х> 4. 4.38. 1) -3 <Х < -2, -1 <Х< 0; 2) -1 ≤ Х≤ 0, 4 ≤ Х≤ 5.

4.39. 1) 1 <А< 3; 2) -2 <р< 3. 4.40. 1) х < √3- √7;

4.40. √6-3Р > -2; 2) A ≤ 4,4.

4.42. 1) 11 <Т≤ 12; 2) -3 <Т≤ -2. 4.43. 1) -1; 0; 1;

4.43. -1; 0; 1; 2. 4.44. 1) х < -2, 0 <х < 1, х > 3; 2) -2 <х <

5. Функции

5.1. 1) Если 0 ≤ Х≤ 8, то -1 ≤ У≤ 3; 2) если 0 ≤ х ≤ 9, то -2 ≤ У≤ 1. 5.2. 1) У< 0 при х < 2,5; 2) У >О при х < -1,5. 5.3. 1) 0 ≤ У≤ 1,5 при 0 ≤ Х≤ 3; 2) -2 ≤ У≤ 0 при О ≤ Х≤ 6. 5∙4∙ 1) Унаиб = -1; 2) Уваим = 2∙ 5.5. 1) У<О» если х < -4 и х > 0; 2) У >О, если х < 0 и х > 2. 5.6. 1) Область значений — промежуток [—3; +∞); 2) область значений — промежуток (-∞; 2]. 5.7. 1) Если 0 ≤ Х≤ 4, то -4 ≤ У≤ 5; 2) если О ≤ Х≤ 3, то -3 ≤ У≤ 1. 5.8. 1) (√6; О), (-√¾0); 2) (√⅝0), (-^;0). 5.9. 1) Функ­ция возрастает на промежутке (-∞; -3] и убывает на про­межутке [-3; +∞); 2) функция убывает на промежутке (-∞; 2] и возрастает на промежутке [2; +∞). 5.10. 1) Функция убывает на промежутке (— ∞; 2]; 2) функция убывает на промежутке [-2; +∞). 5.11. 1) График — прямая У = — х+ 3 без точки (2; 1); У >О, если х < 3 и х ≠ 2; 2) график — прямая У = х — 4 без точки (2; -2); У<О, если х < 4 и х ≠ 2. 5.12. 1) График — прямая У = — без точки (2; —1); область значений — мно-

4 х — 3

Жество всех чисел, кроме -1; 2) график — прямая У = ~ Без точки (-3; 3); область значений — множество всех чисел, кроме 3. 5.13. 1) Указание. Функцию можно задать формулой У= x(x + 1), где х ≠ 1. Ее графиком является парабола без точки с абсциссой, равной!.Ответ, У > 0На промежутках (-∞; -1), (0; 1) и (1; +∞). 2) Указание. Функцию можно задать формулой У= — х(х — 2), где х ≠ -2. Ее
график — парабола без точки с абсциссой, равной -2. Ответ. У< 0 на промежутках (-∞; -2), (-2; 0) и (2; +∞). 5.14. 1) Гра-

1,
6 л
2 ∣1∣

Фик — гипербола У = — без точки -4; I; х 12 1

Х < -4 и -4 <х < 0; 2) график — гипербола (2; -3); У< 6 при х < -1, 0 <х < 2, х > 2. 5.15. 1) График изображен на рисунке 1; /(—10) = -6; 2) /(-20) = 7.

5.16. 1) График изображен на рисунке 2; функция возрастает на промежутках (-∞; -2] и [0; 2]; 2) функция возрастает на промежутках [-1; 0] и [1; +∞). 5.17. 1) График изображен на рисунке 3; функция убывает на промежутках (-∞; -1] и [0; 1];

2) функция возрастает на промежутках (-∞; -1] и [0; 1]. 5.18. 1) График изображен на рисунке 4; /(x) ≥ 0, если

Х = 0 и ∣x∣ ≥ 3^; 2) /(х) > 0, если |х| < 3^; и х ≠ 0. 3 3

5.19. 1) График изображен на

Рис. 5

рисунке 5; F(X) > 0, если ∣x∣<λ∕6 и Х≠ 0; 2) F(X) >О, если х = О и

∣x∣ ≥ λ∕6. 5.20. 1) График изобра­жен на рисунке 6(1); У >О, если х ≤ —1 и х >О;

Имеет с графиком 3 общие точки при Ш = 3; 2) прямая У = пг имеет

2) график изображен на рисун­ке 6(2); У > 0, если х < -1 и -1 <х < 1. 5.21. 1) Прямая У = тп M = -2. 5.22. 1) Прямая У = MИмеет с графиком две общие точки при M = 4 и M = 0; 2) прямая У = MИмеет с графиком две общие точки при M = -9 и M = 0. 5.23. 1) Прямая У = ш Имеет с графиком 3 общие точки при О <M< 4; 2) прямая У = MИмеет с графиком 3 общие точки при -9 <M< 0. 5.24. 1) Указание. Функцию можно задать формулой У = -х — 1, где х ≠ О и х ≠ 2. Ответ. Неравенство У≤ 3 выполняется при -4≤x<0, 0 2. 2) Указание. Функцию можно задать формулой У = -х + 1, где х ≠ 0 и х ≠ 2. Ответ. Неравенство У≤ 2 выполняется при -1 ≤ х <О, О <х < 2, х > 2. 5.25. Указание. 1) Функцию можно задать формулой У= (х + 1)(х + 3), где х ≠ -2 и х ≠ —4; 2) функцию можно задать формулой У= (х + 3)(х — 1), где х ≠ 2 и х ≠ -1. 5.26. 1) При M = 4 и M = 3; 2) таких значений MНет. 5.27. 1) При Р= -9 и Р > -8; 2) при Р= 4 и Р< 3. 5.28. 1) График изображен на рисунке 7(1); прямая У = MИмеет с графиком две общие точки при M = 3 и M = -1; 2) график изображен на рисунке 7(2); прямая У = MИмеет с графиком три общие точки при -6 <M< -2. 5.29. 1) При О <р <1 и при 2 <р< 5; 2) при Р = -2 и 0 ≤ р < 2.

9), три общие точки (при т= 9), четыре общие точки (при о <т< 9). 5.33. 1) график функции изображен на рисунке 9;" width="433" height="49" class=""/>

5.30. 1) A(-2; 0), B(0; 4), C(2; О); 2) M(-2; О), М-1; О), Mθ; 2).

5.31. 1) A(-l; O), B(0; -1), Cl1;0Ь 13 I

2) Mθ; 1). -⅜sθ I М(1; 0).

5.32. 1) График функции изображен на рисунке 8; прямая У = т может иметь с графиком две общие точки (при Т = 0 и Т > 4), три общие точки (при Т= 4), четыре общие точки (при 0 <Т< 4); 2) прямая

Прямая У = т может иметь с графиком две общие точки (при Т= -4 и Т > 0), три общие точки (при Т= 0), четыре общие точки (при -4 <Т < 0); 2) прямая У = т может иметь с графиком две общие точки (при Т= 1 и Т< 0), три общие точки (при Т= 0), четыре общие точки (при 0 <Т< 1). 5.34. Указание. Задайте функцию «кусочно», рассмотрев случаи Х > 0 И х< 0. 1) График изображен на рисунке 10; прямая У = р может иметь с графиком одну общую точку (при Р > 0 и Р< -1), две общие точки (при Р ≈ 0 и Р= -1), три общие точки (при -1 <Р< 0); 2) прямая У = р может иметь с графиком одну общую точку (при Р< -1 И р > 1), две общие точки (при р = 0ир=1), три общие точки (при 0 <Р< 1). 5.35. 1) (1 - √⅞ 3-√2), (1; 1); 2) (-1; -1), (√2 - 1; √2 - 3).

5.36. 1) (-1; 3), (-3; 3), (√7-2; 3); 2) (1; 5), (5; 5), (3-√l4; 5).

5.37. 1) Указание. Область определения функции находим из условия X2-I ≥ 0 и Х≠ 1; на области определения она задается формулой У = х+ 1. 2) Указание. Область определения функции находим из условия 4 — х2> 0 и Х ≠ 2; на об­ласти определения она задается формулой У = — х+ 2.

5.38. Указание. Для преобразования формулы воспользуй­тесь тождеством (λ∕α)2 = а, где а ≥ 0. 5.39. 1) Указание. Представьте данную формулу в виде У= ~(λ∕x — 2)2+ 5. Ответ. Наибольшее значение функции равно 5, оно достигается при

Х= 4; 2) У= (λ∕χ-3)2-9; наименьшее значение функции равно

-9, оно достигается при Х = 9. 5.40. 1) Указание.

5

Представьте формулу в виде j∕ = l+-5—————

2 3 x +5

2) y≈1~χ2+8, Унаим =4′

В. Координаты И графики

1) 1. 1) У = -0,4х + 2; (5; 0); 2) У = 0,5х —3; (6; 0). 6.2. 1) у 1,5х + 8; 2) У — 3,6х + 10. 6.3. 1) У= lχ-4,5;

Во II координатной четверти; 2) У= -2,5x — 12; в I координат­ной четверти. 6.4. 1) А= 1; пересекает; 2) Ь= -1; не пересекает. 6.5. 1) (3; 4), (-2; -2), (4; -2); 2) (-2; -1), (3; 3), (3; -2). 6.6. 1) Проходят; 2) проходят. 6.7. 1) Y = iχ-3; (9; 0) и (0; -3); 2) У= -0,5х + 2; (0; 2) и (4; 0). 6.8. 1) Нет; 2) да. 6.9. 1) Прямая АВ: у= 5; прямая ВС: х= 8; прямая АС: У= -0,5х + 6;

2) прямая MN,. у= 4; прямая MPz х= -1; прямая NP: у = 2х — 6.

3) 10. 1) (-3; 0) и (3; 0); 2) (1; 0) и (-1; 0). 6.11. 1) У — — х2;

(6; 9) и (-6; 9); 2) У = — А*2; (9; -27) и (-9; -27). 6.12. 1) С= -6; 3

Не пересекает; 2) с = 6; не пересекает. 6.13. 1) (λ∕6; 0) и (-λ∕6; 0);

2)(√TQ;0) и(√TU;0). 6.14. 1) При <а< 0; 2) при 0 <А <2-.

3 4

4) 15. 1) (4; 0); 2) (5; 0). 6.16. 1) При -1 <K< 3; 2) при K< -2

6.18. 1) Проходит; 2) не проходит. 6.19. 1) Указание. Сна­

Чала найдите значение K,При котором уравнение Kx + 3 = —

X

Имеет единственное решение. Ответ. 1) (4; 0); 2) (-4; 0). 6.20. 1) (2; 3); 2) (-3; 2). 6.21. 1) Указание. Уравнение прямой, пересекающей ось ординат в точке (0; -2), имеет вид У = Kx— 2; далее составьте уравнение для нахождения общих точек прямой и параболы и определите значения fe, при

( 2 I

Которых оно имеет единственное решение. Ответ. 1) ; 0 I;

V7J

2)∣-I. 01 6.22. 1) (3; 9); 2) (-2; 5). 6.23. 1) При -4 <с < 4;

I 3 Г

5) при с 4 -6 и с > 6. 6.24. 1) (2; -1); 2) (-3; 1). 6.25. Указа — н и е. Сначала составьте уравнение параболы, проходящей через заданные точки. Ответ. 1) (3; -5) 2) (-1; -6) 6.26. 1) У = = ~*⅛x2 + 2х + 2; 2) У = ~ x2 + х — 1. 6.27. 1) Указание.

Возможны разные способы составления уравнения параболы; один из них — воспользоваться уравнением вида У = A(X —X0)2 + + ∣∕0, где (x0; z∕0) — координаты вершины параболы. Ответ. 1) (-3; 0) и (1; 0); 2) (1; 0) и (5; 0). 6.28. 1) У = | х2+ 6х + 10;

6) У = -2×2 + 4х + 16. 6.29. 1) -3 <П< 1; 2) -3 <Ni< 5. 6.30. 1) Р< -1; 2) Р < -3. 6.31. 1) -3 <Т< 3; 2) Т< -1, Т > 1. 6.32. Указание. Докажите, что вершина параболы У = X2- 2Px —1 при любых значениях Р расположена ниже оси Х.

И Р > 0; 2) при <т< 0. 6.33. 1) При

3;
» align=»left» width=»133″ height=»52″ class=»»/>А< -5; 2) при А> -7. 6.34. 1) α > 1; 2) α > 2. 6.35. 1) Ь= -3; 2) Ь =

= 5. 6.36. 1) Т= -30; 2) А= -36. 6.37. 1) У =

2.
6.39. 1) i < ft < 2; 2) 2) -⅜ ‘ 6.38. 1) I <K< 2; 2) -3 <K < -1.

-2 <K< -1. 6.40. 1) 0 <K <∣; 1) -1 <P ≤ 1; 2) —2 <P ≤ 2.

6.42. 1) S = 4⅛; 2) S = 1,5. 6.43. 1) S = 42,5; 2) S = 51. 6.44. 1) При P = ±9; 2) при P = ±1. 6.45. 1) У= -6х + 18; 8

2) У= iχ + 3. 6.46. Графиком уравнения являются две парал­лельные прямые: 1) У= — Зх + 1 и У= — Зх — 1; 2) У= 0,5х — 0,5 и У= 0,5x + 0,5. 6.47. 1) График представляет собой объедине­ние гиперболы Ху= 1 И прямой У= х; 2) график представляет собой объединение параболы z∕ = iχ2и двух вертикальных пря­мых х = 1 и х = -1. 6.48. 1) Гипербола Ху= 1 без точек (1; 1) и (-1; -1); 2) парабола z∕ = ^x2без точек с абсциссами 1 и -1. 6.49. 1) Окружность x2 ÷ Y2 = 1 без четырех точек, принадле­жащих прямым У = Х и У= — х; 2) окружность х2+ У=9 без четырех точек, принадлежащих прямым У= х и У= — х. 6.50. 1) Прямая z∕ = ^x без точки (2; 1); 2) парабола У= х2 без точки (-2; 4).

7. Арифметическая и геометрическая прогрессии

7.1. 1) 20,4; 2) -28,5. 7.2. 1) Является; 2) не является. 7.3. 1) П= 29; 2) П= 38. 7.4. 1) Начиная с номера 65; 2) начиная с номера 48. 7.5. 1) 19; 2) 14. 7.6. 1) 4335; 2) 6035. 7.7. 1) 15 чисел; 2) 14 чисел. 7.8. 1) 27 чисел; 2) 18 чисел. 7.9. 1) fe1 = З4 или Bi = -34; 2) B1 = 2^5или Bl——————————————————————— 2^5.

7.10. 1) —; 2) . 7.11. 1) П= 56; 2) П= 47. 7.12. 1) 0,6;

32 64

7.11. 0,3. 7.13. 1) -35,1; 2) 42,9. 7.14. 1) Не существует; 2) существует. 7.15. 1) 6; 8,2; 10,4; 12,6; 14,8; 17; 2) 12; 15,5; 19; 22,5; 26. 7.16. 1) α1 = 25, D = -2; 2) α1——————————————— 4, D = 3.

7.17. 1) α5 = 25; 2) a4 = 16. 7.18. 1) 17,5; 2) 18. 7.19. 1) 17 чи — сел; 2) 23 числа. 7.20. 1) 3825; 2) 9150. 7.21. 1) Указание. Из суммы всех натуральных чисел от 1 до 200 вычтите сумму тех из них, которые делятся на 6. Ответ. 1) 16 734; 2) 26 965. 7.22. 1) 1210; 2) 1342. 7.23. 1) Существует; 2) не существует.

7 — Кузнецова, 9 кл.

7.24. 1)2∕3,6,6√^ или -2√S,6,-6√3; 2) 3√2,6,6^hπh -3√2,6,-6λβ 7.25. 1) 27, 18, 12; 2) 80, 60, 45. 7.26. 1) 9; 3; 1; ∣или -9; -3; -1; -1; 2) 1; -1; 2; -4 или —;1; -2; 4. 7.27. 1) 765 или 255;

3 2 2

7.25. 728 или 364. 7.28. 1) 3280; 2) -2457. 7.29. 1) 60; 2) 57. 7.30. 1) 65; 2) 82,5. 7.31. 1) На 200; 2) на 400. 7.32. Указа — ние. Совпадающие члены данных прогрессий также составля­ют арифметическую прогрессию, разность которой равна наи­меньшему общему кратному разностей данных прогрессий. Пер­вый совпадающий член двух данных прогрессий можно найти, непосредственно выписав несколько последовательных членов каждой из них. Ответ. 1) 7710; 2) 1810. 7.33. 1) Х= 1; 2) Х= -1. 7.34. Указание. Преобразуйте выражение, исполь­зуя формулу разности квадратов. Ответ. 1) 1275; 2) -5050. 7.35. 1) Указание. SnПринимает наименьшее значение, если ¾ < 0 и αn + 1> 0. Ответ. Sb8hm = S5 = -75; 2) Sh8h6 = S6 = 99. 7.36. 1) 5253; 2) 7599. 7.37. 1) Указание. Из суммы четных трехзначных чисел надо вычесть сумму трехзначных чисел, кратных 3. Ответ. 1) 164 700; 2) 148 500. 7.38. 1) 41 400; 2) 27 450. 7.39. 1) 315; 2) 270. 7.40. 1) Указание. Все числа такого вида образуют арифметическую прогрессию, которую можно задать формулой an = 5п — 2, где П ∈ N.Ответ. 1) 4020; 2) 3775. 7.41. 1) A1 = 11, D = 2; A1 = 2, D = 4; 2) a1 = 2, D = 6; A1 = 9, D = 4; A1 = 16, D = 2. 7.42. 1) 6; 2) 8. 7.43. 1) 1; 2) 48. 7.44. 1) 10 членов; 2) 5 членов. 7.45. 1) 34;

20; 6; 2) 6; 21; 36. 7.46. 1) Q =2-√¾2) g = 2+√2. 7.47. 1) Боль­ше сумма первых восьми членов геометрической прогрессии; 2) больше сумма первых шести членов геометрической прогрес­сии. 7.48. 1) Q = —2; 2) Q = |.

8. Текстовые задачи

1) 1. 1) 960 м; 2) на расстоянии 180 км. 8.2. 1) 5 км/ч и 6 км/ч; 2) 32 км/ч и 40 км/ч. 8.3. 1) На 7,5 км; 2) на 8 км. 8.4. 1) 2 км/ч; 2) 3 км/ч. 8.5. 1) 240 м; 2) 54 м. 8.6. 1) 1680 м2; 2) 1200 м2. 8.7. 1) 80 км/ч; 2) 100 км/ч. 8.8. 1) 4 км/ч и 5 км/ч; 2) 12 км/ч и 18 км/ч. 8.9. 1) 60 км; 2) 15 км. 8.10. 1) 10 км; 2) 8 км. 8.11. 1) 72 км/ч и 60 км/ч; 2) 80 км/ч и 120 км/ч. 8.12. 1) 200 задач; 2) 168 слов. 8.13. 1) За 15 мин и за 30 мин; 2) за 30 мин и за 1 ч. 8.14. 1) Фирма А за 8 дней, фирма В за 12 дней; 2) за 20 дней и за 30 дней. 8.15. 1) За 28 дней и за 22 дня; 2) за 21 день и за 28 дней. 8.16. 1) За 20 ч и за 30 ч; 2) первый оператор за 12 ч, второй — за 24 ч. 8.17. 1) 80% избирателей; 2) 90% избирателей. 8.18. 1) 20% слушателей;

2) 44% учащихся. 8.19. 1) IOOO р. и 2000 р.; 2) 350 и 550. 8.20. 1) 480 и 650; 2) 23 и 32. 8.21. 1) 500 кг сена; 2) 200 г сухих грибов. 8.22. 1) 45 г; 2) 50 г. 8.23. 1) 42 г; 2) 40 г. 8.24. 1) 72 км/ч и 60 км/ч; 2) 4,5 км/ч и 4,8 км/ч. 8.25. 1) 3,6 км; 2) 6 км. 8.26. 1) За 6 ч; 2) через 2 ч 40 мин. 8.27. 1) Скорость на подъеме 4 км/ч, скорость на спуске 6 км/ч, длина подъема 4 км; 2) скорость на подъеме 3 км/ч, скорость на спуске 6 км/ч, длина спуска 4 км. 8.28. 1) В 6 раз; 2) в 5 раз. 8.29. 1) 6 км/ч; 2) 80 км/ч. 8.30. 1) 1 ч; 2) 30 мин.

2 1

3) 31. 1) 4 ч; 2) 1,5 ч. 8.32. 1) т пути; 2) 7 пути. 8.33. 1) 9 км/ч; о &

4) 10 км/ч. 8.34. 1) Первая мельница — 475 ц, вторая — 480 ц, третья — 375 ц; 2) Маше 20 с., Тане 16 с., Оле 18 с. 8.35. 1) За 2 ч 40 мин; 2) за 8 мин. 8.36. 1) На 75%; 2) 70%. 8.37. 1) 40% и 24%; 2) 42% и 30%. 8.38. 1) 2 : 1; 2) 1 : 2. 8.39. 1) Предновогодняя; на 10%; 2) цена в конце года; на 30%. 8.40. 1) Первоначальная стоимость первой картины в 2 раза больше, чем второй; 2) за питание платили в 1,5 раза больше, чем за проживание. 8.41. 1) 4 кг; 2) на 1,5 р. 8.42. 1) На 5%; 2) на 5%. 8.43. 1) 36 учеников; 2) 30 учеников.