Решения задач из сборника тестов § 1. Решения тестов 2009 г. Тест № 1 Часть 2 17Решите…

Решения задач из сборника тестов

§ 1. Решения тестов 2009 г.

Тест № 1

Часть 2

17Решите уравнение X3— 6×2— Эх+ 54 = 0.

Решение.

Так как X3— 6×2— 9X ÷ 54 = X(X2— 9) — 6(x2— 9) = (х — 6)(rτ2~ 9), то данное уравнение равносильно совокупности уравнений Х — 6 = 0 и X2— 9 = о, т. е. его корнями являются Х= 6 и Х= ±3.

18Решите неравенство (√TΓ — 3,5) • (5х — 11) < 0.

Решение.

Так как 3,52= 12,25 > 11, то 3,5 > √1T, √TT — 3,5 < 0. Поэтому данное в условии неравенство равносильно неравенству 5х — 11 > 0, решением которого являются Х > 2,2.

191В геометрической прогрессии сумма первого, второго и третьего чле­нов равна 14, а сумма второго, третьего и четвёртого членов равна 7., Най­дите сумму первых пяти членов этой прогрессии.

Решение.

Сумма первого, второго и третьего членов геометрической прогрессии равна Bι ÷ Bιq ÷ Bιq2 = ½ (1 + Q ÷ g2), а сумма второго, третьего и четвёр­того членов этой же прогрессии равна Bχq+Bιq2+Bιq3 ≈ 6ιg(l+g÷g2), где By—Первый член, Q—Знаменатель прогрессии. Из условия имеем систему:

∫ 61<1 + 9 + Q2)= 14 ⅛Iq(1 + Q + Q2)=7_ . =1

I>ιQ + Q2) = 7 &i(l + Q + Q2) 14 2

Подставляя Q = 0,5 в уравнение i>ι(l + Q + Q2) = 14, получаем:

6ι∙l,75 = 14, Ь\ = 8. Из формулы суммы членов геометрической про­грессии для суммы первых пяти членов данной прогрессии (5g) имеем:

¾=j⅛⅛i=8∙(⅛-1)<-⅜)=⅜-15'5∙

Ответ:15,5 20При каких значениях Т и п, связанных соотношением m ÷ П= 3, выражение 4n2- Amn— 3m2принимает наименьшее значение?

Решение.

Выразим Т через П: т= 3 — п. Отсюда имеем: 4n2- Amn —3m2 = = An2—4(3 — П)п — 3(3 — n)2 = An2— 12n + An2— 27 + 18n — 3n2 = = 5п2+ 6п — 27. Графиком функции У= 5n2 ÷ 6п — 27 является парабола с вершиной в точке ∏o “ ^γjy = —0,6.

Таким образом, квадратный трёхчлен 5п2+ бп — 27 достигает свое­го наименьшего значения при N = —0,6, а данное в условии выражение имеет наименьшее значение при Т= 3 — N = 3,6, П= -0,6.

21На рисунке изображён график кусочно-линейной функции. Задайте эту функцию аналитически (т. е. с помощью формул).

Решение.

По условию, при Х≤ 2 график функции совпадает с прямой, проходя­щей через Точки с координатами (0; 3) и (-6; 0) (см. рисунок). Подставляя Х~ О, ?/ = 3 и Х~ —6, У≈ 0 в уравнение прямой У = кх+ 5, получаем:

5 = 3 f 5 = 3 Г 5 = 3

К-(-6) + 6 = О t — 6fc + 3 = 0 t fc = 0,5.

Таким образом, при Х≤ 2 функция, заданная графиком на рисунке к условию, определяется формулой: У= 0,5а? + 3.

Аналогично, из того, что при Х> 2 график функции совпадает с пря­мой, содержащей точки с координатами (4; 0) и (6; —1) (см. рисунок), для коэффициентов этой прямой имеем систему:

∫4fc + ⅛ = 0 ∫4fc + δ = 0 Г 4∙(-0,5)+6 = 0 ∫ B = 2

∖βk + B = —L ^∖2K = —L 1 К= -0,5 { к= -0,5.

Итак, функция заданная графиком на рисунке к условию, определяется формулами: У= 0,5# + 3, при Х≤ 2; У== -0,5x ÷ 2, при Х> 2.

Тест №3

Часть 2

17Постройте график функции τ∕≈—~^2÷2τ÷l и укажите наиболь­шее значение этой функции.

Решение.

Графиком данной функции является парабола, ветви которой направ­лены вниз. Абсциссу вершины параболы находим по формуле τβ= — у-;

2

X3 = — О “7. λ~v∖ == 2. Подставляя хв в уравнение параболы, находим ор-

2 • (—0,о)

Динату её вершины, значение которой и является наибольшим значением данной в условии функции: τ∕max = Уъ= -0,5 ∙ 22 ÷ 2 • 2 ÷ 1 ≈ 3.

Для построения графика данной параболы вычислим координаты. двух пар её точек, симметричных относительно её оси. В качестве таковых возь­мём, например, пары точек с абсциссами xχ = l, x2= 3 и x3≈= O,τ4 = 4.

18Выясните, имеет ли корни уравнение X2 + 5√3τ ÷ 5х == —45.

Решение.

Запишем данное квадратное уравнение в стандартном виде и вычислим его дискриминант: X2 + (5√z3 + 5)τ + 45 = 0,

D = (5√3kr + 5)2 — 4-45 = 75 ÷ 50√3 ÷ 25 — 180 = 50√3 — 80. Сравним числа 5√z3 и 8 : (5√z3)2= 75, 82== 64 => 5vz3> 8. Значит, D = 10 ∙ (5√z3 — 8) > 0 и данное уравнение имеет корни. Ответ: да.

I 191Найдите сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 100, ко­торые не делятся на 4.

Решение.

По формуле суммы арифметической прогрессии сумма всех натураль­ных чисел, не превосходящих 100, равна -⅛—⅛AQQ. 100 = 5050. Нату­ральные числа, делящиеся на 4 и не превосходящие 100, образуют ариф­метическую прогрессию с первым членом A↑ — 4 и последним членом α25= 100 (100 = 4 • 25), а их сумма равна A÷~lθθ . 25 == 1300. Поэтому сумма всех натуральных чисел, не превосходящих 100, которые Не делятся На 4, равна 5050 — 1300 = 3750.

Ответ:3750

20Для выражения (3τ + У — 2)2 ÷(2x-3?/ + 50)2найдите его наимень­шее значение (т) и укажите значения Х, у, при которых оно достигается.

Решение.

Так как (3X + Y —2)2 ≥ 0 и (2τ ~ Зу+ 50)» ≥ 0, то значение данно­го в условии выражени больше или равно нуля, и может быть равно нулю f 3X + у — 2 = 0 zх лишь в том случае, если выполнена система: < n ζ l cn Л (*).

J ( 2х — Зу + 50 = 0 4 ,

Преобразуем и решим систему (*):

C 9X + Зу ~ 6 = 0 Г llτ ÷44 = O ( х ~ —4 Г Х= -4

I 2х — Зу+ 50 = 0; [ 2х — Зу+ 50 = 0; [ —8 — Зу + 50 == 0; [ У== 14.

Итак, наименьшее значение данного в условии выражения равно нулю и достигается при Х ~ —4, У= 14.

Ответ:M = 0; τ = —4, У= 14 21Найдите все значения К, при которых прямая У = кх имеет ровно две общие точки с трёхзвенной ломаной в координатной плоскости Оху, Изображённой на приведённом ниже рисунке (см. рис. 1 а)).

Решение.

Проведём через начало координат прямую OL,Параллельную участ­кам ABИ CDДанной в условии ломаной (см. рис. 1 б)). Легко видеть, что если прямая У = кх расположена вне острого угла, образованного пря­мыми OBИ OL,То она имеет только одну общую точку с ломаной ABCD, Если строго внутри этого угла — общих точек три, если совпадает с прямой OB— общих точек две, а если совпадает с прямой OL—Общая точка од­
на. Таким образом, единственным искомым значением К является то, при котором прямая У ≈ кх совпадает с прямой OB — к ≈ 0,5.

Ответ: к== 0,5

<≠>4у _5 = з?у= 2. из уравнения х= ⅜ получаем, что х= 8. ответ: х ≈8,y ≈2. » width=»386″ height=»111″ class=»»/>